第六单元 图形的奥秘 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学四年级上册（新教材）

第六单元 图形的奥秘 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、切开立体图形（截面问题） 1. 截面的定义 用一个平直的平面像"刀"一样去切立体图形，切出来的平整的面，就叫做截面。截面的边都是直线，形状由被切割到的面的数量决定。 2. 常见立体图形的截面形状 （1）正方体（长方体） - 平行于某个面切：截面与该面形状完全相同，例如平行于正方体的面切，得到正方形；平行于长方体正面切，得到长方形。 - 斜向切割：切过3个面，截面是三角形；切过4个面，截面是长方形、梯形等四边形；切过5个面是五边形；切过6个面是六边形。 - 核心结论：正方体共有6个面，因此截面最多是六边形，不可能出现七边形及以上的图形。 （2）圆柱 - 平行于底面切：截面是圆； - 沿着高竖直切：截面是长方形（若底面直径与高长度相等，则为正方形）； - 斜着切：截面是椭圆。 （3）圆锥 - 平行于底面切：截面是圆； - 沿着高竖直切：截面是等腰三角形。 3. 核心规律 截面的边数 = 切割平面经过的立体图形的面数，经过几个面，截面就是几边形。 二、通过数字图还原立体图形 1. 数字图的含义 从立体图形正上方往下看得到的俯视图中，每个方格内的数字，表示该位置上堆叠的小正方体的个数。通过数字图可以完整还原立体图形的形状。 2. 小正方体总数计算 将数字图中所有格子里的数字相加，所得结果就是搭成这个立体图形的小正方体总个数；数字为0表示该位置没有小正方体。 3. 三视图还原技巧 - 正视图（从前面看）：观察每一列的最高层数，有几列就画几个竖条，竖条高度对应该列最高层数； - 左视图（从左面看）：观察每一行的最高层数，有几行就画几个竖条，竖条高度对应该行最高层数。 4. 最多/最少个数判断 已知正视图和俯视图时： - 最多个数：每个位置都堆到正视图允许的最高层数； - 最少个数：保证每列至少有一个位置达到最高层数，其余位置最少1层。 三、正方形翻滚问题 1. 翻滚的特点 正方形沿着桌面的一条边翻转90°，称为一次翻滚。翻滚过程中正方形的形状、大小不变，仅位置和朝向发生改变。 2. 核心周期规律 正方形沿同一个方向连续翻滚，每翻滚4次就会回到初始朝向（上下左右面与初始完全一致），即翻滚的周期为4。 3. 位置变化规律 在水平桌面上沿直线翻滚时，每翻滚1次，正方形整体向翻滚方向移动1个边长的距离。 4. 常见考查方向 - 判断翻滚指定次数后，哪个数字/图案的面朝上； - 计算翻滚后正方形顶点的位置坐标； - 判断翻滚后正方形的整体朝向。 四、常见易错点 1. 截面认知错误：误以为正方体只能切出四边形，忽略三角形、五边形、六边形；或默认圆柱竖直切开一定是正方形，忽略只有直径与高相等时才是正方形。 2. 计数漏算遮挡：数小正方体时，漏掉被上层压住、被前面挡住的小正方体，导致总数计算偏小。 3. 周期计算错误：翻滚问题中记错周期长度，或余数对应状态错误；忽略翻滚方向差异，直接套用周期导致朝向判断错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：面数对应截面判断法 【解题思路】 判断立体图形的截面形状，核心是看切割平面经过了立体的几个面，经过几个面截面就是几边形，结合立体总面数即可判断不可能出现的形状。 【操作步骤】 第一步：确定立体图形的总面数（如正方体6个面）； 第二步：分析切割方向，判断平面会经过几个面； 第三步：根据"面数=边数"得出截面形状，超过总面数的形状不可能出现。 【易错提升】 ● 易错点：斜着切正方体一定能得到三角形。 　　→ 规避技巧：只有切过3个面时截面才是三角形，若切过4个面则是四边形，并非所有斜切都能得到三角形。 方法点拨2：分层计数还原法 【解题思路】 还原立体图形或计算小正方体总数时，从上到下分层计数，每层数量清晰明确，不容易漏掉被压住的小正方体。 【操作步骤】 第一步：数出最上层的小正方体个数； 第二步：下一层的个数 = 本层能直接看到的个数 + 被上层压住的个数（上层有几个，下层对应位置就至少有几个）； 第三步：将所有层的数量相加，得到总个数。 【易错提升】 ● 易错点：数底层时只数能看到的，漏掉被挡住的。 　　→ 规避技巧：俯视图有几个格子，底层就至少有几个小正方体，每个格子至少1个。 方法点拨3：周期余数法（翻滚问题） 【解题思路】 同方向连续翻滚的问题，利用"4次一循环"的周期规律，用总次数除以4，通过余数快速判断最终状态，无需逐次枚举。 【操作步骤】 第一步：明确初始状态（哪个面朝上）和翻滚方向； 第二步：用总翻滚次数 ÷ 4，求出余数； 第三步：余数为1对应第1次翻滚后的状态，余数为2对应第2次，余数为0对应第4次（回到初始状态）。 【易错提升】 ● 易错点：向左滚和向右滚套用同一套面的顺序。 　　→ 规避技巧：先确定翻滚方向，枚举出前4次的朝上面顺序，再用周期计算，方向不同顺序完全不同。 【第三部分】考点讲练 考点一：切开立体图形 【典例精讲】 把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】B 【分析】长方体的面均由线段围成，切面不可能出现曲线图形；普通长方体无特殊说明时长宽高不全相等，沿长竖直切得到的四边形邻边不等。 【详解】圆形、椭圆形由曲线围成，长方体的切面都由线段组成，没有特殊说明时，默认是普通长方体，长宽高不完全相等，沿长的方向竖直切得到的四边形邻边长度不等，为长方形。 【变式训练】 把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．选项是平行于圆锥底面切圆锥，切面是圆。 B．选项的切面是斜着竖切圆柱，这样切出来的图形是椭圆，不可能得到圆形。 C．选项是切球体，不管怎么切球，切面都是圆。 D．选项是平行于圆柱上下底面切圆柱，切面是圆。 【详解】由分析可知，切开后得到的切面不是圆。 考点二：通过数字还原立体图 【典例精讲】 用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上放置的小正方体的个数），请你在右边的方格纸中分别画出这个几何体从正面、左面看到的图形。 【答案】 【分析】这个几何体，从正面看，有三层，第1层有3个小正方形，第2层靠第1层的右边有2个小正方形，第3层靠第2层的左边有1个小正方形；从左面看，有三层，第1层有3个小正方形，第2层靠第1层的左边有2个小正方形，第3层靠第2层的左边有1个小正方形。 【详解】从正面看，第1层画3个小正方形，第2层靠第1层的右边画2个小正方形，第3层靠第2层的左边画1个小正方形。图略。 从左面看，第1层画3个小正方形，第2层靠第1层的左边画2个小正方形，第3层靠第2层的左边画1个小正方形。图略。 【变式训练】 一个由若干个同样的小正方体组成的几何体从上面看到的图形如图，数字表示这个位置上所用的小正方体的个数，想象这个几何体的形状，并分别画出从前面和从左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】由从上面看到的图形可知，该几何体从前面看有3列，第1列3个小正方体（依次靠上叠加），第2列2个小正方体（靠上叠加），第3列1个小正方体。该几何体从左面看有2列，第1列有3个小正方体（依次靠上叠加），第2列有1个小正方体。据此画图。 【详解】如图： 考点三：正方体翻滚问题 【典例精讲】 下图中骰子向右依次滚动，并在方格中留下点的印记。 由此判断，点5的对面是点( )，点1的对面是点( )，点3的对面是点( )。 【答案】 2 6 4 【分析】印记中，间隔一个方格的两个面是骰子相对的两个面，据此判断即可。 【详解】印记中，点5与点2间隔一个方格，所以点5的对面是点2；同理点1的对面是点6，剩下点3和点4两个面是相对的。 【变式训练】 一个正方体蓝色面初始朝左（起点位置正方体没有压在数字上），沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动： 蓝色面经过的第1个数是( )；    蓝色面经过的第2个数是( )； 蓝色面经过的第3个数是( )；    蓝色面经过的第4个数是( )。 【答案】 3 7 11 15 【分析】起始蓝色面朝左，正方体没有压在数字上。 第一次滚动后，正方体压在数字1的格子上，蓝色面朝上，不和数字1接触； 第二次滚动后，正方体压在数字2的格子上，蓝色面朝右，不和数字2接触； 第三次滚动后，正方体压在数字3的格子上，蓝色面朝下，和数字3接触，蓝色面经过第1个数； 第四次滚动后，正方体压在数字4的格子上，蓝色面朝左，不和数字4接触； 第五次滚动后，正方体压在数字5的格子上，蓝色面朝上，不和数字5接触； 第六次滚动后，正方体压在数字6的格子上，蓝色面朝右，不和数字6接触； 第七次滚动后，正方体压在数字7的格子上，蓝色面朝下，和数字7接触，蓝色面经过第2个数；…… 正方体滚动一周需要滚动4个面，所以每滚动4次会回到初始朝向，完成一次循环重复，滚动周期是4次，蓝色面相邻两次经过的数，后面的数比前面的数大4，据此填写依次经过的数即可。 【详解】起始位置蓝色面朝左，沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动，正方体向右滚动3次后蓝色面朝下压在数字3上，后面依次经过的数是3＋4＝7，7＋4＝11，11＋4＝15……。 【第四部分】专项提升练习 1．一个几何体从上面看到的形状是，从正面、左面看到的都是，这个几何体是由（    ）个小正方体搭成的。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】从不同方向观察由小正方体摆成的几何体，上面看能确定底层小正方体的摆放位置；正面看确定每一列最高几层；左面看确定每一行最高几层。 【详解】底层一共4个小正方体（2行2列4个位置，底层铺满）；正面视图：左边一列最高2层，右边一列只能1层；左面视图：后面一行最高2层，前面一行只能1层；结合正面＋左面，只有左后的位置可以叠2层，其余位置都只能1层；即底层4个小正方体，上面一层只有1个小正方体，正方体总数是（个）。 2．从上面看此模型，看到的结果可以用表示，正方形里的2表示有2个小正方体重叠，那么右图这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方框内数字代表对应地面位置竖直堆叠的小正方体个数。观察立体图形，后方位置、中间位置都摞有2个小正方体，左边、右边、下方位置各1个，对照选项的形状和数字筛选。 【详解】 根据分析：这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是。 3．一个立体图形的图纸信息如下，下面符合的立体图形是（    ）。 A．三层，底层右2个，中层右1个，顶层左1个 B．三层，底层左1个，中层左2个，顶层右1个 C．三层，底层左2个，中层左1个，顶层左1个 D．三层，底层右1个，中层右2个，顶层左1个 【答案】C 【分析】第一层（最底层）的数字是1、1、0，代表从左到右的位置，左边2个位置都有方块，最右边位置没有，也就是底层左2个；第二层的数字是1、0、0，代表从左到右只有最左边位置有方块，也就是中层左1个；第三层（最顶层）的数字是1、0、0，代表从左到右只有最左边位置有方块，也就是顶层左1个。 【详解】根据分析可得：立体图形是三层，底层左2个，中层左1个，顶层左1个。 4．认真观察下图，数一数，下面的几何体是由（    ）个小正方体搭成的。 A．17 B．20 C．19 D．18 【答案】B 【分析】有序地数出小正方体的个数，如分别数出每列4个、3个、2个、1个的小正方体有几列，相乘后再相加，求出小正方体的总个数。 【详解】4×1＋3×2＋2×3＋1×4 ＝4＋6＋6＋4 ＝20（个） 5．下图中正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F，与F相对的面是（    ）。 A．A B．B C．C 【答案】C 【分析】A的相邻面C、D、E、F。一个面有4个相邻面，剩下那面就是对面，A相对的面是B； C的相邻面A、B、D、E。剩下那面就是对面，C相对的面是F。 【详解】根据分析，与F相对的面是C。 6．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从右面看是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的标注数字的图形，确定几何体前后不同排的小正方体最大堆叠层数，就能推导出从右面观察得到的图形形状。 从上面看到的图形的含义：这个从上面看到的图形里，每个正方形上的数字，代表对应地面位置上叠放的小正方体总个数。把这些位置按前后顺序分成三排：第一排：只有1个位置，数字是1，说明这里只叠了1个小正方体；第二排：有2个位置，数字分别是3和2，说明这一排最多的位置叠了3个小正方体；第三排：只有1个位置，数字是2，说明这里叠了2个小正方体。推导从右面观察的图形特征：站在几何体的右侧往左边看时：视线里最左侧的列，对应几何体最靠前的第一排，这一列最多只能看到1层正方形；视线里中间的列，对应几何体中间的第二排，这一列最多可以看到3层正方形；视线里最右侧的列，对应几何体最靠后的第三排，这一列最多可以看到2层正方形。所以从右面看到的图形，底层有3个并排的正方形，中间位置向上叠2个正方形（总共3层），最右侧位置向上叠1个正方形（总共2层），最左侧位置只有底层1个正方形。 【详解】A．只有2列正方形，不符合我们推导的3列的特征，排除； B．底层有4个正方形，不符合3列的特征，排除； C．从左到右的层数是2、3、1，和推导的1、3、2不匹配，排除； D．图形完全符合推导的层数特征。 7．一个几何体从上面看到的形状如图，数字表示在这个位置上所用小正方体的个数。这个几何体从前面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，从前面看到的图形有3层，上层1个小正方形，中间有2个小正方形，下层有3个小正方形，左齐，据此解答。 【详解】 根据分析可知，这个几何体从前面看到的形状是。 8．李建搭了一个立体图形（如下图），正方形上的数字表示在该位置上小正方体的个数。这个立体图形从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数字可知，这个立体图形有两层，最上层的1个小正方体考里侧，则从左面看，有2层，上层1个小正方形，下层2个小正方形，左齐，据此解答。 【详解】 根据分析可知，李建搭了一个立体图形（如下图），正方形上的数字表示在该位置上小正方体的个数。这个立体图形从左面看到的形状是。 故答案为：B 9．用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 【答案】 ④ ① 【分析】每一列的最高层数决定了从前面看到的图形每列有几个小正方形，前后两排的最高层数决定了从左面看到的图形每列有几个小正方形，对照选出对应的图形。 【详解】观察从上面看到的图形，可知，左起第一列最高1个正方形，第二列最高3个正方形，第三列最高2个正方形，最右边一列最高1个正方形，所以这个组合体，从前面看是④。看图可知，前排最高2个正方形，后排最高3个正方形，从左面看是①。 10．用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 【答案】 ② ④ 【分析】左中右三列的最高层数决定了从前面看到的图形每列有几个小正方形，前中后三排的最高层数决定了从左面看到的图形每列有几个小正方形，对照选出对应的图形。 【详解】观察从上面看到的图形，可知，左列最高1个正方形，中列最高3个正方形，右列最高3个正方形，所以从前面看到的图形是； 看图可知，前排最高3个正方形，中排最高2个正方形，后排最高3个正方形，所以从左面看到的图形是。 11．下面是长方体与正方体的展开图，请你根据已经标上的方位，填上其他几个面的方位名称。（前、后、左、右、上、下） 【答案】 【分析】长方体中相对的面完全相同，题中长方体展开图属于“一四一”型，展开图中“隔一相对”，通过题中标注的前面推导出其它的面，正方体六个面是完全相同的正方形，题中正方体展开图属于“二二二”型，可通过“Z字两端法‌：二二二型的结构天然形成连续的Z字形路径，Z字两端的两个面互为相对面。”根据题中标注的后面找到其相对面，从而推导出其它各面。 【详解】 “隔一相对”，中间一列从上到下共四个长方形，第三个长方形是长方体的前面（图中已标注），所以从上到下的第一个长方形是长方体的后面，第四个长方形是长方体的下面，第二个长方形是长方体的上面，前面的长方形的左边的长方形是长方体的左面，前面的长方形的右边的长方形是长方体的右面。 所以标注如图：。 用“Z字两端法”找出相对面。 “Z”字两端分别是正方体的后面与前面。 前面的正方形的右边的正方形是正方体的上面， “Z”字两端分别是正方体的上面与下面。 后面的左面正方形是正方体的左面， “Z”字两端分别是正方体的左面与右面。 所以标注如图： 12．用相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看到的图形如左图所示（正方形上所标数字表示该位置上所用的小正方体的个数），这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 【答案】 ① ② 【分析】从前面看：从左往右共3列，第1列1个小正方形，第2列3个小正方形，第3列1个小正方形。 从左面看：从左往右共2列，第1列3个小正方形，第2列2个小正方形。据此解答。 【详解】根据分析： 这个几何体，从前面看是①，从左面看是②。 13．数学课上，老师用同样的小正方体搭了一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 【答案】 ① ② 【分析】从前面看：从左往右共3列，第1列2个小正方形，第2列1个小正方形，第3列3个小正方形。 从左面看：从左往右共2列，第1列2个小正方形，第2列3个小正方形。据此解答。 【详解】根据分析： 这个几何体，从前面看是①，从左面看是②。 14．一个透明的塑料盒里装满了体积为1立方厘米的小正方体。李老师从盒里拿出一些准备在课上用，还剩下一部分（如图），李老师拿出了( )个小正方体。 【答案】64 【分析】棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米，观察题意可知，透明的塑料盒的长是5厘米，宽是5厘米，高是3厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出所有正方体的体积；再除以1得到所有正方体的个数，已知剩下11个小正方体，用所有的正方体个数减去11个小正方体，即可求出拿出的小正方体的个数。 【详解】5×5×3 ＝25×3 ＝75（立方厘米） 75÷1＝75（个） 75－11＝64（个） 15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，从上面和正面看都是。搭成这个几何体至少需要( )个小正方体。 【答案】5 【分析】从上面看到的图形决定每个小正方体的摆放位置，从正面看到的图形能确定层数，三列均有方块，中间列2层，两侧各1层，要让小正方体数量最少只需底层4个，上层1个即可。 【详解】 根据分析如图： 搭成这个几何体至少需要的小正方体有5个。 16．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下面左图所示（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 【答案】 ④ ① 【分析】根据从上面看到的图形信息可知，这个几何体前面最下面有4个小正方体排成一横排，上面有2个小正方体排成一横排，居中对齐；后面有3个小正方体排成一竖排，靠左对齐（如图）。据此解答。 【详解】从前面看，有3层，下面一层有4个小正方形排成一横排，中间一层有3个小正方形排成一横排，靠左对齐，上面一层有1个小正方形，靠左对齐；即； 从左面看，有3层，下面一层有2个小正方形排成一排，中间一层有2个小正方形和下面对齐，上面一层有1个小正方形，靠左对齐；即。 17．用相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下面的图形分别是从哪个方向看的，填一填。 从( )面看             从( )面看 【答案】 左 前/正 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形状，从前面看有3层，底层3个小正方形，第2层有1个小正方形靠左，第3层有1个小正方形靠左；从左面看有3层，底层2个小正方形，第2层有1个小正方形靠左，第3层有1个小正方形靠左；从右面看有3层，底层2个小正方形，第2层有1个小正方形靠右，第3层有1个小正方形靠右。 【详解】 18．华华用相同的小正方体摆一个组合体。从上面看到的图形如下图，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数，分别画出这个组合体从前面、左面和右面看到的图形。 【答案】 【分析】先观察俯视图上的数字，从前面看，从左往右每一列小正方体的最高层数分别是1、3、1；从左面看，从左往右每一列小正方体的最高层数分别是3、2；从右面看，从左往右每一列小正方体的最高层数分别是2、3，再按照对应的层数画出图形。 【详解】略 19．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数），请在下面方格中分别画出该几何体从前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】 如图，从前面看图形分3列，每列能看到的小正方体的个数等于这一列中最高的那个数。第一列能看到3个小正方体，第二列能看到2个小正方体，第三列能看到1个小正方体，3列下端对齐。 如图，从左面看图形分2列，每列能看到的小正方体的个数等于这一列中最高的那个数。第一列能看到2个小正方体，第二列能看到3个小正方体，2列下端对齐。 【详解】图略 20．用同样大的小正方体搭成一个几何体，从上面看的图形如下面左图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。请画出这个几何体的前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】俯视图上的数字表示对应位置小正方体的数量。 画从前面看：看俯视图每一列，取每一列数字的最大值，就是该列正方形的层数。一共有3列，各列最大数依次是1、3、2。 画从左面看：看俯视图每一行，取每一行数字的最大值，就是该列正方形的层数。一共有2列，各列最大数依次是3、2。 【详解】略 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 图形的奥秘 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、切开立体图形（截面问题） 1. 截面的定义 用一个平直的平面像"刀"一样去切立体图形，切出来的平整的面，就叫做截面。截面的边都是直线，形状由被切割到的面的数量决定。 2. 常见立体图形的截面形状 （1）正方体（长方体） - 平行于某个面切：截面与该面形状完全相同，例如平行于正方体的面切，得到正方形；平行于长方体正面切，得到长方形。 - 斜向切割：切过3个面，截面是三角形；切过4个面，截面是长方形、梯形等四边形；切过5个面是五边形；切过6个面是六边形。 - 核心结论：正方体共有6个面，因此截面最多是六边形，不可能出现七边形及以上的图形。 （2）圆柱 - 平行于底面切：截面是圆； - 沿着高竖直切：截面是长方形（若底面直径与高长度相等，则为正方形）； - 斜着切：截面是椭圆。 （3）圆锥 - 平行于底面切：截面是圆； - 沿着高竖直切：截面是等腰三角形。 3. 核心规律 截面的边数 = 切割平面经过的立体图形的面数，经过几个面，截面就是几边形。 二、通过数字图还原立体图形 1. 数字图的含义 从立体图形正上方往下看得到的俯视图中，每个方格内的数字，表示该位置上堆叠的小正方体的个数。通过数字图可以完整还原立体图形的形状。 2. 小正方体总数计算 将数字图中所有格子里的数字相加，所得结果就是搭成这个立体图形的小正方体总个数；数字为0表示该位置没有小正方体。 3. 三视图还原技巧 - 正视图（从前面看）：观察每一列的最高层数，有几列就画几个竖条，竖条高度对应该列最高层数； - 左视图（从左面看）：观察每一行的最高层数，有几行就画几个竖条，竖条高度对应该行最高层数。 4. 最多/最少个数判断 已知正视图和俯视图时： - 最多个数：每个位置都堆到正视图允许的最高层数； - 最少个数：保证每列至少有一个位置达到最高层数，其余位置最少1层。 三、正方形翻滚问题 1. 翻滚的特点 正方形沿着桌面的一条边翻转90°，称为一次翻滚。翻滚过程中正方形的形状、大小不变，仅位置和朝向发生改变。 2. 核心周期规律 正方形沿同一个方向连续翻滚，每翻滚4次就会回到初始朝向（上下左右面与初始完全一致），即翻滚的周期为4。 3. 位置变化规律 在水平桌面上沿直线翻滚时，每翻滚1次，正方形整体向翻滚方向移动1个边长的距离。 4. 常见考查方向 - 判断翻滚指定次数后，哪个数字/图案的面朝上； - 计算翻滚后正方形顶点的位置坐标； - 判断翻滚后正方形的整体朝向。 四、常见易错点 1. 截面认知错误：误以为正方体只能切出四边形，忽略三角形、五边形、六边形；或默认圆柱竖直切开一定是正方形，忽略只有直径与高相等时才是正方形。 2. 计数漏算遮挡：数小正方体时，漏掉被上层压住、被前面挡住的小正方体，导致总数计算偏小。 3. 周期计算错误：翻滚问题中记错周期长度，或余数对应状态错误；忽略翻滚方向差异，直接套用周期导致朝向判断错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：面数对应截面判断法 【解题思路】 判断立体图形的截面形状，核心是看切割平面经过了立体的几个面，经过几个面截面就是几边形，结合立体总面数即可判断不可能出现的形状。 【操作步骤】 第一步：确定立体图形的总面数（如正方体6个面）； 第二步：分析切割方向，判断平面会经过几个面； 第三步：根据"面数=边数"得出截面形状，超过总面数的形状不可能出现。 【易错提升】 ● 易错点：斜着切正方体一定能得到三角形。 　　→ 规避技巧：只有切过3个面时截面才是三角形，若切过4个面则是四边形，并非所有斜切都能得到三角形。 方法点拨2：分层计数还原法 【解题思路】 还原立体图形或计算小正方体总数时，从上到下分层计数，每层数量清晰明确，不容易漏掉被压住的小正方体。 【操作步骤】 第一步：数出最上层的小正方体个数； 第二步：下一层的个数 = 本层能直接看到的个数 + 被上层压住的个数（上层有几个，下层对应位置就至少有几个）； 第三步：将所有层的数量相加，得到总个数。 【易错提升】 ● 易错点：数底层时只数能看到的，漏掉被挡住的。 　　→ 规避技巧：俯视图有几个格子，底层就至少有几个小正方体，每个格子至少1个。 方法点拨3：周期余数法（翻滚问题） 【解题思路】 同方向连续翻滚的问题，利用"4次一循环"的周期规律，用总次数除以4，通过余数快速判断最终状态，无需逐次枚举。 【操作步骤】 第一步：明确初始状态（哪个面朝上）和翻滚方向； 第二步：用总翻滚次数 ÷ 4，求出余数； 第三步：余数为1对应第1次翻滚后的状态，余数为2对应第2次，余数为0对应第4次（回到初始状态）。 【易错提升】 ● 易错点：向左滚和向右滚套用同一套面的顺序。 　　→ 规避技巧：先确定翻滚方向，枚举出前4次的朝上面顺序，再用周期计算，方向不同顺序完全不同。 【第三部分】考点讲练 考点一：切开立体图形 【典例精讲】 把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【变式训练】 把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 考点二：通过数字还原立体图 【典例精讲】 用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上放置的小正方体的个数），请你在右边的方格纸中分别画出这个几何体从正面、左面看到的图形。 【变式训练】 一个由若干个同样的小正方体组成的几何体从上面看到的图形如图，数字表示这个位置上所用的小正方体的个数，想象这个几何体的形状，并分别画出从前面和从左面看到的图形。 考点三：正方体翻滚问题 【典例精讲】 下图中骰子向右依次滚动，并在方格中留下点的印记。 由此判断，点5的对面是点( )，点1的对面是点( )，点3的对面是点( )。 【变式训练】 一个正方体蓝色面初始朝左（起点位置正方体没有压在数字上），沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动： 蓝色面经过的第1个数是( )；    蓝色面经过的第2个数是( )； 蓝色面经过的第3个数是( )；    蓝色面经过的第4个数是( )。 【第四部分】专项提升练习 1．一个几何体从上面看到的形状是，从正面、左面看到的都是，这个几何体是由（    ）个小正方体搭成的。 A．4 B．5 C．6 2．从上面看此模型，看到的结果可以用表示，正方形里的2表示有2个小正方体重叠，那么右图这个立体图形从上面看，看到的结果表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个立体图形的图纸信息如下，下面符合的立体图形是（    ）。 A．三层，底层右2个，中层右1个，顶层左1个 B．三层，底层左1个，中层左2个，顶层右1个 C．三层，底层左2个，中层左1个，顶层左1个 D．三层，底层右1个，中层右2个，顶层左1个 4．认真观察下图，数一数，下面的几何体是由（    ）个小正方体搭成的。 A．17 B．20 C．19 D．18 5．下图中正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F，与F相对的面是（    ）。 A．A B．B C．C 6．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从右面看是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个几何体从上面看到的形状如图，数字表示在这个位置上所用小正方体的个数。这个几何体从前面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 8．李建搭了一个立体图形（如下图），正方形上的数字表示在该位置上小正方体的个数。这个立体图形从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 9．用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 10．用同样的小正方体摆一个组合体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个组合体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 11．下面是长方体与正方体的展开图，请你根据已经标上的方位，填上其他几个面的方位名称。（前、后、左、右、上、下） 12．用相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看到的图形如左图所示（正方形上所标数字表示该位置上所用的小正方体的个数），这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 13．数学课上，老师用同样的小正方体搭了一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 14．一个透明的塑料盒里装满了体积为1立方厘米的小正方体。李老师从盒里拿出一些准备在课上用，还剩下一部分（如图），李老师拿出了( )个小正方体。 15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，从上面和正面看都是。搭成这个几何体至少需要( )个小正方体。 16．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下面左图所示（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是( )，从左面看是( )。（填序号） 17．用相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下面的图形分别是从哪个方向看的，填一填。 从( )面看             从( )面看 18．华华用相同的小正方体摆一个组合体。从上面看到的图形如下图，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数，分别画出这个组合体从前面、左面和右面看到的图形。 19．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如左图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数），请在下面方格中分别画出该几何体从前面和左面看到的图形。 20．用同样大的小正方体搭成一个几何体，从上面看的图形如下面左图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。请画出这个几何体的前面和左面看到的图形。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $