第七单元 运用数量关系解决实际问题（相遇问题） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学四年级上册（新教材）

第七单元 运用数量关系解决实际问题（相遇问题） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、相遇问题的基本概念 1. 定义 两个运动的物体（人、车等）分别从两地出发，相向而行（面对面行驶），经过一段时间后在途中相遇，这类行程问题叫做相遇问题。 - 核心三要素：总路程（两地距离）、速度和、相遇时间 - 标准相遇的前提：同时出发、相向而行、中途相遇，此时两个物体的运动时间完全相同。 2. 核心概念：速度和 两个运动物体在单位时间内一共行驶的路程，叫做速度和，即两个速度相加的总和。 - 示例：甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，速度和就是千米/时，表示两车1小时一共行驶100千米。 二、核心数量关系式 相遇问题的本质是：总路程 = 甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 由此推导得出三个核心公式： 1. 求总路程： 2. 求相遇时间： 3. 求速度和： - 拓展：已知速度和与其中一个速度，求另一个速度： 三、常见相遇问题类型 1. 标准相遇问题 两个物体同时从两地出发，相向而行，直接相遇，是最基础的题型，可直接套用核心公式。 2. 不同时出发的相遇问题 其中一个物体先出发一段时间，另一个物体再出发。解题时需要先减去先行的路程，剩下的路程按标准相遇问题计算。 3. 相遇前相距问题 两个物体相向而行，行驶一段时间后还没有相遇，中间有一段距离。数量关系：总路程 = 已行驶路程和 + 相距路程。 4. 相遇后相距问题 两个物体相遇后继续按原方向行驶，一段时间后两者背向相距一段距离。数量关系：总行驶路程和 = 原来的总路程 + 相距路程。 四、解题通用步骤 1. 审题意：圈出关键词，判断是哪类相遇问题，确认出发时间、行驶方向、是否相遇； 2. 画线段图：用线段表示总路程，标注出发点、相遇点、速度和时间，直观呈现数量关系； 3. 定公式：根据已知条件和所求问题，选择对应的数量关系式； 4. 列算式：代入数据计算，注意单位必须统一； 5. 验结果：把结果代入原题反向验证，确认无误后写答句。 五、常见易错点 1. 单位不统一：速度单位与时间单位不匹配（如速度是千米/时，时间给的是分钟），未换算直接计算； 2. 误用公式：不同时出发的题目，直接用总路程除以速度和，忽略先行的路程和时间； 3. 概念混淆：把相遇问题的"速度和"当成追及问题的"速度差"，导致结果完全错误； 4. 相距路程算错：相遇前/后相距的题目，分不清总路程和已行驶路程的关系，加减搞反； 5. 时间错配：把先行时间算进相遇时间里，导致速度和对应的时间错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：线段图示法 【解题思路】 所有相遇问题都可以通过画线段图直观呈现数量关系，清晰展示总路程、各段分路程、相遇点的位置，是解决行程问题的核心辅助方法。 【操作步骤】 第一步：画一条线段表示两地总路程，两端标注两个出发点； 第二步：根据行驶方向，标注相遇点的大致位置，分别标出两车的速度和行驶时间； 第三步：结合图形分析：总路程 = 甲路程 + 乙路程 = 速度和 × 相遇时间； 第四步：根据所求问题选择对应公式列式计算。 【易错提升】 ● 易错点：不同时出发的题目，相遇点画在中点位置，忽略先行的路程。 　　→ 规避技巧：先画出先行的一段路程，剩下的部分才是两车共同行驶的相遇路程，相遇点要偏向晚出发的一侧。 方法点拨2：公式对应法 【解题思路】 标准相遇问题，先明确已知的两个量，直接对应三个核心公式求第三个量，是最基础的解题方法。 【操作步骤】 第一步：从题目中提取已知量，对应总路程、速度和、相遇时间中的两个； 第二步：明确所求的量，选择对应的核心公式； 第三步：代入数据计算，检查单位是否统一。 【易错提升】 ● 易错点：求相遇时间错用乘法，求总路程错用除法。 　　→ 规避技巧：求"总长度"（总路程）是求总量，用乘法；求"时间"或"速度"是求单一量，用除法。 方法点拨3：分段拆分法 【解题思路】 针对不同时出发、中途休息的复杂相遇问题，按时间阶段拆分成"先行段"和"相遇段"，分别计算后再合并结果。 【操作步骤】 第一步：拆分阶段：先算单独行驶的阶段，算出先行的路程； 第二步：总路程减去先行路程，得到两车共同行驶的相遇路程； 第三步：用相遇路程除以速度和，得到相遇阶段的时间； 第四步：根据问题要求，计算总时间或总路程。 【易错提升】 ● 易错点：把先行的时间算进相遇时间里，直接用总路程除以速度和。 　　→ 规避技巧：只有两车同时行驶的时间，才能用速度和计算，先行阶段只有一个物体在动，要单独算。 方法点拨4：反向验证法 【解题思路】 计算完成后，把结果当作已知条件代入原题，反向推导总路程或速度，和题目原数据对比，快速排查计算和列式错误。 【操作步骤】 第一步：将算出的结果代入题目情境； 第二步：用结果和已知的一个量，反向计算第三个量； 第三步：和题目原数据对比，一致则计算正确。 【易错提升】 ● 易错点：算完不检查，简单的计算错误也发现不了。 　　→ 规避技巧：相遇问题都可以用"速度和×时间"反推总路程，十几秒就能验证对错。 【第三部分】考点讲练 考点一：标准相遇问题（同时出发） 考查重点：理解速度和的概念，掌握相遇问题的三个核心公式，能解决基础的同时出发相遇问题。 【典例精讲】 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶65千米，经过3小时两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 【分析】 这是标准的同时出发相遇问题，已知两车速度和相遇时间，求总路程。可以分别算出两车行驶的路程再相加，也可以先算速度和，再用"速度和×相遇时间=总路程"计算，后者更简便。 【详解】 方法一：分别计算两车路程再相加 甲车路程：（千米） 乙车路程：（千米） 总路程：（千米） 方法二：用速度和计算 速度和：（千米/时） 总路程：（千米） 答：A、B两地相距420千米。 【答案】420千米 【变式训练】 题目：两座城市相距600千米，客车和货车分别从两城同时出发，相向而行。客车每小时行驶70千米，货车每小时行驶50千米，两车经过多少小时相遇？ 【分析】 已知总路程和两车的速度，求相遇时间。先算出两车的速度和，再根据"总路程÷速度和=相遇时间"用除法计算。 【详解】 速度和：（千米/时） 相遇时间：（小时） 答：两车经过5小时相遇。 【答案】5小时 考点二：不同时出发的相遇问题 考查重点：能处理有先行路程、中途休息的非标准相遇问题，掌握分段计算的思路。 【典例精讲】 题目：A、B两地相距500千米，甲车从A地出发1小时后，乙车才从B地出发，两车相向而行。甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶60千米。乙车出发后几小时两车相遇？ 【分析】 甲车先出发1小时，这1小时只有甲车在行驶，乙车没动。需要先算出甲车1小时先行的路程，总路程减去先行路程，剩下的是两车共同行驶的相遇路程，再除以速度和，得到乙车出发后的相遇时间。 【详解】 第一步：计算甲车1小时先行的路程 （千米） 第二步：计算两车共同行驶的相遇路程 （千米） 第三步：计算乙车出发后的相遇时间 速度和：（千米/时） 相遇时间：（小时） 答：乙车出发后3小时两车相遇。 【答案】3小时 【变式训练】 题目：甲、乙两队合修一条长760米的公路，甲队先修2天，乙队再加入一起修。甲队每天修50米，乙队每天修60米。乙队加入后，还要多少天能修完？ 【分析】 这是工程场景的相遇问题，本质与行程相遇一致。先算甲队先修的长度，总长度减去先修的，剩下的是两队合修的工作量，除以两队的效率和，得到合修的时间。 【详解】 第一步：甲队先修的长度 （米） 第二步：剩余合修的长度 （米） 第三步：计算合修天数 效率和：（米/天） 合修天数：（天） 答：还要6天能修完。 【答案】6天 考点三：相遇前后的相距问题 考查重点：能区分相遇前相距和相遇后相距的场景，正确处理总路程、已行驶路程和相距路程的关系。 【典例精讲】 题目：A、B两地相距500千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，行驶3小时后两车还相距多少千米？ 【分析】 两车同时出发相向而行，3小时后还没相遇，求相距的距离。先算出3小时两车一共行驶的路程，再用总路程减去已行驶的路程和，就是还相距的距离。 【详解】 第一步：计算两车3小时行驶的路程和 速度和：（千米/时） 已行驶路程：（千米） 第二步：计算还相距的路程 （千米） 答：行驶3小时后两车还相距140千米。 【答案】140千米 【变式训练】 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇。甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。相遇后两车继续按原速前进，再经过2小时，两车相距多少千米？ 【分析】 相遇后两车继续行驶，相当于背向而行，它们的距离就是两车2小时一共行驶的路程，用速度和乘时间即可。 【详解】 速度和：（千米/时） 2小时行驶的路程和：（千米） 答：两车相距240千米。 【答案】240千米 考点四：相遇问题综合应用（反求单个速度） 考查重点：能根据总路程和相遇时间反求单个物体的速度，解决稍综合的相遇应用题。 【典例精讲】 题目：甲、乙两地相距480千米，客车和货车同时从两地相向开出，4小时后相遇。已知客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 【分析】 方法一：先算客车行驶的路程，总路程减去客车路程得到货车路程，再除以时间得到货车速度； 方法二：先算速度和，再减去客车速度得到货车速度，第二种更简便。 【详解】 方法一： 客车路程：（千米） 货车路程：（千米） 货车速度：（千米/时） 方法二： 速度和：（千米/时） 货车速度：（千米/时） 答：货车每小时行50千米。 【答案】50千米/时 【变式训练】 题目：小明和小红两人从相距1200米的两地同时出发，相向而行，10分钟后相遇。已知小明每分钟走65米，小红每分钟走多少米？ 【分析】 先算两人的速度和，再减去小明的速度，即可得到小红的速度。 【详解】 速度和：（米/分） 小红速度：（米/分） 答：小红每分钟走55米。 【答案】55米/分 【第四部分】专项提升练习 1．甲乙两车同时从相距396千米的两地相向开出，甲车每小时行68.5千米，乙车每小时行63.5千米，经过多少小时两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】总路程÷两车速度和＝相遇时间。先用加法算出甲乙两车1小时一共走的路程，再用两地总距离除以速度和即可求出相遇时间。 【详解】速度和：68.5＋63.5＝132（千米/时） 396÷132＝3（小时） 答：经过3小时两车相遇。 2．一辆小轿车和一辆货车分别从烟台和济南同时出发，相向而行，经过2小时，两车还相距113千米。已知小轿车速度为95千米/时，货车速度为75千米/时。烟台和济南相距多少千米？（先画图分析数量关系，再解答。） 【答案】；453千米 【分析】先绘制线段图整理条件：线段两端分别标注烟台、济南，线段从左到右依次分为三段，第一段代表小轿车2小时行驶的路程（用两小段表示，每小段表示小轿车每小时行驶的路程），第二段标注113千米，第三段代表货车2小时行驶的路程（用两小段表示，每小段表示货车每小时行驶的路程），整条线段的总长度即为烟台到济南的总距离。 因为两车是相向行驶且未相遇仍有距离，所以总路程等于两车已行驶的路程和加上剩余相距的距离。先计算两车的速度和，如果已知两车各自的速度，那么可以用加法得到速度和，再结合行驶时间，根据路程＝速度×时间的公式，计算出两车2小时一共行驶的路程。再将已行驶的总路程和两车还相距的113千米相加，即可得到烟台到济南的总距离。 【详解】图略 95×2＋113＋75×2 ＝190＋113＋150 ＝303＋150 ＝453（千米） 答：烟台和济南相距453千米。 3．甲乙两地相距960米，甲先出发2分钟，每分钟走60米；之后乙从乙地出发，每分钟走80米，两人相向而行。乙出发后多久两人相遇？ 【答案】6分钟 【分析】根据题意，需要准确计算两人共同行驶的路程及速度和，进而求解相遇时间。先计算甲先走的路程，然后用总路程减去甲先走的路程，算出两人共同需要走的路程，最后再用路程和除以速度和，求出相遇时间。相遇时间＝路程和÷速度和。 【详解】甲2分钟走的路程： （米） 相遇路程和： （米） 相遇时间： （分钟） 答；乙出发后6分钟两人相遇。 4．两地相距1120米，甲乙同时相向出发，8分钟之后两人还没相遇，相距160米。甲每分钟走65米，乙每分钟走多少米？ 【答案】55米 【分析】8分钟之后两人还没相遇，相距160米，用1120减去160可算得两人的路程和，用两人的路程和除以8可算得两人的速度和，最后用速度和减去甲的速度可算得乙的速度。 【详解】 （米/分） 答：乙每分钟走55米。 5．一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地相对开出，客车开出1小时后货车才出发，货车出发4小时后两车相遇。客车每小时行75千米，货车每小时行65千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】 635千米 【分析】确定两车各自的行驶时间，因为客车先开出1小时，货车出发后4小时相遇，所以客车总行驶时间为1＋4小时，货车行驶时间为4小时。 根据路程＝速度×时间，分别计算客车行驶的路程和货车行驶的路程。因为两车是相对开出后相遇，行驶路程之和即为甲、乙两地的距离，所以将两车行驶的路程相加得到最终结果。 【详解】75×（4＋1） ＝75×5 ＝375（千米） 65×4＝260（千米） 375＋260＝635（千米） 答：甲、乙两地相距635千米。 6．一辆轿车和一辆客车分别从A地和B地同时出发，相向而行，3小时后相遇。轿车速度是100千米/时，客车速度是80千米/时。A、B两地相距多少千米？（先画图分析数量关系，再解答）。 【答案】；540千米 【分析】两车同时从A、B两地相向而行，相遇时两车的路程和就是两地的距离，已知两车速度和相遇时间，根据路程＝（轿车的速度＋客车的速度）×时间，计算总路程。 【详解】图略 （千米） 答：A、B两地相距540千米。 7．小芳和小刚同时从家出发去图书馆，小芳每分钟走55米，小刚每分钟走45米，18分钟后两人同时到达图书馆。小芳家和小刚家相距多少米？ 【答案】1800米或180米 【分析】如果小芳家和小刚家分别在图书馆的两侧，则“两家相距的路程＝速度和×共同行驶的时间”；如果小芳家和小刚家在图书馆的同一侧，则“两家相距的路程＝速度差×共同行驶的时间”。据此解答。 【详解】（55＋45）×18 ＝100×18 ＝1800（米） （55－45）×18 ＝10×18 ＝180（米） 答：小芳家和小刚家相距1800米或180米。 8．小琳和小浩同时从公园大门向相反方向走路，小琳速度65米/分，小浩速度55米/分，两人同时走14分钟后，两人相距多少米？ 【答案】1680米 【分析】两人向相反方向行走，两人的距离等于两人走的路程之和。路程＝速度×时间，可以先算出两人的速度和，再乘行走时间。 【详解】方法一： 小琳路程：65×14＝910（米） 小浩路程：55×14＝770（米） 相距：910＋770＝1680（米） 方法二： 速度和：65＋55＝120（米/分） 相距：120×14＝1680（米） 答：两人相距1680米。 9．甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲每小时行12千米，乙每小时行8千米。甲到达B地后立即返回，在途中与乙相遇，此时两人都行了6小时。A、B两地相距多少千米？ 【答案】60千米 【分析】两人同时从A地出发，甲到达B地后返回与乙相遇，此时两人行驶的总路程是A、B两地距离的2倍，先根据速度和×时间＝路程，求出两人共行驶的总路程再除以2即可。 【详解】（12＋8）×6÷2 ＝20×6÷2 ＝120÷2 ＝60（千米） 答：A、B两地相距60千米。 10．华华和梦梦遛狗时相向而行。距离600米时，两只小狗看到自己的好朋友，兴奋地同时奔出，相遇后一起在华华和梦梦之间来回跑，直到华华和梦梦相遇。华华每分钟走55米，梦梦每分钟走45米，两只小狗每分钟均跑270米。每只小狗跑了多少米？ 【答案】 米 【分析】小狗跑的总时间与华华、梦梦的相遇时间相等，无需计算小狗来回的分段路程，运用公式：，，先求出两人相遇时间，再乘小狗速度即可得到总路程。 【详解】相遇时间： （分钟） 每只小狗跑的路程：（米） 答：每只小狗跑了米。 11．客货两车同时从甲乙两地相向而行，客车每小时行75千米，货车每小时行60千米，相遇时客车离乙地还有372千米，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】 837千米 【分析】相遇时客车离乙地的距离就是货车已经行驶的路程，根据“时间＝路程÷速度”计算出两车的相遇时间，再根据“路程和＝相遇时间×速度和”计算出甲乙两地的总路程。 【详解】372÷60×（75＋60） ＝372÷60×135 ＝6.2×135 ＝837（千米） 答：甲乙两地相距837千米。 12．作为安徽省会马拉松，合肥马拉松创办于2014年，目前已成功举办8届。长跑爱好者小军和小亮沿着人工湖四周的环湖步道跑步，他们从同一地点出发，反向而行，小军的速度是130米/分，小亮的速度是170米/分，经过12分钟，两人第一次相遇，人工湖四周的环形步道长是多少米？ 【答案】3600米。 【分析】两人从同一地点同时反向出发，第一次相遇时，两人所跑的路程之和就是环形步道的长度。根据路程＝速度×时间，两人每分钟一共跑的路程为两人速度相加，可得总路程＝（小军的速度＋小亮的速度）×时间。 【详解】 ＝300×12 ＝3600（米） 答：人工湖四周的环形步道长是3600米。 13．客车和货车分别从相距840km的两地同时出发相对开出，经6时在途中相遇，已知货车每时行60km，客车每时行多少千米？ 【答案】 80千米 【分析】用两地总路程除以相遇时间，得到两车的速度和，再减去货车的速度，即可求出客车的速度。 【详解】840÷6－60 ＝140－60 ＝80（千米） 答：客车每时行80千米。 14．甲、乙两辆汽车同时从相距366千米的两地相对开出，经过3小时相遇。已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】52千米 【分析】用总路程除以相遇时间求出两车的速度和，再用速度和减去甲车的速度，即可得到乙车的速度。 【详解】366÷3＝122（千米） 122－70＝52（千米） 答：乙车每小时行52千米。 15．淘淘和笑笑在操场上练习跑步，操场一周长900米，两人从同一地点同时反方向跑步，淘淘每分钟跑260米，1.8分钟后两人相遇。笑笑每分钟跑多少米？ 【答案】240米 【分析】两人从同一地点反向跑步，相遇时两人的路程和等于操场一周的长度。先通过总路程除以相遇时间求出两人的速度和，再减去淘淘的速度，即可得到笑笑的速度。 【详解】 ＝ 500－260 （米） 答：笑笑每分钟跑240米。 16．甲乙两辆汽车分别从AB两地相向而行，甲车平均每小时行驶74千米，乙车平均每小时行驶90千米，12小时后两车相遇，AB两地相距多少千米？ 【答案】 1968千米 【分析】根据相遇问题的数量关系“总路程＝速度和×相遇时间”，先计算甲乙两车的速度和，再乘相遇时间，就能求出AB两地的距离。 【详解】 （千米） 答：AB两地相距1968千米。 17．甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是千米。甲每小时走千米，乙每小时走千米，甲带了一只狗，狗每小时走千米，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。这只狗一共走了多少千米？ 【答案】70千米 【分析】狗走的总时间等于甲、乙两人从出发到相遇的总时间。先根据总路程和两人的速度和求出相遇时间，再用狗的速度乘行走时间，即可得到狗走的总路程。 【详解】50÷（3＋2）×7 ＝50÷5×7 ＝10×7 ＝70 （千米） 答：这只狗一共走了70千米。 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米。经过4小时两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】540千米 【分析】两车相向而行同时出发相遇，A、B两地的距离等于两车行驶的路程和，用两车的速度和乘相遇时间即可求出总路程。 【详解】 ＝135×4 （千米） 答：A、B两地相距540千米。 19．研学团队分成甲乙两组，甲组参观云龙湖，乙组参观户部山古民居。随后甲乙两组分别从两地同时集合出发，相向而行，甲组每分钟走72米，乙组每分钟走68米，经过15分钟两组顺利碰面。云龙湖与户部山古民居之间相距多少米？（请列综合算式） 【答案】（72＋68）×15＝2100（米） 【分析】解题关键是相遇问题的核心数量关系：总路程＝速度和×相遇时间（或甲组走的路程＋乙组走的路程）；已知甲乙两组的各自速度，所以先计算两组的速度之和，已知相遇用时，那么将速度和与相遇时间相乘，就能得到两地总距离，再按照要求整理成综合算式即可；也可以根据总路程＝甲组走的路程＋乙组走的路程，求得到两地总距离。 【详解】方法一： （72＋68）×15 ＝140×15 ＝2100（米） 答：两地之间相距2100米。 方法二： 72×15＋68×15 ＝1080＋1020 ＝2100（米） 答：两地之间相距2100米。 20．武汉到深圳的铁路线长1200千米。A火车从武汉开出，每时行驶72千米，B火车从深圳开出，两列火车同时开出，经过8小时相遇，B火车每时行驶多少千米？ 【答案】78千米 【分析】总路程速度和相遇时间。根据此关系，可以推导出速度和总路程相遇时间。已知总路程为千米，相遇时间为时，可以先求出两列火车的速度和，再减去A火车的速度，即为B火车的速度。 【详解】 （千米） 答：B火车每时行驶千米。 21．环湖公路全长4000米，涛涛和冬冬同时从环湖公路的某处出发，沿相反方向步行，两人的速度分别为74米/分、76米/分。经过24分钟两人相遇了吗？相距多少米？ 【答案】没有相遇；400米 【分析】根据“路程和＝速度和×时间”，先求出两人在24分钟内共同行走的路程和，然后将路程和与环湖公路的全长进行比较，如果路程和小于全长，说明不能相遇，再用全长减去路程和即可求出两人相距的距离。 【详解】 （米） ，所以两人没有相遇。 （米） 答：经过24分钟两人没有相遇，相距400米。 22．甲、乙两列火车早上8点同时从相距500千米的两地相向开出，到中午12点钟发现两车第一次相距20千米，已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】千米 【分析】首先根据出发时间和发现时间计算出两车行驶的时间；因为第一次相距20千米，即两车尚未相遇，此时两车行驶的路程和等于总路程减去20千米；然后根据“速度和路程和时间”求出两车的速度和；最后用速度和减去甲车的速度即可得到乙车的速度。 【详解】 （千米） 答：乙车每小时行55千米。 23．甲、乙两人从相距790米的两地相向而行，甲每分步行70米，乙每分步行50米。甲出发1分后，乙再出发，再过多少分两人相遇？ 【答案】6分 【分析】甲先出发分，行走了一段路程，这段路程需要从总路程中减去，剩余的路程才是甲、乙两人共同行走的路程和。根据数量关系“相遇时间路程和速度和”，用剩余路程除以甲、乙的速度和，即可求出乙出发后两人相遇所需的时间。 【详解】 （分） 答：再过分两人相遇。 24．甲、乙两辆汽车从两地同时开出，相向而行，经过0.8小时相遇。已知甲车比乙车快，甲车每小时行80千米，乙车每小时行x千米。 (1)从线段图分析，你觉得甲、乙两车可能在上图中的( )点相遇。 (2)泽雅、雁荡山两地相距120千米，求乙车每小时行多少千米。 【答案】(1)B (2)70千米 【分析】（1）解题关键是根据甲车比乙车快，结合路程、速度和时间的关系，判断相遇点的位置。 （2）解题关键是根据路程＝速度×时间，结合两车行驶的路程之和等于两地的距离，列出方程求解。 【详解】（1）在相同时间内，甲车比乙车快则甲车行驶的路程更多，所以相遇点为距离甲车起始点更远的B点。 （2）解：设乙车每小时行x千米。 答：乙车每小时行70千米。 25．湖南常德与福建厦门相距约1014千米，清明假期明明与红红两家从两地相对开出，经过6.5小时两车相遇。已知明明家汽车每小时行驶80千米，红红家汽车每小时行驶多少千米？ 【答案】76千米/时 【分析】根据相遇问题的基本数量关系：总路程÷速度和＝相遇时间，可知速度和＝总路程÷相遇时间。题目已知总路程为1014千米，相遇时间为6.5小时，明明家汽车的速度为80千米/时。解题思路是先利用总路程除以相遇时间求出两车的速度和，再减去明明家汽车的速度，即为红红家汽车的速度。 【详解】1014÷6.5－80 ＝156－80 ＝76（千米/时） 答：红红家汽车每小时行驶76千米。 26．一辆货车早上7时从洛阳开往西安，每小时行65千米；一辆小轿车早上8时从西安开往洛阳，每小时行85千米。上午10时两车相遇，洛阳与西安相距多少千米？ 【答案】365千米 【分析】分别求出货车和小轿车的行驶时间。根据“结束时刻减去开始时刻等于经过时间”求出两车各自行驶的时间，再根据“路程＝速度×时间”分别求出两车行驶的路程，最后将两段路程相加即可得到洛阳与西安之间的总距离。 【详解】65×（10－7）＋85×（10－8） ＝65×3＋85×2 ＝195＋170 ＝365（千米） 答：洛阳与西安相距365千米。 27．他们游玩过程中突发奇想，挑战数一数一共有多少摊位，他们从美食街的两端出发，全长640米，他们两人8分钟相遇，已知张明每分钟走45米，请你算一算王强每分钟走多少米？ 【答案】 35米/分 【分析】本题属于行程问题中的相遇问题。已知总路程为 640 米，相遇时间为 8 分钟，可以先求出两人的速度和。又已知张明的速度，用速度和减去张明的速度，即可求出王强的速度。 【详解】640÷8－45 ＝80－45 ＝35（米/分） 答：王强每分钟走35米。 28．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，乙车到达B地后立即返回，出发3小时后两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】210千米 【分析】根据题意，甲、乙两车同时从A地开往B地，乙车速度较快，到达B地后立即返回，途中与甲车相遇。此时，甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程，正好等于A、B两地距离的2倍。已知两车的速度和相遇时间，可以利用“路程＝速度×时间”求出两车行驶的总路程，再除以2即可求出A、B两地的距离。 【详解】 （千米） 答：A、B两地相距210千米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 运用数量关系解决实际问题（相遇问题） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、相遇问题的基本概念 1. 定义 两个运动的物体（人、车等）分别从两地出发，相向而行（面对面行驶），经过一段时间后在途中相遇，这类行程问题叫做相遇问题。 - 核心三要素：总路程（两地距离）、速度和、相遇时间 - 标准相遇的前提：同时出发、相向而行、中途相遇，此时两个物体的运动时间完全相同。 2. 核心概念：速度和 两个运动物体在单位时间内一共行驶的路程，叫做速度和，即两个速度相加的总和。 - 示例：甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，速度和就是千米/时，表示两车1小时一共行驶100千米。 二、核心数量关系式 相遇问题的本质是：总路程 = 甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 由此推导得出三个核心公式： 1. 求总路程： 2. 求相遇时间： 3. 求速度和： - 拓展：已知速度和与其中一个速度，求另一个速度： 三、常见相遇问题类型 1. 标准相遇问题 两个物体同时从两地出发，相向而行，直接相遇，是最基础的题型，可直接套用核心公式。 2. 不同时出发的相遇问题 其中一个物体先出发一段时间，另一个物体再出发。解题时需要先减去先行的路程，剩下的路程按标准相遇问题计算。 3. 相遇前相距问题 两个物体相向而行，行驶一段时间后还没有相遇，中间有一段距离。数量关系：总路程 = 已行驶路程和 + 相距路程。 4. 相遇后相距问题 两个物体相遇后继续按原方向行驶，一段时间后两者背向相距一段距离。数量关系：总行驶路程和 = 原来的总路程 + 相距路程。 四、解题通用步骤 1. 审题意：圈出关键词，判断是哪类相遇问题，确认出发时间、行驶方向、是否相遇； 2. 画线段图：用线段表示总路程，标注出发点、相遇点、速度和时间，直观呈现数量关系； 3. 定公式：根据已知条件和所求问题，选择对应的数量关系式； 4. 列算式：代入数据计算，注意单位必须统一； 5. 验结果：把结果代入原题反向验证，确认无误后写答句。 五、常见易错点 1. 单位不统一：速度单位与时间单位不匹配（如速度是千米/时，时间给的是分钟），未换算直接计算； 2. 误用公式：不同时出发的题目，直接用总路程除以速度和，忽略先行的路程和时间； 3. 概念混淆：把相遇问题的"速度和"当成追及问题的"速度差"，导致结果完全错误； 4. 相距路程算错：相遇前/后相距的题目，分不清总路程和已行驶路程的关系，加减搞反； 5. 时间错配：把先行时间算进相遇时间里，导致速度和对应的时间错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：线段图示法 【解题思路】 所有相遇问题都可以通过画线段图直观呈现数量关系，清晰展示总路程、各段分路程、相遇点的位置，是解决行程问题的核心辅助方法。 【操作步骤】 第一步：画一条线段表示两地总路程，两端标注两个出发点； 第二步：根据行驶方向，标注相遇点的大致位置，分别标出两车的速度和行驶时间； 第三步：结合图形分析：总路程 = 甲路程 + 乙路程 = 速度和 × 相遇时间； 第四步：根据所求问题选择对应公式列式计算。 【易错提升】 ● 易错点：不同时出发的题目，相遇点画在中点位置，忽略先行的路程。 　　→ 规避技巧：先画出先行的一段路程，剩下的部分才是两车共同行驶的相遇路程，相遇点要偏向晚出发的一侧。 方法点拨2：公式对应法 【解题思路】 标准相遇问题，先明确已知的两个量，直接对应三个核心公式求第三个量，是最基础的解题方法。 【操作步骤】 第一步：从题目中提取已知量，对应总路程、速度和、相遇时间中的两个； 第二步：明确所求的量，选择对应的核心公式； 第三步：代入数据计算，检查单位是否统一。 【易错提升】 ● 易错点：求相遇时间错用乘法，求总路程错用除法。 　　→ 规避技巧：求"总长度"（总路程）是求总量，用乘法；求"时间"或"速度"是求单一量，用除法。 方法点拨3：分段拆分法 【解题思路】 针对不同时出发、中途休息的复杂相遇问题，按时间阶段拆分成"先行段"和"相遇段"，分别计算后再合并结果。 【操作步骤】 第一步：拆分阶段：先算单独行驶的阶段，算出先行的路程； 第二步：总路程减去先行路程，得到两车共同行驶的相遇路程； 第三步：用相遇路程除以速度和，得到相遇阶段的时间； 第四步：根据问题要求，计算总时间或总路程。 【易错提升】 ● 易错点：把先行的时间算进相遇时间里，直接用总路程除以速度和。 　　→ 规避技巧：只有两车同时行驶的时间，才能用速度和计算，先行阶段只有一个物体在动，要单独算。 方法点拨4：反向验证法 【解题思路】 计算完成后，把结果当作已知条件代入原题，反向推导总路程或速度，和题目原数据对比，快速排查计算和列式错误。 【操作步骤】 第一步：将算出的结果代入题目情境； 第二步：用结果和已知的一个量，反向计算第三个量； 第三步：和题目原数据对比，一致则计算正确。 【易错提升】 ● 易错点：算完不检查，简单的计算错误也发现不了。 　　→ 规避技巧：相遇问题都可以用"速度和×时间"反推总路程，十几秒就能验证对错。 【第三部分】考点讲练 考点一：标准相遇问题（同时出发） 考查重点：理解速度和的概念，掌握相遇问题的三个核心公式，能解决基础的同时出发相遇问题。 【典例精讲】 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶65千米，经过3小时两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 【变式训练】 题目：两座城市相距600千米，客车和货车分别从两城同时出发，相向而行。客车每小时行驶70千米，货车每小时行驶50千米，两车经过多少小时相遇？ 考点二：不同时出发的相遇问题 考查重点：能处理有先行路程、中途休息的非标准相遇问题，掌握分段计算的思路。 【典例精讲】 题目：A、B两地相距500千米，甲车从A地出发1小时后，乙车才从B地出发，两车相向而行。甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶60千米。乙车出发后几小时两车相遇？ 【变式训练】 题目：甲、乙两队合修一条长760米的公路，甲队先修2天，乙队再加入一起修。甲队每天修50米，乙队每天修60米。乙队加入后，还要多少天能修完？ 考点三：相遇前后的相距问题 考查重点：能区分相遇前相距和相遇后相距的场景，正确处理总路程、已行驶路程和相距路程的关系。 【典例精讲】 题目：A、B两地相距500千米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，行驶3小时后两车还相距多少千米？ 【变式训练】 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇。甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。相遇后两车继续按原速前进，再经过2小时，两车相距多少千米？ 考点四：相遇问题综合应用（反求单个速度） 考查重点：能根据总路程和相遇时间反求单个物体的速度，解决稍综合的相遇应用题。 【典例精讲】 题目：甲、乙两地相距480千米，客车和货车同时从两地相向开出，4小时后相遇。已知客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 【变式训练】 题目：小明和小红两人从相距1200米的两地同时出发，相向而行，10分钟后相遇。已知小明每分钟走65米，小红每分钟走多少米？ 【第四部分】专项提升练习 1．甲乙两车同时从相距396千米的两地相向开出，甲车每小时行68.5千米，乙车每小时行63.5千米，经过多少小时两车相遇？ 2．一辆小轿车和一辆货车分别从烟台和济南同时出发，相向而行，经过2小时，两车还相距113千米。已知小轿车速度为95千米/时，货车速度为75千米/时。烟台和济南相距多少千米？（先画图分析数量关系，再解答。） 3．甲乙两地相距960米，甲先出发2分钟，每分钟走60米；之后乙从乙地出发，每分钟走80米，两人相向而行。乙出发后多久两人相遇？ 4．两地相距1120米，甲乙同时相向出发，8分钟之后两人还没相遇，相距160米。甲每分钟走65米，乙每分钟走多少米？ 5．一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地相对开出，客车开出1小时后货车才出发，货车出发4小时后两车相遇。客车每小时行75千米，货车每小时行65千米。甲、乙两地相距多少千米？ 6．一辆轿车和一辆客车分别从A地和B地同时出发，相向而行，3小时后相遇。轿车速度是100千米/时，客车速度是80千米/时。A、B两地相距多少千米？（先画图分析数量关系，再解答）。 7．小芳和小刚同时从家出发去图书馆，小芳每分钟走55米，小刚每分钟走45米，18分钟后两人同时到达图书馆。小芳家和小刚家相距多少米？ 8．小琳和小浩同时从公园大门向相反方向走路，小琳速度65米/分，小浩速度55米/分，两人同时走14分钟后，两人相距多少米？ 9．甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲每小时行12千米，乙每小时行8千米。甲到达B地后立即返回，在途中与乙相遇，此时两人都行了6小时。A、B两地相距多少千米？ 10．华华和梦梦遛狗时相向而行。距离600米时，两只小狗看到自己的好朋友，兴奋地同时奔出，相遇后一起在华华和梦梦之间来回跑，直到华华和梦梦相遇。华华每分钟走55米，梦梦每分钟走45米，两只小狗每分钟均跑270米。每只小狗跑了多少米？ 11．客货两车同时从甲乙两地相向而行，客车每小时行75千米，货车每小时行60千米，相遇时客车离乙地还有372千米，甲乙两地相距多少千米？ 12．作为安徽省会马拉松，合肥马拉松创办于2014年，目前已成功举办8届。长跑爱好者小军和小亮沿着人工湖四周的环湖步道跑步，他们从同一地点出发，反向而行，小军的速度是130米/分，小亮的速度是170米/分，经过12分钟，两人第一次相遇，人工湖四周的环形步道长是多少米？ 13．客车和货车分别从相距840km的两地同时出发相对开出，经6时在途中相遇，已知货车每时行60km，客车每时行多少千米？ 14．甲、乙两辆汽车同时从相距366千米的两地相对开出，经过3小时相遇。已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 15．淘淘和笑笑在操场上练习跑步，操场一周长900米，两人从同一地点同时反方向跑步，淘淘每分钟跑260米，1.8分钟后两人相遇。笑笑每分钟跑多少米？ 16．甲乙两辆汽车分别从AB两地相向而行，甲车平均每小时行驶74千米，乙车平均每小时行驶90千米，12小时后两车相遇，AB两地相距多少千米？ 17．甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是千米。甲每小时走千米，乙每小时走千米，甲带了一只狗，狗每小时走千米，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。这只狗一共走了多少千米？ 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米。经过4小时两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 19．研学团队分成甲乙两组，甲组参观云龙湖，乙组参观户部山古民居。随后甲乙两组分别从两地同时集合出发，相向而行，甲组每分钟走72米，乙组每分钟走68米，经过15分钟两组顺利碰面。云龙湖与户部山古民居之间相距多少米？（请列综合算式） 20．武汉到深圳的铁路线长1200千米。A火车从武汉开出，每时行驶72千米，B火车从深圳开出，两列火车同时开出，经过8小时相遇，B火车每时行驶多少千米？ 21．环湖公路全长4000米，涛涛和冬冬同时从环湖公路的某处出发，沿相反方向步行，两人的速度分别为74米/分、76米/分。经过24分钟两人相遇了吗？相距多少米？ 22．甲、乙两列火车早上8点同时从相距500千米的两地相向开出，到中午12点钟发现两车第一次相距20千米，已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？ 23．甲、乙两人从相距790米的两地相向而行，甲每分步行70米，乙每分步行50米。甲出发1分后，乙再出发，再过多少分两人相遇？ 24．甲、乙两辆汽车从两地同时开出，相向而行，经过0.8小时相遇。已知甲车比乙车快，甲车每小时行80千米，乙车每小时行x千米。 (1)从线段图分析，你觉得甲、乙两车可能在上图中的( )点相遇。 (2)泽雅、雁荡山两地相距120千米，求乙车每小时行多少千米。 25．湖南常德与福建厦门相距约1014千米，清明假期明明与红红两家从两地相对开出，经过6.5小时两车相遇。已知明明家汽车每小时行驶80千米，红红家汽车每小时行驶多少千米？ 26．一辆货车早上7时从洛阳开往西安，每小时行65千米；一辆小轿车早上8时从西安开往洛阳，每小时行85千米。上午10时两车相遇，洛阳与西安相距多少千米？ 27．他们游玩过程中突发奇想，挑战数一数一共有多少摊位，他们从美食街的两端出发，全长640米，他们两人8分钟相遇，已知张明每分钟走45米，请你算一算王强每分钟走多少米？ 28．甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，乙车到达B地后立即返回，出发3小时后两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $