培优专题01 轴对称3考点14题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册
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内容正文：
专题01 轴对称
常考题型·精准突破
考点一 轴对称及其性质
题型1 轴对称图形的识别
题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断与求解
题型3 轴对称的实际问题
题型4 折叠问题（难）
考点二 线段的垂直平分线
题型1 线段垂直平分线的判定（重）
题型2 线段垂直平分线的性质（重）
题型3 作已知线段的垂直平分线（重）
考点三 画轴对称图形
题型1 画轴对称图形
题型2 镜面对称
题型3 坐标系中的轴对称（重）
题型4 线段问题（难）
题型5 面积问题（难）
题型6 角度问题（难）
题型7 其他问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 轴对称及其性质
◆题型1 轴对称图形的识别
1．（2026·江西赣州·一模）如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形都是轴对称图形；
擦去②和③，剩下的图形不是轴对称图形．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________．
【答案】
【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可．
【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，
如图，建立直角坐标系，
要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点，
由图可知点．
3．（2026八年级下·广东佛山·竞赛）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个．
【答案】5
【分析】本题考查了图形的平移，轴对称图形等知识，掌握正方形的结构特征是解答本题的关键．根据正方形是轴对称图形，正方形的对称轴有4条，沿着正方形的对称轴方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形；要使平移后的正方形顶点还在格点上，且沿对称轴平移，即向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移，据此可选出正确答案．
【详解】解：因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴，
所以沿着正方形的对称轴的方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形，
观察图形可知，向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移时，平移前后的两个正方形组成的图形都是轴对称图形．
综上可知，使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有5个．
故答案为：5．
◆题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断与求解
4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．直线l垂直平分
【答案】C
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解．
【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意；
B、，，选项B正确，不符合题意；
C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意；
D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意．
故选：C．
5．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由点与关于对称可得出，结合的长度可求出的长度；
（2）由点与关于对称可得出，再根据即可求出线段的长．
【详解】（1）解：，关于对称，
，
，
．
（2）解：，关于对称，
，
．
6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________．
【答案】
【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果．
【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，
，，，
根据轴对称的性质可得，，
的周长的最小值，
由轴对称的性质可得，
中，，
.
◆题型3 轴对称的实际问题
7．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据反射角等于入射角，依次找出小球每次碰到长方形边上的点，得到碰撞点以次为一个周期循环，进而求出第次碰撞对应的点．
【详解】解：根据反射角等于入射角的规律，分析小球的运动路径，依次确定每次碰撞的点位：第次碰到长方形边：点；
第次碰到长方形边：点；
第次碰到长方形边：点；
第次碰到长方形边：点；
第次：从向右上反弹，沿对角线穿过网格，碰到长方形的上边（点右侧的顶边位置）；
第次：从上边的碰撞点向右下反弹，碰到长方形的右边点位置；
第次：从右边的碰撞点向左下反弹，最终落在底边点，和第次的碰撞点完全重合；
小球的碰撞位置以次为一个周期循环出现，计算周期余数：
，
余数为，说明第次碰撞的位置，与一个周期内第次碰撞的位置相同，对应点为．
8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ．
【答案】C
【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点．
【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点，
连接与直线交于点，
点即为所求．
9．（25-26六年级下·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
根据题意可得，，
∴，
∴，
∵，
∴．
◆题型4 折叠问题
10．（26-27八年级上·北京海淀·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在点的位置，若，则_________．
【答案】/40度
【分析】先利用长方形对边平行、内角为直角的性质，求出与的度数，再根据折叠的性质得到，最后通过角的差计算出．
【详解】解：四边形是长方形，
，．
．
．
由折叠性质得：．
．
11．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______
【答案】/度
【分析】先求出，，由折叠得出，进而求出结论．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
∴，
由折叠，，
．
12．（26-27八年级上·重庆巴南·阶段检测）已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)解：．
证明如下：
过点作，如图所示：
由题意可知，
，
，
由折叠性质可知，
，
在长方形中，，则由折叠性质可知，
，
即与的数量关系为．
【分析】（1）由邻补角定义、折叠性质及平行线性质求解即可；
（2）过点作，由平行线的判定与性质得到，进而结合折叠性质得出，，数形结合即可得出与的数量关系．
【详解】（1）解：，
，
则由折叠性质可知，
，
；
（2）略
考点二 线段的垂直平分线
◆题型1 线段垂直平分线的判定
13．（26-27八年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，的两条高与交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，试说明：是的垂直平分线．
【答案】(1)证明：∵的两条高与交于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线．
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）延长交于点F，证明，，即可得到是的垂直平分线．
【详解】（1）略
（2）略
14．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)与的数量关系为___________；
(2)求的长；
(3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：点在边的垂直平分线上，理由如下，
如图，连接、、，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与相交于点，
∴，，
∴，
∴点在边的垂直平分线上．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为，结合（1）中结论，得出，即可得出答案；
（3）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可得出点在边的垂直平分线上．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴．
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为
∴，
由（1）可知，，
∴，即．
（3）解：点在边的垂直平分线上，理由略．
15．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点．
(1)若，则长为______；
(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若，，则_____．
【答案】(1)
(2)点在的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接，
分别垂直平分，
，
，
点在的垂直平分线上；
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长；
（2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论；
（3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案．
【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点，
，
，
的周长，即，
；
（2）略；
（3）解：如图，连接，
分别垂直平分，
，，且，，
，，
，
．
◆题型2 线段垂直平分线的性质
16．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，证明得到，再证明得到，据此可得答案；
（2）由全等三角形的性质得到，根据线段的和差关系推出，进而得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在边的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：点在的垂直平分线上，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
(2)
【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到；
（2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接．
在和中，
，
，
．
设，则．
已知，，
，
，
由（1）得，
，
解得．
的长为．
18．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（）
(1)当点在边上时，________（用含的代数式表示）；
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值；
(3)连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值；
(4)当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值．
【答案】(1)
(2)2或8
(3)或
(4)或或
【分析】（1）根据题意可得，即可求解；
（2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，即可求解；
（3）分两种情况，结合全等三角形的性质解答即可；
（4）分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：当点在边上时，，
∴；
（2）解：当点在边上时，此时点P为的中点，即，
∴，
∴；
当点在边上时，此时点P的运动路程为，
在长方形中，∵点在的垂直平分线上，
∴点P也在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
此时；
综上所述，的值为2或8；
（3）解：如图，当点在边上时，
∵，
∴当时，，
此时，
解得：；
如图，当点在边上时，
∵，
∴当时，，
此时，
解得：；
综上所述，t的值为或；
（4）解：若点P到边的距离相等，此时点P在的平分线上，
当点P在边上时，如图，过点P作于点F，则，此时，
∵，
∴，
∴，
解得：；
当点P在边上时，如图，过点P作交的延长线于点G，于点H，则，，此时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当点P在上，且时，如图，过点P作于点K，则，
此时点P到的距离为，
∵，即，
∴点P到的距离为，
此时点P到，的距离相等，满足题意；
综上所述，t的值为或或．
◆题型3 作已知线段的垂直平分线
19．（26-27八年级上·福建莆田·期中）尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数．
(2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？
【答案】(1)如图所示：
．
(2)如图所示：
【分析】第小题，利用同位角相等，两直线平行作平行线；先借助三角形内角和求出，再利用平行线性质完成角度计算，将作图原理和角度计算结合考查．
第小题属于选址作图问题，是两个轨迹的综合：到角两边距离相等的点在角平分线上；到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，满足双重条件的点是两条轨迹的交点．
【详解】（1）解：作图思路：作，同位角相等，两直线平行，，落在上．
图见答案
在中
（两直线平行，同位角相等）；
（2）解：作图思路：作的角平分线（到、距离相等的点在角平分线上）；
作线段的垂直平分线（到、距离相等的点在线段垂直平分线上）；
两条线在区域内的交点，就是发射塔的位置．
图见答案
20．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)8
【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到；
（2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，由（1）知
∴
∵，
∴的周长．
21．（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图，在中．
(1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长
【答案】(1)如图所示，即为所求，
(2)
【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由的周长为，可求出，再利用三角形的周长公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
即，
∴的周长．
考点三 画轴对称图形
◆题型1 画轴对称图形
22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）按要求完成作图：
(1)如图1，点与点关于直线对称，用直尺和圆规作出直线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，在网格图中，的三个顶点都在格点上，直线在格线上，请在网格图中画出，使它与关于直线对称．
(3)如图3，已知给定的两个三角形成中心对称，是边上一点，只用无刻度直尺作出点的对应点．
【答案】(1)解：根据题意，连接，画图如下，
则直线即为所求；
(2)解：根据垂直等距原理，作图如下：
则即为所求．
(3)解：根据题意，画图如下：
则点即为所求
【分析】（1）连接，画出对称轴即可求得；
（2）根据垂直等距的原理，作图解答即可．
（3）连接，交点即为对称中心，画出经过点P，对称中心的直线，与的交点即为所求的点的对应点．
【详解】（1）解：略；
（2）解：略．
（3）解：略．
23．（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的三个顶点在格点上．
(1)作出与关于轴对称的图形；
(2)请在轴上找到一个点，使得点到点、点的距离的和最短（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）取点B关于x轴的对称点，连接，此时交x轴于点P，连接，则点P即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
24．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点坐标是________，点坐标是________；
(3)与的对称轴是________．
【答案】(1)
(2)；
(3)y轴
【分析】（1）根据点A和点C的坐标确定坐标轴和原点的位置，据此作图即可；
（2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（3）根据对应点的坐标，结合关于y轴对称的点的坐标特点可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，点坐标是，点坐标是；
（3）解：∵，，
∴点A与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A与点关于y轴对称，
同理可得点C与点关于y轴对称，
∴与的对称轴是y轴．
◆题型2 镜面对称
25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？
【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示，
【详解】略
26．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为，
故选．
【点睛】本题考查镜面对称的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
27．（25-26七年级上·上海·阶段检测）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______．
【答案】
【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称．
根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解．
【详解】
解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称，
∴东东醒来时的正确时间是“”，
故答案为：．
◆题型3 坐标系中的轴对称
28．（26-27八年级上·吉林·期中）点与点关于轴对称，则______．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出、的值，再代入代数式计算．
【详解】解：平面直角坐标系中，关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∵点与点关于轴对称，
∴，，
将，代入，得．
29．（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为________________________
【答案】
【详解】解：，两处灯笼的位置关于轴对称，
．
30．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)请画出关于y轴对称的．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)如上图，即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
◆题型4 线段问题
31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，．
(1)画出关于轴对称的．
(2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标．
【答案】(1)
解：如图：即为所求，
(2)
解：如图：点即为所求，
由图可得：；
【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，解题关键是熟练掌握轴对称变换的性质．
（1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解；
（2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可．
【详解】（1）略
（2）略
32．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空：
(1)平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______；
(2)在y轴上找出点F，使最小，并直接写出点F的坐标为______．
【答案】(1)如图线段即为所求；
(2)如图所示，
【分析】本题考查了作图－平移变换，轴对称－最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质作出线段．
（1）根据平移的性质即可得线段；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由图即可知点的坐标．
【详解】（1）解：根据平移可知：点的坐标是．
故答案为：；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时最小，
由图知点的坐标为．
故答案为：．
33．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，
∴，
∴当和重合时，，
∵
∴的最小值为
∵，，．
∴
∵
∴，
故选：B．
◆题型5 面积问题
34．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，
(1)作关于轴的对称图形；
(2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的；
(3)连接， 则轴与的关系是 ；
(4)求出四边形的面积．
【答案】(1)
如图，即为所求；
(2)
如图，即为所求；
(3)轴垂直平分
(4)
【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，平移的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质．
（1）利用轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用平移的性质即可画出图形；
（3）利用轴对称的性质即可判定位置关系；
（4）通过点的坐标和平移的性质求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积．
【详解】（1）解：根据轴对称的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可．
（2）解：根据平移的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可．
（3）解：连接，根据轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对称点连接的线段，
∴轴垂直平分线段．
（4）解：∵ ， ，
∴向下平移4个单位长度后对应点的坐标分别为， ，
∴，，，
四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
35．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是．
(1)按要求作图：关于轴对称的图形；
(2)将点先向上平移个单位，再向右平移个单位得到点的坐标为________；
(3)求的面积．
【答案】(1)
图形如图所示，
(2)
(3)的面积为
【分析】（1）根据图形关于轴对称图形的定义和方法（原图关键点到轴的距离等于对称图形对应的点到轴的距离）即可求解；
（2）根据点的平移规律即可求解；
（3）运用“割补法”求几何图形面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：根据图示可得，，将点先向上平移个单位，再向右平移个单位得到点，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故答案为：．
（3）解：如图所示，将补成矩形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是，
∴，
∴，，，，
∴，即，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形关于轴对称的作图方法，点的平移规律，“割补法”求计算图形的面积的方法是解题的关键．
36．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．
(1)在方格纸中画出，使与关于直线对称；
(2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积．
【答案】(1)
如图，为所作；
(2)点的位置如图所示，．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点关于的对称点即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）
略
（2）．
【点睛】此题考查了作图——轴对称变换：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点，然后按原图形中的方式顺次连接对称点，也考查了勾股定理，解题的关键是准确找出对应点位置．
◆题型6 角度问题
37．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：与关于直线成轴对称，
，
，，
，
，
，与关于直线成轴对称，
，
，
．
故选：C．
38．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．
【答案】/88度
【分析】首先求出证明，，，推出，可得结论．
【详解】解：∵关于、的对称轴分别为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
【答案】60°/60度
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．
◆题型7 其他问题
40．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的图形；
(2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小；
(3)计算的面积．
【答案】(1)
解：即为所求，如图：
；
(2)
如图，点P即为所求；
(3)
【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得；
（2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P；
（3）依据割补法即可求得的面积．
【详解】（1）略
（2）解：作点关于x轴对称的点，
由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值，
连接，则，
的值最小，
点P即为所求；
（3）解： ．
41．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)作边上高．
(2)画出点D关于的对称点F；
(3)画射线，平分．
【答案】(1)
如图，即为所求；
(2)
如图，点即为所求；
(3)
如图，即为所求；
【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求；
（2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求；
（3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，灵活运用所学知识解决问题．
42．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于y轴的轴对称图形；直接写出（___，___）；
(2)过点作x轴的垂线l，在内有一点，则点Q关于直线l的对称点的坐标为（___，___）（结果用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)图见解析；-1；1．
(2)-2-m；n．
【分析】（1）利用网格的特点和对称的性质画出A、B、C的对称点，从而得到各顶点的坐标．
（2）可先得到Q点关于y轴的对称点，然后把此对称点向左平移两个单位即可得到的坐标．
【详解】（1）由对称知识可得的三点坐标分别为，，．描点，依次连线即可画出对称图形．
（2）首先得到Q点关于y轴的对称点（-m，n），然后把此对称点向左平移两个单位得到（-m-2，n）．
【点睛】本题考查了作图中的轴对称变换，轴对称几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
综合攻坚·知能拔高
1．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质：对应线段相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，对各选项进行判断．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，故A选项正确；
∵对应点的连线被对称轴垂直平分，
∴，且，故B、D选项正确；
与不一定平行，故C选项错误，
所以，不一定正确的是C．
2．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先由作图得出是的垂直平分线，得到，转化，确定最小值为，再结合等腰三角形三线合一与三角形面积公式求出．
【详解】解：如图，连接，，
∵由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
∵两点之间线段最短，
∴当、、三点共线时，最小，最小值为．
∵的最小值为，
∴．
∵，为中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
3．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质逐项分析即可得出结果．
【详解】解：根据轴对称图形的特征可知：，，，无法判断与的位置关系，
∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．
4．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意易得，则有，然后可得，由翻折可得，，即，进而根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
5．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可．
【详解】解：∵点，轴，且边长为2，
∴点的坐标为，
∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为
同理可得，第2次变换后的坐标为，
第3次变换后的坐标为，
第4次变换后的坐标为，
……
∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为，
∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为．
6．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接． 若，则的周长为______ ；若，则的度数为_______．
【答案】 8 /度
【分析】根据对称得到，，，，即可得到的周长为，，代入求值即可求解．
【详解】解：连接，
∵点M是点P关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴的周长为；
∵，
∴，
∴
∴．
7．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与、边分别相交于点、，当为直角三角形时，的度数为________．
【答案】或
【分析】由三角形内角和定理可得，再分两种情况：当，当时，分别结合折叠的性质与三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵在三角形纸片中，，，
∴，
∵为直角三角形，
①当时，
则，
由折叠的性质可得，
∴，
②当时，
由折叠的性质可得，
∴，
综上所述，的度数为或．
8．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，等腰中，，周长是11，的垂直平分线交于点，则__________．
【答案】
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，进一步即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵的周长为，
∴．
9．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________．
【答案】
或或
【分析】根据题意可知，与有公共边，以公共边所在直线为对称轴，对点作对称变换得到对应边和对应角相等从而求解．
【详解】解：已知、，两个全等三角形和有公共边，
在轴上，长度为，
∴点关于轴对称点；
∴点关于的垂直平分线（直线）对称点；
∴点关于轴对称点，
∵三点均不与点重合，
∴的坐标可以是或或．
10．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______．
【答案】
【分析】作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则，可证明点P与点D重合时的周长有最小值；根据求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴的周长，
∵，且为定值，
∴当P、A、C三点共线时，的周长有最小值，即点P与点D重合时的周长有最小值；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，即．
11．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）解答下列问题
(1)将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式
(2)写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．
①如果，那么；
②两直线平行，同旁内角互补．
【答案】(1)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
(2)①逆命题：如果，那么，． 此逆命题是假命题．
②逆命题：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题是真命题．
【分析】（1）拆分原命题的题设与结论，改写为“如果……那么……”的形式；
（2）交换原命题的题设和结论得到逆命题，再通过举反例或已学判定规则判断逆命题真假．
【详解】（1）略
（2）解：①原命题的逆命题为：如果，那么，，这是一个假命题，例如，满足，但；
②原命题的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题是真命题．
12．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，证明得到，再证明得到，据此可得答案；
（2）由全等三角形的性质得到，根据线段的和差关系推出，进而得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在边的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）．
(1)在点从点运动到点的过程中，线段的长为___________（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求线段的长；
(3)当为轴对称图形时，求的值；
(4)分别过点作于点，于点，当时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】根据题意得，然后通过线段的和与差即可求解；
当点与点重合时，求出点的运动路程为，从而判断点在从点运动到点的途中，然后通过线段的和与差即可求解；
由为轴对称图形，则有是等腰直角三角形，所以，然后分当时，当时，当时，三种情况求解即可；
由，则，然后分当时，当时，当时，三种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得点从点运动到点的过程中，，
∴，即线段的长为，
故答案为：；
（2）解：当点与点重合时，（秒），
∴点的运动路程为，
∵，
∴当点与点重合时，点在从点运动到点的途中，
∴，即线段的长为；
（3）解：由题意得，点从点运动到点的时间为秒，则点从点出发再回到点的时间为秒，点在从点运动到点的时间为秒，
∵，为轴对称图形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，，，
∴，解得；
当时，，，
∴，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，，
∴，解得；
综上可知，当为轴对称图形时，的值为或；
（4）解：如图，
∵，
∴，
当时，，，
∴，解得；
当时，，，
∴，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，，
∴，解得；
综上可知，当时，的值为或．
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽．
【知识储备】
(1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为__________
一般结论：正方形的对角线与边长的比是__________
【项目素材】如图2，按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸．
【任务探究】
(2)任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍；
(3)任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好和点重合，求纸的长与宽之比．
【答案】(1)，
(2)2，2
(3)
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求出边长长度；观察图形找出小正方形的对角线即是大正方形边长，大正方形对角线即是两个小正方形边长之和，即可求出大小正方形对角线和边长之比，从而总结出正方形的对角线与边长的比．
（2）根据对折的性质即可求出面积比，根据对折的性质先求出长和宽的变化，利用周长公式即可求出纸周长是纸周长的几倍．
（3）根据第一次折叠落在边上即可判断第一次折叠形成了正方形，利用第二次折叠可判断，然后根据正方形对角线与边长比即可求出纸的长与宽之比．
【详解】（1）解：大正方形的面积是2，
大正方形的边长为．
小正方形的边长为1，小正方形对角线的长度是大正方形的边长即，
小正方形对角线与边长比为．
大正方形的边长为，大正方形对角线的长度是两个小正方形边长之和，即，
大正方形对角线与边长比为．
正方形的对角线与边长比为．
（2）解：的面积是，是对折而来，
的面积为，
是对折而来，
的面积是，
的面积是面积的倍．
设的长和宽分别为，则的长和宽分别为，的长和宽分别为，
的长和宽分别为，的长和宽分别为，
的周长为，
的周长为，
的周长是周长的倍．
（3）解：由题意，根据折叠性质可知，第一次折叠后是正方形，
由（1）可知，正方形对角线与边长之比为，
，
，
纸的长与宽比为．
15．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题．
最短路径问题
提出问题
如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
理解模型
如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短．
应用模型
如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？
迁移延伸
如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F．
(1)任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，．
根据轴对称性质，得， ①，
∴，
∵(② ）
∴，即路径最短．
(2)任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论）
(3)任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由．
【答案】(1)①，②三角形任意两边之和大于第三边
(2)解：如图所示，点C，D即为所确定的点．
此时步道总长度最短，为的长．
(3)解：为等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，
由对称可知，，
∴，，
∴为等腰直角三角形.
【分析】（1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可；
（2）分别作点A关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线；
（3）根据对称性得到，，即可得出结论.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
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专题01 轴对称
常考题型·精准突破
考点一 轴对称及其性质
题型1 轴对称图形的识别
题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断与求解
题型3 轴对称的实际问题
题型4 折叠问题（难）
考点二 线段的垂直平分线
题型1 线段垂直平分线的判定（重）
题型2 线段垂直平分线的性质（重）
题型3 作已知线段的垂直平分线（重）
考点三 画轴对称图形
题型1 画轴对称图形
题型2 镜面对称
题型3 坐标系中的轴对称（重）
题型4 线段问题（难）
题型5 面积问题（难）
题型6 角度问题（难）
题型7 其他问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 轴对称及其性质
◆题型1 轴对称图形的识别
1．（2026·江西赣州·一模）如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________．
要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点，
由图可知点．
3．（2026八年级下·广东佛山·竞赛）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个．
◆题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断与求解
4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．直线l垂直平分
5．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________．
◆题型3 轴对称的实际问题
7．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ．
9．（25-26六年级下·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______．
◆题型4 折叠问题
10．（26-27八年级上·北京海淀·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在点的位置，若，则_________．
11．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点D、C的对应点分别为．线段交线段于点G，若，则的度数是______
12．（26-27八年级上·重庆巴南·阶段检测）已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论．
考点二 线段的垂直平分线
◆题型1 线段垂直平分线的判定
13．（26-27八年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，的两条高与交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，试说明：是的垂直平分线．
14．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)与的数量关系为___________；
(2)求的长；
(3)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
15．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点．
(1)若，则长为______；
(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若，，则_____．
◆题型2 线段垂直平分线的性质
16．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
17．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（）
(1)当点在边上时，________（用含的代数式表示）；
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值；
(3)连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值；
(4)当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值．
◆题型3 作已知线段的垂直平分线
19．（26-27八年级上·福建莆田·期中）尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数．
(2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？
20．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
21．（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图，在中．
(1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长
考点三 画轴对称图形
◆题型1 画轴对称图形
22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）按要求完成作图：
(1)如图1，点与点关于直线对称，用直尺和圆规作出直线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，在网格图中，的三个顶点都在格点上，直线在格线上，请在网格图中画出，使它与关于直线对称．
(3)如图3，已知给定的两个三角形成中心对称，是边上一点，只用无刻度直尺作出点的对应点．
23．（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的三个顶点在格点上．
(1)作出与关于轴对称的图形；
(2)请在轴上找到一个点，使得点到点、点的距离的和最短（保留作图痕迹，不要求写作法）．
24．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点坐标是________，点坐标是________；
(3)与的对称轴是________．
◆题型2 镜面对称
25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？
26．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( )
A． B． C． D．
27．（25-26七年级上·上海·阶段检测）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______．
◆题型3 坐标系中的轴对称
28．（26-27八年级上·吉林·期中）点与点关于轴对称，则______．
29．（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为________________________
30．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)请画出关于y轴对称的．
◆题型4 线段问题
31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，．
(1)画出关于轴对称的．
(2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标．
32．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空：
(1)平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______；
(2)在y轴上找出点F，使最小，并直接写出点F的坐标为______．
33．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
◆题型5 面积问题
34．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，
(1)作关于轴的对称图形；
(2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的；
(3)连接， 则轴与的关系是 ；
(4)求出四边形的面积．
35．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是．
(1)按要求作图：关于轴对称的图形；
(2)将点先向上平移个单位，再向右平移个单位得到点的坐标为________；
(3)求的面积．
36．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．
(1)在方格纸中画出，使与关于直线对称；
(2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积．
◆题型6 角度问题
37．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是( )
A． B． C． D．
38．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．
39．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
◆题型7 其他问题
40．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的图形；
(2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小；
(3)计算的面积．
41．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)作边上高．
(2)画出点D关于的对称点F；
(3)画射线，平分．
42．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于y轴的轴对称图形；直接写出（___，___）；
(2)过点作x轴的垂线l，在内有一点，则点Q关于直线l的对称点的坐标为（___，___）（结果用含m，n的式子表示）．
综合攻坚·知能拔高
1．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接． 若，则的周长为______ ；若，则的度数为_______．
7．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与、边分别相交于点、，当为直角三角形时，的度数为________．
8．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，等腰中，，周长是11，的垂直平分线交于点，则__________．
9．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________．
10．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______．
11．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）解答下列问题
(1)将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式
(2)写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．
①如果，那么；
②两直线平行，同旁内角互补．
12．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
13．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）．
(1)在点从点运动到点的过程中，线段的长为___________（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求线段的长；
(3)当为轴对称图形时，求的值；
(4)分别过点作于点，于点，当时，直接写出的值．
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽．
【知识储备】
(1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为__________
一般结论：正方形的对角线与边长的比是__________
【项目素材】如图2，按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸．
【任务探究】
(2)任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍；
(3)任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好和点重合，求纸的长与宽之比．
15．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题．
最短路径问题
提出问题
如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
理解模型
如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短．
应用模型
如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？
迁移延伸
如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F．
(1)任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，．
根据轴对称性质，得， ①，
∴，
∵(② ）
∴，即路径最短．
(2)任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论）
(3)任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由．
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