云南昆明市呈贡区第一中学2026-2027学年高二年级上学期期中考试数学试卷

高2028届高二年级上学期期中考试参考答案 题号 2 5 7 6 9 10 11 答案 D A D B B A C BD ABD ACD 12.5 13.(x+4)+y2=18 =1 2 4+3 8.C【详解】由题可知，√5π=πab,即ab=√5，△FPF是以∠FFP=120°为顶角的等腰三角形， 则有：|FE=PE,∠PFE=∠EPE=30°，∠FPA=30°， 所以PF=2AE=2(4-c)=8-2c,又因为FF=2c,即2c=8-2c,c=2, ab=√5 a=5 可得： c=2 ，解得 c=2,故离心率为e=S=25 故选：C a2=b2+c2 b=1 a 5 11.ACD 【详解】由正方体的性质可建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),A3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),A(3,0,3),B(3,3,3),C(0,3,3),D(0,0,3 ZA 对于A,BD=（-3,-3,0),AD=（-3,0,3), 9 故o,丽=3N2×3N22,设异面直线BD与40所成的角为8， A 则00引则es0子故8-号故A正： 对于B,E3-V3,00,设P(a,b,0),其中0≤a≤3,0≤b≤3， 又4B=(03,0),E4A=（N3,0,3,设平面ABE的法向量为n=(x,y,2), 厅4g=0,放p=0 则 nEA=0 {3x+3z=0'取n=(50,-》, 因为PA=(3-a,-b,3),故P到平面ABE的距离为d= PA33-a-3 因为0≤a≤3，故-3≤33-3a-3≤33-3，故3W3-V3a-3≤3， 故dn-3 由正方体的性质可得∠48=受 故aB4B的面积为X3×4E-×3x9+3=3N5, 行*》，做B错误， 故三棱锥P-AB,E体积的最大值为3V5x?x!_3V5, 对于C,因为P在AC上，故设P(t,3-1,0),因为2在BC上，故设Q(s,3,3-S), 则Pg=Vt-s)++(3-s}2=V22-2s+s2+(3-s)2 答案第1页（共5页） -+-649-+-2r*32. 当且仅当t=1,s=2时等号成立，故P⑨的最小值为√3，故C正确： 对于D,仍设P(a,b,0),则EA=（V3,0,3,BP=(a-3,b-3,-3), 故cos-V3 V3(a-3)-9 621 cos EA,B P 23×V(a-3)}2+(b-32+9 3435 2 整理得2(a-3)2+3(b-3)2+63(a-3)=0,故 2 6-3-1 9 4 2 放P的轨迹所在圆锥曲线为椭圆的一部分，该椭圆的长半辅为3，半焦距为27，-8-；，故其窝心率 2 2 2 故D正脆 为3 故选：ACD 4苦+号=1【详解1解：榨国C号+若-=o>6>0的落心半为站4得后-分 A,B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线I与椭圆C交于不同的两点P,Q, 当直线I垂直于x轴时，如图： 四边形PB0的面积为6，S=4PQ-x2ax2 =6,解得 2 D 6=5,又台r=+e,解得a=2, B x 则椭圆C的方程为：+ =1.故答案为：+父=1。 43 43 Q 15.(本小题满分13分)①x-+0+2y=52 5 【详解】(1)设⊙C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, F=0, 由题意可知， 4+2D+F=0, 解得D=-2,E=4,F=0, 1+1-D-E+F=0, 所以x2+y2-2x+4y=0,故⊙C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.7分 (2)由(1)可知，C(,-2),半径r=5.则圆心C到直线1的距离为d=2+2-_35 55 所以MN=2F-f-85,放aCN的面积为S-号MNd-号 5 13分 答案第2页（共5页） 16.(本小题满分15分)【详解】(1)根据题意得a=2,e= 1=e,c=1,b2=d2-c2=3 2-a1 所以椭圆C的标准方程为： 2，y=1.2 4.3 y=x+m (2)将直线1与椭图C联立得之+-1消去)y得7+8mx+4m-2=0, 43 △=(8m)2-28(4m2-12)=48(7-m2） 当△>0时，即-√7<m<√7时直线l与椭圆C有两个交点： 当△=0时，即m=±√7时直线I与椭圆C有一个交点： 当△<0时，即m<-√7或m>√7时直线l与椭圆C没有交点…. .15分 A x-8 17.(本小题满分15分)【详解】(1)设点M(x,y),根据题意可得 NF2,0) Vx2+y-,化简得+y1一 8-x 1612 所以点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆7分 (2)法1：设A(x,)，B(x2,y),AB中点为N(xO,), x-y+m=0 联立直线1与椭圆C,得3+4=48→7r+8mr+4m-48=0, 由于直线1与椭圆C有两个交点，所以△=64m2-4×7×4m2-48)>0, 即㎡<28，解得-2行cm<27=0:则气6=名 7 又y+少=+m+3+m=名+x,+2=6 7 6 、以k二+27三从而w心 4 .15分 -n 法2：设A(x,y),B(x2,2),AB中点为N(x%), 由于￡+片=1，至+兰=1，两式相减得-至+-发-0， 1612 1612 16 12 -等会0安 x1-X2 2 2 答案第3页（共5页） 所以kow=十业，从而k6kw=-3 x+x2 4 15分 18.(本小题满分17分)(1)连接AE,DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以DE⊥BC, 因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形， ∴AC=AB,则AE⊥BC.因为AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE,所以，BC⊥平面ADE. 因为ADC平面ADE,所以BC⊥DA. 6分 (2)①DA=DB=DC=2,BD⊥CD,.BC=2√2，DE=AE=√2 AE2+DE2=4=AD,AE⊥DE,又：AE⊥BC,DEOBC=E,DE,BCc平面BCD.AE⊥平面BCD. 如图所示，以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 DV2,0,0,A0,0V2),B(0,V2,0,E(0,0,0),则AB=(0,2,-√2)，当 =1时，EF-DA=（√2,0，N2): 所以Af=Ef-EA=（-2,0,0）9分 设平面DAB的一个法向量分别为n=(x,,乙)，∴. x=1,所以n=(1,1,1)；设直线AF与平面DAB所成角为0， 则sn=cos(，AF》= n.AF 25 .AF 2×5了，所以直线AF与平面DAB所成角的正弦值为 13分 3 ②因为EF=λDA,所以F点的轨迹是过E且平行于DA的直线，直线EF与平面ABD平行， 故V-D4B='E-DaB,所以三棱锥F-ABD的体积为定值，又点E到平面ADB的距离为 AE乃 -6 d= 33 又-9-5 所以Ve-DB='E-D4B= 1S.d义3x6-业《定值)l7分 3 3 3-3 9体您精分”分a学+号-1a 4+31② 205 【详解】(1)因为△ABF的周长为4a=8,即a=2, 因为离心来为c名则c=Q,可得6=-c上 2 所以折叠前椭圆C的标准方程”+广 43 =1 .4分 (2)由(1)可知：E(1,0), 答案第4页（共5页） 直线1经过R且斜率为2，则直线方程为y=x+),且直线1与椭圆必相交， 1 y=。(x+1) 2 与椭圆方程联立 ￥y,消去y得42+2x-11=0, 十 =1 43 设交点Ay)B(5)则x+3)出方=-↓ 由弦长公式可得： .10分 (3)当0-弩时，直线的方程为：=5+， x2.y2 =1 x=0 t、 833 联立方程 43 解得 或 y=3 即A(0,V3),B 3V3 5 y=V3(x+1) y= 5 以原来的x轴为y轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，如 图所示， 则40,0,3)，B, F(0-1,0),E3(0,1,0), 故FB= 3V313 5,504=0,-1,5), 设平面4BE的一个法向量为m=(x,y,2),则 m-6-33x-13 芳-5y=0,取y=5,则x= -x- 32=1, mF4=-y+3z=0 可得m= 0小网-+31- 3 2,平面B,EE的一个法向量为i=0A=(0,0,V5), 则c0s(m,》= m.n 5 3W205 m:i√205 205, 3 xV3 所以平面BF5与平面4B,5的夹角的余弦值为3V205 205 17分 答案第5页（共5页） 【考试时间：11月2日8:00—10:00】 昆明市呈贡区第一中学2028届高二年级上学期期中考试 数学 试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．直线经过与的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点，，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（    ） A． B． C．4 D． 6．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知椭圆，下列结论正确的是（     ） A．椭圆的长半轴长是 B．椭圆的短半轴长是2 C．椭圆的焦点坐标分别是 D．经过椭圆焦点的最短弦长是 10．圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．公共弦的长为 C．线段中垂线的方程为 D．两圆圆心距 11．已知正方体的棱长为3，动点在底面中（含边界），点在棱上，且，则（　　） A．直线与所成的角为 B．三棱锥体积的最大值为 C．如果点在直线上运动，点在直线上运动，那么的最小值为 D．如果异面直线与所成角为．那么的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知平行直线，则与之间的距离为_______． 13．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 14．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为________________． 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 16．（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数； 17．（本小题满分15分） 已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1) 求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2 )已知直线与点的轨迹交于，两点，令的中点为. 证明：直线与直线的斜率之积为定值. 18．（本小题满分17分） 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1) 证明：； (2) 点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值; ②判断三棱锥 F−ABD 的体积是否为定值；若是，求出该定值。 19． （本小题满分17分） 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 数学试题卷·第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $【考试时间：11月2日8：00一10：00】 昆明市呈贡区第一中学2028届高二年级上学期期中考试 数学 试题卷 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅 笔认真填涂考号。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知直线l方程为x-y-1=0,则直线l的倾斜角为() A君 B.3x 4 D. 2.直线1经过l:x+y+1=0与l2:x-2y+4=0的交点，且经过点(-1,3)，则直线1的方程是() A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.2x-y+5=0 D.2x+y+5=0 3.设椭圆C: +y广=la>C:苦+=1的离心率分别为96.若6=，则a() 4.25 3 B.√2 c.5 D.6 4.在空间直角坐标系Oxz中，点A(1,1,-2),B(-2,m,m),C(m,2,4),且AB⊥OC,则m=() A.3 B.-3 C.2 D.-2 5.已知F,乃为椭圆+二=1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF=2PF,则△PF5的面积为() 9 5 A.2N3 B.V15 C.4 D.17 6.如图所示，空间四边形OABC中，OA=ā，OB=b,OC=c,点M在OA上， 且OM=2MA,N为BC中点，则MN等于() B. 数学试题卷·第1页（共4页） 7.已知直线1与椭圆C:。+二=1相交于4，B两点，若弦4B的中点坐标为，)，则直线1的方程为() 84 A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.x-2y+1=0 8古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘 积。如国，，5为椭圆E:+若-1a>6>0的左，右焦点， D 中心为原点，椭圆E的面积为√5π，直线x=4上一点P满足△FP℉ 是等腰三角形，且∠EP=120°，则E的离心率为() x=4 A.5 5 c.25 5 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C:上+x +=1,下列结论正确的是() 364 A.椭圆C的长半轴长是12 B.椭圆C的短半轴长是2 C.椭圆C的焦点坐标分别是F(0,2),E(0,-2)D.经过椭圆C焦点的最短弦长是 3 10.圆0：x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4x-6y=0的交点为A,B,则() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.公共弦AB的长为√2 C.线段AB中垂线的方程为x+y+1=0 D.两圆圆心距0,0，=3V2 11.己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为3，动点P在底面ABCD中（含边界），点E在棱AD上，且AE=√3， 则() A.直线BD与AD所成的角为60 B.三棱锥P-ABE体积的最大值为√3 C.如果点P在直线AC上运动，点Q在直线BC上运动，那么PQ的最小值为√3 D.如果异面直线BP与AE所成角为汇.那么P的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 6 3 数学试题卷·第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平行直线11：2x-4y-4=0,12:2x-4y+1=0,则1与l2之间的距离为 13.在平面直角坐标系中，已知M(-1,0),N(2,0),动点P满足PW=√2PM,则点P的轨迹方程为 14已为格四C:子芳=o>b0伯离心手为时，4，日分别为桶圆C的左、右项点，F为储版C的 右焦点，过F的直线I与椭圆C交于不同的两点P,Q,当直线I垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6， 则椭圆C的方程为 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知三点O(0,0),A(2,0),B(-1,-1),记△AOB的外接圆为⊙C. (1)求⊙C的方程： (2)若直线l:2x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求aCMW的面积 16.(本小题满分15分) @知椭圆C。+a>b>0)的离心率为且过点P2,0 (1)求椭圆C的标准方程： (2)对不同的实数m,讨论直线：y=x+m与椭圆C的公共点的个数： 17.(本小题满分15分) 己知点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2. (I)求点M的轨迹方程C,并说明轨迹是什么图形： (2)已知直线I:x-y+=0(≠0)与点M的轨迹C交于A,B两点，令AB的中点为N. 证明：直线1与直线ON的斜率之积为定值 数学试题卷·第3页（共4页) 18.(本小题满分17分) 如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=6O°，E为BC的中点. (1)证明：BC⊥DA: A (2)点F满足EF=1DA, ①当入=1时，求直线AF与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F-ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值。 19.(本小题满分17分) 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆c:。+片@>b>0)的左、有焦点分别为A-1.乃，0)，经过F日 倾斜角为O的直线I与C交于A,B两点（其中点A在x轴上方），且△ABF,的周长为8，现将平面xOy沿x 轴向上折叠，折叠后A,B两点在新图形中对应的点分别记为A,B,且二面角A-FE-B,为直二面角， 如图所示 折叠前 折叠后 (1)求折叠前C的标准方程 ②若m0-分求刺M: 3)当0=亚时，折叠后，求平面B,FE与平面AB5的夹角的余弦值 数学试题卷·第4页（共4页）报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2028届高二年级上学期期中考试 数学答题卷 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [o] [o] [0] [1] 1] 1 [1] [1] [1] [1] ▣▣ [2] [2] [2] 21 [2] [2] L21 [2] [3] [3] [3] [3] 「31 「3 尚致 [3] [4] [4] 「4] [4] [4] [4] 4 4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6 [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8l [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][c][D] 5[A][B][c][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 三、 解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 囚囚■ 第1页共6页 16.(本小题满分15分) 囚囚■ 第2页共6页 17.(本小题满分15分) ■ 第3页共6页 18.(本小题满分17分) A C D I I 囚■囚 第4页共6页 9并逆s嵬 囚■囚 (LIf/￥)6I ▣ ■ 第6页共6页