21.2.2 配方法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（新教材）数学九年级上册 第21章 一元二次方程 21.2.2 配方法 22100 利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法. 直接开平方法和因式分解法,在解一元二次方程时，有时会遇到解法选择的问题，这时就要看谁更为简捷了． 复习导入 22100 知识模块一　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 自学互研 例1 解方程：x2 + 2x = 5. 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为 ( )2 = a 的形式，那么，怎么实现呢？ 思 考 22100 2.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征？ 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 3.填一填，并说说填写的依据. 1 1 16 4 (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 完全平方公式: 22100 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边变成一个含有未知数的完全平方式(右边是一个常数).那么，本题中，要把x2+2x=5的左边配成完全平方式，这个“适当的数”是什么呢? 【例】解方程：x2+2x=5. 【思考】要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为（ )2=a 的形式，那么，怎么实现呢? 22100 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 【例】解方程：x2+2x=5. 将一次项2x改写成2·x·1，得x2+2·x·1=5 由此（a+b）2=a2+2ab+b2可以看出，为使左边成为完全平方式， 只需在方程两边都加上12 即：x2+2·x·1+12=5+12， （x+1）2=6 现在你会解这个方程了吗？ 22100 回想两数和的平方公式，有 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）. 22100 解 原方程两边都加上 1 ，得 x2 + 2x + 1 = 6. 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 x + 1 =± . 所以 x =－1± 即 x1 =－1＋ ，x2 =－1－ . 22100 03 新知探究 探究 配方法解一元二次方程 【例】解方程：x2+2x=5. 解：原方程两边都加上1，得 x2+2x +1=6， 即 (x+1)2=6. 直接开平方，得x+1= 所以x=-1 即x1= ，x2= . 22100 总结归纳 上面的解方程，是通过将方程简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2 + 2x= 5 ( x + 1 )2 = 6. 一元二次方程 完全平方式 非负常数 22100 例1 解方程： x2 + 2x = 5. 一、配方法的概念及解法 解：原方程两边都加上 1，得   x2 + 2x + 1 = 6， 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 所以 即 显然需要将方程化为(x+n)2=p (p ≥0)的形式，怎么实现呢？ 22100 定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2 + 2x = 5 配方 (x + 1)2 = 6 开方 得根 基本思路：把方程化为 ( x + n )2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 22100 03 新知探究 x2+2x+___=(________)2 x2-2x+___=(________)2 x2+4x+___=(________)2 x2-4x+___=(________)2 x2+6x+___=(________)2 x2-6x+___=(________)2 x2+10x+___=(________)2 x2-10x+___=(________)2 1 x + 1 1 x - 1 4 x + 2 4 x - 2 9 x + 3 9 x - 3 25 x + 5 25 x - 5 【做一做】添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式 22100 03 新知探究 配方的关键：对二次项系数为1的一元二次方程x2+bx=c配方，只需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。 常数项是一次项系数一半的平方 【思考】在用配方法解二次项系数是1的一元二次方程时，添上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？ 22100 例2 用配方法解方程： (1) x2－4x + 1 = 0； 解： (1) 原方程可化为 x2 - 4x = -1. 配方 (两边同时加上 4 )，得 x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22， 即 ( x - 2 )2 = 3. 直接开平方，得 x - 2 = 所以 左边配上什么数能 成为完全平方式？说说 你的思路. 22100 配方，得 两边同除以 4，得 (2) 4x2 - 12x - 1 = 0. 解：(2) 移项，得　4x2 - 12x = 1. 直接开平方，得 所以 左边配上什么数能成为完全 平方？ 二次项系数不为1，直接配方比较麻烦，接下来怎么做呢？ 22100 03 新知探究 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 解：（1）原方程可化为 x2-4x=-1， 配方（两边都加上4），得x2-2·x·2+22=-1+22 ， 即 (x-2)2=3. 直接开平方，得x-2= 所以x1= ，x2= . 22100 总结归纳 配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤： (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义,方程两边开平方; (4)求解：解一元一次方程; (5)定解：写出原方程的解. 22100 概括 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫配方法． 22100 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项: 把常数项移到方程的右边（移项需注意改变符号）; （2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数； （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （4）变形: 方程化成 (x + n)2 = p(p≥0)形式； （5）开方求解：开平方求得方程的根. ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0) 22100 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1. 用配方法解方程 时，方程的左、右两边需同时 加上( ) C A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 返回 22100 21 2. 用配方法解一元二次方程 ，将它转化 为的形式，则 的值为( ) C A. 2 026 B. 2 027 C. D. 1 【点拨】 ， , . 返回 22100 22 思考 题（2）中，注意到 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成 (2x)2 – 2·2x·3 = 1， 可以怎样配方？试一试，并完成解答. (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 1 + 32 (2x – 3)2 = 10 直接开平方，得2x – 3＝±. 所以 x1＝＋，x2＝－. 22100 课堂小结 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？ (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 25 概念 配方法 将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 步骤 一化、二移、三配、四开、五解. 22100 谢谢大家聆听 22100 二一教育 $