第15章 轴对称 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学八年级上册易错题重难点培优讲义
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内容正文：
第15章 轴对称
知识点1：轴对称图形与两个图形成轴对称
名称
轴对称图形
两个图形成轴对称
对象
一个图形
两个图形
含义
沿一条直线折叠，直线两旁部分互相重合
沿一条直线折叠，两图形完全重合
对称轴
过图形的某条直线，至少一条
在两图形之间，只有一条
联系
成轴对称的两个图形看成一个整体是轴对称图形；一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形则成轴对称
知识点2：轴对称的性质
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。
3.轴对称变换的实质是翻折，变换前后图形的形状、大小不变。
知识点3：作轴对称图形与找对称轴
1.作轴对称图形：找特殊点→画特殊点的对称点→依次连接，即得对称图形。
2.找对称轴：连接任意一对对应点，作其垂直平分线，该线即对称轴。
3.对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。
知识点4：关于坐标轴对称的点的坐标
对称轴
点（x，y）的对称点
关于x轴对称
（x，－y）（横坐标不变，纵坐标互为相反数）
关于y轴对称
（－x，y）（纵坐标不变，横坐标互为相反数）
知识点5：线段垂直平分线的性质与判定
类别
内容
性质
垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（PA=PB）
判定
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识点6：等腰三角形的性质
1.定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的边叫腰。
2.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
3.三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
4.等腰三角形的两腰上的中线、高相等，两底角的平分线相等。
知识点7：等腰三角形的判定
1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3.注意：未判定出是等腰三角形之前，不能用"底角""腰"这些名词。
知识点8：等边三角形的性质与判定
类别
内容
性质
三边相等，三个内角都等于60°，是轴对称图形有三条对称轴，具备等腰三角形一切性质
判定
三边相等；三角相等；有一个角是60°的等腰三角形
知识点9：含30°角的直角三角形的性质
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2.该性质仅适用于含30°角的直角三角形。
3.常用于计算或证明线段的倍分关系（如斜边=2×短直角边）。
知识点10：轴对称求最短路径与易错警示
1.将军饮马：两点在直线同侧，求直线上一点使最小——作对称点、化折为直，依据"两点之间线段最短"。
易错点
错误理解
正确理解
三线合一
任意三角形中某线既垂直又平分
仅在等腰（等边）三角形中顶角平分线、底边中线、底边高重合
坐标对称
混淆x轴、y轴对称
关于x轴对称变纵坐标、关于y轴对称变横坐标
等腰分类
漏掉腰/底、顶角/底角的多种情况
分类讨论并验证三边关系
最短路径
直接连两点
同侧时先作对称点再连线
【易错题型】
【题型1】等腰三角形中的分类讨论
1.易错点总结
（1）已知两边求周长时，未讨论哪条边是腰、哪条是底；
（2）已知一角求角时，未分顶角、底角；
（3）腰上的高或角平分线夹角，未分位置；
（4）忽略三角形三边关系（两边之和大于第三边）。
2.纠错技巧
（1）已知两边：分别假设为腰，验证三边关系；
（2）已知一角：分顶角、底角两种情况；
（3）腰上的高：分顶角锐角、钝角两类；
（4）画图辅助，确保不重不漏。
【例题1】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】未明确的角是顶角还是底角，需分类讨论．
【详解】解：当的角为底角时，底角为．
当的角为顶角时，底角为．
【变式题1-1】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】C
【分析】分的角为顶角、底角两种情况，根据等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，底角度数为，
当的角为等腰三角形的顶角时，底角度数为，
综上，这个等腰三角形的底角度数为或．
【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是_______；若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是 ______．
【答案】 或
【分析】已知内角为钝角时，该角无法作为等腰三角形的底角，只能为顶角，结合三角形内角和与等腰三角形两底角相等的性质计算底角；已知内角为锐角时，需分该角为顶角、该角为底角两种情况验证，排除不符合三角形内角和的情况后得到对应底角度数．
【详解】解：首先分析已知内角为的情况：
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为，
若为底角，则两个底角的和为，大于，
不符合三角形内角和定理，该情况不成立.
只能为等腰三角形的顶角，
此时底角度数为．
再分析已知内角为的情况：
分两种情况讨论：
情况1：若为等腰三角形的顶角，
此时底角度数为，
情况2：若为等腰三角形的底角，
等腰三角形的两个底角相等，
另一个底角也为，此时顶角度数为，符合三角形内角和定理.
此时底角度数为．
综上，当已知内角为时，等腰三角形的底角度数为或．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，是线段上的一个动点． 将沿翻折，点B 的对应点为，连接，当是等腰三角形时，的度数为 _________________．
【答案】或
【分析】设，进而可得，，，然后根据等腰三角形的性质讨论求解即可．
【详解】解：由翻折可知，，，，
设，
，
，，
则，
，
，
∴，
又，，
，
∴，
又是等腰三角形，且，即，
当时，，即，
解得，即；
当时，,即，
解得，即；
综上，的度数为或．
【基础题型】
【题型2】判断轴对称图形与对称轴
解题技巧：
（1）沿直线折叠后两旁能重合的是轴对称图形；
（2）记住常见图形对称轴条数（线段2、角1、正方形4、圆无数等）；
（3）区分轴对称图形与两个图形成轴对称；
（4）找对称轴：连接对应点作垂直平分线。
【例题2】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）下列图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：根据轴对称图形的定义得：
A、B、D选项的图形是轴对称图形，C选项图形不是轴对称图形.
【变式题2-1】.（26-27八年级上·全国·周测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形（阴影部分），则两个三角形能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合就是轴对称图形，直接判断即可得到答案．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能关于某条直线成轴对称，B选项中的图形能关于某条直线成轴对称．
【变式题2-2】.（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量，分别找出各选项的对称轴数量，选出最多的即可．
【详解】解：圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，圆的对称轴最多；
故选A．
【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴．
【答案】
画对称轴如下：
【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，作出正确的对称轴是解决本题的关键．
根据轴对称图形的定义进行画图即可．
【详解】略
【题型3】利用轴对称性质求解
解题技巧：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）对应边相等、对应角相等；
（3）对称轴垂直平分对应点连线；
（4）求周长、面积、角度时找对应关系。
【例题3】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，如图，在中，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为______度．
【答案】106
【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，平角的定义，解答即可．
【详解】解：根据折叠的性质，得，，
，
，
，
，
，
，
．
【变式题3-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质逐项分析即可得出结果．
【详解】解：根据轴对称图形的特征可知：，，，无法判断与的位置关系，
∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°．
【答案】
54
【分析】利用对称点法求周长最小值：分别作点关于、的对称点、，连接，其与、的交点即为周长最小时的、，结合已知，利用对称性质与三角形内角和推导得出的度数．
【详解】解： 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，
这条线段与、的交点就是周长最小时对应的、点，
此时的周长==，为最短值．
根据轴对称的性质：，．
在中，，
因此．
．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由点与关于对称可得出，结合的长度可求出的长度；
（2）由点与关于对称可得出，再根据即可求出线段的长．
【详解】（1）解：，关于对称，
，
，
．
（2）解：，关于对称，
，
．
【题型4】求点关于坐标轴对称的坐标
解题技巧：
（1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）由坐标描点画轴对称图形；
（4）循环轴对称变换按规律找坐标。
【例题4】.（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为________________________
【答案】
【详解】解： ，两处灯笼的位置关于轴对称，
．
【变式题4-1】.（26-27八年级上·吉林·期中）已知点，则点关于轴对称的点的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，对已知点的坐标进行对应变换即可求解. ．
【详解】解：∵ 平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标取的相反数，
∴ 所求点的坐标为．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点坐标是________，点坐标是________；
(3)与的对称轴是________．
【答案】(1)
(2)；
(3)y轴
【分析】（1）根据点A和点C的坐标确定坐标轴和原点的位置，据此作图即可；
（2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（3）根据对应点的坐标，结合关于y轴对称的点的坐标特点可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，点坐标是，点坐标是；
（3）解：∵，，
∴点A与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A与点关于y轴对称，
同理可得点C与点关于y轴对称，
∴与的对称轴是y轴．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)分别写出点，，的坐标；
【答案】(1)关于y轴对称的如图所示：
(2)，，．
【详解】（1）略
（2）解：根据轴对称的点的坐标规律：横坐标变相反数，纵坐标不变．
∴ 关于轴对称，关于轴对称，关于轴对称．
【题型5】等腰三角形的性质应用
解题技巧：
（1）等边对等角求角度；
（2）三线合一证垂直、平分；
（3）顶角底角；
（4）结合外角、角平分线转化。
【例题5】.（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，，点在边上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的性质得到和的度数，结合三角形外角的性质求出，再利用等边对等角求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图所示，和的平分线相交于，过作，交于，交于，求证：．
【答案】证明：平分，
，
平分，
，
，
，，
，，
，，
，
．
【分析】由角平分线的性质可得，，再由平行线的性质得到 ，，利用等角对等边可得线段相等，再利用等量代换可证．
【详解】略
【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，则的周长为___________．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件得出答案即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【变式题5-3】.（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明：平分，
，
又，
，，
，
∴，
为等腰三角形；
(2)24
【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理证明，得出，最后根据三角形的面积公式求出结果即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点作，如图所示：
为等腰三角形，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【提升题型】
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
解题技巧：
（1）性质：垂直平分线上的点到两端点距离相等；
（2）判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上；
（3）用性质转化线段相等；
（4）求周长时把边转化到已知线段。
【例题6】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，
∴，
∴的周长．
【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______．
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可以求出的度数．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
.
【变式题6-2】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)与的数量关系为___________；
(2)求的长；
(3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：点在边的垂直平分线上，理由如下，
如图，连接、、，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与相交于点，
∴，，
∴，
∴点在边的垂直平分线上．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为，结合（1）中结论，得出，即可得出答案；
（3）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可得出点在边的垂直平分线上．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴．
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为
∴，
由（1）可知，，
∴，即．
（3）解：点在边的垂直平分线上，理由略．
【变式题6-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵ 是 的平分线，，，
∴ ．
∵ 垂直平分 ，连接、．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
(2)2
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，利用 证明两个直角三角形全等，证出 ．
（2）先用证明 和 全等，得到 ，结合第一问 ，代入 ， 列方程，算出 ．
【详解】（1）略．
（2）解：在和中，
，
∴．
∴．
由图可知，，．
∵，
∴．
∵，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【题型7】尺规作垂直平分线及对称图形
解题技巧：
（1）尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心画弧，两弧交于两点，连线即所求；
（2）作图依据是SSS全等；
（3）作轴对称图形：找特殊点对称点再依次连接；
（4）实际应用：在边上找到两定点距离相等的点（如观景台、渡槽位置）。
【例题7】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
【分析】以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点D，连接，即为所求作．
【详解】解：∵中，，，
∴，
由作图知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，已知在中，，．
尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作的角平分线，交于D；
②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F．
【答案】
【分析】①根据角平分线的尺规作图步骤画图即可；
②根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可．
【详解】解：如图所示，图略．
【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，在上取一点（点不与点，点重合）．
(1)尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的基础上，连接，，点是与的交点．若，点到的距离为3，求点到的距离．
【答案】(1)如图，直线为所求作．
(2)3
【分析】（1）连接，分别以点，点为圆心，大于线段一半的长度为半径，分别画弧，两弧交于点，点，连接，分别交于点，交于点，则直线为所求作；
（2）连接，证明和全等，得到平分，由此可求解距离．
【详解】（1）略
（2）解：连接，如图，
点与点关于直线对称，
．
，
．
在和中，
，
．
．
平分．
点到距离相等．
点到距离为3，
点到距离为3．
【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)作一条直线，使得点关于的对称点为；
(2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上．
【答案】(1)如图，直线即为所求；
(2)如图，直线即为所求．
【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线；
（2）作出的平分线即为直线．
【详解】（1）略
（2）略
【题型8】利用轴对称性质证明
解题技巧：
（1）由对称得全等、对应边角相等；
（2）折叠问题中折痕是对称轴；
（3）用垂直平分线性质证线段相等；
（4）证线段/角相等转化为全等或对称。
【例题8】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，的高线，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，判断和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明：，是的高线，
∴，
，，
．
在和中，
．
．
(2)解：，理由如下：
，是的高线，
平分（等腰三角形三线合一），
．
由（1）知，
，
．
【分析】（1）利用高线得到直角，推导角相等，证明，证得．
（2）由、是高，根据等腰三角形三线合一得，再结合全等三角形的对应边相等，推出．
【详解】（1）略
（2），理由：略．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，垂足分别为点和点，且．
求证：平分．
【答案】证明：，
，
，，
平分．
【详解】略
【变式题8-2】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作，垂足为，求证：．
【答案】(1)证明：过点D作交于M，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：如图，过点D作交于M，
由（1）知，，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）过点D作交于M，则，进而可得，可证得，即可得到结论；
（2）过点D作交于M，结合（1）的结论得出，，即可证明结论．
【详解】（1）略；
（2）略．
【变式题8-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点．
(1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定；
(2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)证明：作交于点F，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【分析】（1）添加条件，可直接由“”证明全等；
（2）作交于点F，证明，进而证明是等边三角形，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：添加条件，可直接由“”判定，理由如下：
在和中，
，
；
（2）略
【题型9】等腰三角形的判定与证明
解题技巧：
（1）等角对等边证等腰；
（2）证等腰：证两边相等或两角相等；
（3）结合角平分线、平行线找等角；
（4）进一步证等边三角形（60°等腰或三角相等）。
【例题9】.（26-27八年级上·新疆巴州·期中）如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：是中点，
．
，
．
在和中
．
(2)
【分析】（1）利用中点得到，结合垂直条件得到直角三角形，用证明，证得；
（2）由角度关系推出是等边三角形，得到，再在中利用直角三角形性质求出．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得，
又，
，
是等边三角形．
，
是中点，
，
∵，
．
在中，角所对直角边等于斜边的一半，
．
【变式题9-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知中，，点在上，连接．
(1)设，平分，点在射线上，连接．
①如图1，若，试说明；
②如图2，若，试说明；
(2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为，求的长．
【答案】(1)证明：①∵，，平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图，在上取一点，使，连接，
由（1）知，
∴是等边三角形，
∴，，
，
，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点，使，连接，构造等边，再证，推出 ，可得 ；
（2）连接，作于点， 交的延长线于点N，由轴对称的性质得 ，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出 ，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，作于点， 交的延长线于点，
点与关于射线对称，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·江西赣州·期中）如图，已知是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．
(1)求证：垂直平分 ；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴垂直平分；
(2)15
【分析】（1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可
【详解】（1）略；
（2）解：∵是的角平分线，于点E，于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积
【变式题9-3】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当 时，是等腰三角形．
【答案】(1)证明：∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
(2)解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，是等边三角形，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
(3)或或时，是等腰三角形．
【分析】（1）首先根据全等三角形的性质，可得，且；因为是等边三角形，所以，由此可推出，结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明．
（2）由全等三角形性质得，再结合（1）中是等边三角形可得，因此可求出的度数，进而判断的形状．
（3）先分别用含的式子表示出、、的度数；再分、、三种情况，根据等腰三角形两底角相等列方程求解的值．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）知，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
【题型10】等边三角形与含30°直角三角形
解题技巧：
（1）等边三角形三内角均60°；
（2）三线合一、三条对称轴；
（3）30°角所对直角边=斜边一半；
（4）求边长、周长时找倍分关系。
【例题10】.（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质，可得，，结合，即可证明结论；
（2）过D作于H，根据三线合一以及三角形内角和定理，可得，求出的长，进而根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
如图，过D作于H，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，，为边上的动点，为边上的动点，连接，，则的最小值是__________．
【答案】7
【分析】延长至，使得，连接，作于，得出，，当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长，证明是等边三角形，进而求解即可．
【详解】解：延长至，使得，连接，作于，
∵，
∴垂直平分，
，，
∴，
当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
的最小值为7．
【变式题10-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，点为上一点．
(1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________；
(2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边．
①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值；
②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）利用等边三角形性质及三角形内角和定理求解即可；
（2）①先利用等边三角形性质和三角形内角和定理求出的度数，再数形结合表示出求值即可；
②先由等边三角形性质，结合手拉手模型证明，然后由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
∴ ，
在中，，，
∴；
（2）解：①∵是等边三角形，
∴，
，
，
在中，，，则，
；
②解： 和均为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
为等腰三角形，
分三种情况讨论：
当时，；
当时，，则；
当时，，则，
在中，，与三角形的内角和定理相悖，故该情况不成立；
综上所述，当为等腰三角形时，的度数为或．
【变式题10-3】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，和均为等边三角形，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，证明：平分．
【答案】(1)证明：和均为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
(2)
(3)证明：如图，过点作于点，于点，
，
，，
，
，
，，
点在的平分线上，即平分．
【分析】（1）利用等边三角形边相等、内角为，等角加公共角证出，用证明；
（2）由全等得到对应角相等，再结合等边三角形内角，利用三角形内角和推导求出；
（3）过点分别作、的垂线，由全等三角形面积相等、底相等推出两条垂线段相等，利用角平分线判定定理证明平分．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
在中，
；
（3）略
【培优题型】
【题型11】将军饮马与最短路径
解题技巧：
（1）作对称点，化折为直；
（2）依据两点之间线段最短；
（3）借助三角形三边关系证最小；
（4）利用垂线段最短求最值。
【例题11】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于轴的对称图形，并写出的坐标；
(2)请在轴上确定点的位置，使的值最小（标出点即可）．
【答案】(1)如图所示：
(2)点如图所示：
【分析】（1）在平面直角坐标系中分别找出点，点，点关于轴的对称点，，，依次连接即可，根据图形写出点的坐标；
（2）连接与轴的交点即为点．
【详解】（1）略；
（2）解：点和点关于轴对称，
，
，
当点，，三点共线时，的值最小．
【变式题11-1】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值．
【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图：
∵平分，
∴点必在上，
∵点关于的对称点为，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵的面积是12，，边上的高为，
∴，
解得，
∴的最小值为4．
【变式题11-2】.（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接．
∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，
∴，
∴，
∴的最小值即为的长，
∵，
∴的最小值为10．
【变式题11-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合与实践
【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点，连接，，．
∵点B、关于直线l对称，点C、在直线l上，
∴______ ，___________ ，
∴__________ ．
∵在中，，
∴____________ ，即最小．
【解决问题】
任务一
请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上）
任务二
如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹）
任务三
如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置）
【答案】任务一：，，，；
任务二：如图，即为最短路径．
任务三：如图，即为最短路径．
【分析】任务一：根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论；
任务二：分别作A、B两点关于靠近A、B两点的草地边和河边所在直线的对称点，连接两对称点，分别交草地边和河边于点C、D，连接、，将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据轴对称性质保证路径长度相等；
任务三：过点P作靠近点P的河边所在直线的垂线，在垂线上截取等于河的宽，连接，交靠近点Q的河边所在直线于点N，再过点N作河边的垂线，垂足为M，连接，则路线即为所求．
【详解】任务一：略
任务二：略
任务三：略
【题型12】动点与轴对称及等腰存在性
解题技巧：
（1）用时间表示运动路程与线段长；
（2）等腰按腰/底分类讨论；
（3）折叠、对称点构造全等；
（4）求最值时找对称点+垂线段。
【例题12】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）若，则___________；
（2）若为等边三角形，则___________．
【答案】
【分析】（1）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案；
（2）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当点在边上时，如图所示：
在等边中，，则由题意可得，
，
在中，，
，
则，解得；
当点在边上时，如图所示：
在等边中，，
，且是的一个外角，
，
即，此情况不存在；
综上所述，若，则，
故答案为：；
（2）解：当点在边上时，连接，如图所示：
在等边中，，则，
不可能为等边三角形，此情况不存在；
当点在边上时，如图所示：
在等边中，，，则由题意可得，
，
若为等边三角形，则，
，解得；
综上所述，若为等边三角形，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，涉及等边三角形的性质、含直角三角形性质、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论，数形结合是解决问题的关键．
【变式题12-1】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒．
(1)连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值；
(2)连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由．
【答案】(1)当为秒或秒时，是直角三角形
(2)
解：的大小不发生变化，，理由如下，
∵是等边三角形，
，
∵点的速度相同，
，
在和中
，
，
，
，
则．
(3)时，为等腰三角形，理由
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质．
（1）设点运动秒时，则，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可．
（2）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可；
（3）根据，得出，则，，得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
设点运动秒时，是直角三角形，
则，
①当时，
∵，
∴，
∴，即，解得，；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，解得；
故当为秒或秒时，是直角三角形．
（2）略
（3）略
【变式题12-2】.（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为．
(1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上；
(2)求出点和重合时的位置；
(3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由；
(4)当与的某一边垂直时，直接写出的值．
【答案】(1)9，
(2)点和点在点处重合
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断；
（2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
（3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值；
（4）分别就和列方程求解可得；
【详解】（1）解：∵等边的边长为，
∴，
∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时，
∴第一次回到点的时间为：，
此时运动的距离为，运动到边上，
故答案为，；
（2）解：设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：，
∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点，
故点和重合时的位置为点；
（3）解：存在，时，点、均在边上时，；
当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处，
如图，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，， ，
，
，
，
解得，符合题意．
（4）解：当点在上运动时，如图，
若，
， ，
，
，
，即，
解得；
如图，若，
由得，
解得．
当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直；
综上所述，当为或时， 与的某一边垂直；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键．
【变式题12-3】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）．
(1)求证：；
(2)设与交于点M，求的度数，并说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明：∵为等边三角形，
∴，．
由题意，，，
∴，
在和中，，，，
∴．
(2)解：．
理由：由（1）得，
∴，
∵点M在线段上，
∴，
又，
∵是在顶点M处的外角．
∴．
(3)解：存在，．
理由：，，，
若为等边三角形，则，
即，
解得：．
此时，符合题意，
∴当秒时，为等边三角形．
【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行求解即可；
（3）根据等边三角形的判定和性质，列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
同步练习
一、单选题
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字可以看作为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义逐一分析选项即可．
【详解】解：A、“能”：找不到能使图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形，不符合题意；
B、“工”字：沿竖直中线折叠，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C、“巧”：找不到能使图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形，不符合题意；
D、“匠”：找不到能使图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形，不符合题意．
2．点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点关于轴对称的点的坐标.
【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标特点得：
点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，
∴点关于轴对称的点的坐标为.
3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
二、填空题
4．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为________．
【答案】
【分析】两点纵坐标均为，已满足关于轴对称的纵坐标特征，可直接根据关于轴对称的点横坐标互为相反数的性质求解的值．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点的坐标特征为纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴．
5．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______
【答案】/度
【分析】先求出，，由折叠得出，进而求出结论．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
∴，
由折叠，，
．
6．如图，中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，则的度数是______．
【答案】75度/
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合，即可求解．
【详解】解： 的垂直平分线交于点D，垂足为E，，
∴，
，
，
．
三、解答题
7．如图，在中，，，的平分线交于点．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，已知，求的度数和的长．
【答案】(1)如图所示，线段的垂直平分线即为所求；
(2)，
【分析】（1）按要求完成尺规作图；
（2）利用三角形内角和与角平分线定义求角度；由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，
．
平分，
．
；
∵，
，
．
，，
在中，．
．
由作图可知垂直平分，
，，
，
在中，．
8．如图，在四边形中，连接．已知，．求证：点在的平分线上．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
即点在的平分线上．
【分析】根据等角对等边得到，，再证明，得到，即点在的平分线上．
【详解】略
9．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作图：画出关于轴对称的．
(2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________．
(3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小．
【答案】(1)解：如图，为所求；
(2)2，3；3，0；1，
(3)如图，点P为所求；
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）由图可直接得出点，，的坐标；
（3）连接与轴交点即为点；
【详解】（1）略
（2）解：由图可得，各点坐标为，，．
（3）解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则，
∴当点在上时的值最小．
10．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)【问题思考】如图1，若点与点重合时，求证：；
【类比探究】如图2，若点在边上，求证：；
(2)【拓展归纳】如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）．
【答案】(1)【问题思考】证明：是等边三角形，
，，
是等边三角形，，两点重合，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【类比探究】证明：作交于点，如图所示，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
(2)
【分析】（1）【问题思考】利用等边三角形的性质证明可得，再利用，从而可得结论．
【类比探究】作交于点，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质证明可得，从而可得结论；
（2）【拓展归纳】过作，交的延长线于点，证明为等边三角形，再证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）略
（2）解：是等边三角形，
，
过作，交的延长线于点，如图所示：
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
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第15章 轴对称
知识点1：轴对称图形与两个图形成轴对称
名称
轴对称图形
两个图形成轴对称
对象
一个图形
两个图形
含义
沿一条直线折叠，直线两旁部分互相重合
沿一条直线折叠，两图形完全重合
对称轴
过图形的某条直线，至少一条
在两图形之间，只有一条
联系
成轴对称的两个图形看成一个整体是轴对称图形；一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形则成轴对称
知识点2：轴对称的性质
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。
3.轴对称变换的实质是翻折，变换前后图形的形状、大小不变。
知识点3：作轴对称图形与找对称轴
1.作轴对称图形：找特殊点→画特殊点的对称点→依次连接，即得对称图形。
2.找对称轴：连接任意一对对应点，作其垂直平分线，该线即对称轴。
3.对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。
知识点4：关于坐标轴对称的点的坐标
对称轴
点（x，y）的对称点
关于x轴对称
（x，－y）（横坐标不变，纵坐标互为相反数）
关于y轴对称
（－x，y）（纵坐标不变，横坐标互为相反数）
知识点5：线段垂直平分线的性质与判定
类别
内容
性质
垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（PA=PB）
判定
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识点6：等腰三角形的性质
1.定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的边叫腰。
2.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
3.三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
4.等腰三角形的两腰上的中线、高相等，两底角的平分线相等。
知识点7：等腰三角形的判定
1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3.注意：未判定出是等腰三角形之前，不能用"底角""腰"这些名词。
知识点8：等边三角形的性质与判定
类别
内容
性质
三边相等，三个内角都等于60°，是轴对称图形有三条对称轴，具备等腰三角形一切性质
判定
三边相等；三角相等；有一个角是60°的等腰三角形
知识点9：含30°角的直角三角形的性质
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2.该性质仅适用于含30°角的直角三角形。
3.常用于计算或证明线段的倍分关系（如斜边=2×短直角边）。
知识点10：轴对称求最短路径与易错警示
1.将军饮马：两点在直线同侧，求直线上一点使最小——作对称点、化折为直，依据"两点之间线段最短"。
易错点
错误理解
正确理解
三线合一
任意三角形中某线既垂直又平分
仅在等腰（等边）三角形中顶角平分线、底边中线、底边高重合
坐标对称
混淆x轴、y轴对称
关于x轴对称变纵坐标、关于y轴对称变横坐标
等腰分类
漏掉腰/底、顶角/底角的多种情况
分类讨论并验证三边关系
最短路径
直接连两点
同侧时先作对称点再连线
【易错题型】
【题型1】等腰三角形中的分类讨论
1.易错点总结
（1）已知两边求周长时，未讨论哪条边是腰、哪条是底；
（2）已知一角求角时，未分顶角、底角；
（3）腰上的高或角平分线夹角，未分位置；
（4）忽略三角形三边关系（两边之和大于第三边）。
2.纠错技巧
（1）已知两边：分别假设为腰，验证三边关系；
（2）已知一角：分顶角、底角两种情况；
（3）腰上的高：分顶角锐角、钝角两类；
（4）画图辅助，确保不重不漏。
【例题1】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【变式题1-1】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是_______；若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是 ______．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，是线段上的一个动点． 将沿翻折，点B 的对应点为，连接，当是等腰三角形时，的度数为 _________________．
【基础题型】
【题型2】判断轴对称图形与对称轴
解题技巧：
（1）沿直线折叠后两旁能重合的是轴对称图形；
（2）记住常见图形对称轴条数（线段2、角1、正方形4、圆无数等）；
（3）区分轴对称图形与两个图形成轴对称；
（4）找对称轴：连接对应点作垂直平分线。
【例题2】.（26-27八年级上·甘肃武威·期中）下列图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·全国·周测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形（阴影部分），则两个三角形能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-2】.（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形
【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴．
【题型3】利用轴对称性质求解
解题技巧：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）对应边相等、对应角相等；
（3）对称轴垂直平分对应点连线；
（4）求周长、面积、角度时找对应关系。
【例题3】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，如图，在中，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为______度．
【变式题3-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
【题型4】求点关于坐标轴对称的坐标
解题技巧：
（1）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）由坐标描点画轴对称图形；
（4）循环轴对称变换按规律找坐标。
【例题4】.（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为________________________
【变式题4-1】.（26-27八年级上·吉林·期中）已知点，则点关于轴对称的点的坐标为_______．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点坐标是________，点坐标是________；
(3)与的对称轴是________．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)分别写出点，，的坐标；
【题型5】等腰三角形的性质应用
解题技巧：
（1）等边对等角求角度；
（2）三线合一证垂直、平分；
（3）顶角底角；
（4）结合外角、角平分线转化。
【例题5】.（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，，点在边上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图所示，和的平分线相交于，过作，交于，交于，求证：．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，则的周长为___________．
【变式题5-3】.（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的面积．
【提升题型】
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
解题技巧：
（1）性质：垂直平分线上的点到两端点距离相等；
（2）判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上；
（3）用性质转化线段相等；
（4）求周长时把边转化到已知线段。
【例题6】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______．
【变式题6-2】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)与的数量关系为___________；
(2)求的长；
(3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【变式题6-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题型7】尺规作垂直平分线及对称图形
解题技巧：
（1）尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心画弧，两弧交于两点，连线即所求；
（2）作图依据是SSS全等；
（3）作轴对称图形：找特殊点对称点再依次连接；
（4）实际应用：在边上找到两定点距离相等的点（如观景台、渡槽位置）。
【例题7】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式题7-1】.（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，已知在中，，．
尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作的角平分线，交于D；
②作线段的垂直平分线分别交于点E、交的延长线于点F．
【变式题7-2】.（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，在上取一点（点不与点，点重合）．
(1)尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的基础上，连接，，点是与的交点．若，点到的距离为3，求点到的距离．
【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法）
(1)作一条直线，使得点关于的对称点为；
(2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上．
【题型8】利用轴对称性质证明
解题技巧：
（1）由对称得全等、对应边角相等；
（2）折叠问题中折痕是对称轴；
（3）用垂直平分线性质证线段相等；
（4）证线段/角相等转化为全等或对称。
【例题8】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，的高线，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，判断和的数量关系，并说明理由．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，垂足分别为点和点，且．
求证：平分．
【变式题8-2】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作，垂足为，求证：．
【变式题8-3】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点．
(1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定；
(2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形．
【题型9】等腰三角形的判定与证明
解题技巧：
（1）等角对等边证等腰；
（2）证等腰：证两边相等或两角相等；
（3）结合角平分线、平行线找等角；
（4）进一步证等边三角形（60°等腰或三角相等）。
【例题9】.（26-27八年级上·新疆巴州·期中）如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【变式题9-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知中，，点在上，连接．
(1)设，平分，点在射线上，连接．
①如图1，若，试说明；
②如图2，若，试说明；
(2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为，求的长．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·江西赣州·期中）如图，已知是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．
(1)求证：垂直平分 ；
(2)若，求的面积．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当 时，是等腰三角形．
【题型10】等边三角形与含30°直角三角形
解题技巧：
（1）等边三角形三内角均60°；
（2）三线合一、三条对称轴；
（3）30°角所对直角边=斜边一半；
（4）求边长、周长时找倍分关系。
【例题10】.（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的面积．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，，为边上的动点，为边上的动点，连接，，则的最小值是__________．
【变式题10-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，点为上一点．
(1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________；
(2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边．
①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值；
②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数．
【变式题10-3】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，和均为等边三角形，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，证明：平分．
【培优题型】
【题型11】将军饮马与最短路径
解题技巧：
（1）作对称点，化折为直；
（2）依据两点之间线段最短；
（3）借助三角形三边关系证最小；
（4）利用垂线段最短求最值。
【例题11】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于轴的对称图形，并写出的坐标；
(2)请在轴上确定点的位置，使的值最小（标出点即可）．
【变式题11-1】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________．
【变式题11-2】.（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
【变式题11-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合与实践
【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点，连接，，．
∵点B、关于直线l对称，点C、在直线l上，
∴______ ，___________ ，
∴__________ ．
∵在中，，
∴____________ ，即最小．
【解决问题】
任务一
请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上）
任务二
如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹）
任务三
如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置）
【题型12】动点与轴对称及等腰存在性
解题技巧：
（1）用时间表示运动路程与线段长；
（2）等腰按腰/底分类讨论；
（3）折叠、对称点构造全等；
（4）求最值时找对称点+垂线段。
【例题12】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）若，则___________；
（2）若为等边三角形，则___________．
【变式题12-1】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒．
(1)连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值；
(2)连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由．
【变式题12-2】.（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为．
(1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上；
(2)求出点和重合时的位置；
(3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由；
(4)当与的某一边垂直时，直接写出的值．
若，
， ，
，
，
，即，
解得；
如图，若，
由得，
解得．
【变式题12-3】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）．
(1)求证：；
(2)设与交于点M，求的度数，并说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
同步练习
一、单选题
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字可以看作为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为________．
5．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______
6．如图，中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，则的度数是______．
三、解答题
7．如图，在中，，，的平分线交于点．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，已知，求的度数和的长．
8．如图，在四边形中，连接．已知，．求证：点在的平分线上．
9．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作图：画出关于轴对称的．
(2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________．
(3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小．
10．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)【问题思考】如图1，若点与点重合时，求证：；
【类比探究】如图2，若点在边上，求证：；
(2)【拓展归纳】如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）．
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