第十五章 轴对称章节核心题型突破（压轴篇，专项训练）数学新教材人教版八年级上册
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内容正文：
第十五章 轴对称章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
题型02 倍角关系构造等腰三角形
题型03 截长补短构造等腰三角形
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
题型09 动点运动过程综合问题
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
难度层级：压轴 | 知识点：垂直平分线的判定 / 角平分线的性质判定
1．如图①，P为内一点，连接，
（1）证明：；
（2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数．
【答案】（1）证明：延长交于点D，
在中，，
∵，
∴
在中，，
①+②，得，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：∵，
∴，
∵M、N分别在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．在中，，．点在的平分线所在的直线上．
（1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；
（2）如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点．
①求的大小；
②若，，直接写出的长度______．
（3）如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______．
【答案】（1）证明：连接，，如图1，
点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，
，
在和中，
，
，
，
点在的垂直平分线上；
（2）①；②2 （3）4；3或6或9或18．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．
（1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上；
（2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解；
②延长交于，证明，得到，再由，即可求解；
（3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：①平分，平分，，
∴，，
，即，
，
，即，
；
故答案为：；
②延长交于，如图2，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵，，，，
，
，
，
，，，
，
，
；
【小问详解】(3)小问详解： 解：∵点到三边所在直线的距离相等，
∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点；
当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3：
，
，
，
点到直线的距离是；
当点在的下方时，如图4：
设点到三边的距离为，
则由得，
∴，
同理，
，
，
点到直线的距离是；
当点D在的右边时，如图：
设点D到三边的距离为y，
同理可得：，则，
∴，
点D到直线l的距离是；
当点D在的上方时，如图：
设点D到三边的距离为z，
同理可得：，
∴，
点D到直线l的距离是；
综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18．
故答案为：4；3或6或9或18．
3．【问题提出】
（1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______；
【问题探究】
（2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计）
【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点．
（1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解；
（2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证；
（3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解．
【详解】解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由见解析：
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点作，垂足为，如图③：
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：游客饮水区到凉亭的距离为．
4．综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线．
【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由；
【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数；
【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点．
【答案】（1）直线是线段的垂直平分线，理由：
∵在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴直线否是线段的垂直平分线；
（2）；
（3）不能
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质和已知得到，再由是的中点得到，进而即可得解；
（2）先利用三角形内角和定理计算出，然后再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，，进而计算即可得解；
（3）满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）．对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部．
【详解】解：（1）略
（2） 解：∵在中，，，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
（3）不能．理由：
满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）．
对于锐角三角形，外心在三角形内部；
对于直角三角形，外心在斜边中点；
对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部．
∵题目要求在的内部找一点P，而钝角三角形的外心在外部，
∴小明不能找到满足题意的点．
故答案为：不能．
题型02 倍角关系构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（倍角）
1．在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．
（1）如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”；
（3）如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数．
【答案】（1）是 （2）解：，
，
，
在中，，又，
，
∴，
∵，
∴，
，
是“倍角三角形”；
（3）或或或
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质及“倍角三角形”定义，熟练掌握三角形内角和为、等腰三角形底角相等及“倍角三角形”的角的倍数关系是解题关键．
（1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线定义得，最后求，判断是否存在角的2倍关系．
（2）由得等角，推出，结合已知条件和三角形内角和，推导与的2倍关系．
（3）我们先设，根据三角形内角和求出．然后分两种维度讨论：一是作为“倍角三角形”的六种角度关系；二是作为等腰三角形的三种情况（、、）．通过结合这两种情况，分类计算出所有符合条件的的度数．
【小问详解】(1)小问详解： 解：∵，，
∴，
平分，
，
∴在中，，
，
是“倍角三角形”，
故答案为：是；
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：设，则，
情况1：中，时，即，
解得，
∴，
，，
由为等腰三角形，分以下子情况：
若，则，即，
解得（舍去，角度不能为负）；
若，则，即，
解得；
若，则（舍去，三角形内角和超过）；
情况2：中，，
∵,，
∴，
解得，
∴，
，，
由为等腰三角形，分以下子情况：
若，则，即，
解得（舍去）；
若，则，即，
解得；
若，则，即（舍去，内角和超过）；
情况3：中，时，（舍去，角度不能为负）；
情况4：中，时，（舍去，角度不能为负）；
情况5：中，时，即，
解得，
则，，
，
由为等腰三角形，分以下子情况：
若，则，即，
解得（舍去）；
若，则，即，
解得；
若，则，（舍去，内角和超过）；
情况6：中，时，即，
∴，
∴， ，
由为等腰三角形，分以下子情况：
若，则，（舍去，内角和超过）；
若，则，即，
解得；
若，则，（舍去，内角和超过）；
综上，所有可能的的度数为或或或.
2．【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系．
【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______；
【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系．
以下是小明探究线段数量关系的部分过程：
证明：如图③，在上截取，连接．
∵为的平分线，
∴．
在和中，
∵，，，
∴
∴，．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______．
【答案】【特例研究】，；【特例研究】如图③，在上截取，连接．
∵为的平分线，
∴．
在和中，
∵，，，
∴
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【拓展研究】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形：
【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可；
【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可；
【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果．
【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接，
∵为的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【深入探究】略
【拓展研究】在上截取，
∵平分，
∴
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故．
3．如图，为的角平分线，交的延长线于点，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：，
，
交的延长线于点，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）； （3）证明：如下图所示，过点作，
，
，
由可知，，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立；
过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知；
过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：如下图所示，过点作，
由可知，
为的角平分线，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
【小问详解】(3)小问详解： 略
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
4．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程．
证明：，
．
即．
在和中
（________）．
（2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明．
【答案】（1），； （2）如图2，在上取一点，使，
，，
，，
，
，
，
，
又，，，
，
设和交于点，
，
．
（3）．
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，
同理可证：，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论；
（2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论．
【小问详解】(1)小问详解： 证明：，
，
即，
在和中，
，
，
故答案为：，；；
【小问详解】(2)小问详解： 解：略；
【小问详解】(3)小问详解： 解：略．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键．
题型03 截长补短构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（截长补短）
1．【问题提出】
如图1，在等腰中，，在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，______；（提示：在上截取，使，连接）
（2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
【问题拓展】
将图1特殊化，如图3，当时，连接，是的中点，是的中点．判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）（2）（3）为等腰直角三角形，证明如下：
连接，延长交于G，连接，设与交于H，
由（2）得：当时，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
N是的中点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形．
【分析】（1 ）在上截取，使，连接，根据角的关系可证，可得，进而可证是等边三角形，即可得解；
（2）在上截取，使，连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质即可得解；
（3）连接，延长交于G，连接，设与交于H，证明，再证明，即可证明为等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可得证．
【详解】解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
（2）解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：略．
【点睛】本题考查了三角形的综合应用，主要考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线．
2．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点且绕点在所在平面内转动，作，，、为垂足．
（1）如图，在上截取，连接、．
①判断和的关系，并说明理由；
②求证：；
（2）在图中，（1）中②的结论是否成立?若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）在图中，（1）中②的结论是否成立?若成立，请说明理由；若不成立？请直接写出、、三条线段的数量关系．（无需证明）
【答案】（1）解：①和垂直且相等，理由如下：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即和垂直且相等．
②证明：由（1）知 ，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论不成立，正确的结论为：，证明如下：
截取，如图：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）不成立， 、、三条线段的数量关系为
【分析】（1）①通过导角证明，进而得出，根据全等三角形的性质可得，，进而证明，可得和垂直且相等；②根据，，可得，通过等量代换可得；
（2）截取，如图，通过，，可证，进而证明，同（1）②可证；
（3）截取，如图，通过，，可证，进而证明，同（2）可证．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：结论不成立，正确的结论为：，证明如下：
截取，如图：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求的大小；
（3）猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：如图所示：
（2） （3）解：．
证明：过点A作交于点H，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）根据题干要求画图即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得答案；
（3）过点A作交于点H，连接，先证明，再证明，得到，，进而根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，然后进行线段的和与差即可得出结论．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴；
【小问详解】(3)小问详解： 略
4．在中，，点分别在边，且，如图①．
（1）求证：．
（2）若为上一点（不与重合），连接，过点作，截取，连接．如图②，求证：．
（3）连接．如图③，的度数为__________．
（4）连接，交于点，如图④，若为等腰三角形，请你直接写出的度数．
【答案】（1）解：证明：∵在中，，
∴ ，
，
，
又∵，
∴；
（2）解：证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴（SAS）；
（3） （4）或
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质和平行线性质即可得出本题答案；
（2）根据题意用SAS证明；
（3）根据SAS证明，继而利用全等三角形的性质解答本题；
（4）根据等腰三角形性质分三种情况讨论并利用三角形内角和定理即可得到本题答案．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：由（1）得：
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【小问详解】(4)小问详解： 解：∵为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
在中，，
∴；
②当时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴与三角形内角和相矛盾，
所以本种情况舍去；
③当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：∠AFD的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，平行线性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理．
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
难度层级：压轴 | 知识点：轴对称综合题（最短路径深化）
1．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（ ）
A. C.
B. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，
∴此时，周长最小，为线段的长度，
根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A. 118° C. 120°
B. 121° D. 119°
【答案】A
【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案．
【详解】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，
根据对称的性质有：，，
∴周长的为．
当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为，
则的长度即为周长的最小值．
∵，
∴．
∵，，且，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理和三角形外角的定义等知识，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键．考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
3．如图，E是的外角平分线上一点，且．
（1）求证：；
（2）试判断三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点P，Q分别在线段上运动（不含端点），的周长是否有最小值？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵E是的外角平分线上一点，且，
∴，
如图1，在上截取使，则是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）知，，
∴，
∴；
（3）的周长有最小值，此时的度数为
【分析】（1）由角平分线求得，如图1，在上截取使，则是等边三角形，证明，则；
（2）由（1）知，，根据，作答即可；
（3）证明是等边三角形，则，如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，由轴对称的性质可求，的周长为，当四点共线时，的周长最小，然后根据三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形两锐角互余角等，计算求解角度即可．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴当四点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
∴的周长有最小值，此时的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，等边对等角．有时构造等边三角形，根据轴对称的性质求解两动点一定点的三角形的周长问题是解题的关键．
4．(1)如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
(2)如图2，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使彻E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，保留作图痕迹．
【答案】（1）如图，作关于直线的对称点，连接交于点．则点就是所要求作的点．理由如下：
在上取不同于的点，连接、．
和关于直线对称，
，，而，
，
．
即周长小于周长；
（2）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，于，则点，就是所要求作的点．理由如下：
在，上取不同于，的点，连接、，．
和关于直线对称，
，，，，
．
【分析】（1）由于的周长，而是定值，故只需在直线上找一点，使最小．如果设关于的对称点为，使最小就是使最小；
（2）如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，此时使得、、、，四点组成的四边形的周长最短．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题的关键．
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
难度层级：压轴 | 知识点：等边/等腰全章池（手拉手）
1．如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．
要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明①________，得到，进而证得②________，得证为的平分线；
（1）请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______．
（2）在刘同学的思路下求的周长；
（3）当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．
【答案】（1），， （2）12 （3）6
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质得到，如图所示，延长至点F，使，连接，可证明，得到，，再证明，即可求解；
（2）根据（1）中三角形全等得到，结合三角形周长的计算即可求解；
（3）如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接，证明，得，，再证明，得到，，最后证明，得，结合三角形周长的计算即可求解．
【小问详解】(1)小问详解： 解：∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵以为底边作一个顶角为的等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
如图所示，延长至点F，使，连接，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线；
故答案为：①，②；
【小问详解】(2)小问详解： 解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：．
【小问详解】(3)小问详解： 解：如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接，
∵是等腰三角形，且，
∴，，，
∵等边三角形，
∴，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长为．
2．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________；
（2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________．
【答案】（1） （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由：
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质．
（1）根据证明即可；
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即；
（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长．
【小问详解】(1)小问详解： 证明：∵
∴
∴
在和中，，
∴．
故答案为：；
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：由（1）的方法得，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”．
（1）如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是________，的度数为________．
（2）如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系________，并说明理由．
【答案】（1）△， （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
；
②，理由如下：
过点作于点，过点作延长线于点，
，，，
，
在△中，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
同理：△△，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
．
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解；
（2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出；
②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到．
【小问详解】(1)小问详解： 解：如图1中，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
故答案为：△，；
【小问详解】(2)小问详解： 略．
4．小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是．
（1）如图1，在中，，，点D在上，且，则的度数为________°；通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点B引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究．
（2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数；
【答案】（1） （2）如图所示：
【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键．
（1）由题意得，根据，得，即可求解；
（2）根据题意作相应边的垂直平分线即可；
【小问详解】(1)小问详解： 解：∵，，
∴；
∵，
∴，
∴；
【小问详解】(2)小问详解： 略
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（中线分类）
1．一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ）
A. C. 或
B. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答．
【详解】解：∵为边上的中线，
∴．
设腰长，底边．
则一部分周长为，另一部分为．
两部分的差为．
依题意，，
∴或，解得：或．
当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去．
当时，三边为，可以构成三角形．
∴周长．
故选B．
2．填空：
（1）如果等腰三角形的一个内角为，那么其他两个角的度数为________．
（2）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为________
【答案】① ，或， ② 或
【分析】(1)先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
(2)设腰,底边,根据题意，分类表示周长，构造方程组解答，结合三角形的存在性，判断取舍解答即可．
【小问详解】(1)小问详解： 解：当是等腰三角形的顶角时，则底角为 ，即其它两个角的度数为； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是，即其它两个角的度数为．
故答案为：或．
【小问详解】(2)小问详解： 解：设腰,底边,
∵等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，
或，
解得： 或 ，
等腰三角形的三边长分别为或,
两种情况下，均可以组成三角形，
等腰三角形的腰长为或,
故答案为：或.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形三边关系和等腰三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握这些知识.
3．综合与探究
【模型感知】
（1）如图1，和都是等腰直角三角形，其中与是斜边，连接，，求证：．
【模型构建】
（2）如图2，是等腰直角三角形，其中是斜边，点D在的垂直平分线上，连接，，且．是斜边为的等腰直角三角形．
①请在图2中作斜边为的等腰直角三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种情况即可）
②设直线与直线交于点P，请直接写出的度数．
【模型拓展】
（3）如图3，和都是等腰直角三角形，其中与是斜边，延长至点F，使得，连接，，，若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）①当点在右侧，等腰直角三角形即为所求：
当点在左侧，如图所示，等腰直角三角形即为所求：
②或；（3）18
【分析】（1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论；
（2）①当点在右侧，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则等腰直角三角形即为所求；当点在左侧，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则等腰直角三角形即为所求；②分两种情况讨论，当点在右侧，当点在左侧，根据垂直平分线的性质得到，则有，再利用三角形内角和定理即可求解；
（3）延长至点，使得，连接、，先证明，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）略
（2）①略
②当点在右侧，如图，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∵斜边为的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴；
当点在左侧，如图，
∵点D在的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵斜边为的等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（3）如图，延长至点，使得，连接、，
∵，，，
∴，
∴，，
∵和都是等腰直角三角形，其中与是斜边，
∴，，，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、尺规作图、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
4．【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【问题提出】
（1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形．
小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明：
∵是的外角，
∴_______________，
又∵，
∴_______________，
∴________，
∴是等腰三角形．
【初步应用】
（2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，于D，，求证：．
【拓展提升】
（4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长．
【答案】（1），，，，（2）解：是等腰三角形，理由为：
∵等边中，
∴
∵是中线，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形；
（3）解：如图，延长至，使得，连接，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵于D，
∴；
（4）
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
（1）根据三角形的外角即可得到，即可得到，进而得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到，然后根据中线得到，，进而推导，得以判定的形状；
（3）延长至，使得，连接，得到，然后根据三线合一解题即可；
（4）延长到点，使得，连接，则有，然后证明即可得到，然后利用的周长即可解题．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）解：延长到点，使得，连接，
则，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴
∴，即，
又∵的周长为10，，
∴，即，
∴．
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（动点等腰时刻）
1．在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点满足：；平分交于点．
（1）如图1，连，求证：；
（2）如图2，当时，线段之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明；
（3）如图3，当时，且，若，请直接写出线段的长是________（只填写结果）．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
，
∴（SAS）；
（2），证明如下：
∵，，
∴，，
在上截取，连接，如图所示：
，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即之间存在的关系为：；
（3）6
【分析】（1）根据边长之间的关系，可以得到，再根据角平分线的性质得到，还有一条公共边，所以根据SAS可得到结果；
（2）在上截取，构造全等三角形，找到边长之间的关系以及角度之间的关系，得到为等边三角形，然后根据边长之间的关系可得到；
（3）延长交于点，由题可知为等腰直角三角形，根据角度之间的关系，可得到，再根据两个三角形全等可得到最终结果．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
【小问详解】(3)小问详解： 解：延长交于点，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴
，
即，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，即，
在中，
，
∴（ASA），
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
2．如图，在中，，，动点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是以为顶角的等腰三角形时，运动时间是多少？
【答案】运动时间为4s
【分析】设运动的时间为,则，当是以为底的等腰三角形时，，则，解得即可．
【详解】解：设运动时间为s，
则，，
由，
解得．
∴运动时间为4．
【点睛】此题主要考查对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握．
3．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．
（1）如图①，点E在运动过程中，求的度数；
（2）如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程；
（3）在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）存在，．
【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数；
（2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出；
（3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答．
【小问详解】(1)小问详解： 解：如图1，作交于点F，则，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【小问详解】(2)小问详解： ，理由如下：
如图2，作交于点G，作于点H，则，
，
为中点，
，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问详解】(3)小问详解： 在点E运动过程中，存在是等腰三角形，
，
，
是钝角三角形，
当是等腰三角形时，只存在一种情况：，
如图3，过点C作交于G，
由（1）得，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生．
4．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）；
②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系；
（2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明．
【答案】问题提出：证明：∵、都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
方法应用：（1）①；
②证明：过点作，交于点，如下图：
是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，是等边三角形，
，，，
，，
在中，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
如下图，在上截取，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
。
【分析】问题提出：根据等边三角形的性质可得，再通过角的转换可得，进而可证明，则可证明；
方法应用：（1）①过点E作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点E作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证；
（2）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解．
【详解】解：问题提出：略
方法应用：（1）证明：过点E作，交于点G，如下图：
是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②略
（2）略
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
难度层级：压轴 | 知识点：格点/找点构成等腰三角形
1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A. 6 C. 8
B. 7 D. 9
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决；
【详解】解：如图所示，以为顶点；
如图所示，以为顶点；
如图所示，以为顶点；
综上可知：等腰三角形一共8个，
故选：C．
2．平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 6 C. 8
B. 7 D. 9
【答案】C
【分析】此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．先根据点，的坐标求出与轴的交点为线段的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，③过点作交轴于，（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，综上所述可得出答案．
【详解】解：，，
，，
的中点坐标为，
与轴的交点即为的中点，
在坐标轴上取点，使为等腰三角形，
有以下两种情况：
（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：
①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图1所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点；
②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，如图2所示：
此时，
为等腰三角形，则点为所求的点；
③过点作交轴于，连接，如图3所示：
点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰三角形，则点为所求的点．
综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个．
（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：
①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图4所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点，
②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图5所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点．
综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个．
在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是8个．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，已知点，点在坐标轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点的个数是________．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，利用数形结合思想，分情况讨论等腰三角形的腰和底，确定点的位置即可求解．
【详解】解：是等腰三角形，分三种情况讨论：
如图，当为底边时，点在的垂直平分线上，的垂直平分线与轴、轴各有个交点，共得到个符合条件的点；
如图，当为腰时，顶点为原点时，以为圆心，长为半径画圆，，该圆与轴、轴各有个交点，共得到个符合条件的点；
如图，当为等腰三角形的腰，顶点为点时，以为圆心，长为半径画圆，该圆与轴、轴各有个交点，其中一个交点为原点，不能构成三角形，舍去，因此共得到个符合条件的点；
综上所述，满足条件的点共有个．
4．如图，在平面直角坐标系中，，，若过作直线轴，则直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在写出所有满足条件的点的坐标________
【答案】或或
【分析】根据是以为腰的等腰三角形，分三种情况进行讨论即可．
【详解】解：如图所示，
①当时，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
②当时，
，
∴点的坐标为；
③当时，
，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
题型09 动点运动过程综合问题
难度层级：压轴 | 知识点：等腰/轴对称全章池（动点综合）
1．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：
①；
②；
③，分别表示和的面积，则；
④的周长不变．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ C. ①③④
B. ①②④ D. ①③④
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证①结论正确；根据可证是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质可证，根据角之间的关系可知，可得②结论正确；当点与点重合时，点与点重合，可得，当时，，可得：，可证③结论正确；的长度随的变化而变化，所以的周长是变化的，可知④结论错误．
【详解】解：，，为中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故①结论正确；
，
，
，
，
是的外角，
，
，故②结论正确；
，
当点与点重合时，点与点重合，此时取得最大值，即最大，
此时与重合，
则，
当时，，此时取得最小值，即最小，
此时，，
则，
，故③结论正确；
，
，
，
的周长，
，，即为等腰直角三角形，
斜边的长度随长度的变化而变化，
即的周长是变化的，故④结论错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝6，高AD，BE 相交于点O，CE＝AE
（1）求线段 BO的长；
（2）动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，①设△POQ的面积为S．请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
②点F是直线BC上一点，且CF＝AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【答案】（1）6 （2）①；②或2
【分析】（1）证△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AD，再证△BDO≌△ADC（ASA），即可得出BO＝AC＝6；
（2）①当0＜t＜1时，由三角形面积公式得S＝OP•QE＝；当1＜t≤6时，S＝OP•QE＝即可；
②两种情况，点F在线段BC延长线上，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），得t＝6﹣4t，解得t＝ ；
点F在线段BC上，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），得t＝4t﹣6，解得t＝2即可．
【小问详解】(1)小问详解： 解：（1）∵，AD，BE为高，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问详解】(2)小问详解： 解：①∵，，
∴，
当点Q运动到点E时，，
当时，
如图1，；
当时，如图2，．
综上所述，；
②∵，
∴，
当点F在线段BC延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
解得：；
当点F在线段BC上时，如图4，
∵，
∴，
∴当时，，
∴，
解得：．
综上所述，当与全等时，t的值为或2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由；
【问题解决】
（3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度．
【答案】（1）17；（2），证明见解答过程；（3）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键．
（1）延长交的延长线于点，证明和全等得，进而得，再根据平分得，则，由此可得出之间的等量关系，即可求解；
（2）延长至点，使，连接，根据是的中线，得出，证明和全等得，再根据，得，进而得，由此即可得出结论；
（3）过点作于点，延长相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，再根据得，则，然后根据，即可得出答案．
【详解】（1）解：延长交的延长线于点，
如图①所示：
，
，
点是的中点，
，
在和中
，
，
，
，
平分，
，
又，
，
，
∵，，
．
（2）证明：延长至点，使，连接，
如图②所示：
∵是的中线，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）过点作于点，延长相交于点，
如图③所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N．
【观察发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明；
【探究迁移】
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：；
（3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为________．
【答案】（1）；（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3），理由：∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴
（4）8或16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过证明三角形全等实现线段与角的转化，进而推导各结论．
（1）通过证明，结合得EN与BC的关系；
（2）先证得，再证得；
（3）同理证全等得，再证推导BD与MN的关系；
（4）分的位置，结合面积与全等关系计算的面积．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，
∴．
∵ ，
∴．
∴与的数量关系是，位置关系是．
（2）略
（3）略
（4）解：设，分两种情况讨论：
情况一：当在边上时，
，即,
,
∴.
∴．
情况二：当在延长线上时，
,
∴.
∴．
故答案为：8或16．
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（构造分类）
1．【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______．
②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，，求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题；
（2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算；
（3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可．
【详解】解：①，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
②，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；；
（2）过点作，垂足为，如图3，
，，
由（1）知，，
；
（3）过点作于点，则，，
，
分三种情况：
①如图4，当时，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
，
；
②如图5，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，
同①：，
，
，
；
③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，
同①：，
，，设，则，
，，
，
，
，
故的面积为9或12或24．
2．从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可分割三角形”．这条线段叫作这个三角形的“分割线”．
（1）图中①、②均是可分割三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的分割线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数；
（2）已知是可分割三角形，且，为钝角，请通过画图的方式写出所有可能的度数．（画出图形，标出的度数）
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：所有可能的度数为或或如图所示，
如图③所示，当时，则，
∴，
∴；
如图④所示，当时，则，
∴；
如图⑤所示，当时，，
∴，此时不符合题意；
如图⑥所示，当时，则，
∴；
综上，所有可能的度数为或或．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角定理，解题的关键是理解题意，掌握分类讨论的数学思想．
（1）根据题意，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理及外角定理进行作图即可；
（2）根据题意，画出图形，采用分类讨论的数学思想进行求解即可．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 略
3．浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题：
7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．．
（1）请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数．
（2）小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答：
【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上）
【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________．
【答案】（1）画法一：若其中一个等腰三角形的顶角是，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图：
画法二：若其中一个等腰三角形的底角是，作的垂直平分线，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图：
（2）问题一，如图，
问题二，或或或
【分析】本题考查等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形内角和定理，运用分类讨论思想和构造法解题，关键是根据内角和与等腰三角形性质合理分割三角形，易错点在于忽略不同分割情况导致漏解；
（1）需根据等腰三角形 “等角对等边”，尝试从不同顶点作线段分割，使分割后的两个三角形均满足两内角相等；
（2）问题一，要构造一个与原三角形内角完全相同的小三角形，再使另一个为等腰三角形；问题二则通过设定原三角形含角，分类讨论不同分割方式下的最大内角．
【小问详解】(1)小问详解： 略
【小问详解】(2)小问详解： 解：问题一：作的角平分线，即可得解．
问题二：设：原三角形三个内角为、、 （）；
分情况讨论：
分割后一个三角形内角为、、，另一个等腰三角形
若分割后等腰三角形顶角为，则底角为；
此时原三角形最大角,
代入内角和得
符合条件，最大角为；
若分割后等腰三角形底角为，
则，即，
此时原三角形最大角，
符合条件，最大角为；
若
符合条件，最大角为；
④角为共用角（子母型）
，即
讨论：、当时，代入解得，，，符合
、当时，，结合可解得，
，得，同①；
、当时，，联立时无解，舍去．
故答案为或或或．
4．已知在中，，，点C是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点O在的内部，
①当时，求的度数；
②当CO平分时，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点D，是以为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接写的度数（友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无关）．
【答案】（1）①；②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）的度数为或
【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数；
②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数．
【小问详解】(1)小问详解： 解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②略
【小问详解】(2)小问详解： 解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
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第十五章 轴对称章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
题型02 倍角关系构造等腰三角形
题型03 截长补短构造等腰三角形
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
题型09 动点运动过程综合问题
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
难度层级：压轴 | 知识点：垂直平分线的判定 / 角平分线的性质判定
1．（1）证明：延长交于点D，
在中，，
∵，
∴
在中，，
①+②，得，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）
2．（1）证明：连接，，如图1，
点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，
，
在和中，
，
，
，
点在的垂直平分线上；
（2）①；②2 （3）4；3或6或9或18．
3．（1）；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为．
4．（1）直线是线段的垂直平分线，理由：
∵在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴直线否是线段的垂直平分线；
（2）；
（3）不能
题型02 倍角关系构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（倍角）
1．（1）是 （2）解：，
，
，
在中，，又，
，
∴，
∵，
∴，
，
是“倍角三角形”；
（3）或或或
2．【特例研究】，；【特例研究】如图③，在上截取，连接．
∵为的平分线，
∴．
在和中，
∵，，，
∴
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【拓展研究】
3．（1）证明：，
，
交的延长线于点，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）； （3）证明：如下图所示，过点作，
，
，
由可知，，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（1），； （2）如图2，在上取一点，使，
，，
，，
，
，
，
，
又，，，
，
设和交于点，
，
．
（3）．
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，
同理可证：，
，
，
，
，
，
．
题型03 截长补短构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（截长补短）
1．（1）（2）（3）为等腰直角三角形，证明如下：
连接，延长交于G，连接，设与交于H，
由（2）得：当时，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
N是的中点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形．
2．（1）解：①和垂直且相等，理由如下：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即和垂直且相等．
②证明：由（1）知 ，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论不成立，正确的结论为：，证明如下：
截取，如图：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）不成立， 、、三条线段的数量关系为
3．（1）解：如图所示：
（2） （3）解：．
证明：过点A作交于点H，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
4．（1）解：证明：∵在中，，
∴ ，
，
，
又∵，
∴；
（2）解：证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴（SAS）；
（3） （4）或
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
难度层级：压轴 | 知识点：轴对称综合题（最短路径深化）
1．B
2．A
3．（1）证明：∵E是的外角平分线上一点，且，
∴，
如图1，在上截取使，则是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）知，，
∴，
∴；
（3）的周长有最小值，此时的度数为
4．（1）如图，作关于直线的对称点，连接交于点．则点就是所要求作的点．理由如下：
在上取不同于的点，连接、．
和关于直线对称，
，，而，
，
．
即周长小于周长；
（2）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，于，则点，就是所要求作的点．理由如下：
在，上取不同于，的点，连接、，．
和关于直线对称，
，，，，
．
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
难度层级：压轴 | 知识点：等边/等腰全章池（手拉手）
1．（1），， （2）12 （3）6
2．（1） （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由：
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
3．（1）△， （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
；
②，理由如下：
过点作于点，过点作延长线于点，
，，，
，
在△中，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
同理：△△，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
．
4．（1） （2）如图所示：
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（中线分类）
1．B
2．① ，或， ② 或
3．（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）①当点在右侧，等腰直角三角形即为所求：
当点在左侧，如图所示，等腰直角三角形即为所求：
②或；（3）18
4．（1），，，，（2）解：是等腰三角形，理由为：
∵等边中，
∴
∵是中线，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形；
（3）解：如图，延长至，使得，连接，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵于D，
∴；
（4）
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（动点等腰时刻）
1．（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
，
∴（SAS）；
（2），证明如下：
∵，，
∴，，
在上截取，连接，如图所示：
，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即之间存在的关系为：；
（3）6
2．运动时间为4s
3．（1）； （2），理由见解析； （3）存在，．
4．问题提出：证明：∵、都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
方法应用：（1）①；
②证明：过点作，交于点，如下图：
是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，是等边三角形，
，，，
，，
在中，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
如下图，在上截取，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
。
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
难度层级：压轴 | 知识点：格点/找点构成等腰三角形
1．C
2．C
3．
4．或或
题型09 动点运动过程综合问题
难度层级：压轴 | 知识点：等腰/轴对称全章池（动点综合）
1．A
2．（1）6 （2）①；②或2
3．（1）17；（2），证明见解答过程；（3）
4．（1）；（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3），理由：∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴
（4）8或16
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（构造分类）
1．（1）①；②；（2）；（3）9或12或24
2．（1）解：如图所示，
（2）解：所有可能的度数为或或如图所示，
如图③所示，当时，则，
∴，
∴；
如图④所示，当时，则，
∴；
如图⑤所示，当时，，
∴，此时不符合题意；
如图⑥所示，当时，则，
∴；
综上，所有可能的度数为或或．
3．（1）画法一：若其中一个等腰三角形的顶角是，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图：
画法二：若其中一个等腰三角形的底角是，作的垂直平分线，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图：
（2）问题一，如图，
问题二，或或或
4．（1）①；②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）的度数为或
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第十五章 轴对称章节核心题型突破（压轴篇）
目 录
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
题型02 倍角关系构造等腰三角形
题型03 截长补短构造等腰三角形
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
题型09 动点运动过程综合问题
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
题型01 垂直平分线与角平分线的综合
难度层级：压轴 | 知识点：垂直平分线的判定 / 角平分线的性质判定
1．如图①，P为内一点，连接，
（1）证明：；
（2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数．
2．在中，，．点在的平分线所在的直线上．
（1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；
（2）如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点．
①求的大小；
②若，，直接写出的长度______．
（3）如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______．
3．【问题提出】
（1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______；
【问题探究】
（2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计）
4．综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线．
【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由；
【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数；
【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点．
题型02 倍角关系构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（倍角）
1．在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．
（1）如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”；
（3）如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数．
2．【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系．
【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______；
【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系．
以下是小明探究线段数量关系的部分过程：
证明：如图③，在上截取，连接．
∵为的平分线，
∴．
在和中，
∵，，，
∴
∴，．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______．
3．如图，为的角平分线，交的延长线于点，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．
4．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程．
证明：，
．
即．
在和中
（________）．
（2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明．
题型03 截长补短构造等腰三角形
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（截长补短）
1．【问题提出】
如图1，在等腰中，，在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，______；（提示：在上截取，使，连接）
（2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
【问题拓展】
将图1特殊化，如图3，当时，连接，是的中点，是的中点．判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
2．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点且绕点在所在平面内转动，作，，、为垂足．
（1）如图，在上截取，连接、．
①判断和的关系，并说明理由；
②求证：；
（2）在图中，（1）中②的结论是否成立?若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）在图中，（1）中②的结论是否成立?若成立，请说明理由；若不成立？请直接写出、、三条线段的数量关系．（无需证明）
3．如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求的大小；
（3）猜想与的数量关系，并证明．
4．在中，，点分别在边，且，如图①．
（1）求证：．
（2）若为上一点（不与重合），连接，过点作，截取，连接．如图②，求证：．
（3）连接．如图③，的度数为__________．
（4）连接，交于点，如图④，若为等腰三角形，请你直接写出的度数．
题型04 三角形/全等三角形背景下的线段和最小值
难度层级：压轴 | 知识点：轴对称综合题（最短路径深化）
1．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（ ）
A. C.
B. D.
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A. 118° C. 120°
B. 121° D. 119°
3．如图，E是的外角平分线上一点，且．
（1）求证：；
（2）试判断三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点P，Q分别在线段上运动（不含端点），的周长是否有最小值？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
4．(1)如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
(2)如图2，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使彻E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，保留作图痕迹．
题型05 共顶点等腰三角形“手拉手”模型
难度层级：压轴 | 知识点：等边/等腰全章池（手拉手）
1．如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．
要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明①________，得到，进而证得②________，得证为的平分线；
（1）请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______．
（2）在刘同学的思路下求的周长；
（3）当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．
2．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________；
（2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________．
3．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”．
（1）如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是________，的度数为________．
（2）如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系________，并说明理由．
4．小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是．
（1）如图1，在中，，，点D在上，且，则的度数为________°；通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点B引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究．
（2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数；
题型06 中线/垂直平分线引起的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（中线分类）
1．一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ）
A. C. 或
B. D.
2．填空：
（1）如果等腰三角形的一个内角为，那么其他两个角的度数为________．
（2）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为________
3．综合与探究
【模型感知】
（1）如图1，和都是等腰直角三角形，其中与是斜边，连接，，求证：．
【模型构建】
（2）如图2，是等腰直角三角形，其中是斜边，点D在的垂直平分线上，连接，，且．是斜边为的等腰直角三角形．
①请在图2中作斜边为的等腰直角三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种情况即可）
②设直线与直线交于点P，请直接写出的度数．
【模型拓展】
（3）如图3，和都是等腰直角三角形，其中与是斜边，延长至点F，使得，连接，，，若，求的面积．
4．【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【问题提出】
（1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形．
小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明：
∵是的外角，
∴_______________，
又∵，
∴_______________，
∴________，
∴是等腰三角形．
【初步应用】
（2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，于D，，求证：．
【拓展提升】
（4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长．
题型07 动点/动线段背景下等腰时刻的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（动点等腰时刻）
1．在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点满足：；平分交于点．
（1）如图1，连，求证：；
（2）如图2，当时，线段之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明；
（3）如图3，当时，且，若，请直接写出线段的长是________（只填写结果）．
2．如图，在中，，，动点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是以为顶角的等腰三角形时，运动时间是多少？
3．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．
（1）如图①，点E在运动过程中，求的度数；
（2）如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程；
（3）在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
4．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）；
②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系；
（2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明．
题型08 等腰三角形的存在性问题（格点找点/求个数）
难度层级：压轴 | 知识点：格点/找点构成等腰三角形
1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A. 6 C. 8
B. 7 D. 9
2．平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 6 C. 8
B. 7 D. 9
3．在平面直角坐标系中，已知点，点在坐标轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点的个数是________．
4．如图，在平面直角坐标系中，，，若过作直线轴，则直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在写出所有满足条件的点的坐标________
题型09 动点运动过程综合问题
难度层级：压轴 | 知识点：等腰/轴对称全章池（动点综合）
1．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：
①；
②；
③，分别表示和的面积，则；
④的周长不变．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ C. ①③④
B. ①②④ D. ①③④
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝6，高AD，BE 相交于点O，CE＝AE
（1）求线段 BO的长；
（2）动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，①设△POQ的面积为S．请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
②点F是直线BC上一点，且CF＝AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
3．【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由；
【问题解决】
（3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度．
4．如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N．
【观察发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明；
【探究迁移】
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：；
（3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为________．
题型10 构造等腰三角形时的分类讨论
难度层级：压轴 | 知识点：等腰三角形全章池（构造分类）
1．【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______．
②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，，求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
2．从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可分割三角形”．这条线段叫作这个三角形的“分割线”．
（1）图中①、②均是可分割三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的分割线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数；
（2）已知是可分割三角形，且，为钝角，请通过画图的方式写出所有可能的度数．（画出图形，标出的度数）
3．浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题：
7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．．
（1）请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数．
（2）小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答：
【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上）
【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________．
4．已知在中，，，点C是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点O在的内部，
①当时，求的度数；
②当CO平分时，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点D，是以为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接写的度数（友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无关）．
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