浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷

2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1 3 3 5 6 P C B 0 0 C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABC 10.AD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.- 18.9 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)因为5aac=bsmC=0品sinB sinG=0 10sinA 所以sinB sinc= …5分 (2)因为os(8-C)=cBcC+sin8 B sinC=号 所以co=- …9分 从而cos(B+C)=cosBcosC-sin Bsinc=- 即有cosA=-c0s(B+O=营所以sinA=号 所5auc=品g-号 …13分 16.(1)因为2Sm=nan+1,所以a=2, 当n≥2时，2Sm-1=(m-1)an, 所以2a=2Sn-5-)=na+1-0m-1)a,化简得：=÷ 所以=号=…=号=1，即a=n(1也成立)， 所以a=n. …6分 (2)由(1)知5n=,则=2（日） 所以P.=2(1-)+2传-)+…+2(（日)=2(-) 0=1++京+…+点=2(1-) 当22时，2n=C9+C1+C%+…+C7>1+n, 所以Pn<Q. .…15分 17.(1)由题知i-=子且loga子克所以a=6 …4分 (2)(i)由题知点(b,c)是函数y=心与y=logx的图象的交点， 所以c=aP且c=logab, 由c=a,两边取自然对数得blna=nc.① 由c=logab及换底公式得：=c,所以1nb=clna.② 由①②得blnb=cnc. …9分 (i)令h()=xnx,则h()=mx+1,当h()=0时，x=是 易得h)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增. 由(i)知h()=h(c),不妨设b<<c<1. 令=h(-h(-x),xe(o,). 则F()=h(x)+h(径-x) =x+1+n(6-x)+1=2+lmx(-x]≤2+lm3=0 所以P)单调递减，所以b)=h(b)-h(-b)>F(目=0 所以h(b)>h(-b),所以h(d)>h(（-b): 又因为c>÷,。b>且h()在（日，1）上单调递增. 所以c>2-b,所以b十c>名，证毕. …15分 18.(1)由题知MW1的最大值为24，即=2， 又e=:=号所以c=V2,所以b=V2, 所以学+号=1. …4分 (2)设M(x1,y),G(xo,yo),则W(-x1,-y1),E(x1,0) ①设直线w的斜率为k(k>0),则kaw一器，kow=器 所以awa--一号 又ka=kw=之。升-月 所以kG=-是所以NLMG. …9分 (ii)设直线MN的方程为y=kx(飞>O): 2 （y=kx, X1= 联立 +苦-1 解得 V2k2+1 2 所以MN1=V1+212x1 直线MG的方程为y=-(x-x)+y1=-x+x1 k七1， x2 ,得（侵+1）x-型x+2-4=0, k2 k2 =1 则x1+x0= 4x1(k2+1) 即x0= 3k2+2 k2+2 k242七1 所以MGF 1+x10l 所以器 +22L=- 2k 2k √1+2x-x0l +2≥22， k x1 (当且仅当k=√2时等号成立) 设△MNE外接圆半径为r1,△MEG外接圆半径为r2, 则2r1=MM MGI sn∠MEN' 2r2= sinLMEG 所以-() ≥8，即的最小值为8. …17分 19.解：(1)甲是(4,3)-好分链 乙不是(4,3)-好分链 …4分 (2)对任意一段n颗珠子，红珠子的数量只可能为0,1,2，，n中的某一个数字， 所以最多只能产生n+1段，每段n颗珠子，且各段中红色珠子数均互不相同. 可以构造如下(n+1,n)-好分链： n颗 n-1颗n-2颗 n-1颗 n颗 BB…BBB…BRBB…BRR…BRR…RRR…R …8分 第1段第2段 第3段 第n段第n+1段 用x:(1≤i≤n(n+1)表示从左到右的第i颗珠子， X1x2…XnXn+1… BB…B BB…BRBB…BRR BRR…RRR…R 0个R 1个R 2个R n-1个R n个R 这串项链共有n种分段方式. 方式1：从x1开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-2,n-1,n: 方式2：从x2开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-2,n,n-1: 方式3：从x3开始，各段R的个数为0,1,2，，n-3,n-1,n,n-2; 方式n:从xn开始，各段R的个数为0,2,3，，n-2,n-1,n,1: 可以逐一验证无论将该串项链怎么分成+1段连续的n颗珠子，各段红色珠子数分别 为0,1,2，，n,互不相同 因此，可由这(n+1)n颗珠子构造出(n+1,n)-好分链，. 3 所以是(n+1,n)分链数. …11分 (3)由于任意一段n颗珠子，红珠子的数量只可能分别为0,1,2，，n中的某一个，共 有n+1种情况. 因此若m≥n+2,则m段的n颗珠子必有两段及以上有相同的红色珠子个数，不符合 题意.因此m≤n+1. …14分 由(2)知，可构造出“(n+1,n)-好分链”，若去掉这个“(n+1,n)-好分链”的第 n+1段，类似(2)可证剩余的为“(n,n)-好分链'： 类似地，去掉其第n段和第n+1段（后面两段)，剩余的为(n一1，n)-好分链”： 如此一直下去，去掉后面连续的n段，剩余的为“(1，n)-好分链” 所以m的取值可以是1,2,3，…，n,什1.…17分2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区城的 作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知i为虚数单位，若zi+2=2i,则|z|=() A.8 B.4 C.2√2 D.√2 2.设随机变量X~N(2,d2),若P(X≤-1)=P(X≥4a-3),则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0<x≤1时，f(x)=5-tanx,则f(-)=( A.-4 B.4 C.6 D.-6 4.已知数列(an)满足a1=1,am+1=2an十1，则an=( ) A.2n-1 B.2 C.2"+1 D.2m-1 5.已知曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( A.2 B.3 C.4 D.6 6.中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵 S(t)随时间t的变化规律为S(t)=S。+(S。-S)e“,其中S。为平衡态熵，S。为初始熵， λ（λ>0）为分子碰撞频率，e为自然对数的底数.设S。<S。,当t增大时，系统的熵() A.减小，且减速越来越慢 B.减小，且减速越来越快 C.增大，且增速越来越快 D.增大，且增速越来越慢 7.如图，A,B,C是曲线y=sin2x与y=sin(2x+p)的三个相邻的 交点若△ABC的面积为写，则lg的最小值为() A号 B. c D. 6 (第7题图) 8.已知圆C1:(x-1)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1,C3:(x-3)2+y2=1,直线1：y=kx被 C1,C2,C3截得的弦长分别为L1,L2,L3.若L1=L2+L3,则k=() A±得 B.土3 4 C.② 4 D.土 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.为研究光照时间x(单位：h)与某植物产量y(单位：t/hm2)之间的关系，现收集一组数据并 计算得：平均光照时间为10h,植物平均产量为5.2t/hm2,经验回归方程为y=0.5x+a, 则() A.a=0.2 B.变量x和y正相关 C.光照时间每增加1h,植物产量约增加0.5t/hm2 D.当x=11时，y的预测值为7 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线L与C交于A,B两点，点P在C的准线 上，则( A.IAB|的最小值为4 B.存在点P,使得∠APB= 3 C.若PA⊥PB,则直线PA与C有两个交点D.若点P在x轴上，则∠APF=∠BPF 11.若存在实数p和0(0>0)，使得对Vn∈Z,sin(n0+p)≤a,则() A.a≥-1 B当a=2时，0=背 C,当0=受时a的最小值为号 D当a- -0.001时，0的最小值为号5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知单位向量a,b,c满足a+b一c=0,则a·b= 13.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，1PF1|=3|PF2|, 则C的离心率为 14.已知e是自然对数的底数，若集合{x∈Z引xe一ax一2<0)恰有4个子集，则满足条件的 整数a的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为abc,已知△ABC的面积为10A 3a2 (1)求sinBsinC; (2)若cos(B-C)=号，a=1,求△ABC的面积 16.(15分) 已知数列(an}的前n项和为S.,a1=1, 空 (1)求{an)的通项公式； 2)记卫.+发+…+发Q=+++…+ 证明：当n≥2时，Pn<Qm 17.(15分) 已知0<a<1,设集合E。=(x,y)ly=a)∩(x,y)ly=logx）. (1)若（朵，2）eE,求a; (2)若(b,c)∈E。,且b≠c. 证明：(i)blnb=clnc; (iDb+c>2(e为自然对数的底数). e 18.(17分) 已知箱圆r兰+芳-1(a>6>0)的离心率为号，过坐标原点的直线交r于M,N两点， 且IMN的最大值为4. (1)求T的方程； (2)设点M在第一象限，作ME⊥x轴，垂足为E,连结NE并延长交T于点G. (i)证明：MN⊥MG; 接圆面积为S,△MEG外接圆面积为 19.(17分) 一个圆形项链有m×n(m,n∈N·)颗珠子，每颗为红色或蓝色.若任意将这串项链分割成 m段，每段连续n颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为(m,n)一 好分链，正整数对(m,n)为分链数对， (1)现有甲乙两串项链，如图所示，R表示红色，B表示蓝色.请判断它们是否为(4,3)一 好分链（给出判断即可，不必说明理由）； (2)证明：对任意给定的n∈N·,(n+1,n)是分链数对； (3)对给定的n∈N·,求所有的正整数m,使得(m,n)是分链数对. 甲 (第19题图)