湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期月考(三)数学试卷

高三数学三 命题人、审题人：高三数学备课组 本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={xx2-2x-3<0},B={一2，一1,0,1}，则A∩B= A.{0,1} B.{-1,0,1》 C.{-2,-1,0} D.{-2,-1,0,1}》 说 2若x一3y=2,则2+。的最小值为 圜 A.2 B.4 C.2√2 D.8 如 3已知mGR,则9<m<7”是“曲线二g十7产n=1表示椭圆的 A.充分不必要条件 B.充要条件 製 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 区 4.已知M为△ABC所在平面内的一点，A=号A店，C它-3E成，则A忘- 都 闻 茶 常 艇 A号Ai+号AG B.7AB+IAC C号A+Ad D.3AB+TAC 5.函数f()=ln2兰z十2x+(z-1)图象的对称中心为 A.(0,0) B.(1,0) C.(1,2) D.(0,1) 6.(★)已知函数f(x)=Asin(awx十p)的部分图象如图所示，其中A>0,w>0, 一受<<0.在已知受的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为 1 A.w B.9 C. D.Asin o 数学试题(27N)第1页（共6页） 7.(★)水平桌面上放置了4个半径为4的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相 切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 A.8 B.12 C.4√2+4 D.43+4 8.设1≤a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为g的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数 列，则g的最小值是 A.√2 B.√3 C.3 D.4 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.(★)设正项数列{an}的前n项和是Sn,且a1=1,a3=20,下列选项中正确的有 A若{am}是等比数列，则a5=40 B.若{an}是等差数列，则S5=100 C.若{Sn}是等比数列，则S2=5 D.若{Sn}是等差数列，则a2=20 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A心=2BC.CA,且c=2√3，则 A.b=2acos C B.2b=c2-a2 C.角B的最大值为 D.当角B取最大值时，此时△ABC的面积为2√3 11.定义在(0，十o∞)上的函数f(x)的导函数为f(x),若对于任意正实数x,都有x2f(x)十x3f(x) =nx,且fe)=是，则 A.函数F(x)=xf(x)的极小值点为x=1 B.曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=】 C.函数y=f(x)在x=e处取得极大值 D.函数y=f(x)在(0，十∞)上无极值 选择题答题卡 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.复数之=1+i,则z4= 13.(★)已知二面角a-AB-B的大小为于，OEAB,P∈a,且∠POA=否，Q为3内异于O的任意- 点，则sin∠POQ的最小值为 数学试题(27N)第2页（共6页） 14.已知等差数列{a}的公差为，若集合A={xx=cosa,n∈N}={a,,则m = 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos(A一B)=√3 bsin A-一acos C. (1)求角A; (2)点D是BC的中点，延长AD至点E,连接BE,CE,a=2√3，AD=2DE,求△BEC面积的取 值范围 数学试题(27N)第3页（共6页） 16.(本小题满分15分) 已知一个不透明盒子中有3个红球、7个白球，这些球除颜色不同外，其大小形状完全相同，每次 随机依次抽取出一球. (1)若有放回抽取，取到白球即停止，求取球次数为3次的概率； (2)若无放回抽取，记最后一个白球被取出时总共取出球的个数为X,求X的数学期望. 17.(★)（本小题满分15分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. D>- (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; (2)若ADLDC,且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD, 数学试题(27N)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax-1,g(x)=lnx-1(a∈R). (1)设函数F(x)=f(x)一g(x),若在定义域内F(x)>0恒成立，求a的取值范围. (2)当a=1时，令h(x)=f(x)·g(x). (ⅰ)求h(x)在x=1处的切线方程； (1)方程k)=m0m1有两个实数根石且x<,证明：西五2。m十。一1 数学试题(27N)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知数列{an},记集合T={S(i,j)|S(i,j)=a:十a+1+…十a;,1≤i<j,i,j∈N*}. (1)若数列{an}有四项，且an=n,写出集合T. (2)若an=2n,是否存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048?若存在，求出一组符合条件的i,j;若不 存在，说明理由。 (3)若an=n,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为b1,b2,b3,…,bm,…,若bm≤ 2026,求m的最大值， 数学试题(27N)第6页（共6页）