第七单元 运用数量关系解决实际问题（总量与分量之间的关系） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学四年级上册（新教材）

第七单元 运用数量关系解决实际问题（总量与分量之间的关系） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、基本概念 1. 分量：表示事物某一部分的数量，是整体中的组成部分。例如周六上午的参观人数、男生人数、已修的公路长度，都属于分量。 2. 总量：表示事物的总数量，由若干个分量组合而成。例如全天参观人数、全校总人数、公路全长，都属于总量。 3. 核心本质：加法和减法本质上都是处理总量与分量的关系——加法用于把分量合并成总量，减法用于从总量中分离出分量，二者互为逆运算。 二、核心数量关系式 1. 求和公式（求总量） 总量等于所有分量相加的和。 - 适用场景：已知各个部分的数量，求总数。 - 示例：周六参观人数 = 周六上午人数 + 周六下午人数 2. 求部分公式（求分量） 已知总量和其余分量，用总量减去已知分量，就能得到未知分量。 - 适用场景：已知总数量和其中几个部分，求剩余的部分。 - 示例：平日参观人数 = 一周总人数 - 双休日总人数 三、总量的多层拆分逻辑 同一个总量可以按不同标准拆分成不同的分量，分量本身也可以继续拆分成更小的分量。 - 例：美术馆双休日总人数 　- 第一层拆分：双休日总人数 = 周六总人数 + 周日总人数 　- 第二层拆分：周六总人数 = 周六中小学生人数 + 周六成人人数 - 核心：无论怎么拆分，所有最小组分之和始终等于总量。 四、常见的总量分量应用场景 1. 计数类：总人数、总棵数、总件数，由多个部分数量相加得到。 2. 行程类：总路程 = 已行路程 + 剩余路程；总路程可拆分为多段路段之和。 3. 价格类：总钱数 = 花掉的钱 + 剩下的钱；总花费 = 多项支出之和。 4. 同分量累乘型：当多个分量大小相同时，可用乘法快速求总量：每份数量 × 份数 = 总量。 五、解题通用步骤 1. 辨概念：读题圈出关键词，区分哪个是总量、哪些是分量； 2. 写关系：根据题意写出对应的等量关系式，明确已知和未知； 3. 列算式：代入数据列式，能简便计算的用运算律简算； 4. 做检验：把结果倒推验证，确认分量之和等于总量； 5. 写答句：对应问题写出完整答句。 六、常见易错点 1. 概念混淆：误把分量当总量，或把多层分量直接相加重复计算； 2. 漏算分量：三个及以上分量时，漏掉其中一个部分，导致结果偏小； 3. 单位不统一：分量单位不一致就直接相加减，结果出错； 4. 关系搞反：已知总量求分量错用加法，已知分量求总量错用减法； 5. 隐藏量忽略：题目中"其余的、剩下的"等隐藏分量，未正确对应数量关系。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：线段图示法 【解题思路】 用一条完整线段表示总量，按分量大小分段标注数据，直观呈现整体与部分的关系，快速理清解题思路，尤其适合复杂的多层分量问题。 【操作步骤】 第一步：画一条线段，标注总量名称； 第二步：根据分量数量把线段分段，分别标注各分量的名称和已知数据； 第三步：结合图形判断是求和还是求部分，列出对应算式。 【易错提升】 ● 易错点：多层分量搞不清谁包含谁。 　　→ 规避技巧：用大线段表示总总量，分段后再给小段细分，层级清晰不混乱。 方法点拨2：关系式定位法 【解题思路】 计算前先把文字描述转化为等量关系式，明确已知量和未知量，再根据关系式变形列式，从根源避免列式错误。 【操作步骤】 第一步：提炼核心关系，写出"总量 = 分量1 + 分量2"的基础关系式； 第二步：标出已知量和未知量； 第三步：把未知量单独放在等号一侧，列出计算式。 【易错提升】 ● 易错点：已知总量和一个分量求另一个分量，列成加法。 　　→ 规避技巧：关系式写出来后，未知量在哪边就从哪边算，求部分一定用减法。 方法点拨3：逆推检验法 【解题思路】 计算完成后，把结果当作已知条件倒推验证，看各分量之和是否与题目总量一致，能快速发现列式和计算错误。 【操作步骤】 第一步：将计算结果代入题目； 第二步：把所有分量相加，核对是否等于总量； 第三步：一致则正确，不一致则重新检查列式和计算。 【易错提升】 ● 易错点：算完不检查，简单加减错误也发现不了。 　　→ 规避技巧：养成"算完就逆推"的习惯，十几秒即可验证一道题的对错。 方法点拨4：分组凑整法 【解题思路】 多个分量求和时，观察数字特点，把能凑成整十、整百的分量优先相加，利用加法运算律简便计算，提升速度和准确率。 【操作步骤】 第一步：观察所有分量的个位数字，找到互补凑整的数对； 第二步：用加法交换律、结合律调整计算顺序，先算凑整部分； 第三步：再加上剩余分量，得到最终总量。 【易错提升】 ● 易错点：按顺序硬算，多次进位容易出错。 　　→ 规避技巧：连加题先找凑整搭档，能简算就简算，又快又准。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础一步总量分量问题 考查重点：理解总量与分量的基本关系，能正确列式解决一步求和、求剩余的简单问题。 【典例精讲】 题目：美术馆周六上午有中小学生57人、成人102人参观，周六上午一共有多少人参观？ 【分析】 中小学生人数和成人人数是两个分量，周六上午总人数是总量。根据"总量 = 分量1 + 分量2"，用加法计算。 【详解】 等量关系式：周六上午总人数 = 中小学生人数 + 成人人数 列式：（人） 答：周六上午一共有159人参观。 【答案】159人 【变式训练】 题目：美术馆一周总参观人数是1269人，其中双休日共有818人参观。平日参观有多少人？ 【分析】 一周总人数是总量，双休日人数和平日人数是两个分量。已知总量和一个分量，求另一个分量，用减法计算。 【详解】 等量关系式：平日参观人数 = 一周总人数 - 双休日总人数 列式：（人） 答：平日参观有451人。 【答案】451人 考点二：多分量连加连减实际问题 考查重点：能解决三个及以上分量的求和问题，以及已知总量求剩余分量的连减问题，熟练运用简便方法计算。 【典例精讲】 题目：周六美术馆参观人数：上午中小学生57人、成人102人；下午中小学生86人、成人94人。周六一共有多少人参观？ 【分析】 四个分量分别是上午两类人数和下午两类人数，周六总人数是总量，把四个数相加即可。观察发现57和86、102和94可分组凑整，用加法结合律简算更简便。 【详解】 （人） 答：周六一共有339人参观。 【答案】339人 【变式训练】 题目：超市运来500千克水果，第一天卖出186千克，第二天卖出214千克，剩下的第三天卖完。第三天要卖多少千克？ 【分析】 水果总重量是总量，三天卖出的重量是三个分量。可以连续减去前两天的销量，也可以先算前两天总销量，再用总量减去，后者更简便。 【详解】 （千克） 答：第三天要卖100千克。 【答案】100千克 考点三：乘加结合的总量分量问题 考查重点：掌握"相同分量用乘法、不同分量用加法"的混合总量计算，能解决稍复杂的两步总量问题。 【典例精讲】 题目：文具店卖出4盒钢笔，每盒12支，还卖出了36支圆珠笔。文具店一共卖出了多少支笔？ 【分析】 钢笔总支数和圆珠笔支数是两个分量，总支数是总量。钢笔有4盒且每盒数量相同，属于相同分量累加，先用乘法算出钢笔总数，再加圆珠笔数量。 【详解】 第一步：求钢笔总支数 （支） 第二步：求笔的总数量 （支） 综合算式：（支） 答：文具店一共卖出了84支笔。 【答案】84支 【变式训练】 题目：妈妈带了300元去购物，买了2件同样的短袖，每件85元，剩下的钱正好买一条裤子。这条裤子多少钱？ 【分析】 总钱数是总量，两件短袖的花费和裤子价格是分量。先算短袖总花费，再用总钱数减去短袖花费，得到裤子价格。 【详解】 （元） 答：这条裤子130元。 【答案】130元 考点四：总量分量综合应用（和差与倒推） 考查重点：能解决涉及分量相差关系、逆向求总量的稍复杂应用题，灵活运用总量与分量的关系。 【典例精讲】 题目：甲、乙两个工程队一共修了840米公路，甲队比乙队多修60米。甲、乙两队各修了多少米？ 【分析】 总长度是总量，甲、乙两队修的长度是两个分量。已知总量和两个分量的差，属于和差问题：总量减去差值，剩下的就是2倍的较少量，先求乙队长度，再求甲队长度。 【详解】 乙队修的长度： （米） 甲队修的长度： （米） 验证：（米），与总长度一致。 答：甲队修了450米，乙队修了390米。 【答案】甲队450米，乙队390米 【变式训练】 题目：一根铁丝，第一次用去一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩25米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】 这是逆向求总量的问题，从剩余长度倒推。最后剩下的25米是第二次用后剩余的，也就是第一次用完剩下长度的一半，乘2得到第一次用后剩余长度，再乘2就是原来的总长度。 【详解】 第一次用完剩下的长度：（米） 原来的总长度：（米） 综合算式：（米） 答：这根铁丝原来长100米。 【答案】100米 【第四部分】专项提升练习 1．实验小学中药园种了50棵芍药和64棵菊花，芍药和菊花一共种了多少棵？题目中数量关系式为：芍药种的棵数＋( )＝一共种的棵数，其中应用的加法模型：总量和分量关系是( )。 【答案】 菊花种的棵数 分量＋分量＝总量/总量＝分量＋分量 【分析】求芍药和菊花一共种了多少，用加法。加法中总量与分量的关系，如果总量是由几个独立分量合并得到的，那么总量等于所有分量相加的和。而题目里芍药的棵数、菊花的棵数，是两个独立的部分（分量），求一共多少棵就是求总量。 【详解】数量关系式：芍药种的棵数＋菊花种的棵数＝一共种的棵数 总量和分量关系：分量＋分量＝总量。 列式：（棵） 因此，芍药和菊花一共种了114棵。 2．商店上午运来207袋面粉，下午运来185袋，这一天共运来多少袋？ (1)题中的分量是( )和( )，总量是( )。 (2)数量关系式：( ) (3)列式为：( ) 【答案】(1) 上午运来的袋数 下午运来的袋数 一天共运来的袋数 (2)上午运来的袋数＋下午运来的袋数＝一天共运来的袋数 (3)（袋） 【分析】根据加法的意义，把两个部分量合并成一个总量，用加法计算。这里的“分量”是指上午和下午运来的袋数，“总量”是指一天共运来的袋数；根据上午运来的袋数＋下午运来的袋数＝一天共运来的袋数，列式计算即可。 【详解】（1）题中的分量是上午运来的袋数和下午运来的袋数，总量是一天共运来的袋数。 （2）数量关系式：上午运来的袋数＋下午运来的袋数＝一天共运来的袋数 （3）根据数量关系式可列式为：207＋185＝392（袋） 3．2025年8月成都举办第十二届世界运动会，中国代表团创造历史最佳战绩，获得36枚金牌和17枚银牌，求金牌和银牌的总数量。 数量关系式：( )；算式：( )。 【答案】 金牌枚数＋银牌枚数＝金牌和银牌的总枚数 （枚） 【分析】已知金牌数量和银牌数量，求金牌和银牌的总数量，属于把两部分合并成一部分，用加法计算。数量关系式为：金牌枚数＋银牌枚数＝总枚数。 【详解】根据分析可知，数量关系式是：金牌枚数＋银牌枚数＝金牌和银牌的总枚数；算式是：（枚）。 4．学校举办“爱心义卖”活动，四年级上午卖出了156本绘本，下午卖出的绘本数量比上午多48本。要解决“四年级今天一共卖出多少本绘本”这个问题，必须先求出的中间量是( )。 【答案】下午卖出的绘本数量 【分析】总卖出的绘本数量＝上午卖出的绘本数量＋下午卖出的绘本数量，要先用上午卖出的绘本数量加上下午比上午多卖的求出下午卖出的绘本数量，再与上午卖出的绘本数量相加即可求解。 【详解】要解决“四年级今天一共卖出多少本绘本”这个问题，必须先求出的中间量是下午卖出的绘本数量。 5．甜品店推出新品组合，一份杧果班戟28元，一份提拉米苏比杧果班戟贵16元，一份杧果班戟和一份提拉米苏双人甜品套餐一共( )元。 【答案】72 【分析】总价＝杧果班戟的价格＋提拉米苏的价格，先用杧果班戟的价格加上16元求出提拉米苏的价格，再加上杧果班戟的价格即可。 【详解】28＋16＋28 ＝44＋28 ＝72（元） 一份杧果班戟和提拉米苏双人甜品套餐一共72元。 6．自然博物馆上午接待了5批游客，共350名，下午接待游客数量比上午多156名，下午接待了( )名游客，这一天一共接待了( )名游客。此题数量关系中表示总量的是( )，表示分量的分别是( )和( )。 【答案】 506 856 全天接待的游客总人数 上午接待的游客人数 下午接待的游客人数 【分析】用上午接待的游客人数，加156得出下午接待的游客人数；上午接待游客人数加下午接待游客人数等于全天一共接待的游客人数；总量等于分量加分量。 【详解】350＋156＝506（名） 350＋506＝856（名） 此题数量关系中表示总量的是：全天接待的游客人数，表示分量的分别是：上午接待的游客人数和下午接待的游客人数。 7．停车场有60辆小轿车，比大客车多40辆，大客车有( )辆，小轿车和大客车一共有( )辆。 【答案】 20 80 【分析】本题考查比多比少及求和应用题。已知小轿车数量，小轿车比大客车多，求大客车数量用减法；再把两种车数量相加，求出一共有多少辆。 【详解】求大客车数量：60－40＝20（辆） 求车辆总数：60＋20＝80（辆） 8．修筑一条水渠，每天修24米，修了一个星期，还剩58米没有修。这条水渠总长多少米？其中把( )看作总量，( )看作分量，( )看作另一个分量。 【答案】 这条水渠总长度 已修的长度 还剩的长度 【分析】已修的长度＋还剩的长度＝这条水渠总长度，本题中水渠总长度是总量，总量分为两部分，一部分是已经修好的长度，另一部分是还没修的长度，因此对应填空即可。 【详解】修筑一条水渠，每天修24米，修了一个星期，还剩58米没有修。这条水渠总长多少米？其中把这条水渠总长度看作总量，已修的长度看作分量，还剩的长度看作另一个分量。 9．妈妈出门带了800元，买一件上衣花了230元。妈妈现在还有( )元。这个题目中( )是总量，( )和( )是分量。 【答案】 570 妈妈出门带的总钱数 买上衣用的钱数 剩下的钱数 【分析】根据题意，妈妈出门带了800元，买一件上衣花了230元，用800减去230，就是还剩下的钱数；总量就是妈妈出门带的总钱数，分量就是买上衣用的钱数和剩下的钱数，以此答题即可。 【详解】800－230＝570（元） 还剩下570元。这个题目中，总量是妈妈出门带的总钱数，分量是买上衣用的钱数和剩下的钱数。 10．追梦小学举行“非遗文化知多少”有奖知识竞答活动。三年级有23名男生和36名女生参加，四年级有35名男生和27名女生参加。你能提出哪些用加法计算的问题呢？ (1)小梦的问题是这两个年级一共有多少名女生参加？她的解题过程如下：一共参加的女生人数＝( )＋( )列式是：( )＋( )＝( )（人）。 (2)上面的解题过程是把( )看作总量，把( )和( )看作分量。 【答案】(1) 三年级参加的女生人数 四年级参加的女生人数 36 27 63 (2) 一共参加的女生人数 三年级参加的女生人数 四年级参加的女生人数 【分析】（1）根据题意，用三年级参加的女生人数加上四年级参加的女生人数，即可求出一共参加的女生人数；据此解题即可。 （2）根据题意可知，要求两个年级一共有多少名女生参加，用三年级参加的女生人数加上四年级参加的女生人数即可，所以，是把一共参加的女生人数看作总量，把三年级参加的女生人数和四年级参加的女生人数看作分量。 【详解】（1）由分析可知， 一共参加的女生人数＝三年级参加的女生人数＋四年级参加的女生人数 列式为：36＋27＝63（人） 所以，这两个年级一共有63名女生参加。 （2）由分析可知， 上面的解题过程是把一共参加的女生人数看作总量，把三年级参加的女生人数和四年级参加的女生人数看作分量。 11．端午节追梦小学食堂购买了38个肉粽，购买蜜枣粽的个数比肉粽的4倍多17个。这两种粽子一共有（    ）个。（补全线段图，并填空） （1）这个问题求的是（    ）。（填“总量”或“分量”） （2）要先求出（    ），再求出（    ）。 【答案】 207；见详解 （1）总量 （2）蜜枣粽的个数；两种粽子一共的个数 【分析】肉粽数量少，所以是一段，蜜枣粽的数量多，求倍数，用乘法，肉粽数量×4，求出4倍的量，再加多的量，计算出蜜枣粽数量，再利用加法算出两种粽子一共的数量。题目问两种粽子一共多少，属于求总量。 【详解】如图： （个） （个） 则总共207个粽子； （1）要求一共的数量则这个问题求的是总量； （2）要先求出蜜枣粽的个数，再求出两种粽子一共的个数。 12．中国古代传统文化中的笔、墨、纸砚被称为“文房四宝”，为世界文化的进步和发展作出了贡献。李老师花了560元买了一块砚台和一块墨锭，其中砚台花了307元，买墨锭比砚台少花多少元？ 【答案】 54元 【分析】先通过总花费减去砚台的价格算出墨锭的价格，再用砚台的价格减去墨锭的价格，即可得到结果。 【详解】 （元） 答：买墨锭比砚台少花54元。 13．国庆节期间，科技馆免费向学生开放7天。在国庆节当天，上午有476人免费参观，下午有358人免费参观，在国庆节当天一共有多少人免费参观了科技馆？ 题中总量和分量的关系：_________________________________________ 列式解答： 【答案】上午免费参观人数 ＋ 下午免费参观人数 ＝ 国庆节当天免费参观总人数； 834人。 【分析】已知上午和下午的参观人数，求当天总人数，就是把两个分量合并成总量，国庆当天免费参观科技馆的总人数是总量，上午免费参观的人数和下午免费参观的人数是分量，根据总量等于各分量之和，用加法计算。 【详解】总量和分量的关系：上午免费参观人数＋下午免费参观人数＝ 国庆节当天免费参观总人数； 476＋358＝834（人） 答：在国庆节当天一共有834人免费参观了科技馆。 14．《李太白全集》中收录了诗仙“李白”的作品，______，______。古近体诗和乐府共多少首？（先将序号填到横线上，再解答） ①有乐府149首 ②古风比乐府少90首 ③古近体诗比乐府多640首 【答案】①；③ 938首 【分析】要计算古近体诗和乐府的总数量，需要知道乐府的数量和古近体诗的数量。条件①直接给出乐府的数量，条件③给出古近体诗与乐府的数量关系：古近体诗比乐府诗多640首，用加法可求出古近体诗的数量，因此选择条件①和③； 先用乐府的数量加上640首得到古近体诗的数量，再把古近体诗和乐府的数量相加得到总数量。 【详解】选择条件：①；③； 149＋640＋149＝938（首） 答：古近体诗和乐府共938首。 15．学校社团文化节准备分发活动物资，老师准备了三种规格的物资箱，每个箱子都正好装满，两种分发方案如下表。 箱子类型 大箱（装50份） 中箱（装30份） 小箱（装5份） 方案① 7箱 6箱 9箱 方案② 7箱 5箱 ？ (1)一共需要分发多少份活动物资？ (2)方案②中有多少份物资需要用小箱装？ 【答案】(1)575份 (2)75份 【分析】（1）根据方案①给出的三种箱子数量和每箱可装份数，分别算出每种箱子装的总份数，相加就能得到物资总份数。 （2）物资总份数固定，先算出方案②中大箱和中箱装的总份数，用总份数减去这个数，就是小箱需要装的份数。 【详解】（1） ＝350＋180＋45 ＝575（份） 答：一共需要分发575份活动物资。 （2） ＝575－350－150 ＝75（份） 答：方案②中有75份物资需要用小箱装。 16．周末两天某海洋世界进园人数如下表。 星期 时间 进园人数 星期六 上午 655人 下午 228人 星期日 上午 ？人 下午 123人 (1)壮壮说星期六全天进园的人数超过了900人，他说得对吗？请说明理由。（写出分量与总量之间的数量关系，再解答） (2)星期日全天有562人进园。你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】(1)不对。全天进园人数＝上午进园人数＋下午进园人数。因为655加上228的和是883，883＜900，所以他说得不对。 (2)星期日上午有多少人进园？ 439人 【分析】（1）要判断星期六全天人数是否超过900人，需先求出星期六全天的总人数（即上午、下午进园人数的和），再与900比较大小。 （2）已知星期日全天进园总人数和下午进园人数，可提出求上午进园人数的问题，星期日全天进园人数－星期日下午进园人数＝星期日上午进园人数。 【详解】（1）分量与总量的数量关系：全天进园人数＝上午进园人数＋下午进园人数 （人） 答：壮壮说得不对，星期六全天进园人数没有超过900人。 （2）提出问题：星期日上午进园的有多少人？ （人） 答：星期日上午进园的有439人。 17．鼓楼小学开展了以“节约用水，关住点滴”为主题的绘画比赛。四年级上交的绘画作品有124幅，比三年级上交的绘画作品多36幅。三年级上交的绘画作品有多少幅？ 【答案】88幅 【分析】根据题意，已知四年级上交绘画作品124幅，且四年级比三年级多36幅。求三年级上交的数量，就是求比124少36的数是多少，根据减法的意义，用减法计算。 【详解】（幅） 答：三年级上交的绘画作品有88幅。 18．2024年4月23日是第29个世界读书日。钱塘小学为“悦读节”活动购买了一批书籍，其中，购买科技书340本，购买故事书的本数比科技书的3倍还少60本。科技书和故事书一共买了多少本？（先画图表示出信息和问题，再解答） 【答案】 作图见详解；1300本 【分析】画一条线段表示购买科技书的本数，再画一条线段表示购买故事书的本数，长度比科技书线段长度的3倍短一点，短的部分表示60本，然后把科技书和故事书用大括号括起来，表示求一共购买多少本；科技书的本数乘3，再减60等于故事书的本数，再加上科技书的本数，即等于两种书一共买的本数，据此即可解答。 【详解】画图如下： 340×3－60＋340 ＝1020－60＋340 ＝960＋340 ＝1300（本） 答：科技书和故事书一共买了1300本。 19．正确佩戴安全头盔能够有效减少交通事故的伤亡风险。张阿姨购买了甲、乙两种头盔各一个。其中甲头盔108元，乙头盔比甲头盔便宜25元。张阿姨购买头盔共花费多少元？（先写出数量关系式，再解答） 【答案】购买甲头盔所用的钱数＋购买乙头盔所用的钱数＝张阿姨购买头盔的总费用；191元 【分析】根据题意，先用108减去25，求出购买乙头盔花了多少钱；再用购买甲头盔所用的钱数加上购买乙头盔所用的钱数，即可求出张阿姨购买头盔共花费多少元；所以数量关系是：购买甲头盔所用的钱数＋购买乙头盔所用的钱数＝张阿姨购买头盔的总费用；据此解答。 【详解】数量关系略 108－25＋108 ＝83＋108 ＝191（元） 答：张阿姨购买头盔共花费191元。 20．集市采购规划：周末，辰辰和图图一起去逛文具店，他们都想买一套新出的漫画画笔。辰辰打开自己的小猪存钱罐，数了数一共有230元。图图也兴冲冲地拿出自己的存钱罐说：“我比你多攒了98元！”请问，辰辰和图图两人一共攒了多少元？ 【答案】558元 【分析】首先用辰辰攒的钱数加上图图比辰辰多攒的钱数，计算出图图攒的钱数。然后用辰辰攒的钱数加上图图攒的钱数，计算出两人一共攒的钱数。据此解答。 【详解】230＋98＝328（元） 328＋230＝558（元） 答：辰辰和图图两人一共攒了558元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 运用数量关系解决实际问题（总量与分量之间的关系） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、基本概念 1. 分量：表示事物某一部分的数量，是整体中的组成部分。例如周六上午的参观人数、男生人数、已修的公路长度，都属于分量。 2. 总量：表示事物的总数量，由若干个分量组合而成。例如全天参观人数、全校总人数、公路全长，都属于总量。 3. 核心本质：加法和减法本质上都是处理总量与分量的关系——加法用于把分量合并成总量，减法用于从总量中分离出分量，二者互为逆运算。 二、核心数量关系式 1. 求和公式（求总量） 总量等于所有分量相加的和。 - 适用场景：已知各个部分的数量，求总数。 - 示例：周六参观人数 = 周六上午人数 + 周六下午人数 2. 求部分公式（求分量） 已知总量和其余分量，用总量减去已知分量，就能得到未知分量。 - 适用场景：已知总数量和其中几个部分，求剩余的部分。 - 示例：平日参观人数 = 一周总人数 - 双休日总人数 三、总量的多层拆分逻辑 同一个总量可以按不同标准拆分成不同的分量，分量本身也可以继续拆分成更小的分量。 - 例：美术馆双休日总人数 　- 第一层拆分：双休日总人数 = 周六总人数 + 周日总人数 　- 第二层拆分：周六总人数 = 周六中小学生人数 + 周六成人人数 - 核心：无论怎么拆分，所有最小组分之和始终等于总量。 四、常见的总量分量应用场景 1. 计数类：总人数、总棵数、总件数，由多个部分数量相加得到。 2. 行程类：总路程 = 已行路程 + 剩余路程；总路程可拆分为多段路段之和。 3. 价格类：总钱数 = 花掉的钱 + 剩下的钱；总花费 = 多项支出之和。 4. 同分量累乘型：当多个分量大小相同时，可用乘法快速求总量：每份数量 × 份数 = 总量。 五、解题通用步骤 1. 辨概念：读题圈出关键词，区分哪个是总量、哪些是分量； 2. 写关系：根据题意写出对应的等量关系式，明确已知和未知； 3. 列算式：代入数据列式，能简便计算的用运算律简算； 4. 做检验：把结果倒推验证，确认分量之和等于总量； 5. 写答句：对应问题写出完整答句。 六、常见易错点 1. 概念混淆：误把分量当总量，或把多层分量直接相加重复计算； 2. 漏算分量：三个及以上分量时，漏掉其中一个部分，导致结果偏小； 3. 单位不统一：分量单位不一致就直接相加减，结果出错； 4. 关系搞反：已知总量求分量错用加法，已知分量求总量错用减法； 5. 隐藏量忽略：题目中"其余的、剩下的"等隐藏分量，未正确对应数量关系。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：线段图示法 【解题思路】 用一条完整线段表示总量，按分量大小分段标注数据，直观呈现整体与部分的关系，快速理清解题思路，尤其适合复杂的多层分量问题。 【操作步骤】 第一步：画一条线段，标注总量名称； 第二步：根据分量数量把线段分段，分别标注各分量的名称和已知数据； 第三步：结合图形判断是求和还是求部分，列出对应算式。 【易错提升】 ● 易错点：多层分量搞不清谁包含谁。 　　→ 规避技巧：用大线段表示总总量，分段后再给小段细分，层级清晰不混乱。 方法点拨2：关系式定位法 【解题思路】 计算前先把文字描述转化为等量关系式，明确已知量和未知量，再根据关系式变形列式，从根源避免列式错误。 【操作步骤】 第一步：提炼核心关系，写出"总量 = 分量1 + 分量2"的基础关系式； 第二步：标出已知量和未知量； 第三步：把未知量单独放在等号一侧，列出计算式。 【易错提升】 ● 易错点：已知总量和一个分量求另一个分量，列成加法。 　　→ 规避技巧：关系式写出来后，未知量在哪边就从哪边算，求部分一定用减法。 方法点拨3：逆推检验法 【解题思路】 计算完成后，把结果当作已知条件倒推验证，看各分量之和是否与题目总量一致，能快速发现列式和计算错误。 【操作步骤】 第一步：将计算结果代入题目； 第二步：把所有分量相加，核对是否等于总量； 第三步：一致则正确，不一致则重新检查列式和计算。 【易错提升】 ● 易错点：算完不检查，简单加减错误也发现不了。 　　→ 规避技巧：养成"算完就逆推"的习惯，十几秒即可验证一道题的对错。 方法点拨4：分组凑整法 【解题思路】 多个分量求和时，观察数字特点，把能凑成整十、整百的分量优先相加，利用加法运算律简便计算，提升速度和准确率。 【操作步骤】 第一步：观察所有分量的个位数字，找到互补凑整的数对； 第二步：用加法交换律、结合律调整计算顺序，先算凑整部分； 第三步：再加上剩余分量，得到最终总量。 【易错提升】 ● 易错点：按顺序硬算，多次进位容易出错。 　　→ 规避技巧：连加题先找凑整搭档，能简算就简算，又快又准。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础一步总量分量问题 考查重点：理解总量与分量的基本关系，能正确列式解决一步求和、求剩余的简单问题。 【典例精讲】 题目：美术馆周六上午有中小学生57人、成人102人参观，周六上午一共有多少人参观？ 【变式训练】 题目：美术馆一周总参观人数是1269人，其中双休日共有818人参观。平日参观有多少人？ 考点二：多分量连加连减实际问题 考查重点：能解决三个及以上分量的求和问题，以及已知总量求剩余分量的连减问题，熟练运用简便方法计算。 【典例精讲】 题目：周六美术馆参观人数：上午中小学生57人、成人102人；下午中小学生86人、成人94人。周六一共有多少人参观？ 【变式训练】 题目：超市运来500千克水果，第一天卖出186千克，第二天卖出214千克，剩下的第三天卖完。第三天要卖多少千克？ 考点三：乘加结合的总量分量问题 考查重点：掌握"相同分量用乘法、不同分量用加法"的混合总量计算，能解决稍复杂的两步总量问题。 【典例精讲】 题目：文具店卖出4盒钢笔，每盒12支，还卖出了36支圆珠笔。文具店一共卖出了多少支笔？ 【变式训练】 题目：妈妈带了300元去购物，买了2件同样的短袖，每件85元，剩下的钱正好买一条裤子。这条裤子多少钱？ 考点四：总量分量综合应用（和差与倒推） 考查重点：能解决涉及分量相差关系、逆向求总量的稍复杂应用题，灵活运用总量与分量的关系。 【典例精讲】 题目：甲、乙两个工程队一共修了840米公路，甲队比乙队多修60米。甲、乙两队各修了多少米？ 【变式训练】 题目：一根铁丝，第一次用去一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩25米。这根铁丝原来长多少米？ 【第四部分】专项提升练习 1．实验小学中药园种了50棵芍药和64棵菊花，芍药和菊花一共种了多少棵？题目中数量关系式为：芍药种的棵数＋( )＝一共种的棵数，其中应用的加法模型：总量和分量关系是( )。 2．商店上午运来207袋面粉，下午运来185袋，这一天共运来多少袋？ (1)题中的分量是( )和( )，总量是( )。 (2)数量关系式：( ) (3)列式为：( ) 3．2025年8月成都举办第十二届世界运动会，中国代表团创造历史最佳战绩，获得36枚金牌和17枚银牌，求金牌和银牌的总数量。 数量关系式：( )；算式：( )。 4．学校举办“爱心义卖”活动，四年级上午卖出了156本绘本，下午卖出的绘本数量比上午多48本。要解决“四年级今天一共卖出多少本绘本”这个问题，必须先求出的中间量是( )。 5．甜品店推出新品组合，一份杧果班戟28元，一份提拉米苏比杧果班戟贵16元，一份杧果班戟和一份提拉米苏双人甜品套餐一共( )元。 6．自然博物馆上午接待了5批游客，共350名，下午接待游客数量比上午多156名，下午接待了( )名游客，这一天一共接待了( )名游客。此题数量关系中表示总量的是( )，表示分量的分别是( )和( )。 7．停车场有60辆小轿车，比大客车多40辆，大客车有( )辆，小轿车和大客车一共有( )辆。 8．修筑一条水渠，每天修24米，修了一个星期，还剩58米没有修。这条水渠总长多少米？其中把( )看作总量，( )看作分量，( )看作另一个分量。 9．妈妈出门带了800元，买一件上衣花了230元。妈妈现在还有( )元。这个题目中( )是总量，( )和( )是分量。 10．追梦小学举行“非遗文化知多少”有奖知识竞答活动。三年级有23名男生和36名女生参加，四年级有35名男生和27名女生参加。你能提出哪些用加法计算的问题呢？ (1)小梦的问题是这两个年级一共有多少名女生参加？她的解题过程如下：一共参加的女生人数＝( )＋( )列式是：( )＋( )＝( )（人）。 (2)上面的解题过程是把( )看作总量，把( )和( )看作分量。 11．端午节追梦小学食堂购买了38个肉粽，购买蜜枣粽的个数比肉粽的4倍多17个。这两种粽子一共有（    ）个。（补全线段图，并填空） （1）这个问题求的是（    ）。（填“总量”或“分量”） （2）要先求出（    ），再求出（    ）。 12．中国古代传统文化中的笔、墨、纸砚被称为“文房四宝”，为世界文化的进步和发展作出了贡献。李老师花了560元买了一块砚台和一块墨锭，其中砚台花了307元，买墨锭比砚台少花多少元？ 13．国庆节期间，科技馆免费向学生开放7天。在国庆节当天，上午有476人免费参观，下午有358人免费参观，在国庆节当天一共有多少人免费参观了科技馆？ 题中总量和分量的关系：_________________________________________ 列式解答： 14．《李太白全集》中收录了诗仙“李白”的作品，______，______。古近体诗和乐府共多少首？（先将序号填到横线上，再解答） ①有乐府149首 ②古风比乐府少90首 ③古近体诗比乐府多640首 15．学校社团文化节准备分发活动物资，老师准备了三种规格的物资箱，每个箱子都正好装满，两种分发方案如下表。 箱子类型 大箱（装50份） 中箱（装30份） 小箱（装5份） 方案① 7箱 6箱 9箱 方案② 7箱 5箱 ？ (1)一共需要分发多少份活动物资？ (2)方案②中有多少份物资需要用小箱装？ 16．周末两天某海洋世界进园人数如下表。 星期 时间 进园人数 星期六 上午 655人 下午 228人 星期日 上午 ？人 下午 123人 (1)壮壮说星期六全天进园的人数超过了900人，他说得对吗？请说明理由。（写出分量与总量之间的数量关系，再解答） (2)星期日全天有562人进园。你还能提出其他数学问题并解答吗？ 17．鼓楼小学开展了以“节约用水，关住点滴”为主题的绘画比赛。四年级上交的绘画作品有124幅，比三年级上交的绘画作品多36幅。三年级上交的绘画作品有多少幅？ 18．2024年4月23日是第29个世界读书日。钱塘小学为“悦读节”活动购买了一批书籍，其中，购买科技书340本，购买故事书的本数比科技书的3倍还少60本。科技书和故事书一共买了多少本？（先画图表示出信息和问题，再解答） 19．正确佩戴安全头盔能够有效减少交通事故的伤亡风险。张阿姨购买了甲、乙两种头盔各一个。其中甲头盔108元，乙头盔比甲头盔便宜25元。张阿姨购买头盔共花费多少元？（先写出数量关系式，再解答） 20．集市采购规划：周末，辰辰和图图一起去逛文具店，他们都想买一套新出的漫画画笔。辰辰打开自己的小猪存钱罐，数了数一共有230元。图图也兴冲冲地拿出自己的存钱罐说：“我比你多攒了98元！”请问，辰辰和图图两人一共攒了多少元？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $