专题15 整式运算中含参数六类综合题型（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册
|
2份
|
45页
|
25人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
专题15 整式运算中含参数六类综合题型
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01 利用单项式乘法求字母或代数式的值
题型02 利用单项式乘多项式求字母的值
题型03 已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型04 完全平方式中的字母参数问题
题型05 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
题型06 整式的运算中的新定义型问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点01 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式的运算法则：
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。若有同类项，一定合并同类项。
说明：
【针对训练】
【例1】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
【变式训练1】已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5
＝（10+a）x﹣2a+5，
由题意得，10+a＝0，
解得，a＝﹣10．
知识点02 多项式除以单项式
1. 多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
【针对训练】
【例2】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（ ）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3
【答案】D
【解答】解：根据长方形面积除以其一边长可得：
（3a2﹣3ab+9a）÷3a
＝3a2÷3a﹣3ab÷3a+9a÷3a
＝a﹣b+3，
故选：D．
【变式训练2】计算：
（1）（n3﹣7mn2n5）n2＝nm+n3 ；
（2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ 3x2y3﹣2y﹣4xy2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（n3﹣7mn2n5）n2，
n3n2﹣7mn2n2n5n2，
＝nm+n3；
（2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3，
＝12x4y6÷4x2y3﹣8x2y4÷4x2y3﹣16x3y5÷4x2y3，
＝3x2y3﹣2y﹣4xy2．
故填空答案：（1）nm+n3；（2）3x2y3﹣2y﹣4xy2．
知识点03 平方差公式
1. 平方差公式：
＝。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。
2. 平方差公式的特征：
两个二项式相乘。若他们其中一项相同，另一项互为相反数，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。
3. 平方差公式的几何意义：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：；图②的面积为：；
图①与图②的面积相等。所以
【针对训练】
【例3】利用乘法公式计算下列各题：
（1）（2x+y）（2x﹣y）；
（2）（5y）（5y）；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；
（4）（x）（x2）（x）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y）
＝（2x）2﹣y2
＝4x2﹣y2；
（2）（x+5y）（x﹣5y）
＝（x）2﹣（5y）2
x2﹣25y2；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）
＝（x2﹣9）（x2+9）
＝x4﹣81；
（4）（x）（x2）（x）
＝（x2）（x2）
＝x4．
【变式训练3】已知x+y＝5，x2﹣y2＝15，则x﹣y的值为（ ）
A．3 B．20 C．﹣3 D．10
【答案】A
【解答】解：∵x+y＝5，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝15，
∴．
故选：A．
知识点04 完全平方公式
4. 完全平方公式：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。
即：。可以是两个数，也可以是两个式子。
5. 完全平方公式的式子特点：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的两倍。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
6. 完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到：
。
7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【针对训练】
【例4】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
【答案】D
【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2，
∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴墨迹覆盖的这一项是±20xy，
故选：D．
【变式训练4】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
图2表示： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy和（x﹣y）2的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是 32 ．
【答案】（1）：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）8；4；
（3）32．
【解答】解：（1）图1中，由图可知，
，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
图2中，由图可知，，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴，
∵x+y＝6，x2+y2＝20，
∴xy（62﹣20）＝8，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4．
（3）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝12，
∴AC+CB＝12，
∵S1+S2＝80，
∴AC2+CB2＝80，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC⋅CB，
∴
（122﹣80）
＝32，
∴阴影部分的面积＝CD•CB＝AC•CB＝32，
即图中阴影部分的面积为32．
故答案为：32．
典例精析
题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值．
【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）
，，
又
，
故选：．
【变式1】已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
题型二 利用单项式乘多项式求字母的值
例2．若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：，
，
，
故选：．
【变式2】若对任意都成立，则 ．
【答案】1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
原式子对任意都成立，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
题型三 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值．
【答案】；
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可.
【详解】解：原式，
的展开式中不含x的二次项和一次项，
，
解得．
【变式3】定义，如．已知(n为常数)， ．
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；
(3)若A中的n满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可；
（2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可；
（3）根据，得到，结合定义，已知求解即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴；
（2）解：
∵A的代数式中不含x的一次项，
∴，
∵，
∴，
∴时， ．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
题型四 完全平方式中的字母参数问题
例4．若式子是一个完全平方式，则k= ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式4】已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
【答案】或
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M．
【详解】解：①∵，
∴，
②若中M是多项式的平方，
则；
故答案为：或．
题型五 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．
(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．
(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用
【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为
(2)
(3)市民活动区域铺设地砖的费用为元
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；
（2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解；
（2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解．
【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为
．
答：音乐喷泉池的占地面积为．
（2）解：，
∴
解得： ，
∴
（3）解：由题可得市民活动区域的面积为
．
市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，
．
当时，
答：市民活动区域铺设地砖的费用为元．
【变式5】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）．
(1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式）
(2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）
(3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)大长方形面积：；阴影部分的面积：
(3)5
【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键．
（1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解；
（2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
（3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解．
【详解】（1）解：大长方形的长：，
宽：，
故答案为：，；
（2）大长方形面积：
，
阴影部分的面积：
；
（3）当时，
由（2）得，
∴．
题型六 整式的运算中的新定义型问题
例6．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究：
（1）当时，的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义，求出，再将即可解答；
（2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案．
【详解】解：（1）
；
故答案为：；
（2）
，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【变式6】新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
，
∴，
∴，
．
1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值．
【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）
，，
又
，
故选：．
2．已知单项式与的积为，那么（ ）
A．11 B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】，
，
，，
．
故选：C．
3．若，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键．
利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可.
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
4．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系．
【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为，
因此，
面积为的长方形的长为，宽为m，
因此，
因为的值与的长无关，
即含x的项系数必须为0，
因此，
可得，
综上，m与n的数量关系为，
故选：B．
5．已知单项式，满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴．
故选：A．
6．要使中不含有的四次项，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】展开后合并同类项，令四次项的系数为零计算即可．
【详解】原式
中不含有的四次项，
，
解得：．
故本题选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减中不含某项问题，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．
7．若的乘积中不含的一次项，则________．
【答案】
【分析】将两个多项式展开后合并同类项，根据乘积中不含的一次项，可得一次项系数为，列方程求解即可．
【详解】解：，
∵乘积中不含的一次项，
∴，
解得．
8．已知，，则的值为________________．
【答案】0
【分析】先将所求式子展开，整理成含有已知和的形式，再整体代入已知数值计算即可．
【详解】解：，
∵，，
∴原式．
9．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】完全平方式为，注意两种情况即可．
【详解】解：，
∴，
解得或．
10．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：
(1)的值为_____________；
(2)若是一个完全平方式，则_____________；
(3)已知，且，求的值．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键．
（1）根据题目中给出的定义代入计算即可；
（2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可；
（3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：10；
（2）
，
是一个完全平方式，
，
，
，
故答案为：；
（3）
，
，
，
．
11．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可．
【详解】解：，
∵单项式与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，，
解得，，
∴，
故选：C．
12．我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可．
【详解】解：∵多项式除以，商式为余3，
∴，
，
∴，
解得，
∴．
13．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘多项式法则展开合并同类项，再根据不含项即项的系数为0，列方程求解即可．
【详解】解：，
，
∵展开合并后不含项，
∴项的系数为，即，
解得．
14．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
15．若是关于的完全平方式，则的值为( )
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值．
【详解】解：∵是关于的完全平方式，且，
∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得，
当时，解得，
当时，解得，
∴的值为或．
16．若是一个完全平方式，则_________．
【答案】或
【详解】解：是完全平方式，
，，
中间项满足 ，
，
解得或．
17．若实数， 满足，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可．
【详解】解：，
将，代入得，
．
18．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为，则的值为________．
【答案】8
【分析】根据展开式中不含的一次项，且的系数为，求得m、n值，然后代入计算即可求解．
【详解】解：，
∵展开式中不含的一次项，且的系数为，
∴，，
解得，，
∴．
19．若，，则____________．
【答案】1
【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝，
当 和 时，
原式．
故答案为：．
20．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为．
已知．
(1)求的值；
(2)若与的积的展开式中不含项，求n的值；
(3)已知，且，求代数式的值．
【答案】(1)36
(2)
(3)1
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）先根据单项式与多项式的乘法法则化简，然后令的系数等于0求解即可；
（3）根据得，根据得，从而得出，则，，然后降次代入即可求解．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：
，
∵与的积的展开式中不含项，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
．
21．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（ ）
①； ②； ③．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．
根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性．
【详解】解：对于结论①：
，
∴ 结论①错误．
对于结论②：
，
，
．
∴ 结论②正确．
对于结论③：
，
同理，
．
∴ 结论③正确．
综上，正确结论有②和③，共2个．
故选：B．
22．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（ ）
①当与的乘积不含项时，；
②；
③当能被整除时，；
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可．
【详解】①由题意，
，
，
∵乘积不含项，∴，解得，故①错误．
②已知，
令，得：左边，右边，
∴，整理得 ，
令，左边，右边，
∴，代入得，故②正确．
③若多项式能被整除，
根据多项式整除性质，时．代入得，
整理得，故③正确．
综上，正确的结论共2个．
23．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先推导两个连续正奇数的平方差的性质，再逐一分析三个说法的正确性．
【详解】解：设两个连续正奇数为和（为正整数），
则它们的平方差为，故所有均为的正整数倍．
①由上述推导，是两个连续正奇数的平方差，必为的整数倍，故①正确；
②当时，，且，均为的正整数倍．
设，（为正整数，），则，即．
满足条件的有：，共组，对应个整式，故②正确；
③当时，，已知，故，且，均为的倍数．
设（为正整数，因），则，由得。
因是的倍数，除以余，故除以余，即为奇数，可取，对应．
时，，舍去；
时，，舍去；
时，，结合且是的倍数，得．
此时即，又，解得，．
多项式为完全平方式，则．
时，，结合且是的倍数，得或．
时，，，解得，，则．
时，，，解得，，则．
所有的和为，故③错误．
综上，正确的有个．
24．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为__________．
【答案】
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，然后可得，再代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数，
甲袋：（个），
乙袋：（个），
丙袋：（个），
∵此时三只袋中球的个数都相同，
∴，
整理得，
解得：，，
，则．
25．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________．
【答案】5或
【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果．
【详解】解：
，
∵多项式，
∴，，，，，，
∵，，，，，均为整数，
∴或，
当时，则，结合可得，或，，
当时，则，结合可得，，或，，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，；
当时，则，结合可得，，或，，
当时，则，结合可得，，或，，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，，
当，，，时，；
综上所述，或．
26．设实数满足则的所有可能值为___________．
【答案】
【分析】对已知等式两两作差因式分解，得到两种情况分别讨论，排除矛盾情况后计算得结果.
【详解】解：已知，
将前两个等式作差移项得：，
因式分解得，
整理得，
同理可得，，
分两种情况讨论：
1. 若，
设，将三个已知等式相加得：
，
即，
又，
将代入得：，
解得，该情况成立；
2. 若，则,，，
解得，
代入已知等式得，矛盾，该情况舍去；
综上，的所有可能值为.
27．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：．
(1)求的值；
(2)若是一个完全平方式，求常数的值；
(3)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给定义计算即可；
（2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案；
（3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，
，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
专题15 整式运算中含参数六类综合题型
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01 利用单项式乘法求字母或代数式的值
题型02 利用单项式乘多项式求字母的值
题型03 已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型04 完全平方式中的字母参数问题
题型05 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
题型06 整式的运算中的新定义型问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点01 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式的运算法则：
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。若有同类项，一定合并同类项。
说明：
【针对训练】
【例1】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【变式训练1】已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
知识点02 多项式除以单项式
1. 多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，用多项式的每一项去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
【针对训练】
【例2】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（ ）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3
【变式训练2】计算：
（1）（n3﹣7mn2n5）n2＝ ；
（2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ ．
知识点03 平方差公式
1. 平方差公式：
＝。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。
2. 平方差公式的特征：
两个二项式相乘。若他们其中一项相同，另一项互为相反数，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。
3. 平方差公式的几何意义：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：；图②的面积为：；
图①与图②的面积相等。所以
【针对训练】
【例3】利用乘法公式计算下列各题：
（1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（5y）（5y）；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x）（x2）（x）．
【变式训练3】已知x+y＝5，x2﹣y2＝15，则x﹣y的值为（ ）
A．3 B．20 C．﹣3 D．10
知识点04 完全平方公式
4. 完全平方公式：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。
即：。可以是两个数，也可以是两个式子。
5. 完全平方公式的式子特点：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的两倍。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
6. 完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到：
。
7. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【针对训练】
【例4】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
【变式训练4】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy和（x﹣y）2的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是 ．
典例精析
题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1】已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
题型二 利用单项式乘多项式求字母的值
例2．若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式2】若对任意都成立，则 ．
题型三 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值．
【变式3】定义，如．已知(n为常数)， ．
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；
(3)若A中的n满足，且，求的值．
题型四 完全平方式中的字母参数问题
例4．若式子是一个完全平方式，则k= ．
【变式4】已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
题型五 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．
(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．
(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用
【变式5】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）．
(1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式）
(2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）
(3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值．
题型六 整式的运算中的新定义型问
例6．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究：
（1）当时，的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【变式6】新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知单项式与的积为，那么（ ）
A．11 B．5 C．1 D．
3．若，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
4．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知单项式，满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．要使中不含有的四次项，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若的乘积中不含的一次项，则________．
8．已知，，则的值为________________．
9．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值）
10．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：
(1)的值为_____________；
(2)若是一个完全平方式，则_____________；
(3)已知，且，求的值．
11．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：5除以3商1余2．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．
13．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
14．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．6
15．若是关于的完全平方式，则的值为( )
A．或 B．或 C． D．
16．若是一个完全平方式，则_________．
17．若实数， 满足，则代数式的值为________．
18．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为，则的值为________．
19．若，，则____________．
20．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为．
已知．
(1)求的值；
(2)若与的积的展开式中不含项，求n的值；
(3)已知，且，求代数式的值．
21．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（ ）
①； ②； ③．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
22．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（ ）
①当与的乘积不含项时，；
②；
③当能被整除时，；
A．个 B．个 C．个 D．个
23．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为__________．
25．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________．
26．设实数满足则的所有可能值为___________．
27．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：．
(1)求的值；
(2)若是一个完全平方式，求常数的值；
(3)若，且，求的值．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
