21.2.1 直接开平方法和因式分解法 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第21章 一元二次方程 华东师大版（2024）九年级上册 学 习 目 标 1 会用直接开平方法解一元二次方程 2 掌握因式分解法解一元二次方程的步骤 新知引入 试 一 试 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 探索新知 对于小题（1），有这样的解法： 概 括 意味着 x 是4的平方根，所以 即 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 利用平方根的定义直接开方解一元二次方程的方法叫做直接开方法. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 对于小题（2），有这样的解法： 概 括 探索新知 将方程左边用平方差公式分解因式，得 必有 分别解这两个一元一次方程，得 先分解因式，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于 0 ，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 探索新知 探索新知 做 一 做 直接开平方法： 因式分解法： 方程左边分解因式，得 探索新知 直接开平方法三步骤 (1) 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； (2) 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； (3) 求解：解一元一次方程，得出方程的根． 典型例题 例1 解下列方程： 解 移项，得 直接开平方，得 即 典型例题 解 移项，得 方程两边都除以 16 ，得 直接开平方，得 即 例1 还有其他解法吗？ 典型例题 典型例题 解 方程左边分解因式，得 所以 得 方程左边分解因式，得 所以 得 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 探索新知 (1) 移项，将方程的右边化为 0 ； (2) 分解，将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3) 转化，令每个一次因式分别为 0 ，得到两个一元一次方程； (4) 求解，分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 探索新知 读 一 读 什么时候两数的积为零 ——谈谈因式分解法解方程的依据 探索新知 读 一 读 探索新知 思 考 代入根 展开 要求二次项系数为 5 ： 探索新知 符合条件的方程不只有一个 因为在方程两边同时乘任意不为 0 的常数k ，根不变 如 都满足根是2和3 典型例题 分析 两个方程都可以通过简单的变形，化为 解 所以 解 原方程可以变形为 直接开平方，得 所以 探索新知 你知道吗？ 小明将方程左边分解因式，得 所以 得 你知道吗？ 探索新知 小亮的解法是这样的： 移项，得 小亮说：＂我的方法多简便！＂ 探索新知 当堂检测 B 当堂检测 D 当堂检测 B 当堂检测 B 当堂检测 A 当堂检测 C 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 直接开方法的概念和步骤 因式分解法的概念和步骤 1.方程的解是( ) A. B.， C. D.， 解析：，移项得，直接开平方得，即，.故选B. 2.用直接开平方法解一元二次方程时，方程两边同时开平方可以得到( ) A. B. C. D. 解析：方程两边同时开平方可以得到.故选D. 3.一元二次方程的解是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：，或，解得，. 4.下列方程可以用直接开平方法求解的是( ) A. B. C. D. 解析：只有形如的一元二次方程可以用直接开平方法求解. 5.一元二次方程的根是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：，，解得，，故选A. 6.解一元二次方程，用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是( ) A. B. C. D. 解析：，，即4或，故选C. 7.解方程： （1）； （2）. 答案：（1）， （2）， 解析：（1）直接开平方法：， 直接开平方，得或，解得，. 因式分解法：，移项，得， 因式分解，得， 即，解得，. （2）， 因式分解，得， 所以或，解得，. $