期中复习专题二 因式分解 精准押题讲义 2026-2027 学年沪教版（五四制）数学七年级上册

期中复习专题二 因式分解 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的意义，区分因式分解与整式乘法 · 掌握提公因式法，能准确找出公因式 · 熟练运用平方差公式和完全平方公式分解因式 · 掌握十字相乘法和分组分解法 · 能综合运用多种方法分解因式并解决计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式 与整式乘法互为逆变形：(a+b)(a-b)=a2-b2 分解要彻底：每个因式不能再分解为止 结果是积的形式，不能有和差 概念辨析例题：下列变形是因式分解的是：A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2) C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 解析：A是整式乘法，C右边不是积的形式，只有B是因式分解 ☆ 2.提公因式法与公式法 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取系数最大公约数和相同字母最低次幂 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 步骤：先提公因式，再用公式，直到不能再分 概念辨析例题：分解因式：3x3-12x。 解析：=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2) ☆ 3.十字相乘与分组分解 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 分组分解法：四项式二二分组或三一分组，分组后能提公因式或用公式 分组关键：分组后各组之间有公因式或能用公式 二次三项式ax2+bx+c：拆a和c交叉相乘凑一次项系数 概念辨析例题：分解因式：x2+5x+6。 解析：6=2×3，2+3=5，所以=(x+2)(x+3) ☆ 4.因式分解的应用 简便计算：利用因式分解简化大数运算 求代数式的值：先分解再整体代入 判断整除：分解后看因式 几何应用：结合面积公式分解 概念辨析例题：利用因式分解计算：20252-2025×50。 解析：=2025(2025-50)=2025×1975=3999375 📋 知识总结表 方法 适用类型 关键 提公因式法 各项有公因式 找最大公因式 平方差公式 两项平方差 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 三项完全平方式 a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法 二次三项式 拆常数项凑一次项 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的意义（第1-8题） · 判断是否因式分解 · 与整式乘法互逆 · 分解彻底 1．（2026秋•黄浦区月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C． D．ax﹣ay+a＝a（x﹣y+1） 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据定义进行判定即可求解． 【解答】解：A．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B．是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C．等式右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D．符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，理解并掌握因式分解的定义是解题的关键． 2．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　6　 ． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2）， B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3， ∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k， 解得k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用整式的除法得出另一个因式是解题关键． 3．（2025秋•虹口区校级月考）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为　1　 ． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2+mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得m﹣n的值． 【解答】解：设另一个因式为x+a， 则x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a， 由此可得， 由①得：a＝m﹣1③， 把③代入②得：n＝m﹣1， m﹣n＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解． 4．（2025秋•虹口区校级月考）已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】首先利用整式的乘法计算出等号左面的算式，按照x的降幂排列，与等号右边的式子对应，建立 【解答】解：（x+1）（x2+ax+5） ＝x3+ax2+5x+x2+ax+5 ＝x3+（a+1）x2+（a+5）x+5＝x3+bx2+3x+5， 得出a+5＝3，a+1＝b， 所以a＝﹣2，b＝﹣1． 【点评】此题考查整式的乘法，以及多项式的意义，注意对应项的指数与系数的关系． 5．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（　﹣1　 ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【考点】因式分解的意义；因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算（x﹣1）（x2+px+q），结合已知可得出关于p，q的方程，解方程即可； （2）根据题意，分别求出奇次项系数之和和偶次项系数之和，即可得出答案； （3）根据“试根法”分解即可． 【解答】解：（1）∵x3﹣5x2+4 ＝（x﹣1）（x2+px+q） ＝x3+px2+qx﹣x2﹣px﹣q ＝x3+（p﹣1）x2+（q﹣p）x﹣q， ∴p﹣1＝﹣5，﹣q＝4， ∴p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4，﹣4； （2）∵x3+6x2+11x+6的奇次项系数之和为1+11＝12，偶次项系数之和为6+6＝12， 则f（﹣1）＝0． 故答案为：﹣1； （3）把x＝﹣1代入x3+6x2+11x+6，得﹣1+6﹣11+6＝0， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b， ∴a+1＝6，b＝6， 解得：a＝5，b＝6， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+5x+6）＝（x+1）（x+2）（x+3）． 【点评】本题考查了因式分解的意义，新定义，读懂题目信息并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点2】提公因式法与公式法（第9-27题） · 找公因式 · 平方差公式 · 完全平方公式 · 先提后用 6．（2026秋•杨浦区校级月考）下列各式中，加上4x2+1，不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．﹣4x B．4x C．4x4 D．8x 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，逐一验证各选项即可得到答案． 【解答】解：A、4x2+1﹣4x＝（2x）2﹣2•2x•1+12＝（2x﹣1）2，不符合题意； B、4x2+1+4x＝（2x）2+2•2x•1+12＝（2x+1）2，不符合题意； C、4x4+4x2+1＝（2x2）2+2•2x2•1+12＝（2x2+1）2，不符合题意； D、4x2+1+8x无法利用完全平方公式分解因式，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的方法是关键． 7．（2025秋•徐汇区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】根据完全平方公式 a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【解答】解：A：常数项﹣1不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：若b＝2，则b2＝4，但2ab＝4x≠2x，故不符合题意； C：9＝32，且﹣6x＝﹣2•x•3，故符合完全平方公式，即（x﹣3）2； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 8．（2025秋•虹口区校级期中）下列各数中，不是（﹣8）2026+（﹣8）2024因数的是（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】将原式写成13×5×2×2×2×8×82022，再进行判断即可． 【解答】解：∵（﹣8）2026+（﹣8）2024 ＝（﹣8）2024•[（﹣8）2+1] ＝65×82024， ＝13×5×82024， ＝13×5×8×8×82022， ＝13×5×2×2×2×8×82022， ∴（﹣8）2026+（﹣8）2024有因数10，13，16，没有因数15， 故选：C． 【点评】本题考查提公因式分解因式，将原式写成13×5×2×2×2×8×82022是正确解答的关键． 9．（2025秋•闵行区校级期中）如果整式x2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，那么“Δ”所代表的单项式不可能是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【考点】因式分解﹣运用公式法；单项式．版权所有 【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、“Δ”所代表的单项式是2x时，x2+1+2x＝（x+1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； B、“Δ”所代表的单项式是﹣2x时，x2+1﹣2x＝（x﹣1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、“Δ”所代表的单项式是时，x2+1，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、“Δ”所代表的单项式是时，x2+1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 10．（2025秋•虹口区校级月考）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：①x2+y2，不能用公式法分解因式； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式； ③x2+2xy﹣y2，不能用公式法分解因式； ④﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 11．（2025秋•安次区期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】根据题意，公因式应该是3a2b2，解答即可． 【解答】解：∵6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3＝3a2b2（2a﹣1﹣4b）， ∴多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是3a2b2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解，熟知利用提公因式法因式分解是解题的关键． 12．（2026春•淮安期末）若长和宽分别为x和y的长方形的周长为20，面积为16，则代数式x2y+xy2的值（　　） A．36 B．80 C．160 D．320 【考点】因式分解﹣提公因式法；代数式求值．版权所有 【分析】根据长方形的周长和面积公式得到x+y和xy的值，对所求代数式提取公因式因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：由条件可知xy＝16，2（x+y）＝20，即x+y＝10， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝16×10＝160． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2026春•雁塔区校级期中）下列因式分解结果正确的是（　　） A．﹣4m3+12m2＝﹣m2（4m﹣12） B．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1） C．x2+2x+4＝（x+2）2 D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2 【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：A、﹣4m3+12m2＝﹣4m2（m﹣3），原式错误，故此选项不符合题意； B、x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），原式错误，故此选项不符合题意； C、x2+2x+4不能进行因式分解，原式错误，故此选项不符合题意； D、（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．（2026•琼海模拟）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：　（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】分两种情况讨论①当⊕＝2时，②当＝⊕4时，分别因式分解． 【解答】解：①当⊕＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）， ②当⊕＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y）， 综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）． 【点评】本题考查了平方差公式法分解因式，掌握平方差公式法分解因式的条件是解题关键． 15．（2026•荣成市校级模拟）因式分解：（a+2）（a+1）+3a+7＝　（a+3）2 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法；合并同类项；完全平方公式．版权所有 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解． 【解答】解：（a+2）（a+1）+3a+7 ＝a2+3a+2+3a+7 ＝a2+6a+9 ＝（a+3）2． 故答案为：（a+3）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2026春•莘县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝　﹣2　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】先运用提公因数法把多项式x3y+x2y2xy3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可求解． 【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴x3y+x2y2xy3 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 17．（2026秋•同步）阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）添加4x2y2，同时减去4x2y2，则可构建完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式； （2）先分组，然后用提公因式法分解因式； （3）先展开，再把4mn分成2个2mn，这样构建两个完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式． 【解答】解：（1）原式＝4x4+4x2y2+y4﹣4x2y2 ＝（2x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（2x2+y2﹣2xy）（2x2+y2+2xy）； （2）原式＝x2﹣b2﹣2ax+2ab ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）； （3）原式＝m2n2﹣m2﹣n2+1+4mn． ＝m2n2+2mn+1﹣（m2﹣2mn+n2） ＝（mn+1）2﹣（m﹣n）2 ＝（mn+1+m﹣n）（mn+1﹣m+n）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法：灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键． 18．（2026春•宿豫区期中）分解因式： （1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x． 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】（1）先变形，再提公因式5（x﹣y）即可； （2）先确定提公因式x，再提取计算即可． 【解答】解：（1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x） ＝5a（x﹣y）+15b（x﹣y） ＝5（x﹣y）（a+3b）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x ＝x（x+2y﹣1﹣2y+2） ＝x（x+1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 19．（2026秋•盘龙区校级月考）把下列各式分解因式： （1）8a3b2+12ab3c； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）； （3）4x2﹣9y2； （4）﹣x2+4xy﹣4y2． 【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可； （3）利用平方差公式分解因式即可； （4）利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）8a3b2+12ab3c＝4ab2（2a2+3bc）； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）； （3）4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）； （4）﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣公式法、提公因式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 20．（2026春•同步）把下列各式分解因式： （1）a2b2﹣2ab+1； （2）9﹣12a+4a2； （3）4x2+4x+1； （4）x2﹣6xy+9y2； （5）（a+b）2+6（a+b）+9； （6）16﹣24（x﹣y）+9（x﹣y）2； （7）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2； （8）4x2﹣4x（y﹣1）+（y﹣1）2． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用完全平方公式因式分解即可； （5）利用完全平方公式因式分解即可； （6）利用完全平方公式因式分解即可； （7）利用完全平方公式因式分解即可； （8）利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）a2b2﹣2ab+1＝（ab﹣1）2； （2）9﹣12a+4a2＝（3﹣2a）2； （3）4x2+4x+1＝（2x+1）2； （4）x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2； （5）（a+b）2+6（a+b）+9 ＝[（a+b）+3]2 ＝（a+b+3）2； （6）16﹣24（x﹣y）+9（x﹣y）2 ＝[4﹣3（x﹣y）]2 ＝（4﹣3x+3y）2； （7）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2 ＝[a﹣（b+c）]2 ＝（a﹣b﹣c）2； （8）4x2﹣4x（y﹣1）+（y﹣1）2 ＝[2x﹣（y﹣1）]2 ＝（2x﹣y+1）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【考点3】十字相乘与分组分解（第28-49题） · 十字相乘拆项 · 二二分组 · 三一分组 21．（2025秋•市中区期末）将多项式x2﹣px+100分解因式为：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q），则（p﹣q）2＝（　　） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算（p﹣q）2． 【解答】解：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q）＝x2+（q﹣5）x﹣5q， ∴﹣5q＝100，q﹣5＝﹣p， 解得p＝25，q＝﹣20， ∴原式＝[25﹣（﹣20）]2＝2025． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22．（2026春•南海区校级同步）若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（　　） A．﹣1﹣3x+4y B．1+3x﹣4y C．﹣1﹣3x﹣4y D．1﹣3x﹣4y 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】直接提取公因式﹣6ab，进而得出另一个因式． 【解答】解：∵﹣6ab+18abx+24aby＝﹣6ab（1﹣3x﹣4y）， ∴另一个因式是1﹣3x﹣4y． 故选：D． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 23．（2026秋•姑苏区校级月考）若二次三项式x2﹣mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+n），则m+n的值为　3　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】根据题意得到x2﹣mx﹣6＝（x﹣3）（x+n），再根据多项式乘多项式计算等式的右边，即可得出n﹣3＝﹣m，﹣3n＝﹣6，从而求出m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意得x2﹣mx﹣6＝（x﹣3）（x+n）， x2﹣mx﹣6＝x2+nx﹣3x﹣3n， x2﹣mx﹣6＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴n﹣3＝﹣m，﹣3n＝﹣6， ∴n＝2，m＝1， ∴m+n＝1+2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，正确计算是解题的关键． 24．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为x+1　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】设另一个因式为（x+n），整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），根据题意得： （x+5）（x+n）＝x2+（5+n）x+5n＝x2+6x+a； 所以5+n＝6， 解得n＝1， 故答案为：x+1． 【点评】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 25．（2026春•泉山区期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：x2+6x+8＝　（x+4）（x+2）　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】通过观察拼图过程，利用长方形面积的两种表示方法分解因式：左边图形总面积为x2+6x+8；右边长方形长为x+4，宽为x+2，面积为（x+4）（x+2）；左右面积相等，故x2+6x+8＝（x+4）（x+2）． 【解答】解：长方形的面积表示为： x2+2x+4x+4×2 ＝x2+6x+8； 长方形的面积也可以表示为：（x+4）（x+2）， 所以x2+6x+8＝（x+4）（x+2）． 故答案为：（x+4）（x+2）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用数形结合的思想解决问题． 26．（2026春•铜山区期中）已知多项式x2+mx+16可以分解成（x﹣4）2，则m的值是 　﹣8　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】利用完全平方公式得到x2+mx+16＝x2﹣8x+16，从而可确定m的值． 【解答】解：∵x2+mx+16可以分解成（x﹣4）2， 即x2+mx+16＝x2﹣8x+16， ∴m＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键． 27．（2026秋•杨浦区校级月考）因式分解： （1）2ab﹣3a+8b﹣12； （2）2（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）﹣20； （3）x2+2xy﹣8y2﹣7xz﹣22yz+6z2； （4）（3a﹣1）4﹣1+3a． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法．版权所有 【分析】（1）利用分组分解法分解因式； （2）把（x2﹣x）当作一个整体，再利用十字相乘法分解因式； （3）利用分组与十字相乘法分解因式； （4）先分组，提取公因式，再利用公式分解因式． 【解答】解：（1）原式＝（2ab﹣3a）+（8b﹣12） ＝a（2b﹣3）+4（2b﹣3） ＝（a+4）（2b﹣3）； （2）原式＝[2（x2﹣x）+5][（x2﹣x）﹣4] ＝（2x2﹣2x+5）（x2﹣x﹣4）； （3）原式＝（x2+2xy﹣8y2）﹣7xz﹣22yz+6z2 ＝（x+4y）（x﹣2y）﹣7xz﹣22yz+6z2 ＝（x+4y）（x﹣2y）﹣（7xz+22yz）+6z2 ＝（x+4y）（x﹣2y）﹣（6xz+xz+24yz﹣2yz）+6z2 ＝（x+4y）（x﹣2y）﹣[（6xz+24yz）+（xz﹣2yz）]+6z2 ＝（x+4y）（x﹣2y）﹣[6z（x+4y）+z（x﹣2y）]+6z2 ＝（x+4y﹣z）（x﹣2y﹣6z）； （4）原式＝（3a﹣1）4+（3a﹣1） ＝（3a﹣1）[（3a﹣1）3+1] ＝（3a﹣1）（3a﹣1+1）[（3a﹣1）2﹣（3a﹣1）+12] ＝3a（3a﹣1）（9a2﹣9a+3） ＝9a（3a﹣1）（3a2﹣3a+1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2026秋•盘龙区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣6x+10）（x2﹣6x+8）+1进行因式分解的过程． 解：设x2﹣6x＝y，则原式＝（y+10）（y+8）+1（第一步） ＝y2+18y+81（第二步） ＝（y+9）2（第三步） ＝（x2﹣6x+9）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是C ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣3）4 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【解答】解：（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式． 故答案为：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底， 设x2﹣6x＝y， 原式＝（y+10）（y+8）+1 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2 ＝（x﹣3）4， ∴因式分解的最后结果为：（x﹣3）4． 故答案为：不彻底；（x﹣3）4； （3）设x2﹣2x＝y， 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，因式分解﹣提公因式法，因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 29．（2026春•慈溪市期末）1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3． 解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）． 因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解． （1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值； （2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】（1）按要求代入指定x的值，得到关于b，c的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【解答】解：（1）取x＝0和x＝2代入， 已知x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）， 将x＝0代入等式两边，得左边＝03﹣4×0+3＝3， 右边＝（0﹣1）（0+0+c）＝﹣c， 因此3＝﹣c， 解得c＝﹣3， 将x＝2，c＝﹣3代入等式两边，得左边＝23﹣4×2+3＝3， 右边＝（2﹣1）（22+2b﹣3）＝1+2b， 因此3＝1+2b， 解得b＝1， 即； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式可得： 对于多项式x3+2x2﹣1，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）3+2×（﹣1）2﹣1＝0， 因此原式可分解为（x+1）与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为x2+bx+c，可得x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+bx+c）， 取x＝0代入等式，得左边＝﹣1，右边＝1×c＝c， 因此c＝﹣1， 取x＝1代入等式，得左边＝13+2×12﹣1＝2， 右边＝（1+1）（1+b﹣1）＝2b， 因此2＝2b， 解得b＝1， 因此x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+x﹣1） 【点评】本题考查因式分解的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 30．（2025秋•金山区校级期末）因式分解： （1）x4﹣13x2+36； （2）6ab+4a+9b+6． 【考点】因式分解﹣分组分解法．版权所有 【分析】（1）根据十字相乘法分解成（x2﹣4）（x2﹣9），再根据平方差公式分解即可； （2）先分组分解，再提取公因式即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣4）（x2﹣9） ＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝2a（3b+2）+3（3b+2） ＝（2a+3）（3b+2）． 【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 31．（2025秋•鲤城区校级期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）； 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【类比】（1）分解因式：ab+a+b+1； 【挑战】（2）若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值； （3）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b，求S的最小值． 【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】（1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解． （2）现将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，然后再解决本题． （3）先将ab﹣a﹣b﹣5＝0变形为ab＝a+b+5，再代入S，然后进行变形，得到S＝2（a+2）2+（b+1）2+6，最后探究S的最小值． 【解答】解：（1）ab+a+b+1 ＝（ab+a）+（b+1） ＝a（b+1）+（b+1） ＝（a+1）（b+1）； （2）由题得 ab﹣a﹣b+1＝5，即 （a﹣1）（b﹣1）＝5， ∵a，b为正整数且 a＞b， ∴，即， ∴a+b＝8； （3）由题得 ab＝a+b+5， S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b ＝2a2+3a+3b+15+b2+5a﹣b ＝2a2+8a+b2+2b+15 ＝2（a2+4a+4）+（b2+2b+1）+6 ＝2（a+2）2+（b+1）2+6， ∵（a+2）2≥0（b+1）2≥0， ∴S≥6，（当且仅当 a＝﹣2，b＝﹣1 时取等号）， 经验证：a＝﹣2，b＝﹣1 满足 ab﹣a﹣b﹣5＝0， 综上，S的最小值为6． 【点评】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键． 32．（2025秋•闵行区期末）因式分解：x2﹣4﹣4xy+4y2． 【考点】因式分解﹣分组分解法．版权所有 【分析】将多项式第一、三、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解，即可得到结果． 【解答】解：原式＝（x﹣2y）2﹣4 ＝（x﹣2y﹣2）（x﹣2y+2）． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 33．（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【考点】因式分解﹣分组分解法．版权所有 【分析】将式子分成2组，提取公因式（x2﹣9），再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2+2x2y﹣9﹣18y ＝（x2﹣9）+2y（x2﹣9） ＝（1+2y）（x2﹣9） ＝（1+2y）（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． 34．（2025秋•阳西县月考）请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （1）x6﹣1＝（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1　 ）； （2）x8﹣1　 ＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）； （3）将x3+x2+x+1因式分解． 【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）仿照已知等式归纳总结得出的规律，写出结果即可； （2）根据（1）中得到的规律，右侧括号内最高次项为x7，对应左侧最高次项为x8，据此求解即可； （3）根据（1）中得到的规律对x4﹣1进行因式分解，再结合平方差公式对x4﹣1进行因式分解，然后对比两式即可． 【解答】解：（1）仿照已知等式归纳总结得出的规律， 观察可知，xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+1）， 则x6﹣1＝（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）． 故答案为：x5+x4+x3+x2+x+1； （2）根据（1）中得出的规律可知：x8﹣1＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）． 故答案为：x8﹣1； （3）根据（1）中得出的规律可知：x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）， ∵x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）， ∴x3+x2+x+1＝（x2+1）（x+1）． 【点评】本题考查因式分解﹣分组分解法，因式分解﹣运用公式法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 35．（2024秋•镇平县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． （1）因式分解：2x2+4x﹣xy﹣2y； （2）因式分解：x2﹣a2+x+a； （3）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）先分组，再用提公因式法因式分解即可； （2）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可； （3）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x2+4x）﹣（xy+2y） ＝2x（x+2）﹣y（x+2） ＝（x+2）（2x﹣y）； （2）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a+1）； （3）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2） ＝x（a﹣b）+（a﹣b）2 ＝（a﹣b）（x+a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 36．（2025春•同步）把下列各式分解因式： （1）4a2﹣b2+4a﹣2b； （2）x2﹣2xy+y2﹣1； （3）9x2+6x+2y﹣y2． 【考点】因式分解﹣分组分解法．版权所有 【分析】（1）根据分组分解法将原式写成（4a2﹣b2）+（4a﹣2b），再根据平方差公式，提公因式法进行因式分解即可； （2）根据分组分解法将原式写成（x2﹣2xy+y2）﹣1，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可； （3）根据分组分解法将原式写成（9x2﹣y2）+（6x+2y），再根据平方差公式，提公因式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4a2﹣b2）+（4a﹣2b） ＝（2a+b）（2a﹣b）+2（2a﹣b） ＝（2a﹣b）（2a+b+2）； （2）原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣1 ＝（x﹣y）2﹣1 ＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）； （3）原式＝（9x2﹣y2）+（6x+2y） ＝（3x+y）（3x﹣y）+2（3x+y） ＝（3x+y）（3x﹣y+2）． 【点评】本题考查提公因式法，公式法、分组分解法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征以及分组分解法是正确解答的关键． 【考点4】因式分解的应用（第50-59题） · 简便计算 · 整体代入求值 · 整除判断 37．（2026秋•同步）利用因式分解计算： （1）1.992+1.99×0.01； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22； （3）5×34+4×34+9×32． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】（1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成32，即最后一项化为34，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【解答】解：（1）1.992+1.99×0.01 ＝1.99×（1.99+0.01） ＝1.99×2 ＝3.98； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22 ＝20.22×（49+52﹣1） ＝20.22×100 ＝2022； （3）5×34+4×34+9×32 ＝5×34+4×34+32×32 ＝5×34+4×34+34 ＝34×（5+4+1） ＝81×10 ＝810． 【点评】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 38．（2026春•邗江区期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：32　是　 “和谐数”，2026　不是　 “和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）a，b为正整数，且a＞b，若N＝（a﹣b﹣5）（a﹣b+5）是“和谐数”． ①求a﹣b的值； ②若a+b+1是“和谐数”，请说明8a﹣6b是“和谐数”． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2m﹣1和2m+1，其中m是正整数，进而表示出（2m+1）2﹣（2m﹣1）2，再将32和2026分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）①先利用平方差公式化简N的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；②利用①中的结论将a、b转化为关于k的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【解答】解：（1）一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2m﹣1和2m+1，其中m是正整数， ∴（2m+1）2﹣（2m﹣1）2 ＝4m2+4m+1﹣（4m2﹣4m+1） ＝4m2+4m+1﹣4m2+4m﹣1 ＝8m， 令8m＝32，解得m＝4，是正整数，正整数，是， ∴32是和谐数； 令8m＝2026， 解得m＝253.25，不是正整数， ∴2026不是和谐数； 故答案为：是，不是； （2）能，理由如下： 设两个正奇数分别是2k﹣1和2k+1， ∴（2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1） ＝4k2+4k+1﹣4k2+4k﹣1 ＝8k， ∴“和谐数”能被8整除； （3）①根据题意得：N＝（a﹣b﹣5）（a﹣b+5）＝（a﹣b）2﹣52， ∵N是“和谐数”， ∴a﹣b＝7； ②∵a+b+1是“和谐数”， ∴a+b+1＝8k（k为正整数）， 由①知，a﹣b＝7， ∴2b＝8k﹣8， ∴b＝4k﹣4， ∴8a﹣6b ＝8（b+7）﹣6b， ＝2b+56， ＝2（4k﹣4）+56， ＝8k+48 ＝[2（k+6）+1]2﹣[2（k+6）﹣1]2， ∴8a﹣6b是“和谐数”． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 39．（2026春•龙华区期中）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图1所示边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形片片A，1个边长为b的正方形卡片B，2个边长为a×b的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：a2+2ab+b2或（a+b）2从而验证多项式因式分解为a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为a2+2ab＝a（a+2b）　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解3a2+4ab+b2＝　（a+b）（3a+b）　 ； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． 【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景；因式分解的意义．版权所有 【分析】（1）计算长方形面积的两种表示方法：长为（a+2b），宽为a，面积为a（a+2b）；由1张正方形A（面积a2）和2张长方形C（面积2ab）组成，面积为a2+2ab．由面积相等得a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，长为（a+b），宽为（a+2b），面积为（a+b）（a+2b），也可以由1张正方形A（面积a2）、3张长方形C（面积3ab）和2张正方形B（面积b2）组成，面积为a2+3ab+b2，他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ②由3张正方形A（面积3a2）、4张长方形C（面积4ab）和1张正方形B（面积b2）组成，面积为3a2+4ab+b2，由面积相等得3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），画图时长方形的长为（3a+b），宽为（a+b）； ③求整数a、b的长 长方形面积为45，即（a+b）（3a+b）＝45，因为a、b均为正整数，所以（a+b）和（3a+b）为45的因数对，解得a＝2，b＝3． 【解答】解：（1）长方形面积：a（a+2b）， 卡片总面积：a2+2ab， 由面积相等得：a2+2ab＝a（a+2b）； 故答案为：a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①长方形面积：（a+b）（a+2b）； 卡片总面积：a2+3ab+2b2， 由面积相等得：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ②分解结果：3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）； 如图： ； 故答案为：（a+b）（3a+b）； ③因为45＝1×45＝3×15＝5×9， （a+b）（3a+b）＝45， 若或，a、b值不是正整数，不合题意， 当时， 解得：． 【点评】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、因式分解的意义，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和数形结合的思想解决问题． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解结果必须是整式乘积形式，有和差就错 · 先提公因式再用公式，有公因式一定要先提出来 · 分解要彻底，每个因式都不能再分解为止 · 十字相乘要验证：两个因式展开应等于原式 · 分组分解要预见分组后能否继续分解 【作业1】（2026秋•沙坪坝区校级同步）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2y+xy2+xy＝xy（x+y） B．x2﹣9＝﹣（9﹣x2） C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2+3x＝x（x+3） 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：x2y+xy2+xy＝xy（x+y+1），则A不符合题意， x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），则B不符合题意， （x+1）2＝x2+2x+1是乘法运算，则C不符合题意， x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业2】（2026•柳州模拟）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B．﹣x2+y2 C．﹣x2﹣y2 D．（﹣9x）2﹣（﹣y）2 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】能用平方差公式分解的式子的特点是：两个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【解答】解：A．，故不符合题意； B．﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），故不符合题意； C．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不符合平方差公式的特点，故符合题意； D．（﹣9x）2﹣（﹣y）2＝（9x）2﹣y2＝（9x+y）（9x﹣y），故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解答本题的关键． 【作业3】（2026秋•泉港区月考）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：c﹣2，c+2，（a+b）2，c2﹣4，a2+b2分别对应下列五个字：中，华，强，国，爱，现将a2（c2﹣4）+b2（c2﹣4）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱国 B．强国 C．强中华 D．爱中华 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】先提取公因式c2﹣4，再利用平方差公式分解因式，从而得到答案即可． 【解答】解：a2（c2﹣4）+b2（c2﹣4） ＝（a2+b2）（c2﹣4） ＝（a2+b2）（c﹣2）（c+2）， ∴结果呈现的密码信息可能是爱中华， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 【作业4】（2025秋•冷水江市期末）小李在计算20252025﹣20252023时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（　　） A．2025，2026，2027 B．2024，2025，2026 C．2023，2024，2025 D．2022，2023，2024 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】先提取公因式20252023，括号里是（20252﹣1），再利用平方差公式分解因式，求出计算结果能被三个连续整数整除，表示出三个数即可． 【解答】解：20252025﹣20252023 ＝20252023（20252﹣1） ＝20252023（2025+1）（2025﹣1） ＝20252023×2026×2024 ＝2024×2025×2026×20252022， 20252025﹣20252023计算结果能被2024×2025×2026整除． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式． 【作业5】（2025秋•台江区期末）对于任意整数n，多项式（n+4）2﹣（n+2）2都能被（　　）整除． A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】因式分解的应用；整式的除法．版权所有 【分析】利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【解答】解：（n+4）2﹣（n+2）2 ＝[（n+4）+（n+2）]×[（n+4）﹣（n+2）] ＝2（2n+6） ＝4（n+3）， ∴多项式（n+4）2﹣（n十2）2都能被4整除． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【作业6】（2025秋•德阳期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，与题中条件对照，求出m，n的值，代入多项式求值即可． 【解答】解：∵（x+2）（x﹣1） ＝x2﹣x+2x﹣2 ＝x2+x﹣2 ＝x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴m+n＝1﹣2＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据多项式乘多项式展开化简，与题中条件对照，求出m，n的值是解题的关键． 【作业7】（2026春•五华县期末）若x2+ax+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．4 B．4或﹣4 C．8 D．8或﹣8 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解答】解：∵16＝（±4）2， ∴a＝2×1×（±4）＝±8， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【作业8】（2025秋•双清区期末）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不是因式分解，不符合题意； B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意； C、x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），不符合题意； D、x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法和公式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【作业9】（2025秋•翔安区期末）若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　4　 ． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】设另一个因式为x+m，计算（x+1）（x+m）后即可求得答案． 【解答】解：设另一个因式为x+m， 则（x+1）（x+m） ＝x2+mx+x+m ＝x2+（m+1）x+m ＝x2+bx+3， 那么m＝3，b＝m+1＝3+1＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握整式乘法与因式分解的互逆性是解题的关键． 【作业10】（2025秋•正阳县期末）有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 a2+2ab+b2＝（a+b）2（答案不唯一）　 ． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【分析】根据题意，选取a2，2ab，b2组成a2+2ab+b2，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：选取a2，2ab，b2组成a2+2ab+b2， 则a2+2ab+b2＝（a+b）2． 故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业11】（2026秋•道里区校级月考）将多项式因式分解的结果为　（x+2）（x﹣2）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式（x2﹣4） （x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题综合考查了提公因式法与公式法的综合应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【作业12】（2026春•锦江区校级同步）若多项式x2﹣3x+k的一个因式是x﹣2，则k的值为　2　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】设另一个因式为x+n，得x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+n），则x2﹣3x+k＝x2+（n﹣2）x﹣2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2﹣3x+k分解因式即可． 【解答】解：根据题意，设另一个因式为：x+n， ∴x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n， ∴， 解得：n＝﹣1，k＝2， ∴另一个因式为x+1． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 【作业13】（2026春•宿城区校级月考）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6）．则a+b＝　﹣16　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算a+b即可． 【解答】解：∵甲同学因式分解x2+ax+b的结果为（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，甲看错了b，但a正确， ∴a＝﹣4， ∵乙同学因式分解x2+ax+b的结果为（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了a，但b正确， ∴b＝﹣12， 则a+b＝﹣4+（﹣12）＝﹣4﹣12＝﹣16． 故答案为：﹣16． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 【作业14】（2026春•同步）因式分解： （1）2x2﹣10x+12； （2）6x2﹣7xy+2y2； （3）15x2﹣9xy﹣42y2； （4）20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】（1）先提取公因式，再根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据十字相乘法分解因式即可； （4）根据十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣5x+6）＝2（x﹣2）（x﹣3）； （2）原式＝（2x﹣y）（3x﹣2y）； （3）原式＝3（5x2﹣3xy﹣14y2）＝3（x﹣2y）（5x+7y）； （4）原式＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）． 【点评】本题考查十字相乘法分解因式、提取公因式法分解因式，掌握十字相乘法、提取公因式法分解因式是解题的关键． 【作业15】（2025春•同步）把下列各式分解因式： （1）（a﹣b）﹣（a2﹣b2）； （2）（p+q）2﹣2r（p+q）+r2； （3）（n2+1）2+4n（n2+1）+4n2． 【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）看到a2﹣b2，先用平方差公式展开：（a﹣b）（a+b），再用提公因式法提取公因式，括号里面化简，得到最终结果． （2）整体观察，把（p+q）看成一个整体，式子变成x2﹣2×x×r+r2，符合完全平方差公式，直接写出分解结果． （3）将（n2+1）看作整体，4n2＝（2n）2，式子符合完全平方和公式，用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）（a﹣b）﹣（a2﹣b2） ＝（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）（1﹣a﹣b）； （2）（p+q）2﹣2r（p+q）+r2 ＝（p+q）2﹣2×（p+q）×r+r2 ＝（p+q﹣r）2； （3）（n2+1）2+4n（n2+1）+4n2 ＝（n2+1）2+2×（n2+1）×2n+（2n）2 ＝（n2+1+2n）2 ＝[（n+1）2]2 ＝（n+1）4． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练运用分组分解法、平方差公式、完全平方公式分解因式． 【作业16】（2026春•同步）把下列各式分解因式： （1）1﹣16a2； （2）m2﹣9n2； （3）4x2﹣81y2； （4）9a2x2﹣b2y2； （5）（x+5）2﹣4； （6）（a+b）2﹣a2； （7）（a2+b2）2﹣a2b2； （8）49（a﹣b）2﹣16（a+b）2． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可； （3）利用平方差公式因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可； （5）利用平方差公式因式分解即可； （6）利用平方差公式因式分解即可； （7）利用平方差公式因式分解即可； （8）利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）1﹣16a2＝（1+4a）（1﹣4a）； （2）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）； （3）4x2﹣81y2＝（2x+9y）（2x﹣9y）； （4）9a2x2﹣b2y2＝（3ax+by）（3ax﹣by）； （5）（x+5）2﹣4 ＝（x+5+4）（x+5﹣4） ＝（x+9）（x+1）； （6）（a+b）2﹣a2 ＝（a+b+a）（a+b﹣a） ＝a（2a+b）； （7）（a2+b2）2﹣a2b2＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）； （8）49（a﹣b）2﹣16（a+b）2 ＝[7（a﹣b）+4（a+b）][7（a﹣b）﹣4（a+b）] ＝（7a﹣7b+4a+4b）（7a﹣7b﹣4a﹣4b） ＝（11a﹣3b）（3a﹣11b）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【作业17】（2025秋•剑河县校级期末）【阅读材料】我们把二次三项式ax2+bx+c恒等变形为a（x+h）2+k（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5 ＝（x2+4x+4）﹣4﹣5 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣3． （2）求多项式x2﹣4x+5的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2﹣6a+b2﹣6b+c2﹣6c+27＝0，判断△ABC的形状． 【考点】因式分解的应用；等边三角形的判定；非负数的性质：偶次方．版权所有 【分析】（1）利用[阅读材料]中配方法将式子因式分解即可得到答案； （2）利用[阅读材料]中配方法将式子化成（x﹣2）2+1，由于（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，从而即可得到答案； （3）利用[阅读材料]中配方法将式子整理成（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣3）2＝0，从而得到a＝b＝c＝3，即可得到△ABC是等边三角形． 【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式 ＝x2﹣4x+4+1 ＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+1的最小值为1， ∴x2﹣4x+5的最小值是1． （3）△ABC是等边三角形．理由： ∵a2﹣6a+b2﹣6b+c2﹣6c+27＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣6c+9＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣3）2＝0， ∵（c﹣3）2≥0，（a﹣3）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴c﹣3＝0，a﹣3＝0，b﹣3＝0， ∴c＝3，a＝3，b＝3， ∴a＝b＝c＝3， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【作业18】（2025秋•温江区校级同步）先阅读下列材料，再解答问题（1）（2）（3）（4）： 若多项式x4+3x3+8x2﹣kx+12能被x+3整除，则x4+3x3+8x2﹣kx+12＝p（x）（x+3），p（x）为商式．把x＝﹣3代入等式，可得方程81﹣81+72+3k+12＝0，解得：k＝﹣28； 若多项式x4+3x3+8x2﹣kx+12去除以x+3时，余数为6，则x4+3x3+8x2﹣kx+12＝p（x）（x+3）+6，p（x）为商式．把x＝﹣3代入等式，可得方程81﹣81+72+3k+12＝6，解得：k＝﹣26． （1）若ax3+2x2﹣4x+5能被x﹣2整除，则a的值为　　 ； （2）若ax3﹣2x2﹣4x+5除以x+2时，余数为4，则a的值为　　 ； （3）若ax3+bx2﹣4x+5能被x﹣2与x+3整除，求a﹣b的值； （4）若ax3+bx2﹣4x+5除以x﹣2余数为1，除以x+3余数为﹣1，求a、b的值及ax3+bx2﹣4x+5除以（x﹣2）（x+3）的余式． 【考点】因式分解的应用；解一元一次方程；整式的除法．版权所有 【分析】（1）依据题意，将x＝2代入ax3+2x2﹣4x+5＝0，进而可以得解； （2）依据题意，将x＝﹣2代入ax3﹣2x2﹣4x+5＝4，计算后即可得解； （3）依据题意，分别将x＝2、x＝﹣3代入ax3+bx2﹣4x+5＝0中得两个关于a，b的方程，解方程组即可得解； （4）依据题意，分别将x＝2、x＝﹣3代入ax3+bx2﹣4x+5＝1和ax3+bx2﹣4x+5＝﹣1中，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，将x＝2代入ax3+2x2﹣4x+5＝0， ∴a×23+2×22﹣4×2+5＝0． ∴a， 故答案为：． （2）由题意，将x＝﹣2代入ax3﹣2x2﹣4x+5＝4， ∴a×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5＝4． ∴． 故答案为：． （3）由题意，分别将x＝2、x＝﹣3代入ax3+bx2﹣4x+5＝0中得： ， 解得：． ∴a﹣b， 故答案为：． （4）由题意，分别将x＝2、x＝﹣3代入ax3+bx2﹣4x+5＝1和ax3+bx2﹣4x+5＝﹣1中得， ，解得：， 设余式为n，则： （x﹣2）（x+3）（x+m）+n， 可得：m，n， ∴，余式为n． 【点评】本题考查多项式乘法与整除的关系，通过展开等式、利用整除性质建立方程求解未知数，再结合因式分解求解方程的根． 【作业19】（2026春•同步）阅读下列因式分解的过程，再回答问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述过程中用到的分解因式的方法是提公因式法，共应用了　2　 次． （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 （3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝　（1+x）n+1 ． （4）利用（3）中结论计算：5+52+53+…+52023． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】（1）观察因式分解过程，第一步提取公因式（1+x），第二步再次提取公因式（1+x），共应用提公因式法2次； （2）从第一项1+x开始，逐步提取公因式（1+x），每提取一次，指数增加1，共提取2024次，结果为（1+x）2025； （3）通过观察规律，每多一项x（1+x）n，提取公因式后指数增加1，最终结果为（1+x）n+1； （4）由5＝1+4将式子变形成（3）中的形式，再利用（3）中的结论计算即可． 【解答】解：（1）1+x+x（x+1）+x（1+x）2 ＝（1+x）+x（x+1）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）[（1+x）+x（x+1）] ＝（1+x）（1+x）（1+x） ＝（1+x）3， 共应用提公因式法2次， 故答案为：2； （2）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 ＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+⃯+x（1+x）2024 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）2+x（1+x）3+⃯+x（1+x）2023] ＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2022] ＝（1+x）3[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2022] ＝..． ＝（1+x）2025． （3）由（2）可总结规律：每多一项x（1+x）n，提取公因式后指数增加1，最终结果为（1+x）n+1． ∴1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝（1+x）n+1， 故答案为：（1+x）n+1； （4）5+52+53+…+52023 4（5+52+53+…+52023） （4×5+4×52+4×53+…+4×52023）（5+4×5+4×52+4×53+…+4×52023﹣5） [1+4+4×（1+4）+4×（1+4）2+4×（1+4）3+…+4×（1+4）2023﹣5] [（1+4）2024﹣5] ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，理解已知的计算过程和正确得出次数变化规律是解题关键． 【作业20】（2026春•界首市期末）【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究： （1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：　（x+y）y2＝xy2+y3 ； 【问题解决】 （2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出y3﹣x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an），当a﹣2n为整数时，求an的值． 【考点】因式分解的应用；展开图折叠成几何体；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的意义．版权所有 【分析】（1）图2从整体上看是长为x+y，宽为y，高为y的长方体，体积为（x+y）•y•y，即（x+y）y2，也可以看作是一个长x，宽为y，高为y的长方体与棱长为y的正方体组成的，因此总体积为x•y•y+y3，即xy2+y3，可得代数恒等式； （2）计算出棱长为x+2y的正方体的体积，根据②号长方体和③号长方体的体积，即可得到需要几个②号长方体和③号长方体； （3）在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，剩下部分的体积为两个正方体的体积的差，即y3﹣x3，从组成看，把几何体分割成三块，分别求出体积，整理后即可求得y3﹣x3因式分解的结果，然后根据相应公式展开a3﹣8n3，经过推理，求值即可． 【解答】解：（1）从整体看大长方体的体积为：（x+y）•y•y＝（x+y）y2， 从组成看大长方体的体积为：x•y•y+y3＝xy2+y3， ∴（x+y）y2＝xy2+y3， 故答案为：（x+y）y2＝xy2+y3； （2）∵（x+2y）3＝（x+2y）2（x+2y）＝（x2+4xy+4y2）（x+2y）＝x3+2x2y+4x2y+8xy2+4xy2+8y3＝x3+6x2y+12xy2+8y3， ②号长方体的体积是x2y，③号长方体的体积是xy2， ∴②号长方体需要6个，③号长方体需要12个； （3）从整体看几何体的体积为：y3﹣x3， 将图3几何体分割成三个部分的体积和，即（y﹣x）•y2+（y﹣x）•x2+（y﹣x）•xy＝（y﹣x）（y2+xy+x2）， ∴y3﹣x3＝（y﹣x）（y2+xy+x2）， ∴a3﹣8n3＝a3﹣（2n）3＝（a﹣2n）（a2+2an+4n2）． ∵a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an）， ∴a2+2an+4n2＝4﹣4an， ∴（a﹣2n）2+6an＝4﹣4an， （a﹣2n）2＝4﹣10an． ∵a﹣2n为整数，a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长， ∴（a﹣2n）2为正整数， ∴4﹣10an为正整数，并且为某个整数的平方． ∴4﹣10an＝1． ∴10an＝3． ∴an＝0.3． 【点评】本题考查了因式分解的应用．根据几何图形整体与组成得到相应的等式是常用的数形结合解题思想． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题二 因式分解 精准押题讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的意义，区分因式分解与整式乘法 · 掌握提公因式法，能准确找出公因式 · 熟练运用平方差公式和完全平方公式分解因式 · 掌握十字相乘法和分组分解法 · 能综合运用多种方法分解因式并解决计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式 与整式乘法互为逆变形：(a+b)(a-b)=a2-b2 分解要彻底：每个因式不能再分解为止 结果是积的形式，不能有和差 概念辨析例题：下列变形是因式分解的是：A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2) C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 解析：A是整式乘法，C右边不是积的形式，只有B是因式分解 ☆ 2.提公因式法与公式法 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)，公因式取系数最大公约数和相同字母最低次幂 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 步骤：先提公因式，再用公式，直到不能再分 概念辨析例题：分解因式：3x3-12x。 解析：=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2) ☆ 3.十字相乘与分组分解 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 分组分解法：四项式二二分组或三一分组，分组后能提公因式或用公式 分组关键：分组后各组之间有公因式或能用公式 二次三项式ax2+bx+c：拆a和c交叉相乘凑一次项系数 概念辨析例题：分解因式：x2+5x+6。 解析：6=2×3，2+3=5，所以=(x+2)(x+3) ☆ 4.因式分解的应用 简便计算：利用因式分解简化大数运算 求代数式的值：先分解再整体代入 判断整除：分解后看因式 几何应用：结合面积公式分解 概念辨析例题：利用因式分解计算：20252-2025×50。 解析：=2025(2025-50)=2025×1975=3999375 📋 知识总结表 方法 适用类型 关键 提公因式法 各项有公因式 找最大公因式 平方差公式 两项平方差 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 三项完全平方式 a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法 二次三项式 拆常数项凑一次项 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的意义（第1-8题） · 判断是否因式分解 · 与整式乘法互逆 · 分解彻底 1．（2026秋•黄浦区月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C． D．ax﹣ay+a＝a（x﹣y+1） 2．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为_____ ． 3．（2025秋•虹口区校级月考）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为_____ ． 4．（2025秋•虹口区校级月考）已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值． 5．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝_______ ，q＝_______ ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（_______ ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【考点2】提公因式法与公式法（第9-27题） · 找公因式 · 平方差公式 · 完全平方公式 · 先提后用 6．（2026秋•杨浦区校级月考）下列各式中，加上4x2+1，不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．﹣4x B．4x C．4x4 D．8x 7．（2025秋•徐汇区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 8．（2025秋•虹口区校级期中）下列各数中，不是（﹣8）2026+（﹣8）2024因数的是（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 9．（2025秋•闵行区校级期中）如果整式x2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，那么“Δ”所代表的单项式不可能是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 10．（2025秋•虹口区校级月考）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025秋•安次区期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 12．（2026春•淮安期末）若长和宽分别为x和y的长方形的周长为20，面积为16，则代数式x2y+xy2的值（　　） A．36 B．80 C．160 D．320 13．（2026春•雁塔区校级期中）下列因式分解结果正确的是（　　） A．﹣4m3+12m2＝﹣m2（4m﹣12） B．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1） C．x2+2x+4＝（x+2）2 D．（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a+b）2（a﹣b）2 14．（2026•琼海模拟）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：____________________ ． 15．（2026•荣成市校级模拟）因式分解：（a+2）（a+1）+3a+7＝___________ ． 16．（2026春•莘县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2xy3＝_______ ． 17．（2026秋•同步）阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 18．（2026春•宿豫区期中）分解因式： （1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x． 19．（2026秋•盘龙区校级月考）把下列各式分解因式： （1）8a3b2+12ab3c； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）； （3）4x2﹣9y2； （4）﹣x2+4xy﹣4y2． 20．（2026春•同步）把下列各式分解因式： （1）a2b2﹣2ab+1； （2）9﹣12a+4a2； （3）4x2+4x+1； （4）x2﹣6xy+9y2； （5）（a+b）2+6（a+b）+9； （6）16﹣24（x﹣y）+9（x﹣y）2； （7）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2； （8）4x2﹣4x（y﹣1）+（y﹣1）2． 【考点3】十字相乘与分组分解（第28-49题） · 十字相乘拆项 · 二二分组 · 三一分组 21．（2025秋•市中区期末）将多项式x2﹣px+100分解因式为：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q），则（p﹣q）2＝（　　） A．2025 B．1225 C．625 D．225 22．（2026春•南海区校级同步）若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（　　） A．﹣1﹣3x+4y B．1+3x﹣4y C．﹣1﹣3x﹣4y D．1﹣3x﹣4y 23．（2026秋•姑苏区校级月考）若二次三项式x2﹣mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+n），则m+n的值为_____ ． 24．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为________ ． 25．（2026春•泉山区期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：x2+6x+8＝_______________ ． 26．（2026春•铜山区期中）已知多项式x2+mx+16可以分解成（x﹣4）2，则m的值是 _______ ． 27．（2026秋•杨浦区校级月考）因式分解： （1）2ab﹣3a+8b﹣12； （2）2（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）﹣20； （3）x2+2xy﹣8y2﹣7xz﹣22yz+6z2； （4）（3a﹣1）4﹣1+3a． 28．（2026秋•盘龙区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣6x+10）（x2﹣6x+8）+1进行因式分解的过程． 解：设x2﹣6x＝y，则原式＝（y+10）（y+8）+1（第一步） ＝y2+18y+81（第二步） ＝（y+9）2（第三步） ＝（x2﹣6x+9）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____ ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？________ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________ ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 29．（2026春•慈溪市期末）1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3． 解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）． 因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解． （1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值； （2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1． 30．（2025秋•金山区校级期末）因式分解： （1）x4﹣13x2+36； （2）6ab+4a+9b+6． 31．（2025秋•鲤城区校级期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）； 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【类比】（1）分解因式：ab+a+b+1； 【挑战】（2）若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值； （3）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b，求S的最小值． 32．（2025秋•闵行区期末）因式分解：x2﹣4﹣4xy+4y2． 33．（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 34．（2025秋•阳西县月考）请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）； ④x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； … （1）x6﹣1＝（x﹣1）（____________________ ）； （2）_________ ＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）； （3）将x3+x2+x+1因式分解． 35．（2024秋•镇平县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． （1）因式分解：2x2+4x﹣xy﹣2y； （2）因式分解：x2﹣a2+x+a； （3）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 36．（2025春•同步）把下列各式分解因式： （1）4a2﹣b2+4a﹣2b； （2）x2﹣2xy+y2﹣1； （3）9x2+6x+2y﹣y2． 【考点4】因式分解的应用（第50-59题） · 简便计算 · 整体代入求值 · 整除判断 37．（2026秋•同步）利用因式分解计算： （1）1.992+1.99×0.01； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22； （3）5×34+4×34+9×32． 38．（2026春•邗江区期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：32_____ “和谐数”，2026_______ “和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）a，b为正整数，且a＞b，若N＝（a﹣b﹣5）（a﹣b+5）是“和谐数”． ①求a﹣b的值； ②若a+b+1是“和谐数”，请说明8a﹣6b是“和谐数”． 39．（2026春•龙华区期中）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图1所示边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形片片A，1个边长为b的正方形卡片B，2个边长为a×b的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成：a2+2ab+b2或（a+b）2从而验证多项式因式分解为a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为___________________ ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为____________________ ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解3a2+4ab+b2＝________________ ； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解结果必须是整式乘积形式，有和差就错 · 先提公因式再用公式，有公因式一定要先提出来 · 分解要彻底，每个因式都不能再分解为止 · 十字相乘要验证：两个因式展开应等于原式 · 分组分解要预见分组后能否继续分解 【作业1】（2026秋•沙坪坝区校级同步）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2y+xy2+xy＝xy（x+y） B．x2﹣9＝﹣（9﹣x2） C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2+3x＝x（x+3） 【作业2】（2026•柳州模拟）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B．﹣x2+y2 C．﹣x2﹣y2 D．（﹣9x）2﹣（﹣y）2 【作业3】（2026秋•泉港区月考）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：c﹣2，c+2，（a+b）2，c2﹣4，a2+b2分别对应下列五个字：中，华，强，国，爱，现将a2（c2﹣4）+b2（c2﹣4）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱国 B．强国 C．强中华 D．爱中华 【作业4】（2025秋•冷水江市期末）小李在计算20252025﹣20252023时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（　　） A．2025，2026，2027 B．2024，2025，2026 C．2023，2024，2025 D．2022，2023，2024 【作业5】（2025秋•台江区期末）对于任意整数n，多项式（n+4）2﹣（n+2）2都能被（　　）整除． A．4 B．5 C．6 D．7 【作业6】（2025秋•德阳期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【作业7】（2026春•五华县期末）若x2+ax+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．4 B．4或﹣4 C．8 D．8或﹣8 【作业8】（2025秋•双清区期末）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【作业9】（2025秋•翔安区期末）若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为_____ ． 【作业10】（2025秋•正阳县期末）有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 ____________________ ． 【作业11】（2026秋•道里区校级月考）将多项式因式分解的结果为____________________ ． 【作业12】（2026春•锦江区校级同步）若多项式x2﹣3x+k的一个因式是x﹣2，则k的值为_____ ． 【作业13】（2026春•宿城区校级月考）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6）．则a+b＝________ ． 【作业14】（2026春•同步）因式分解： （1）2x2﹣10x+12； （2）6x2﹣7xy+2y2； （3）15x2﹣9xy﹣42y2； （4）20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 【作业15】（2025春•同步）把下列各式分解因式： （1）（a﹣b）﹣（a2﹣b2）； （2）（p+q）2﹣2r（p+q）+r2； （3）（n2+1）2+4n（n2+1）+4n2． 【作业16】（2026春•同步）把下列各式分解因式： （1）1﹣16a2； （2）m2﹣9n2； （3）4x2﹣81y2； （4）9a2x2﹣b2y2； （5）（x+5）2﹣4； （6）（a+b）2﹣a2； （7）（a2+b2）2﹣a2b2； （8）49（a﹣b）2﹣16（a+b）2． 【作业17】（2025秋•剑河县校级期末）【阅读材料】我们把二次三项式ax2+bx+c恒等变形为a（x+h）2+k（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5 ＝（x2+4x+4）﹣4﹣5 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣3． （2）求多项式x2﹣4x+5的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2﹣6a+b2﹣6b+c2﹣6c+27＝0，判断△ABC的形状． 【作业18】（2025秋•温江区校级同步）先阅读下列材料，再解答问题（1）（2）（3）（4）： 若多项式x4+3x3+8x2﹣kx+12能被x+3整除，则x4+3x3+8x2﹣kx+12＝p（x）（x+3），p（x）为商式．把x＝﹣3代入等式，可得方程81﹣81+72+3k+12＝0，解得：k＝﹣28； 若多项式x4+3x3+8x2﹣kx+12去除以x+3时，余数为6，则x4+3x3+8x2﹣kx+12＝p（x）（x+3）+6，p（x）为商式．把x＝﹣3代入等式，可得方程81﹣81+72+3k+12＝6，解得：k＝﹣26． （1）若ax3+2x2﹣4x+5能被x﹣2整除，则a的值为___________________ ； （2）若ax3﹣2x2﹣4x+5除以x+2时，余数为4，则a的值为__________________ ； （3）若ax3+bx2﹣4x+5能被x﹣2与x+3整除，求a﹣b的值； （4）若ax3+bx2﹣4x+5除以x﹣2余数为1，除以x+3余数为﹣1，求a、b的值及ax3+bx2﹣4x+5除以（x﹣2）（x+3）的余式． 【作业19】（2026春•同步）阅读下列因式分解的过程，再回答问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述过程中用到的分解因式的方法是提公因式法，共应用了_____ 次． （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 （3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝_____________ ． （4）利用（3）中结论计算：5+52+53+…+52023． 【作业20】（2026春•界首市期末）【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究： （1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：___________________ ； 【问题解决】 （2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出y3﹣x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an），当a﹣2n为整数时，求an的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $