21.2.1　直接开平方法和因式分解法(1)课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章　21.2　一元二次方程的解法 21.2.1　直接开平方法和因 式分解法(1) 学习目标 1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程.(重点) 2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤.(重点) 课堂引入 1.什么叫做一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？ 2.试一试，解下列方程： (1)x2=4；(2)x2-1=0. 一、 直接开平方法 问题1　(1)如果一个数的平方是64，则这个数是____.如果x2=a(a≥0)，则x叫做a的________.任何数都可以作为被开方数吗？  ±8 平方根 提示　负数不能. (2)根据平方根的定义，试一试，解方程x2=4，你是如何思考的？ 提示　方程x2=4， 意味着x是4的平方根，所以x=±， 即x=±2， 这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=-2，x2=2. 知识梳理 (1)直接开平方法：一般地，对于形如x2=p(p≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1=，x2=-，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. (2)对于方程x2=p. ①当p>0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不相等的实数根x1=，x2=-； ②当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0； ③当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根. 知识梳理 (3)能化为形如(ax+b)2=c(a≠0，c≥0)的一元二次方程，即它的一边含有未知数的一次式的完全平方，另一边是非负数，就可以用直接开平方法求解. (4)直接开平方法三步骤： 变形：将方程化为含未知数的完全平方式=非负常数的形式； 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 求解：解一元一次方程，得出方程的根. 例1　(课本P21例1)解下列方程： (1)x2-2=0；(2)16x2-25=0. 解　(1)移项，得x2=2. 直接开平方，得x=±， 即x1=，x2=-. (2)移项，得16x2=25. 方程两边都除以16，得x2=. 直接开平方，得x=±， 即x1=，x2=-. 跟踪训练1　(1)若关于x的方程(x-4)2=m+1有实数根，则m的取值范围是 A.m≥0 B.m≥-1 C.m>-1 D.m>1 √ 解析　∵关于x的方程(x-4)2=m+1有实数根， ∴m+1≥0，解得m≥-1. (2)解下列方程： ①x2=169；②45-x2=0；③12y2-25=0. 解　①直接开平方，得x=±13， ∴x1=13，x2=-13. ②移项，得x2=45，直接开平方，得x=±3， 即x1=-3，x2=3. ③移项，得12y2=25，方程两边都除以12，得y2=， 直接开平方，得y=±， 即y1=，y2=-. 二、 因式分解法 问题2　(1)把下列各式因式分解： ①x2-25； 提示　x2-25=(x+5)(x-5). ②x2-2x； 提示　x2-2x=x(x-2). ③x2-6x+9； 提示　x2-6x+9=(x-3)2. ④4x(x+3)+3(x+3). 提示　4x(x+3)+3(x+3)=(4x+3)(x+3). (2)我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似地解方程(3x+1)(3x-1)=0时，可转化为两个一元一次方程3x+1=0或3x-1=0来解；试一试，解方程x2-1=0，你是如何思考的？ 提示　将方程左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0，必有x-1=0或x+1=0， 分别解这两个一元一次方程，得x1=-1，x2=1. 知识梳理 1.因式分解法： 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法的基本步骤： (1)将方程变形，使方程的右边为零； (2)将方程的左边因式分解； (3)根据如果ab=0，那么必有a=0或b=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 例2　(课本P22例2)解下列方程： (1)3x2+2x=0； (2)5x(x-3)-10(x-3)=0. 解　(1)方程左边分解因式，得x(3x+2)=0. 所以x=0或3x+2=0， 得x1=0，x2=-. (2)方程左边分解因式，得 5(x-3)(x-2)=0. 所以x-3=0或x-2=0， 得x1=3，x2=2. 跟踪训练2　(1)小明解方程x2-4x=0时得出解是x=4，他遗漏的解是x=____. 0 解析　原方程分解因式可得x(x-4)=0，x=0或x-4=0， ∴x1=0，x2=4. (2)解下列方程： ①2x2-3x=0；②2x(x-2)=5(x-2). 解　①将方程左边因式分解得x(2x-3)=0， ∴x=0或2x-3=0，∴x1=0，x2=. ②2x(x-2)=5(x-2)， 2x(x-2)-5(x-2)=0， (2x-5)(x-2)=0， ∴2x-5=0或x-2=0， ∴x1=2，x2=. 课堂小结 1.方程x2-9=0的解是 A.x1=x2=3 B.x1=3，x2=-3 C.x1=x2= D.x1=，x2=- 课堂练习 √ 解析　x2-9=0，移项得x2=9，直接开平方得x=±3， 即x1=3，x2=-3. 2.一元二次方程3x2-x=0的解是 A.x=0 B.x= C.x1=0，x2=3 D.x1=0，x2= √ 解析　∵3x2-x=0，∴x(3x-1)=0， ∴x1=0，x2=. 课堂练习 3.直接开平方法解下列方程： (1)2x2=10；(2)x2-8=0. 解　(1)由题意得，x2=5，x=±， ∴x1=，x2=-. (2)x2-8=0. 则x2=8， ∴x=±2， ∴x1=2，x2=-2. 课堂练习 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2+5x=0； (2)(x-5)(x-6)=x-5. 解　(1)原方程转化为x(x+5)=0，∴x=0或x+5=0， ∴原方程的解为x1=0，x2=-5. (2)原方程转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0，∴(x-5)[(x-6)-1]=0， ∴(x-5)(x-7)=0，∴x-5=0或x-7=0，∴原方程的解为x1=5，x2=7. 课堂练习 谢谢观看 $