2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册期中复习·高频考点题型讲义（整式的加减+整式的乘除+因式分解）

期中复习 · 高频考点题型讲义 整式的加减　·　整式的乘除　·　因式分解 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册　（原卷版） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿＿＿ 板块一　第10章　整式的加减 主线：本章所有题目都在回答两个问题——“这是不是单项式／多项式”“能不能合并”。判断单项式看“乘”（数与字母的积），判断多项式看“和”（几个单项式的和）；合并同类项只认“字母相同、相同字母的指数也相同”；去括号先看括号前的符号，多重括号由内向外逐层剥；化简求值一定“先化到最简再代值”，遇到 这类条件就用“降次”把高次化为一次，不必解方程。 题型 1　整式的概念辨析（单项式、多项式、系数与次数） ① 是常数不是字母，含 的式子仍是单项式；②单独一个数或一个字母也是单项式；③分母中含字母的式子不是整式，更不是单项式；④“几次几项式”先算每一项的次数再取最高；⑤题中说“五次单项式”，往往还藏着“系数不为 ”这个条件。 1．在下列各式：，，，，，， 中，单项式有＿＿个，多项式有＿＿个，整式有＿＿个。 2．单项式 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿；多项式 是＿＿次＿＿项式，它的最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿＿。 3．若 是关于 、 的五次单项式，则 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 题型 2　同类项、合并同类项与去括号 同类项只与“字母和指数”有关，与系数、字母顺序都无关；合并同类项时系数相加、字母部分不变。去括号记两句：括号前是“”，去掉括号各项不变号；括号前是“”，去掉括号各项都变号。有多重括号时由内向外逐层去，每去一层就顺手合并一次。 4．若单项式 与 是同类项，则 ＿＿＿＿。 5．合并同类项： ＿＿＿＿。 6．化简：。 题型 3　整式的化简求值（分数系数、整体降次） 化简求值三步走：去括号→合并同类项→代值，绝不能跳步直接代。系数是分数时先通分合并，代值时代入最简式。遇到 这类条件，把 用一次式表示，再把 、 连续降次，最后 会整体消掉——这就是“整体代入”的本质。 7．先化简，再求值：，其中 ，。 8．已知 ，求 的值。 题型 4　“与字母取值无关”与错解还原 “结果与 无关”等价于“合并后所有含 的项的系数都为 ”—— 项、 项一个都不能漏。错解还原题的套路是：把看错的那一步写成等式，先还原出被求的式子，再按正确运算算出结果，切忌直接对着错误结果改符号。 9．已知 ，。 （1）化简 ； （2）若 的值与字母 的取值无关，求 、 的值； （3）在（2）的条件下，当 时，求 的值。 10．小马在计算 时，误将“”看成了“”，求得的结果为 。已知 ，求 的正确结果。 题型 5　整式的加减在几何图形中的应用 几何题先“把边翻译成式子”再动笔：剪角后盒底的长宽都要减去两侧的裁剪量；三角形的三边关系只需检验“较小的两边之和大于最大边”。算出结果后回代检验是否为正数，是这类题的最后一道保险。 11．一块长方形铁皮的长为 、宽为 （）。从它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，再把四周折起，做成一个无盖的长方体盒子。 （1）用含 、 的式子表示盒底的面积，并化简； （2）当 、 时，求盒底的面积。 12．已知一个三角形的三边长分别为 、、，其中 。 （1）用含 、 的式子表示这个三角形的周长，并化简； （2）当 、 时，判断这三条线段能否组成三角形，并说明理由。 板块二　第11章　整式的乘除 主线：幂的运算四条性质（同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方）是一切计算的根；整式乘法是“分配律 + 幂的性质”，乘法公式是它的“快捷键”。本章的真正难点不在算，而在“逆用”——把 写成 、把 看成 ，都是逆用。几何背景题则统一用“同一个图形算两次面积”建立等式。 题型 6　幂的运算性质（正用、逆用与比较大小） 四条性质要分清“指数加还是乘”：同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式都要乘方。负号的归属看指数： 的负号要跟着乘方走。比较大小先把底数或指数化成相同，再比另一个。 13．计算：（1） ＿＿＿＿；（2） ＿＿＿＿；（3） ＿＿＿＿。 14．已知 ，，求 与 的值。 15．把 、、 按从小到大的顺序排列，并用“”连接。 题型 7　整式的乘法（单项式乘多项式、多项式乘多项式、不含某项） 单项式乘多项式用分配律，逐项相乘再加；多项式乘多项式“前一个的每一项乘后一个的每一项”，合并时按某个字母降幂排队。求“不含某项”时，把展开式按该字母整理，令那一项的系数为 ，列方程求解。 16．计算：（1）；（2）。 17．若 的展开式中不含 项和 项。 （1）求 、 的值； （2）求展开式中 项的系数。 18．已知关于 的多项式 可以分解为 的形式。 （1）求 、、 的值； （2）当 时，求这个多项式的值。 题型 8　乘法公式（正用、逆用、变形链与简便计算） 平方差公式 认“一同一反”，完全平方公式认“首平方、尾平方、二倍乘积在中央”。变形链要熟：，，。简便计算的关键是凑出“乘以 型”的平方差结构。 19．计算：（1）；（2）。 20．已知 ，，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）。 21．利用乘法公式简便计算： （1）； （2）。 题型 9　乘法公式的几何背景（面积法与拼图） 这类题只有一句口诀：“同一个图形，用两种方法算面积，得到的两个式子相等”。剪拼题要盯住“剪拼前后面积不变、边长关系不变”；给面积求卡片张数，就先分解因式，把长和宽写成 的形式，再按 、、 的系数数卡片。 22．【阅读材料】把一个图形用两种不同的方法计算面积，可以得到一个恒等式，这种方法叫“面积法”。 如图 1，在一个边长为 的大正方形的右下角挖去一个边长为 的小正方形（），剩下一个“ 形”纸片；把它沿虚线剪开，可以拼成如图 2 的长方形，其长为 、宽为 。 （1）用两种方法表示图 1 中“ 形”纸片的面积，写出相应的恒等式； （2）利用（1）中的恒等式计算：； （3）若 ，，求 与 的值。 23．有 A、B、C 三种纸片：A 是边长为 的正方形，B 是长为 、宽为 的长方形，C 是边长为 的正方形。用若干张这样的纸片（不重叠、无缝隙）拼成一个长方形，拼成的长方形面积为 。 （1）把 分解因式，并写出拼成的长方形的长和宽； （2）求需要 A、B、C 三种纸片各多少张； （3）若 、，求拼成的长方形的周长。 题型 10　整式的除法（逐项除与逆运算） 单项式除以单项式：系数相除、同底数幂相减，只在被除式里出现的字母连同指数一起保留。多项式除以单项式：每一项分别除，再把商相加，不能只除第一项。逆运算题用“被除式 除式 商”还原。 24．计算：（1）；（2）。 25．已知多项式 除以 所得的商是 。 （1）求多项式 ； （2）当 、 时，求 的值。 板块三　第12章　因式分解 主线：因式分解是整式乘法的逆过程，答案必须是“几个整式的积”。所有题目的统一顺序是“一提（公因式）、二套（公式）、三十字（相乘）、四分组、五检查（是否分解彻底）”。提公因式时先看系数、再看字母、最后看“整体”（如 与 要统一成同一个整体）；检查这一步最容易被跳过，却是期中卷最常设的陷阱。 题型 11　因式分解的概念与“分解彻底” 判断是不是因式分解，只看两点：左边是多项式（和的形式），右边是几个整式的积。“分解彻底”指每个因式都不能再分解—— 分解成 才彻底，写成 之前先检查括号里还有没有平方差、完全平方。 26．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 27．分解因式：（1）；（2）。 题型 12　提公因式法与公式法的综合 提公因式三看：一看系数（取最大公约数）、二看字母（取相同字母的最低次幂）、三看整体（把 当字母看）。首项带负号时先提负号，使括号内首项为正。提出公因式后必须再看括号里能否继续用平方差、完全平方。 28．分解因式： （1）； （2）； （3）。 29．分解因式： （1）； （2）； （3）。 题型 13　十字相乘与含参分解 十字相乘的本质是“找两个数，和等于一次项系数、积等于常数项”；二次项系数不为 时，要把二次项系数也拆成两数之积，交叉相乘再相加凑一次项。含参题用“待定因式法”最快：已知一个因式，就设另一个因式为 ，展开比对系数。 30．分解因式： （1）； （2）； （3）。 31．已知关于 的二次三项式 分解因式后有一个因式是 。 （1）求 的值； （2）把 分解因式。 题型 14　因式分解的应用（简算、整除、判断图形形状） 三类应用对应三种套路：简算——凑成平方差或完全平方；整除——先把式子分解成“几个连续整数之积”，再说明它必含某个因数；判断形状——把条件移项后配方成“几个平方和为 ”，由非负性得各平方为 。 32．用因式分解的方法计算： （1）； （2）。 33．证明：对于任意整数 ，代数式 的值都能被 整除。 34．已知 、、 是 的三条边长，且满足 。 （1）判断 的形状，并说明理由； （2）若 ，求 的周长。 题型 15　换元、拆项添项与配方法 换元：把重复出现的整块式子（如 ）设为 ，降次后再分解，最后把 换回去并继续分解。拆项添项： 补一个 再减一个 ，凑成平方差； 补 同理。配方：把二次式写成“ 个平方 常数”，最小值就是那个常数。 35．分解因式：。 36．分解因式： （1）； （2）。 37．求多项式 的最小值，并求出此时 、 的值。 板块四　综合拓展（跨章交汇） 主线：期中卷的最后两题几乎不再是“纯计算”，而是先给一段文字（材料、定义、图形规律），再让你用本章的方法去解决。这类题的特点是“文字长、方法旧”：材料里一定藏着本章的某个公式或方法，读题的任务就是找出“它想让我用哪一条”。答题时要敢于分步写，把“读懂定义—模仿示例—独立推广”三步走完，即使最后一问没做完，前面两问的分数也必须拿到。 题型 16　新定义与阅读理解 新定义题按“三步走”：第一步把定义翻译成式子（把文字里的“和、积、整数”逐个写成符号）；第二步照抄示例做一遍；第三步把定义当已知条件列方程。材料阅读题则要盯住“示例的每一步用了什么方法”，然后在（1）（2）（3）里逐级加难。 38．【新定义】对于整系数二次三项式 ，如果存在两个整数 、，使得 ，就称这个二次三项式是“可拆式”，并把 叫做它的“拆分度”。例如：因为 ，所以 是可拆式，它的拆分度为 。 （1）判断 是不是可拆式；若是，求出它的拆分度； （2）若 是可拆式，求所有可能的整数 的值； （3）在（2）的条件下，求 为正整数时 的最小值，并写出此时的两个因式。 39．【阅读材料】分解因式 时，直接提公因式、套公式都不行。可以把前两项与后两项分别看成一组： 。 这种“先分组、再用公式”的方法叫分组分解法。分组的目的有两个：让每一组都能提公因式或套公式；分组之后各组之间还能继续分解。 （1）用分组分解法分解因式：； （2）分解因式：； （3）已知 、、 满足 ，求 的值。 题型 17　规律探究（周期与计数） 数字规律先写前几项、标出差值或比值，再看“差是等差”还是“按周期循环”；周期型（如 的个位、幂的末位）关键是用“总数 周期”看余数，余数为 时取周期的最后一个。图形规律则先“数清前 3 个”，把图形拆成“层”或“圈”，用求和公式化简后再回答“是否存在”类问题。 40．观察下列等式：，，，，，，…… （1）（ 为正整数）的个位数字按＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四个数字循环出现； （2）求 的个位数字； （3）求 的个位数字。 41．【图形规律】用相同的小正方形按“方阵”方式摆图案：最中间放 个小正方形，称为第 层；在它外面围一圈，称为第 层，这一圈每条边上有 个小正方形；再往外围一圈为第 层，这一圈每条边上有 个小正方形……以此类推，第 层（）每条边上有 个小正方形，四个角上的小正方形各算一次。 第 个图案由 层小正方形组成。 （1）第 层有多少个小正方形？第 层有多少个？ （2）用含 的式子表示第 个图案中小正方形的总数，并化简； （3）是否存在某个图案，它恰好由 个小正方形组成？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。 题型 18　代数与几何综合 这一类的共同点是“先列式、再运算、后解释”：几何量（周长、面积）先用整式表示，再合并同类项或做乘法，最后用“差的正负”回答“变大还是变小”。凡涉及“与某字母无关”“恒等于某值”，都要回到“按该字母合并同类项、令系数为零”这条主线。 42．一块长方形绿地，长为 米，宽为 米（）。 （1）用含 、 的式子表示这块绿地的周长和面积，并化简； （2）当 、 时，求这块绿地的面积； （3）若把长减少 、宽增加 ，绿地的面积是变大还是变小？变化了多少？请说明理由。 43．已知 ，。 （1）求 ； （2）若 ，求 的值； （3）若 的值与 的取值无关，求 的值，并求出此时 的值。 附　方法索引（考前 10 分钟速览） 把下表当作“检索目录”：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。 题号 题型 核心方法 · 公式 最容易错的一步 1~3 整式的概念辨析 单项式 数与字母的积；次数 字母指数之和；多项式看“和” 把 当字母；分母含字母仍当整式 4~6 同类项与去括号 字母同、指数同；括号前是“”各项都变号 去括号只变第一项 7~8 化简求值 先化到最简再代值；高次用低次降次 直接往分数里代；降次时漏换一次 9~10 无关型与错解还原 按字母合并，含该字母的系数全令为 只令 项系数为 ，漏掉 项 11~12 几何图形中的整式加减 先翻译边长，再算周长面积；三角形看“两边和 第三边” 剪角后忘了减两边的裁剪量 13~15 幂的运算 同底相乘指数加、幂的乘方指数乘；比较大小时化同指数 积的乘方漏乘系数；负号丢失 16~18 整式的乘法 逐项相乘、六项写全再合并；不含某项即系数为 漏交叉项；只处理一项就下结论 19~21 乘法公式 ； 中间项漏掉 ； 写成 22~23 乘法公式的几何背景 同一图形算两次面积；面积分解式即“长 宽” 分解后忘记把长、宽写成整式乘积 24~25 整式的除法 系数相除、指数相减；多项式逐项除 只除首项；逆运算时忘记乘回除式 26~27 因式分解的概念 右边必须是几个整式的积；分解要彻底 留下 就算完成 28~29 提公因式与公式法 一提二套；首项为负先提负号；整体当字母看 提负号后括号内不变号 30~31 十字相乘与含参分解 和为一次项系数、积为常数项；已知因式设 二次项系数不为 时不拆二次项 32~34 因式分解的应用 简算凑平方差；整除找连续整数；判形状配平方 配方后不说明“平方为非负数” 35~37 换元、拆项与配方 重复整体设 ；补一项再减一项造平方差 换元后忘记换回；补项与减项不相等 38~39 新定义与阅读理解 把定义翻译成式子，照示例做一遍再推广 只读不想，直接套熟悉的题型 40~41 规律探究（周期与计数） 总数 周期 组数 余数；分层求和 余数为 时取错位置；漏掉余下的项 42~43 代数与几何综合 先列式、再运算、后解释；作差判正负 只举例说明“变大”，不作差论证 —— 讲义完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习 · 高频考点题型讲义 整式的加减　·　整式的乘除　·　因式分解 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册　（解析版） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿＿＿ 板块一　第10章　整式的加减 主线：本章所有题目都在回答两个问题——“这是不是单项式／多项式”“能不能合并”。判断单项式看“乘”（数与字母的积），判断多项式看“和”（几个单项式的和）；合并同类项只认“字母相同、相同字母的指数也相同”；去括号先看括号前的符号，多重括号由内向外逐层剥；化简求值一定“先化到最简再代值”，遇到 这类条件就用“降次”把高次化为一次，不必解方程。 题型 1　整式的概念辨析（单项式、多项式、系数与次数） ① 是常数不是字母，含 的式子仍是单项式；②单独一个数或一个字母也是单项式；③分母中含字母的式子不是整式，更不是单项式；④“几次几项式”先算每一项的次数再取最高；⑤题中说“五次单项式”，往往还藏着“系数不为 ”这个条件。 1．在下列各式：，，，，，， 中，单项式有＿＿个，多项式有＿＿个，整式有＿＿个。 【答案】　；；　　【难度】基础 【分析】判断的依据只有一条：分母里有没有字母。分母含字母的式子不是整式，自然也不是单项式或多项式； 是常数， 的分母是数 ，二者都是整式。 【解答】单项式：、、，共 个； 多项式：、，共 个； 、 的分母含字母，不是整式。所以整式共 个。 【点评】看到分数先看分母——“分母有字母”一票否决； 永远是数，不是字母。 2．单项式 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿；多项式 是＿＿次＿＿项式，它的最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿＿。 【答案】　；；四；四；；　　【难度】基础 【分析】单项式的系数是它的数字因数（ 算数字），次数是所有字母的指数之和；多项式的次数取次数最高的那一项，写最高次项时要把符号一起带上。 【解答】系数为 ，次数为 ； 多项式的四项次数分别为 、、、，最高为 ，所以是四次四项式，最高次项是 ，常数项是 。 【点评】系数别把 丢掉；最高次项不带符号是最常见的扣分点。 3．若 是关于 、 的五次单项式，则 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】　B　　【难度】中等 【分析】“五次”给出方程 ；“单项式”还隐含系数不为 ，即 。 【解答】由次数为 得 ，所以 ； 又因为系数 ，即 ，所以 ，选 B。 【点评】题目只说“五次单项式”，但“单项式”三个字本身就排除了系数为 的情形。 题型 2　同类项、合并同类项与去括号 同类项只与“字母和指数”有关，与系数、字母顺序都无关；合并同类项时系数相加、字母部分不变。去括号记两句：括号前是“”，去掉括号各项不变号；括号前是“”，去掉括号各项都变号。有多重括号时由内向外逐层去，每去一层就顺手合并一次。 4．若单项式 与 是同类项，则 ＿＿＿＿。 【答案】　　　【难度】基础 【分析】同类项要求“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”，系数是多少完全不影响判断。 【解答】由同类项的定义得 ，，所以 。 【点评】系数 与 不参与判断，只要字母部分对得上就是同类项。 5．合并同类项： ＿＿＿＿。 【答案】　　　【难度】基础 【分析】按 项、 项、常数项三类分别合并，注意每一项都带着自己前面的符号搬家。 【解答】原式 。 【点评】移动项时符号跟着走，特别是常数项 不要写成 。 6．化简：。 【答案】　　　【难度】中等 【分析】三层括号由内向外剥。先算 ，中括号里的 项会恰好抵消，看起来复杂其实越算越简单。 【解答】， 所以中括号内为 ； 原式 。 【点评】命题人常让高次项“自我抵消”，老实算完内层再判断，不要提前猜结果。 题型 3　整式的化简求值（分数系数、整体降次） 化简求值三步走：去括号→合并同类项→代值，绝不能跳步直接代。系数是分数时先通分合并，代值时代入最简式。遇到 这类条件，把 用一次式表示，再把 、 连续降次，最后 会整体消掉——这就是“整体代入”的本质。 7．先化简，再求值：，其中 ，。 【答案】　　　【难度】中等 【分析】括号前是“”的，去括号后括号内每一项都要变号；系数是分数的，先合并再代值。 【解答】原式 。 当 ， 时，原式 。 【点评】化到 再代值，比一开始就往分数里代省一半计算量。 8．已知 ，求 的值。 【答案】　　　【难度】较难 【分析】不必解方程。由 得 ，再用它把 也降到一次，三次式就变成一次式。 【解答】由 得 。 所以原式 。 【点评】“高次用低次表示”是整体代入的核心，连续降次两次即可；直接求根会把题做复杂。 题型 4　“与字母取值无关”与错解还原 “结果与 无关”等价于“合并后所有含 的项的系数都为 ”—— 项、 项一个都不能漏。错解还原题的套路是：把看错的那一步写成等式，先还原出被求的式子，再按正确运算算出结果，切忌直接对着错误结果改符号。 9．已知 ，。 （1）化简 ； （2）若 的值与字母 的取值无关，求 、 的值； （3）在（2）的条件下，当 时，求 的值。 【答案】　（1）；（2），；（3）　　【难度】较难 【分析】先按 合并同类项，把结果整理成“（含 的系数） 幂”的形式；“与 无关”要求这些系数同时为 。 【解答】（1） 。 （2）由题意 且 ，得 ，。 （3）当 时，。 【点评】无关型要“按 归类”， 项和 项都要令系数为 ；只处理 项是最常见的漏解。 10．小马在计算 时，误将“”看成了“”，求得的结果为 。已知 ，求 的正确结果。 【答案】　　　【难度】中等 【分析】错解实际算出的是 。先用这个结果减去 把 还原出来，再算 。 【解答】由 得 ； 所以 。 【点评】错解题先“还原”，别在错误结果上直接改符号——那等于把错误又算了一遍。 题型 5　整式的加减在几何图形中的应用 几何题先“把边翻译成式子”再动笔：剪角后盒底的长宽都要减去两侧的裁剪量；三角形的三边关系只需检验“较小的两边之和大于最大边”。算出结果后回代检验是否为正数，是这类题的最后一道保险。 11．一块长方形铁皮的长为 、宽为 （）。从它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，再把四周折起，做成一个无盖的长方体盒子。 （1）用含 、 的式子表示盒底的面积，并化简； （2）当 、 时，求盒底的面积。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】较难 【分析】剪去四个角后，盒底的长和宽都比原铁皮少了 ，先分别表示出盒底的长与宽，再相乘。 【解答】（1）盒底的长 ，盒底的宽 ； 所以盒底面积 。 （2）当 、 时，面积 。 【点评】折叠题的通用做法是“先减掉两边的裁剪量再相乘”；本题盒底宽恰好化简为 ，是命题人留下的简化点。 12．已知一个三角形的三边长分别为 、、，其中 。 （1）用含 、 的式子表示这个三角形的周长，并化简； （2）当 、 时，判断这三条线段能否组成三角形，并说明理由。 【答案】　（1）；（2）能组成三角形，理由见解析　　【难度】中等 【分析】周长就是三边相加再合并同类项；能否组成三角形只需检验“较小的两边之和大于最大边”。 【解答】（1）周长 。 （2）当 、 时，三边分别为 、、（单位）。 因为 ，即较小的两边之和大于最大边，所以能组成三角形。 【点评】判断三边能否成三角形只需一次检验，不必三个不等式全写一遍，但必须检验“最大边”。 板块二　第11章　整式的乘除 主线：幂的运算四条性质（同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方）是一切计算的根；整式乘法是“分配律 + 幂的性质”，乘法公式是它的“快捷键”。本章的真正难点不在算，而在“逆用”——把 写成 、把 看成 ，都是逆用。几何背景题则统一用“同一个图形算两次面积”建立等式。 题型 6　幂的运算性质（正用、逆用与比较大小） 四条性质要分清“指数加还是乘”：同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式都要乘方。负号的归属看指数： 的负号要跟着乘方走。比较大小先把底数或指数化成相同，再比另一个。 13．计算：（1） ＿＿＿＿；（2） ＿＿＿＿；（3） ＿＿＿＿。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】基础 【分析】三小题分别考查同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方与乘法混合。注意 ，负号不能丢。 【解答】（1）； （2）； （3）。 【点评】积的乘方要把系数也乘方；幂的乘方是“指数相乘”，别写成相加。 14．已知 ，，求 与 的值。 【答案】　；　　【难度】中等 【分析】逆用同底数幂的乘法与除法：，。 【解答】； 。 【点评】“已知低次、求高次”一律先拆成已知的幂再代入；拆不动时想幂的乘方。 15．把 、、 按从小到大的顺序排列，并用“”连接。 【答案】　　　【难度】较难 【分析】三个指数的最大公因数是 ，把每个幂都化成“某数的 次方”，再比较底数即可。 【解答】，，。 因为 ，所以 。 【点评】比较幂的大小先找指数的公因数，化到同指数后只需比底数；底数化不动时再反过来化指数。 题型 7　整式的乘法（单项式乘多项式、多项式乘多项式、不含某项） 单项式乘多项式用分配律，逐项相乘再加；多项式乘多项式“前一个的每一项乘后一个的每一项”，合并时按某个字母降幂排队。求“不含某项”时，把展开式按该字母整理，令那一项的系数为 ，列方程求解。 16．计算：（1）；（2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】基础 【分析】（1）用分配律逐项相乘，系数与系数相乘、同底数幂指数相加；（2）按 降幂把六项写全再合并，漏项是这类题的主要失分点。 【解答】（1）原式 。 （2）原式 。 【点评】多项式乘多项式一定要“六项写全再合并”，凭感觉跳项最容易漏掉中间的交叉项。 17．若 的展开式中不含 项和 项。 （1）求 、 的值； （2）求展开式中 项的系数。 【答案】　（1），；（2）　　【难度】较难 【分析】先按 降幂把展开式写全，只保留需要的几个系数即可，不必把每一项都乘出来。 【解答】展开后： 项系数为 ； 项系数为 ； 项系数为 ； 项系数为 。 （1）由不含 项得 ，所以 ； 由不含 项得 ，代入 得 。 （2） 项系数为 。 【点评】“不含某项”就是“该项系数为 ”；按降幂只盯系数，可以少写一半式子。 18．已知关于 的多项式 可以分解为 的形式。 （1）求 、、 的值； （2）当 时，求这个多项式的值。 【答案】　（1），，；（2）　　【难度】较难 【分析】先把 展开，与 逐项比对系数（待定系数法）。也可以先由常数项定 。 【解答】（1）常数项为 ，由 得 。 ， 比较系数得 ，。 （2）当 时，原式 。 【点评】待定系数法“先从常数项、最高次项下手”最快；第（2）问用因式形式代值，比展开式快得多。 题型 8　乘法公式（正用、逆用、变形链与简便计算） 平方差公式 认“一同一反”，完全平方公式认“首平方、尾平方、二倍乘积在中央”。变形链要熟：，，。简便计算的关键是凑出“乘以 型”的平方差结构。 19．计算：（1）；（2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】基础 【分析】（1）先用完全平方展开第一项、用平方差算第二项，再相减；（2）先逆用积的乘方把两个平方并成一个平方，再用平方差。 【解答】（1）原式 。 （2）原式 。 【点评】 直接展开要算四次，先合并成 一步到位。 20．已知 ，，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】中等 【分析】三次式用 变形得 ，把已知整体代入。 【解答】（1）； （2）； （3）。 【点评】三个公式共用 与 两个“零件”，把要求的式子往这两个零件上凑，永远不用求 、 本身。 21．利用乘法公式简便计算： （1）； （2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】压轴 【分析】（1）每个因式都是“”的形状，缺的是 ；而 ，乘上去式子不变，却能一路连用平方差。 （2） 正是完全平方公式的“二倍乘积”，整体就是 。 【解答】（1）原式 。 （2）原式 。 【点评】连乘型平方差的突破口是“乘一个 ”，而 使等式不变；识别“中间项是两数积的 2 倍”就能把三项并成一个平方。 题型 9　乘法公式的几何背景（面积法与拼图） 这类题只有一句口诀：“同一个图形，用两种方法算面积，得到的两个式子相等”。剪拼题要盯住“剪拼前后面积不变、边长关系不变”；给面积求卡片张数，就先分解因式，把长和宽写成 的形式，再按 、、 的系数数卡片。 22．【阅读材料】把一个图形用两种不同的方法计算面积，可以得到一个恒等式，这种方法叫“面积法”。 如图 1，在一个边长为 的大正方形的右下角挖去一个边长为 的小正方形（），剩下一个“ 形”纸片；把它沿虚线剪开，可以拼成如图 2 的长方形，其长为 、宽为 。 （1）用两种方法表示图 1 中“ 形”纸片的面积，写出相应的恒等式； （2）利用（1）中的恒等式计算：； （3）若 ，，求 与 的值。 【答案】　（1）；（2）；（3），　　【难度】压轴 【分析】（1）“ 形”的面积既可以看成“大正方形减小正方形”，也可以看成“拼成的长方形”，两者相等即得平方差公式的几何解释。 （3）先用平方差公式求出 ，再用 与 求出 、。 【解答】（1）图 1 面积为 ，图 2 面积为 ，所以 。 （2）。 （3）由 且 得 ； 于是 ，，所以 。 【点评】平方差公式的两种用法：正向“算差”、反向“拆差因式”；已知 、 中的两个，第三个必可求。 23．有 A、B、C 三种纸片：A 是边长为 的正方形，B 是长为 、宽为 的长方形，C 是边长为 的正方形。用若干张这样的纸片（不重叠、无缝隙）拼成一个长方形，拼成的长方形面积为 。 （1）把 分解因式，并写出拼成的长方形的长和宽； （2）求需要 A、B、C 三种纸片各多少张； （3）若 、，求拼成的长方形的周长。 【答案】　（1），长为 、宽为 ；（2）A 型 张、B 型 张、C 型 张；（3）　　【难度】压轴 【分析】拼成的长方形面积等于各纸片面积之和，所以“面积的分解式”就是“长 宽”。把 十字相乘即可。 【解答】（1），所以拼成的长方形长为 、宽为 。 （2）把 展开： 的系数为 ， 的系数为 ， 的系数为 ， 所以 A 型 张、B 型 张、C 型 张。 （3）当 、 时，长为 、宽为 ，周长 。 【点评】“面积—拼图”题的桥梁是分解因式：分解出的两个因式就是长和宽，展开后的三个系数就是三种纸片的张数。 题型 10　整式的除法（逐项除与逆运算） 单项式除以单项式：系数相除、同底数幂相减，只在被除式里出现的字母连同指数一起保留。多项式除以单项式：每一项分别除，再把商相加，不能只除第一项。逆运算题用“被除式 除式 商”还原。 24．计算：（1）；（2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】基础 【分析】单项式除法把系数、同底数幂分别相除；多项式除以单项式要“逐项除、再相加”。 【解答】（1）； （2）。 【点评】多项式除以单项式必须每一项都除，只除首项是最典型的错误。 25．已知多项式 除以 所得的商是 。 （1）求多项式 ； （2）当 、 时，求 的值。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】中等 【分析】由“被除式 除式 商”直接还原，用单项式乘多项式计算；第（2）问把值代入还原后的式子，注意 。 【解答】（1）。 （2）当 、 时，。 【点评】逆运算题先写出“被除式 除式 商”再算；代入负数的奇次幂最容易出符号错。 板块三　第12章　因式分解 主线：因式分解是整式乘法的逆过程，答案必须是“几个整式的积”。所有题目的统一顺序是“一提（公因式）、二套（公式）、三十字（相乘）、四分组、五检查（是否分解彻底）”。提公因式时先看系数、再看字母、最后看“整体”（如 与 要统一成同一个整体）；检查这一步最容易被跳过，却是期中卷最常设的陷阱。 题型 11　因式分解的概念与“分解彻底” 判断是不是因式分解，只看两点：左边是多项式（和的形式），右边是几个整式的积。“分解彻底”指每个因式都不能再分解—— 分解成 才彻底，写成 之前先检查括号里还有没有平方差、完全平方。 26．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】　C　　【难度】基础 【分析】因式分解要求“把多项式化成几个整式的积”。A 是把积展开成和，方向反了；B、D 的右边都还带着“”“”，是部分变形，不是积的形式。 【解答】A 是整式乘法；B 的右边含“”，不是积；D 的右边是平方差的形式，没有完成分解； 只有 C 把二次三项式化成了完全平方的积，符合定义，故选 C。 【点评】看到等号右边还有“”“”连着两项的，一律不是因式分解。 27．分解因式：（1）；（2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】基础 【分析】两题都要“先提公因式，再套公式”。（1）提出 后括号里是平方差；（2）提出 后括号里是完全平方。 【解答】（1）； （2）。 【点评】只写到 属于“分解不彻底”，期中卷按错处理。 题型 12　提公因式法与公式法的综合 提公因式三看：一看系数（取最大公约数）、二看字母（取相同字母的最低次幂）、三看整体（把 当字母看）。首项带负号时先提负号，使括号内首项为正。提出公因式后必须再看括号里能否继续用平方差、完全平方。 28．分解因式： （1）； （2）； （3）。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】中等 【分析】（1）首项为负，先提负号，公因式取 ；（2）把 看成一个整体 ，式子就是 ；（3）先提 ，括号里是平方差，还能继续分解。 【解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 。 【点评】（2）的“整体思想”是关键：把 当字母，就能直接套完全平方；（1）提负号后括号内各项都要变号。 29．分解因式： （1）； （2）； （3）。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】较难 【分析】（1）先提 ，剩下 用平方差，且每个因式都要检查能否再分；（2）整体是“平方减平方”，用平方差后两个括号里各是完全平方；（3）前两项一组、后两项一组，分组后提公因式 。 【解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 。 【点评】（2）分解后一定要回看每个因式；（3）的分组不是随意的——要保证分组后“各组能分解，且组间还有公因式”。 题型 13　十字相乘与含参分解 十字相乘的本质是“找两个数，和等于一次项系数、积等于常数项”；二次项系数不为 时，要把二次项系数也拆成两数之积，交叉相乘再相加凑一次项。含参题用“待定因式法”最快：已知一个因式，就设另一个因式为 ，展开比对系数。 30．分解因式： （1）； （2）； （3）。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】中等 【分析】（1）找积为 、和为 的两数： 与 ；（2）二次项系数 拆成 ，常数项 拆成 ，交叉相乘凑 ；（3）把 当作常数，二次项拆 ，常数项 拆 。 【解答】（1）； （2）； （3）。 【点评】写完一定要“乘回去”验一次；含两个字母时，把其中一个当常数，十字相乘照样适用。 31．已知关于 的二次三项式 分解因式后有一个因式是 。 （1）求 的值； （2）把 分解因式。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】较难 【分析】因为二次项系数是 、常数项是 ，另一个因式的一次项系数只能是 、常数项只能是 ，设为 再比对系数即可。 【解答】（1）设 ，展开得 。 比较常数项：，得 ；比较一次项：。 （2）所以 。 【点评】已知一个因式时，“设另一个因式 + 比对系数”比十字相乘试数更稳，尤其二次项系数不为 的时候。 题型 14　因式分解的应用（简算、整除、判断图形形状） 三类应用对应三种套路：简算——凑成平方差或完全平方；整除——先把式子分解成“几个连续整数之积”，再说明它必含某个因数；判断形状——把条件移项后配方成“几个平方和为 ”，由非负性得各平方为 。 32．用因式分解的方法计算： （1）； （2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】中等 【分析】（1）两项都含 ，提公因式即可；（2）分子是平方差，分解后与分母约分。 【解答】（1）原式 ； （2）原式 。 【点评】数字很大的“计算题”几乎都是因式分解题；先看有没有公因式，再看能不能凑平方差。 33．证明：对于任意整数 ，代数式 的值都能被 整除。 【答案】　证明见解析　　【难度】压轴 【分析】先提公因式 ，再把括号里的二次三项式十字相乘；分解后会出现“两个连续整数之积”，而连续两整数之积必为偶数。 【解答】。 因为 与 是连续两个整数，其中必有一个是偶数，所以 能被 整除； 于是 能被 整除，再乘上整数 后仍能被 整除。 所以对任意整数 ， 都能被 整除。 【点评】整除题的完整链条是“分解 → 找出必含的因数 → 说明这个因数一定存在”，三步缺一不可。 34．已知 、、 是 的三条边长，且满足 。 （1）判断 的形状，并说明理由； （2）若 ，求 的周长。 【答案】　（1） 是等边三角形；（2）　　【难度】压轴 【分析】把 拆成 ，就能配成两个完全平方之和；由“平方的非负性”，两个平方都只能为 。 【解答】（1）原等式可写为 ，即 。 因为 ，，它们的和为 只能是各自为 ， 所以 且 ，即 ， 是等边三角形。 （2）当 时，，周长 。 【点评】“拆中间的 ”是配方题的标准起手式；看到“平方和等于 ”就要立刻想到非负性。 题型 15　换元、拆项添项与配方法 换元：把重复出现的整块式子（如 ）设为 ，降次后再分解，最后把 换回去并继续分解。拆项添项： 补一个 再减一个 ，凑成平方差； 补 同理。配方：把二次式写成“ 个平方 常数”，最小值就是那个常数。 35．分解因式：。 【答案】　　　【难度】中等 【分析】 反复出现，设为 后原式变成 ，十字相乘得 ，再把 换回并各自分解。 【解答】设 ，则原式 。 换回得 。 【点评】换元后别忘了“换回去再分解”，四个一次因式才是最终答案。 36．分解因式： （1）； （2）。 【答案】　（1）；（2）　　【难度】压轴 【分析】两题都不能直接套公式，要用“拆项添项”造出平方差：（1）补 减 ；（2）补 减 。 【解答】（1）原式 。 （2）原式 。 【点评】拆项添项的原则是“补上的项和减去的项相等”，补完正好凑成完全平方，再整体当平方差处理。 37．求多项式 的最小值，并求出此时 、 的值。 【答案】　最小值为 ，此时 ，　　【难度】压轴 【分析】把含 的项、含 的项分别配成完全平方，剩下的常数就是最小值。 【解答】原式 。 因为 ，，所以原式 ，当且仅当 且 时取等号。 所以最小值为 ，此时 ，。 【点评】配方求最值：先按字母分组配平方，再让每个平方同时为 ；别忘了写“当且仅当”的条件。 板块四　综合拓展（跨章交汇） 主线：期中卷的最后两题几乎不再是“纯计算”，而是先给一段文字（材料、定义、图形规律），再让你用本章的方法去解决。这类题的特点是“文字长、方法旧”：材料里一定藏着本章的某个公式或方法，读题的任务就是找出“它想让我用哪一条”。答题时要敢于分步写，把“读懂定义—模仿示例—独立推广”三步走完，即使最后一问没做完，前面两问的分数也必须拿到。 题型 16　新定义与阅读理解 新定义题按“三步走”：第一步把定义翻译成式子（把文字里的“和、积、整数”逐个写成符号）；第二步照抄示例做一遍；第三步把定义当已知条件列方程。材料阅读题则要盯住“示例的每一步用了什么方法”，然后在（1）（2）（3）里逐级加难。 38．【新定义】对于整系数二次三项式 ，如果存在两个整数 、，使得 ，就称这个二次三项式是“可拆式”，并把 叫做它的“拆分度”。例如：因为 ，所以 是可拆式，它的拆分度为 。 （1）判断 是不是可拆式；若是，求出它的拆分度； （2）若 是可拆式，求所有可能的整数 的值； （3）在（2）的条件下，求 为正整数时 的最小值，并写出此时的两个因式。 【答案】　（1）是可拆式，拆分度为 ；（2）、、；（3），两个因式为 与 　　【难度】压轴 【分析】由 可知：，。所以“可拆”等价于“常数项能拆成两个整数之积”，而 就是这两个整数的和。 （2）中 ，只需把 的所有整数分解列全，再逐对求和。 【解答】（1）因为 ，所以它是可拆式，拆分度为 。 （2）设 ，则 ，。 的整数分解有：、、、、、， 对应的和依次为 、、、、、，所以 、、。 （3）在 的正值 、、 中，最小的是 ，此时 ，，两个因式为 与 。 【点评】新定义题的第一步永远是“把定义写成式子”；本题的式子是 、，把它写出来，题目立刻变成十字相乘。 39．【阅读材料】分解因式 时，直接提公因式、套公式都不行。可以把前两项与后两项分别看成一组： 。 这种“先分组、再用公式”的方法叫分组分解法。分组的目的有两个：让每一组都能提公因式或套公式；分组之后各组之间还能继续分解。 （1）用分组分解法分解因式：； （2）分解因式：； （3）已知 、、 满足 ，求 的值。 【答案】　（1）；（2）；（3）　　【难度】压轴 【分析】（1）前三项正好是完全平方，第四项是 ，整体是平方差；（2）前三项是完全平方，后三项要看成 ，整体又是一个完全平方；（3）把常数 拆成 ，分别配给 、、。 【解答】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原等式可写为 ， 即 ，由非负性得 ，，，所以 。 【点评】分组不是乱分：要么“前三后一”凑平方差，要么“前三后三”凑完全平方；常数拆成几个平方数之和是第（3）问的关键。 题型 17　规律探究（周期与计数） 数字规律先写前几项、标出差值或比值，再看“差是等差”还是“按周期循环”；周期型（如 的个位、幂的末位）关键是用“总数 周期”看余数，余数为 时取周期的最后一个。图形规律则先“数清前 3 个”，把图形拆成“层”或“圈”，用求和公式化简后再回答“是否存在”类问题。 40．观察下列等式：，，，，，，…… （1）（ 为正整数）的个位数字按＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四个数字循环出现； （2）求 的个位数字； （3）求 的个位数字。 【答案】　（1）、、、；（2）；（3）　　【难度】压轴 【分析】（2）周期为 ，用指数除以 看余数：余 取 ，余 取 ，余 取 ，整除取 。 （3）每个周期内四个个位数字之和为 ，个位是 ，所以只需算最后不满一个周期的几项。 【解答】（1）个位数字依次为 、、、，每 个一循环。 （2），余数为 ，对应循环中的第 个数，所以 的个位数字是 。 （3），前 个周期内每组的个位数字之和为 ，个位为 ； 剩下两项为 与 ，个位数字分别为 与 ， 所以原式的个位数字为 ，即个位数字是 。 【点评】周期题的通用写法是“总数 周期 组数 余数”，求和时先算“整组的和”，再补余下的项。 41．【图形规律】用相同的小正方形按“方阵”方式摆图案：最中间放 个小正方形，称为第 层；在它外面围一圈，称为第 层，这一圈每条边上有 个小正方形；再往外围一圈为第 层，这一圈每条边上有 个小正方形……以此类推，第 层（）每条边上有 个小正方形，四个角上的小正方形各算一次。 第 个图案由 层小正方形组成。 （1）第 层有多少个小正方形？第 层有多少个？ （2）用含 的式子表示第 个图案中小正方形的总数，并化简； （3）是否存在某个图案，它恰好由 个小正方形组成？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。 【答案】　（1） 个、 个；（2）；（3）不存在，理由见解析　　【难度】压轴 【分析】第 层是“边长为 的空心方框”，四个角各算一次，所以有 个小正方形。把各层相加即得总数。 【解答】（1）第 层有 个，第 层有 个。 （2）第 个图案的小正方形总数为 。 （3）不存在。理由：当 时，；当 时，值为 。 因为 随 的增大而增大，而 ，所以不存在正整数 使总数恰为 。 【点评】图形规律要先把“第 层”的通项写出来，再求和；“不存在”类问题用“夹逼 + 单调性”说明最严密。 题型 18　代数与几何综合 这一类的共同点是“先列式、再运算、后解释”：几何量（周长、面积）先用整式表示，再合并同类项或做乘法，最后用“差的正负”回答“变大还是变小”。凡涉及“与某字母无关”“恒等于某值”，都要回到“按该字母合并同类项、令系数为零”这条主线。 42．一块长方形绿地，长为 米，宽为 米（）。 （1）用含 、 的式子表示这块绿地的周长和面积，并化简； （2）当 、 时，求这块绿地的面积； （3）若把长减少 、宽增加 ，绿地的面积是变大还是变小？变化了多少？请说明理由。 【答案】　（1）周长为 米，面积为 平方米；（2） 平方米；（3）面积变大，增加了 平方米　　【难度】较难 【分析】（1）周长用 ，面积用长乘宽再合并同类项；（2）直接代值；（3）先算出新长、新宽并求新面积，再与（1）中的面积作差，由 判断差为正。 【解答】（1）周长 米； 面积 平方米。 （2）当 、 时，面积 （平方米）。 （3）新长为 ，新宽为 ， 新面积 ； 新面积 原面积 。 因为 ，所以 ，即面积变大，增加了 平方米。 【点评】“变大还是变小”必须落到“作差后的式子符号”上，用 说明差为正，不能只凭数字举例。 43．已知 ，。 （1）求 ； （2）若 ，求 的值； （3）若 的值与 的取值无关，求 的值，并求出此时 的值。 【答案】　（1）；（2）；（3），此时 　　【难度】较难 【分析】（1）去括号、合并同类项；（2）由非负性求出 、；（3）把 按 整理成“”，与 无关即 的系数为 。 【解答】（1）。 （2）由 得 ，， 所以 。 （3）。因为它与 的取值无关，所以 ，即 ， 此时 。 【点评】第（3）问的落点是“把 提出来当系数”—— 里的 才是要令为零的东西。 附　方法索引（考前 10 分钟速览） 把下表当作“检索目录”：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。 题号 题型 核心方法 · 公式 最容易错的一步 1~3 整式的概念辨析 单项式 数与字母的积；次数 字母指数之和；多项式看“和” 把 当字母；分母含字母仍当整式 4~6 同类项与去括号 字母同、指数同；括号前是“”各项都变号 去括号只变第一项 7~8 化简求值 先化到最简再代值；高次用低次降次 直接往分数里代；降次时漏换一次 9~10 无关型与错解还原 按字母合并，含该字母的系数全令为 只令 项系数为 ，漏掉 项 11~12 几何图形中的整式加减 先翻译边长，再算周长面积；三角形看“两边和 第三边” 剪角后忘了减两边的裁剪量 13~15 幂的运算 同底相乘指数加、幂的乘方指数乘；比较大小时化同指数 积的乘方漏乘系数；负号丢失 16~18 整式的乘法 逐项相乘、六项写全再合并；不含某项即系数为 漏交叉项；只处理一项就下结论 19~21 乘法公式 ； 中间项漏掉 ； 写成 22~23 乘法公式的几何背景 同一图形算两次面积；面积分解式即“长 宽” 分解后忘记把长、宽写成整式乘积 24~25 整式的除法 系数相除、指数相减；多项式逐项除 只除首项；逆运算时忘记乘回除式 26~27 因式分解的概念 右边必须是几个整式的积；分解要彻底 留下 就算完成 28~29 提公因式与公式法 一提二套；首项为负先提负号；整体当字母看 提负号后括号内不变号 30~31 十字相乘与含参分解 和为一次项系数、积为常数项；已知因式设 二次项系数不为 时不拆二次项 32~34 因式分解的应用 简算凑平方差；整除找连续整数；判形状配平方 配方后不说明“平方为非负数” 35~37 换元、拆项与配方 重复整体设 ；补一项再减一项造平方差 换元后忘记换回；补项与减项不相等 38~39 新定义与阅读理解 把定义翻译成式子，照示例做一遍再推广 只读不想，直接套熟悉的题型 40~41 规律探究（周期与计数） 总数 周期 组数 余数；分层求和 余数为 时取错位置；漏掉余下的项 42~43 代数与几何综合 先列式、再运算、后解释；作差判正负 只举例说明“变大”，不作差论证 —— 讲义完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $