第二单元 线与角（相交与垂直）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学四年级上册（新教材）

第二单元 线与角（相交与垂直）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、相交的概念 1. 相交的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 - 关键提醒：直线可以向两端无限延伸，有些直线看上去没有交叉，但延长后会交于一点，也属于相交关系，不能只看图形的局部。 - 相交的结果：两条直线相交会形成4个角。 2. 两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交（平行）；垂直是相交的特殊情况，不是独立的第三种位置关系。 二、垂直的定义与相关概念 1. 垂直的定义 当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 - 核心关系：垂直一定相交，但相交不一定垂直；垂直是相交的特殊情况，特殊在相交的角是直角。 2. 表示方法 两条直线互相垂直可以用符号"⊥"表示，例如直线AB与直线CD互相垂直，记作，读作"AB垂直于CD"。 3. 垂直的特征 两条直线互相垂直时，相交所形成的4个角都是直角。 三、垂线的画法 画垂线的核心工具是三角尺，利用三角尺的直角来保证相交成直角，分为两种情况： 1. 过直线上一点画已知直线的垂线 ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 平移三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； ③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线； ④ 标出直角符号，这条直线就是已知直线的垂线。 2. 过直线外一点画已知直线的垂线 ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； ③ 沿着这条直角边画直线，与已知直线相交； ④ 标出直角符号，这条直线就是所求的垂线。 3. 重要结论 过一点（无论是直线上还是直线外），有且只能画1条直线与已知直线垂直。 四、垂线段的性质与点到直线的距离 1. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，与直线垂直的线段最短，这条垂直线段的长度就叫做点到直线的距离。 - 注意：距离是垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身。 2. 生活应用 修路、修水渠、过马路走斑马线等，都是利用"垂线段最短"的原理，保证路线最短、最节省材料。 五、生活中的垂直现象 - 长方形、正方形的相邻两条边互相垂直； - 黑板的长边和短边互相垂直； - 墙角的三条线两两互相垂直； - 旗杆与地面互相垂直。 六、常见易错点 1. 忽略直线可延伸：看到两条线没交叉就认为不相交，忘记直线可以无限延长，延长后相交也属于相交； 2. 概念关系混淆：误以为垂直和相交是并列的两种位置关系，实际垂直是特殊的相交； 3. 垂足概念错：只要两条直线相交，交点就叫垂足，只有垂直时的交点才叫垂足； 4. 作图不规范：画垂线不标直角符号，或不用三角尺凭手画，无法保证是直角； 5. 距离概念错：把"垂线段"说成"距离"，距离是线段的长度，不是线段本身； 6. 垂线数量记错：误以为过一点能画无数条垂线，实际只能画1条。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：概念两步辨析法 【解题思路】 判断两条直线是否垂直，分两步：第一步先判断是否相交，第二步再判断相交的角是不是直角，两步都满足才是垂直。 【操作步骤】 第一步：看两条直线是否有交点（或延长后有交点），没有交点则不相交，更不可能垂直； 第二步：用三角尺的直角比对，相交的角是直角则互相垂直，不是直角则只是普通相交。 【易错提升】 ● 易错点：两条直线相交就说它们互相垂直。 　　→ 规避技巧：垂直必须同时满足"相交"和"成直角"两个条件，缺一不可。 方法点拨2：三角尺作垂线四步法 【解题思路】 画垂线严格按"重合、平移、画线、标符"四步走，确保画出的是标准垂线，避免作图不规范失分。 【操作步骤】 第一步：一重合——三角尺的一条直角边与已知直线重合； 第二步：二平移——平移三角尺，使另一条直角边经过指定点； 第三步：三画线——沿经过点的直角边画直线； 第四步：四标符——在交点处标出直角符号。 【易错提升】 ● 易错点：画完垂线忘记标直角符号。 　　→ 规避技巧：养成"画垂线必标直角符号"的习惯，没有直角符号无法证明是垂直。 方法点拨3：垂线段最短判断法 【解题思路】 解决点到直线的最短路线、最短水渠类问题，直接找从该点到直线的垂线段，这就是最短路径，依据是垂线段最短。 【操作步骤】 第一步：确定点和对应的直线； 第二步：从点向直线作垂线段； 第三步：这条垂线段就是最短路线，理由是"从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短"。 【易错提升】 ● 易错点：认为斜着的线段更短。 　　→ 规避技巧：只要是点到直线，永远是垂线段最短，斜线段都比垂线段长。 方法点拨4：延长验证法 【解题思路】 判断两条直线是否相交时，如果看上去没有交点，就把两条直线向两端延长，延长后有交点就是相交，没有交点就是平行。 【操作步骤】 第一步：用直尺把两条直线向两端分别延长； 第二步：观察延长后是否出现交点； 第三步：有交点→相交，没有交点→不相交（平行）。 【易错提升】 ● 易错点：只看画出来的部分，认为没交叉就不相交。 　　→ 规避技巧：直线是无限长的，一定要结合延长后的结果判断。 【第三部分】考点讲练 考点一：垂直的特征 【典例精讲】 观察下图中，点与直线上、、三点的连线中，线段( )的长度最短，线段( )与直线互相垂直。 【变式训练】 如图，点与直线上三点的连线中，线段( )的长度最短，线段( )与线段互相垂直。 考点二：画垂线 【典例精讲】 已知直线a，过P点作已知直线a的垂线。 【变式训练】 画出下面直线的垂线。 考点三：点到直线的距离 【典例精讲】 实验小学准备铺设一条排水管道到幸福路，再向六一路铺设一条路，方便师生上学、放学。请你在图中分别画出最短路线。 【变式训练】 为了方便学校的学生坐车上学，要在公路边设一个停车站，怎样设计路线最短？在下图中画出来。 【第四部分】专项提升练习 1．过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作点到直线的( )。 2．量一量，下图中，点A到直线L的距离是( )厘米。 3．从家到公路有3条路，最近的那条是( )号路，这是因为( )。 4．如图，线段BF与直线m互相( )，点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 5．如果两条直线互相垂直，那么它们相交所成的角是( )°。 6．公路边有3条到达学校的小路，它们的长度分别是120米、108米、137米，其中一条小路与公路是垂直的，这条小路的长是( )米。 7．小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 8．两条直线互相垂直可以得到( )个直角；捏住一个长方形两个对角向相反方向拉，得到的平行四边形的周长( )原来长方形的周长。（填“大于”、“小于”或“等于”） 9．有四位同学的家在同一条街道上，如图，( )家离学校最近。 10．太平村和五阳村哪个村离小河更近？画一画，比一比。 11．过D点分别画出直线AB、AC的垂线。 12．如图。 (1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：___________________________________ (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：__________________________________________________ 13．在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥。请问，这座桥建在何处，可使两个小区的居民来往时所走的路程和最短？ 14．将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 15．过点��先画一条直线与线����互相垂直，再画一条直线与线����互相垂直。 16．星光小学西侧有一条滨河路。请你设计一条从星光小学到滨河路的人行道，怎样修最近？请你画出示意图并说明理由。 理由：_______________ 17．体育课上，体育委员给同学们测量跳远成绩（如下图），你认为他的测量方法正确吗？为什么？ 18．从幸福村到国道有三条小路，长度分别是168米、210米、195米。其中有一条小路与国道是垂直的，那么这条垂直的小路长多少米？请说明理由。 19．三只小兔以相同的速度沿着各自的路线跑向胡萝卜，哪只小兔能最先吃到萝卜？并说明理由。 20．信阳镇实行“煤改气”工程，从小丽家向燃气主管道接一条燃气管道，怎样接最节省材料？在图上画出来，并说一说其中的道理。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 线与角（相交与垂直）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、相交的概念 1. 相交的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 - 关键提醒：直线可以向两端无限延伸，有些直线看上去没有交叉，但延长后会交于一点，也属于相交关系，不能只看图形的局部。 - 相交的结果：两条直线相交会形成4个角。 2. 两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交（平行）；垂直是相交的特殊情况，不是独立的第三种位置关系。 二、垂直的定义与相关概念 1. 垂直的定义 当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 - 核心关系：垂直一定相交，但相交不一定垂直；垂直是相交的特殊情况，特殊在相交的角是直角。 2. 表示方法 两条直线互相垂直可以用符号"⊥"表示，例如直线AB与直线CD互相垂直，记作，读作"AB垂直于CD"。 3. 垂直的特征 两条直线互相垂直时，相交所形成的4个角都是直角。 三、垂线的画法 画垂线的核心工具是三角尺，利用三角尺的直角来保证相交成直角，分为两种情况： 1. 过直线上一点画已知直线的垂线 ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 平移三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； ③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线； ④ 标出直角符号，这条直线就是已知直线的垂线。 2. 过直线外一点画已知直线的垂线 ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； ③ 沿着这条直角边画直线，与已知直线相交； ④ 标出直角符号，这条直线就是所求的垂线。 3. 重要结论 过一点（无论是直线上还是直线外），有且只能画1条直线与已知直线垂直。 四、垂线段的性质与点到直线的距离 1. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，与直线垂直的线段最短，这条垂直线段的长度就叫做点到直线的距离。 - 注意：距离是垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身。 2. 生活应用 修路、修水渠、过马路走斑马线等，都是利用"垂线段最短"的原理，保证路线最短、最节省材料。 五、生活中的垂直现象 - 长方形、正方形的相邻两条边互相垂直； - 黑板的长边和短边互相垂直； - 墙角的三条线两两互相垂直； - 旗杆与地面互相垂直。 六、常见易错点 1. 忽略直线可延伸：看到两条线没交叉就认为不相交，忘记直线可以无限延长，延长后相交也属于相交； 2. 概念关系混淆：误以为垂直和相交是并列的两种位置关系，实际垂直是特殊的相交； 3. 垂足概念错：只要两条直线相交，交点就叫垂足，只有垂直时的交点才叫垂足； 4. 作图不规范：画垂线不标直角符号，或不用三角尺凭手画，无法保证是直角； 5. 距离概念错：把"垂线段"说成"距离"，距离是线段的长度，不是线段本身； 6. 垂线数量记错：误以为过一点能画无数条垂线，实际只能画1条。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：概念两步辨析法 【解题思路】 判断两条直线是否垂直，分两步：第一步先判断是否相交，第二步再判断相交的角是不是直角，两步都满足才是垂直。 【操作步骤】 第一步：看两条直线是否有交点（或延长后有交点），没有交点则不相交，更不可能垂直； 第二步：用三角尺的直角比对，相交的角是直角则互相垂直，不是直角则只是普通相交。 【易错提升】 ● 易错点：两条直线相交就说它们互相垂直。 　　→ 规避技巧：垂直必须同时满足"相交"和"成直角"两个条件，缺一不可。 方法点拨2：三角尺作垂线四步法 【解题思路】 画垂线严格按"重合、平移、画线、标符"四步走，确保画出的是标准垂线，避免作图不规范失分。 【操作步骤】 第一步：一重合——三角尺的一条直角边与已知直线重合； 第二步：二平移——平移三角尺，使另一条直角边经过指定点； 第三步：三画线——沿经过点的直角边画直线； 第四步：四标符——在交点处标出直角符号。 【易错提升】 ● 易错点：画完垂线忘记标直角符号。 　　→ 规避技巧：养成"画垂线必标直角符号"的习惯，没有直角符号无法证明是垂直。 方法点拨3：垂线段最短判断法 【解题思路】 解决点到直线的最短路线、最短水渠类问题，直接找从该点到直线的垂线段，这就是最短路径，依据是垂线段最短。 【操作步骤】 第一步：确定点和对应的直线； 第二步：从点向直线作垂线段； 第三步：这条垂线段就是最短路线，理由是"从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短"。 【易错提升】 ● 易错点：认为斜着的线段更短。 　　→ 规避技巧：只要是点到直线，永远是垂线段最短，斜线段都比垂线段长。 方法点拨4：延长验证法 【解题思路】 判断两条直线是否相交时，如果看上去没有交点，就把两条直线向两端延长，延长后有交点就是相交，没有交点就是平行。 【操作步骤】 第一步：用直尺把两条直线向两端分别延长； 第二步：观察延长后是否出现交点； 第三步：有交点→相交，没有交点→不相交（平行）。 【易错提升】 ● 易错点：只看画出来的部分，认为没交叉就不相交。 　　→ 规避技巧：直线是无限长的，一定要结合延长后的结果判断。 【第三部分】考点讲练 考点一：垂直的特征 【典例精讲】 观察下图中，点与直线上、、三点的连线中，线段( )的长度最短，线段( )与直线互相垂直。 【答案】 OA 0A 【分析】根据定义可得：直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短，据此填空即可。 【详解】有图可得，线段OA是AC的垂线段，线段OA与直线互相垂直。 【点睛】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【变式训练】 如图，点与直线上三点的连线中，线段( )的长度最短，线段( )与线段互相垂直。 【答案】 OB/BO OB/BO 【分析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此解答。 【详解】如图，点与直线上三点的连线中，线段OB的长度最短，线段OB与线段互相垂直。 考点二：画垂线 【典例精讲】 已知直线a，过P点作已知直线a的垂线。 【答案】 【分析】把三角尺的一条直角边与已知直线a重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点P在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线a的垂线。 【详解】略 【变式训练】 画出下面直线的垂线。 【答案】 【分析】在直线上随便选取一点，然后把三角板的直角边靠紧已知直线，沿直线滑动三角板，当直角顶点与这点重合时，沿这条直角边画直线，所画直线就是已知直线的垂线；由此分别画出垂线即可。 【详解】画图略。 考点三：点到直线的距离 【典例精讲】 实验小学准备铺设一条排水管道到幸福路，再向六一路铺设一条路，方便师生上学、放学。请你在图中分别画出最短路线。 【答案】 【分析】从直线外一点向已知直线所画的线段中，垂线段最短，把公路看作一条直线，学校看作一个点，由点向直线画垂直线段即为最短路线。 【详解】略 【变式训练】 为了方便学校的学生坐车上学，要在公路边设一个停车站，怎样设计路线最短？在下图中画出来。 【答案】 【分析】把学校看作一个点，公路看作一条直线，因为点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短，所以，过这一点向公路画垂线，垂足处设置站点最合适，因为这条通往公路的路程最短。 画垂线时，用直角三角尺的一条直角边贴紧公路邻近学校的一侧，沿着公路移动，直到另一条直角边与学校重合时，从学校向公路画一条线段即可。 【详解】图略。 【第四部分】专项提升练习 1．过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作点到直线的( )。 【答案】 无数 垂直 距离 【详解】过直线外的一个点，朝已知直线的任意方向都能画出连接到这条线的线段，所以可以画出无数条。这些线段里，只有和已知直线互相垂直的那一条长度是最短的。这条最短线段的长度，就是这个点到这条直线的距离。 2．量一量，下图中，点A到直线L的距离是( )厘米。 【答案】1.5 【分析】点到直线的距离，是从这个点向直线作垂线段的长度。图中已标出垂直的线段AD，量AD即可。 【详解】用直尺沿着AD测量，AD约为1.5厘米。因此点A到直线L的距离约为1.5厘米。 （以实际测量为准） 3．从家到公路有3条路，最近的那条是( )号路，这是因为( )。 【答案】 （2） 从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短 【分析】根据垂线段的性质可知，从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可。 【详解】观察图里的三条路，1号是弯曲的路线，3号是斜着的普通线段，只有2号是从家这个点向公路这条直线作出的垂线段。 因此，从家到公路有3条路，最近的那条是（2）号路，这是因为从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。 4．如图，线段BF与直线m互相( )，点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 【答案】 垂直 AD/DA 【分析】根据互相垂直的定义：在同一平面内，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此进行解答。 【详解】由分析可知，线段BF与直线m互相垂直，点A与直线m的连线中，最短的线段是AD。 5．如果两条直线互相垂直，那么它们相交所成的角是( )°。 【答案】90 【分析】根据垂直的定义，两条直线相交成直角时，它们互相垂直。因此，互相垂直的两条直线所形成的角必定是直角。 【详解】它们相交所成的角是°。 6．公路边有3条到达学校的小路，它们的长度分别是120米、108米、137米，其中一条小路与公路是垂直的，这条小路的长是( )米。 【答案】108 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。则从笔直的公路到学校的3条小路中，与公路垂直的小路长度最短。比较三条小路长度大小，找出最短的那条小路即可。 【详解】108＜120＜137，则与公路垂直的小路长度是108米。 7．小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 【答案】195 【分析】点到直线的所有连线中，垂线段最短。题目中与河边垂直的路线就是小马家到河边的距离，比较三条路线长度，找出最短的线段就是垂线段的长度，也就是小马家到河边的距离。 【详解】195＜280＜296 小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是195米。 8．两条直线互相垂直可以得到( )个直角；捏住一个长方形两个对角向相反方向拉，得到的平行四边形的周长( )原来长方形的周长。（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】 4/四 等于 【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，依此画图并填空。 捏住一个长方形两个对角向相反方向拉，拉成一个平行四边形，即长方形的四条边的长度没有改变，根据对周长的认识进行填空即可。 【详解】 由此可知，两条直线互相垂直可以得到4个直角； 捏住一个长方形两个对角向相反方向拉，围成图形一周的长度不变，所以得到的平行四边形的周长等于原长方形的周长。 【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握是对周长的认识，以及垂直的特点。 9．有四位同学的家在同一条街道上，如图，( )家离学校最近。 【答案】小华 【分析】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，有四位同学的家在同一条街道上，如上图，小华家离学校最近。 【点睛】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。 10．太平村和五阳村哪个村离小河更近？画一画，比一比。 【答案】五阳村离小河更近 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，分别从太平村、五阳村向小河边作垂线，再比较这两条垂线的长短，即可解答。 【详解】观察所画的两条垂线段可知，五阳村到小河的垂线段比太平村到小河的垂线段短，所以五阳村离小河更近。 画图略。 11．过D点分别画出直线AB、AC的垂线。 【答案】 【分析】过点D作直线AB的垂线：因为点D在直线AB上，所以根据过直线上一点作已知直线垂线的方法，借助三角尺，把三角尺的一条直角边与AB重合，沿着AB移动三角尺，使得三角尺的直角顶点与D点重合，沿着三角尺的另外一条直角边画直线，即可画出AB的垂线； 过点D作直线AC的垂线：因为点D在直线AC外，所以根据过直线外一点作已知直线垂线的方法，把三角尺的一条直角边与AC重合，沿着AC移动三角尺，使得三角尺的另外一条直角边经过D点，沿着三角尺的另外一条直角边画直线，即可画出AC的垂线； 垂线画完后都标注垂直符号。 【详解】图略 12．如图。 (1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：___________________________________ (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：__________________________________________________ 【答案】(1)；两点之间线段最短 (2)；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短 【分析】（1）要找两点之间的最短路径，依据两点之间线段最短，直接连接李庄和王庄两点的线段即可。 （2）要找直线外一点到直线的最短路径，依据从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，过王庄向小河所在直线作垂线段即可。 【详解】（1）图略，从李庄到王庄最近的路线依据是：两点之间线段最短。 （2）图略，从王庄到小河的最短路线依据是：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短。 13．在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥。请问，这座桥建在何处，可使两个小区的居民来往时所走的路程和最短？ 【答案】    桥应建在PA处 【分析】明确天桥垂直于公路两边，长度等于公路宽度为定值，所以总路程最短等价于甲到天桥上沿、乙到天桥下沿的路径和最短。 先将其中一个小区沿垂直公路方向平移，平移距离等于公路宽度，把问题转化为两点之间线段最短的经典最短路径问题。 平移后连接平移后的点与另一个小区的点，该线段与公路对应侧边的交点即为天桥的一个端点，据此确定天桥位置。 【详解】将甲小区沿垂直公路方向向乙所在的公路侧平移，平移距离等于公路宽度得到对应点，连接该点与乙小区的点，线段与靠近乙小区一侧的公路边沿交于A，过A作公路边沿的垂线交另一侧公路边沿于P，天桥垂直于公路边沿建在PA处。 14．将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【答案】 【分析】两点之间线段距离最短，把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，从A点出发到点P喝水，然后到位于B点的军营的距离最短。据此画图。 【详解】把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，因为B'是B关于河岸的对称点，所以PB＝PB'，路线“A→P →B”的长度等于AP＋PB＝AP＋PB'，也就是A和B'之间的线段长度。根据两点之间线段距离最短，此时路线是最短的。 图略。 15．过点��先画一条直线与线����互相垂直，再画一条直线与线����互相垂直。 【答案】 【分析】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。过点M分别向直线AB、AC作垂线就可以作出题目要求的图形。 【详解】略 16．星光小学西侧有一条滨河路。请你设计一条从星光小学到滨河路的人行道，怎样修最近？请你画出示意图并说明理由。 理由：_______________ 【答案】 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。从“星光小学”这个点向滨河路画一条垂直线段，这条垂直线段就是最近的。 【详解】略 17．体育课上，体育委员给同学们测量跳远成绩（如下图），你认为他的测量方法正确吗？为什么？ 【答案】不正确；图中测量的是斜线段，不是垂直距离，测量方法错误。正确测量方法如下： 【分析】判断测量方法是否正确，要看量出的线段是不是从落地点到踏板的最短距离。点到直线的最短距离是垂直线段。 【详解】踏板在图中竖直放置，所以正确的测量线段应与踏板垂直，也就是水平线段。图中的斜线没有与踏板垂直，量出的不是落地点到踏板的最短距离，因此测量方法不正确。答案图中红线表示正确的测量方向。 18．从幸福村到国道有三条小路，长度分别是168米、210米、195米。其中有一条小路与国道是垂直的，那么这条垂直的小路长多少米？请说明理由。 【答案】这条垂直的小路长168米。理由：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。幸福村可看作直线外一点，国道是一条直线，三条小路是连接幸福村与国道的线段，因此长度最短的小路就是与国道垂直的。 【分析】要找到与国道垂直的小路，可利用垂线段最短的性质，即垂直的小路是三条小路中长度最短的，只需比较三条小路的长度，找出最短的即可。 【详解】 答：根据垂线段最短的性质，与国道垂直的小路是三条小路中最短的，因此这条垂直的小路长168米。 19．三只小兔以相同的速度沿着各自的路线跑向胡萝卜，哪只小兔能最先吃到萝卜？并说明理由。 【答案】②； 因为点到直线的距离垂线段最短，3只小兔的速度一样，那么路程越短，用的时间就越少，②号小兔走的路线与竖直线垂直，而①号兔子和③号兔子分别走的是斜线和折线，所以②号小兔走的路程最短，就能最先吃到萝卜。 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，时间=路程速度，速度一样的情况下，路程越短，用的时间越短，据此解答。 【详解】由图可得，①号兔子走的是斜线，②号小兔走的路线与竖直线垂直，③号兔子走的是折线，所以②号小兔走的路程最短，即最先吃到萝卜。 20．信阳镇实行“煤改气”工程，从小丽家向燃气主管道接一条燃气管道，怎样接最节省材料？在图上画出来，并说一说其中的道理。 【答案】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】因为直线外一点（小丽家）到这条直线（燃气主管道）所有点的连线中，垂线段最短。 【详解】用三角板的一条直角边与“燃气主管道”这条直线重合，另一条直角边经过“小丽家”的点，沿着这条直角边画线段，使线段垂直于主管道，这条线段就是小丽家到主管道的垂线段，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $