湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（四）（12月）数学试卷

长郡中学2026届高三月考试卷（四） 数学 得分 本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。 的 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 料 项中，只有一项是符合题目要求的。 阚 1.已知i为虚数单位，则号 如 A.i B.-i 幼 如 C.1 D.-1 拟 k 2.已知集合M=(x|m<x<m十2)，N=(x|0<x<6),若MCN,则实数 m的取值范围为 A.(1,2) B.[2,4] C.[0,6] D.[0,4] 都 龄 3.从数字4,5,6,7,8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为 围 超 A号 B品 c号 Di 4.在△ABC中，D为边AC的中点，E为BD的中点，设EA=a,EC=b,则 DB= 秘 A.-a-b B.a-b 北 C.-a十b D.a+b 5,已知tanB=-3tana≠0，则sin(a+_ sin(a-B) A.2 B安 c- D.-2 数学试题（长郡版）第1页（共8页） 6.已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去 一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆合的上、下底面上，要使得到的几 何体的表面积最大，则圆柱的半径为 A.3 B.2 C,1 n分 7.已知正数a,b满足30-20=log分，则 A.a<b<2a B.b<a<26 C.Va<b<a D.Yb<a<6 8.设F是抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点，A,B是C上不同于C的顶点 的两点，以A和B为切点的两条切线相交于点D,若|AF|=2DF|= 4,则1BF= A.1 B.√2 C.2 D.2√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.已知函数f(a)=5sin(2x-F),则 A.f(x)的最小正周期为π Bf(x)的图象关于点(，0对称 C.x=是f(x)图象的一条对称轴 D.fx)在(0，)上单调 10已知F,FB分别是椭圆C荐+芳-1a>6>0)的左右焦点，点P,Q 62 是椭圆C上两点，PQ交x轴于点F2,线段PF1的中点为A,AQ平分 ∠PQF1,S△Pr,R=2S△a,E,则 A.PF2=2QF2 B.△PQF1的周长为2a十2b C1Q1-多a D椭圆C的离心率为写 数学试题（长郡版）第2页（共8页） 11.对于定义域为D的函数f(x),若存在o∈D,使得∫(xo)=o,则称xo 为f(x)的不动点，已知f(x)=一x+a.a2+bz十c(a≠0)有三个零点 T1+.,（.C<0<3).则 1.当b=1,c=0时，a是(x)的不动点 B当a=b=1时，(22)<f(x2+1) C,若6≠0.十2=32，则3a士64为定值 ab D)+f=-1 f(m)f(22) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2√3,2sinA= acos B,则B= 13.已知函数f(x)=C一m,若仅存在一个正整数0，使得f()<0,则实 数m的取值范围为 14.设M,N是随机事件，已知P(M0=号，P()=名，P(MN)=日，则下 列四个结论中，正确的是 ①P(NIM=3 ②事件M,N相互独立 ③PMUN-& @P(NIMUN)- 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分)为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第 二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 2 3 5 6 销售量y 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 数学试题（长郡版）第3页（共8页） (1)求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； (2)已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关 于x的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程y=bx十a的斜率与截距的最小二乘估计公式分 别为6= 2(x-x)(0-) 2(x,-2 ,a=立-6z 2(x,-)(-）=9.8,(x,-)2=17.5. 16.(15分)设数列(am}满足a1=1 2a出=a+ n十1n 2n (1)求{an}的通项公式； (2)若6，=。-”，S,为数列{6.}的前n项和，证明：S,>2-2 an a+21 17.(15分)如图，在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C中，D为侧面 BCCB:的中心，E为AC的中点，点F为棱B,C上一动点（不包含端 点) A C B B (1)证明：AB,∥平面A1DE; W5 (2)若直线AA1与直线EF所成角的余弦值为 ,求ER 18.(17分)已知函数f(x)=ln4-x+a(x-2). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)当a=0时，设g(x)=ln(4一x)-f(x),证明：H1<x<4,g(x) >(x1)2 ex-1-1 10.(17分)已知双曲线C:号一斧=1(。>0，b>0)的一条断近线的倾斜角 为150，且C经过点(-2,9) (1)求双曲线C的标准方程； (2)设O为坐标原点，动点M满足过M能作出C的两条互相垂直的切 线，记切点分别为点A,B. (ì)求动点M的轨迹方程； (iⅱ)若记△AOB的面积为S1,△AMB的面积为S2求|S2一S1|的 最大值