数学好玩 鸡兔同笼 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

数学好玩 鸡兔同笼 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、问题起源与基本特征 1. 经典出处 鸡兔同笼问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是经典的算术趣题。原题："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？" 2. 基本特征 已知两种不同事物的总数量（对应"总头数"）和总单位量（对应"总脚数"），求每种事物的数量。 - 鸡：1个头，2只脚； - 兔：1个头，4只脚； - 核心等量关系： 总头数 = 鸡的只数 + 兔的只数 总脚数 = 鸡的脚数 + 兔的脚数 二、核心解题思想 鸡兔同笼本质是假设思想：先对已知条件做出假设，根据假设推导出结果，再与实际情况对比，利用差值调整修正，最终得到正确答案。 三、三种常用解题方法 1. 列表法：通过列举不同数量组合，找到符合总脚数的答案，直观易懂，适合数据较小时使用。分为逐一列表、跳跃列表、取中列表三种。 2. 假设法：假设全是鸡或全是兔，根据脚数差推算出另一种动物的数量，是解决鸡兔同笼问题的核心通用方法，适用于所有同类题型。 3. 抬腿法：通过让动物抬起部分脚的趣味思路简化计算，帮助理解原理，适合基础题型。 四、常见变式题型 鸡兔同笼问题有大量生活变式，本质都是"两总量求分量"： - 车辆问题：汽车与摩托车轮子数不同； - 答题问题：答对得分、答错扣分； - 钱币问题：不同面值硬币总钱数； - 租船问题：大船小船载人数量不同。 五、常见易错点 1. 假设与结果搞反：假设全是鸡，算出来的第一个结果是兔的数量，容易记反； 2. 单差计算错误：兔与鸡的脚数差是，不是4也不是2； 3. 倒扣型变式差算错：答错不仅不得分还扣分，对错题的分差是"得分+扣分"，不是相减； 4. 数量关系混淆：变式题中找不到对应"头"和"脚"的量，无法建立鸡兔模型。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列表法 【解题思路】 按顺序或按区间列举鸡和兔的数量，计算对应总脚数，直到与题目给出的总脚数一致，即为正确答案。 【操作步骤】 1. 逐一列表法：从鸡1只、兔其余开始，逐次增加鸡的数量、减少兔的数量，依次计算脚数，直到匹配。 2. 跳跃列表法：数据较大时，每次多跳几只，缩小范围，减少列举次数。 3. 取中列表法：先假设鸡和兔各占一半，根据脚数多少调整方向，最快找到答案。 【易错提升】 ● 易错点：列举时跳步太大，漏掉正确答案。 　　→ 规避技巧：取中列表最稳妥，先对半分，再根据脚数差判断调整方向，逐步逼近正确答案。 方法点拨2：假设法（核心方法） 【解题思路】 假设笼子里全是同一种动物，算出假设下的总脚数，与实际脚数对比，根据差值推算另一种动物的数量。 【操作步骤】（以假设全是鸡为例） 第一步：假设全是鸡，总脚数 = 总头数 × 2； 第二步：算脚数差：实际脚数 - 假设脚数 = 多出的脚数； 第三步：算单只差：每只兔比鸡多 只脚； 第四步：兔的只数 = 总脚数差 ÷ 单只差； 第五步：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 口诀：设鸡得兔，设兔得鸡。 【易错提升】 ● 易错点：总脚数差除以2得到的是鸡的数量。 　　→ 规避技巧：假设全是鸡，多出来的脚都是兔子多出来的，所以算出来的是兔的数量，记住"设鸡得兔"。 方法点拨3：抬腿法（趣味解法） 【解题思路】 让所有动物都抬起2只脚，此时鸡全部坐在地上，剩下的脚全是兔子的，每只兔还剩2只脚，由此快速算出兔的数量。 【操作步骤】 第一步：所有动物各抬2只脚，地上还剩脚数 = 总脚数 - 总头数 × 2； 第二步：剩下的脚都是兔子的，每只兔剩2只脚； 第三步：兔的只数 = 剩余脚数 ÷ 2； 第四步：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 【易错提升】 ● 易错点：抬腿后直接除以4算兔的数量。 　　→ 规避技巧：每只兔已经抬了2只脚，只剩2只脚在地上，所以要除以2，不是除以4。 【第三部分】考点讲练 考点一：列表法解决鸡兔同笼 考查重点：掌握三种列表方法，能通过列举找到正确答案，理解假设调整的思路。 【典例精讲】 题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？（用取中列表法解答） 【变式训练】 题目：停车场有自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？（用跳跃列表法解答） 考点二：假设法解决基础鸡兔同笼 考查重点：掌握假设法的完整解题步骤，能熟练用假设法解答标准鸡兔同笼问题。 【典例精讲】 题目：鸡兔同笼，共有35个头，94只脚。鸡和兔各有多少只？（用假设法解答） 【变式训练】 题目：动物园里有仙鹤和乌龟共20只，一共有56条腿。仙鹤和乌龟各有多少只？ 考点三：鸡兔同笼变式：倒扣型答题问题 考查重点：掌握答错倒扣的变式题型，正确计算对错题的分数差。 【典例精讲】 题目：数学竞赛共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣1分。小明答完所有题，得了76分。他答对了几道题？ 【变式训练】 题目：运输公司运送100只花瓶，每只运费2元，打碎一只不仅不给运费，还要赔偿8元。运完后共得运费160元。运输中打碎了几只花瓶？ 考点四：鸡兔同笼变式：钱币与租船问题 考查重点：能把生活中的同类问题转化为鸡兔同笼模型，用假设法解决。 【典例精讲】 题目：有5角和1元的硬币共30枚，总钱数是22元。两种硬币各有多少枚？ 【变式训练】 题目：52名同学去划船，一共租了11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好坐满。大船和小船各租了几条？ 【第四部分】专项提升练习 1．数学测试卷有20道题，做对一道得7分，做错一道扣4分，不答得0分，张红得了100分，她有几道题没答？ 2．公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃子266个，已知一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘5个，又知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？ 3．买单价为2元，3元，5元的图片共65张，花去钱240元，已知单价为5元的图片张数是单价为2元的图片张数的2倍。三种图片各买了几张？ 4．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同学各有多少人？ 5．乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？ 6．游乐园入口的亲子骑行区停放着儿童三轮车和两轮自行车共15辆，这些车一共有36个轮子。请问儿童三轮车和两轮自行车各有多少辆? 7．某学校的教师和学生共有100人，教师平均每人栽3棵树，学生平均每人栽1棵树，一共栽了130棵树。教师、学生各有多少人？ 8．在篮球比赛中，3分线外投进一球记3分，3分线内投进一球记2分，罚进一球得1分。在一场比赛中，张鹏共得20分，他在这场比赛中投进了几个3分球？（张鹏没有罚球） 9．某运输公司帮玻璃厂运2000块玻璃，每块运输费是0.5元。但是如果损坏一块，扣除运费外还要赔偿7.5元，结果运输公司共得运费880元。运输公司损坏玻璃多少块？ 10．为提高孩子们的阅读兴趣，张老师带领四（2）班的50名同学去新建图书馆读书，张老师读了5本书，每名男同学读了3本书，每名女同学读了2本书。所有人共读书120本。男同学和女同学各有多少名？ 11．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。现有16只骆驼，共21个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有多少只？双峰骆驼有多少只？ 12．外卖员陈东今天共送了50单外卖，准时安全送到顾客手上完成每单外卖有跑腿费5元，超时倒扣1元。陈东今天共获得220元跑腿费，那么陈东今天多少单外卖超时了？ 13．学校打造航天主题科技角，采购了火箭模型和飞船模型共10个，一共花费560元。已知火箭模型每个60元，飞船模型每个50元，火箭模型和飞船模型各采购了多少个？ 14．希望小学“环保先锋”小分队14人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了36棵树。男生、女生各有几人？ 15．兔妈妈拔萝卜，晴天每天可拔23个，雨天每天只能拔14个。它这几天一共拔了144个萝卜，平均每天拔16个萝卜。这几天中有几个晴天？有几个雨天？ 16．兔妈妈拔萝卜，晴天每天可拔23个，雨天每天只能拔14个。它这几天一共拔了144个萝卜，平均每天拔16个萝卜。这几天中有几个晴天？有几个雨天？ 17．《孙子算经》是唐代数学家李淳风所写的一本数学著作，其中首次记录了“鸡兔同笼”问题。在数学课上，李淳风先生通过AI技术向同学们发问：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共15个头，42只脚。问：鸡和兔各有多少只？ 18．爸爸为了鼓励东东和强强养成坚持跳绳的习惯，约定：每天先完成跳绳的获得4面红旗，后完成跳绳的获得3面红旗。经过几天的坚持锻炼，东东已经获得了29面红旗，那么强强可能获得了多少面红旗？请表示你的思考过程。 19．希望小学四（2）班李晓东是一个不乱花钱的孩子，每次长辈给他的零花钱他都放进自己的储蓄罐。目前他的储蓄罐里有10元人民币和5元人民币共15张，合计120元，其中10元的人民币和5元的人民币各有多少张？ 20．绝句，每首四句，多为五言或七言，凝练隽永，恰如古典诗园里的“小品画”。在经典诵读活动中，学校给同学们推荐了五言绝句和七言绝句共20首，464个字（不计题目字数）。五言绝句和七言绝句各有多少首？ 21．某鞋厂将600双皮鞋分装在4个木箱和12个纸箱里，已知两个纸箱和一个木箱装的皮鞋一样多，问每个木箱和每个纸箱各装多少双皮鞋？ 22．【购买物资】活动结束后，老师让小明去买水。小明的存钱罐里正好有一些零钱，里面有5角和1元的硬币共30枚，他数了一下，总钱数是24元。请问： 存钱罐里5角的硬币有多少枚？1元的硬币有多少枚？ 23．某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 24．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中的一道题目，把它翻译成现代汉语是：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共35个头、94只脚。鸡和兔各有多少只？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 鸡兔同笼 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、问题起源与基本特征 1. 经典出处 鸡兔同笼问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是经典的算术趣题。原题："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？" 2. 基本特征 已知两种不同事物的总数量（对应"总头数"）和总单位量（对应"总脚数"），求每种事物的数量。 - 鸡：1个头，2只脚； - 兔：1个头，4只脚； - 核心等量关系： 总头数 = 鸡的只数 + 兔的只数 总脚数 = 鸡的脚数 + 兔的脚数 二、核心解题思想 鸡兔同笼本质是假设思想：先对已知条件做出假设，根据假设推导出结果，再与实际情况对比，利用差值调整修正，最终得到正确答案。 三、三种常用解题方法 1. 列表法：通过列举不同数量组合，找到符合总脚数的答案，直观易懂，适合数据较小时使用。分为逐一列表、跳跃列表、取中列表三种。 2. 假设法：假设全是鸡或全是兔，根据脚数差推算出另一种动物的数量，是解决鸡兔同笼问题的核心通用方法，适用于所有同类题型。 3. 抬腿法：通过让动物抬起部分脚的趣味思路简化计算，帮助理解原理，适合基础题型。 四、常见变式题型 鸡兔同笼问题有大量生活变式，本质都是"两总量求分量"： - 车辆问题：汽车与摩托车轮子数不同； - 答题问题：答对得分、答错扣分； - 钱币问题：不同面值硬币总钱数； - 租船问题：大船小船载人数量不同。 五、常见易错点 1. 假设与结果搞反：假设全是鸡，算出来的第一个结果是兔的数量，容易记反； 2. 单差计算错误：兔与鸡的脚数差是，不是4也不是2； 3. 倒扣型变式差算错：答错不仅不得分还扣分，对错题的分差是"得分+扣分"，不是相减； 4. 数量关系混淆：变式题中找不到对应"头"和"脚"的量，无法建立鸡兔模型。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列表法 【解题思路】 按顺序或按区间列举鸡和兔的数量，计算对应总脚数，直到与题目给出的总脚数一致，即为正确答案。 【操作步骤】 1. 逐一列表法：从鸡1只、兔其余开始，逐次增加鸡的数量、减少兔的数量，依次计算脚数，直到匹配。 2. 跳跃列表法：数据较大时，每次多跳几只，缩小范围，减少列举次数。 3. 取中列表法：先假设鸡和兔各占一半，根据脚数多少调整方向，最快找到答案。 【易错提升】 ● 易错点：列举时跳步太大，漏掉正确答案。 　　→ 规避技巧：取中列表最稳妥，先对半分，再根据脚数差判断调整方向，逐步逼近正确答案。 方法点拨2：假设法（核心方法） 【解题思路】 假设笼子里全是同一种动物，算出假设下的总脚数，与实际脚数对比，根据差值推算另一种动物的数量。 【操作步骤】（以假设全是鸡为例） 第一步：假设全是鸡，总脚数 = 总头数 × 2； 第二步：算脚数差：实际脚数 - 假设脚数 = 多出的脚数； 第三步：算单只差：每只兔比鸡多 只脚； 第四步：兔的只数 = 总脚数差 ÷ 单只差； 第五步：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 口诀：设鸡得兔，设兔得鸡。 【易错提升】 ● 易错点：总脚数差除以2得到的是鸡的数量。 　　→ 规避技巧：假设全是鸡，多出来的脚都是兔子多出来的，所以算出来的是兔的数量，记住"设鸡得兔"。 方法点拨3：抬腿法（趣味解法） 【解题思路】 让所有动物都抬起2只脚，此时鸡全部坐在地上，剩下的脚全是兔子的，每只兔还剩2只脚，由此快速算出兔的数量。 【操作步骤】 第一步：所有动物各抬2只脚，地上还剩脚数 = 总脚数 - 总头数 × 2； 第二步：剩下的脚都是兔子的，每只兔剩2只脚； 第三步：兔的只数 = 剩余脚数 ÷ 2； 第四步：鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数。 【易错提升】 ● 易错点：抬腿后直接除以4算兔的数量。 　　→ 规避技巧：每只兔已经抬了2只脚，只剩2只脚在地上，所以要除以2，不是除以4。 【第三部分】考点讲练 考点一：列表法解决鸡兔同笼 考查重点：掌握三种列表方法，能通过列举找到正确答案，理解假设调整的思路。 【典例精讲】 题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？（用取中列表法解答） 【分析】 先假设鸡和兔各4只，算出脚数，再与26对比，脚少了就增加兔的数量、减少鸡的数量，直到脚数等于26。 【详解】 取中列表： 鸡4只、兔4只：总脚数 ，比26少2只； 调整：鸡减少1只、兔增加1只，鸡3只、兔5只： 总脚数 ，正好相等。 答：鸡有3只，兔有5只。 【答案】鸡3只，兔5只 【变式训练】 题目：停车场有自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？（用跳跃列表法解答） 【分析】 自行车2个轮，三轮车3个轮，总辆数10，总轮子26。先估一个范围，跳跃列举，快速找到答案。 【详解】 先估：自行车5辆、三轮车5辆：总轮子 ，比26少1个； 调整：自行车减少1辆、三轮车增加1辆，自行车4辆、三轮车6辆： 总轮子 ，正好。 答：自行车有4辆，三轮车有6辆。 【答案】自行车4辆，三轮车6辆 考点二：假设法解决基础鸡兔同笼 考查重点：掌握假设法的完整解题步骤，能熟练用假设法解答标准鸡兔同笼问题。 【典例精讲】 题目：鸡兔同笼，共有35个头，94只脚。鸡和兔各有多少只？（用假设法解答） 【分析】 假设全是鸡，算出总脚数，与实际对比，多出的脚是兔子多出来的，每只兔多2只脚，由此算出兔的数量，再求鸡的数量。 【详解】 假设全是鸡： 总脚数：（只） 脚数差：（只） 每只兔比鸡多：（只） 兔的只数：（只） 鸡的只数：（只） 答：鸡有23只，兔有12只。 【答案】鸡23只，兔12只 【变式训练】 题目：动物园里有仙鹤和乌龟共20只，一共有56条腿。仙鹤和乌龟各有多少只？ 【分析】 仙鹤2条腿对应"鸡"，乌龟4条腿对应"兔"，属于标准鸡兔同笼问题，用假设法解答。 【详解】 假设全是仙鹤： 总腿数：（条） 腿数差：（条） 每只乌龟比仙鹤多：（条） 乌龟只数：（只） 仙鹤只数：（只） 答：仙鹤有12只，乌龟有8只。 【答案】仙鹤12只，乌龟8只 考点三：鸡兔同笼变式：倒扣型答题问题 考查重点：掌握答错倒扣的变式题型，正确计算对错题的分数差。 【典例精讲】 题目：数学竞赛共20道题，答对一题得5分，答错一题倒扣1分。小明答完所有题，得了76分。他答对了几道题？ 【分析】 这是鸡兔同笼的倒扣变式。假设全答对，算出总分，与实际分数对比，每答错一题，不仅不得5分，还要倒扣1分，一共相差分，用总分数差除以单题分差得到错题数，再求对题数。 【详解】 假设20道题全答对： 总分：（分） 分数差：（分） 答错1题少得：（分） 答错题目数：（道） 答对题目数：（道） 答：他答对了16道题。 【答案】16道 【变式训练】 题目：运输公司运送100只花瓶，每只运费2元，打碎一只不仅不给运费，还要赔偿8元。运完后共得运费160元。运输中打碎了几只花瓶？ 【分析】 假设全完好，算出总运费，与实际对比，打碎一只少得元，用总差额除以单只差额得到打碎的数量。 【详解】 假设100只全完好： 总运费：（元） 运费差：（元） 打碎1只少得：（元） 打碎只数：（只） 答：运输中打碎了4只花瓶。 【答案】4只 考点四：鸡兔同笼变式：钱币与租船问题 考查重点：能把生活中的同类问题转化为鸡兔同笼模型，用假设法解决。 【典例精讲】 题目：有5角和1元的硬币共30枚，总钱数是22元。两种硬币各有多少枚？ 【分析】 统一单位，5角=0.5元。两种硬币对应鸡和兔，总枚数对应总头数，总钱数对应总脚数，用假设法解答。 【详解】 5角 = 0.5元 假设全是5角硬币： 总钱数：（元） 钱数差：（元） 1枚1元比1枚5角多：（元） 1元硬币枚数：（枚） 5角硬币枚数：（枚） 答：5角硬币有16枚，1元硬币有14枚。 【答案】5角16枚，1元14枚 【变式训练】 题目：52名同学去划船，一共租了11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好坐满。大船和小船各租了几条？ 【分析】 总船数对应总头数，总人数对应总脚数，大船坐6人、小船坐4人对应两种动物的脚数，用假设法解答。 【详解】 假设全是小船： 总人数：（人） 人数差：（人） 每条大船比小船多坐：（人） 大船条数：（条） 小船条数：（条） 答：大船租了4条，小船租了7条。 【答案】大船4条，小船7条 【第四部分】专项提升练习 1．数学测试卷有20道题，做对一道得7分，做错一道扣4分，不答得0分，张红得了100分，她有几道题没答？ 【答案】1道 【分析】先假设所有题都做对，计算出试卷满分与张红得分的差；再计算出做错一道题与做对一道题的分差、不答一道题与做对一道题的分差。做错的题少得的总分＋不答的题少得的总分 ＝40分，且题数为非负整数；据此通过枚举法，找到满足总分数差的做错和不答的题数。 【详解】假设20道题全做对：20×7＝140（分） 张红得分比满分少：140－100＝40（分） 做错一道题比做对一道题少：7＋4＝11（分） 不答一道题比做对一道题少：7－0＝7（分） 假设做错0道：40÷7的结果不是整数，不符合； 假设做错1道：11×1＝11，40－11＝29，29÷7的结果不是整数，不符合； 假设做错2道：11×2＝22，40－22＝18，18÷7的结果不是整数，不符合； 假设做错3道：11×3＝33，40－33＝7，7÷7＝1，即有1道题没答，符合； 假设做错4道及以上：11×4＝44，44＞40，超过40分，不符合。 检验：做对题数：20－3－1＝16（道） 16×7－3×4＋1×0 ＝112－12－0 ＝100（分） 符合条件，所以她做对了16道题，做错了3道题，有1道题没答。 答：她有1道题没答。 2．公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃子266个，已知一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘5个，又知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？ 【答案】18只 【分析】根据公猴比母猴少4只的条件，设公猴数量为只，用含的式子表示母猴和小猴的数量。 根据“每天共摘桃子266个”可得出等量关系：每只公猴摘桃的数量×公猴的数量＋每只母猴摘桃的数量×母猴的数量＋每只小猴摘桃的数量×小猴的数量＝每天一共摘桃子的总数量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设公猴有只，则母猴有只。 小猴数量：（只） 小猴数量： （只） 答：小猴有18只。 3．买单价为2元，3元，5元的图片共65张，花去钱240元，已知单价为5元的图片张数是单价为2元的图片张数的2倍。三种图片各买了几张？ 【答案】 单价2元的图片买了15张，单价3元的买了20张，单价5元的买了30张。 【分析】根据5元图片张数是2元的2倍，将1张2元、2张5元配为一组，转化为鸡兔同笼问题，用假设法求解。 【详解】每组（1张2元和2张5元）的总价： （元） 每组张数： （张） 假设65张全是3元的图片，总钱数： （元） 实际比假设多花的钱数： （元） 每用3张3元的图片替换成1组图片，总张数不变，钱数增加： ＝12－9＝3（元） 替换的组数（即2元图片的张数）： （张） 5元图片的张数： （张） 3元图片的张数： （张） 答：2元图片买了15张，3元图片买了20张，5元图片买了30张。 4．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同学各有多少人？ 【答案】捐2元的有27人；捐5元的有7人 【分析】先用总人数减去捐1元的人数，求出捐2元和5元的人数之和为34人；用捐款总金额减去捐1元的总金额，求出捐2元和5元的金额之和为89元； 假设34人全部捐2元，那么一共应捐（34×2）元，与实际捐款相差（89－34×2）元，因为捐款2元和5元每人相差（5－2）元，用除法求出（89－34×2）元里有几个（5－2）元，就有几个捐5元的同学；再用捐2元和5元的人数之和减去捐5元的同学人数，求出捐2元的人数。 【详解】捐2元和5元的人数之和：45－11＝34（人） 捐2元和5元的金额之和： 100－1×11 ＝100－11 ＝89（元） 假设34人全部捐2元，则捐5元的同学有： （89－34×2）÷（5－2） ＝（89－68）÷3 ＝21÷3 ＝7（人） 捐2元的同学有：34－7＝27（人） 答：捐2元的同学有27人，捐5元的同学有7人。 5．乐乐家用大小两种袋子装104千克大米，一共用了10个袋子。每个大袋子能装12千克，每个小袋子能装8千克，大袋子和小袋子各用了多少个？ 【答案】大袋子用了6个；小袋子用了4个 【分析】用假设法解题：假设10个袋子全是大袋子。总装量＝每个大袋子的装量×袋子总数量；总装量与实际质量的装量差＝总装量－实际质量；大小袋子的装量差＝大袋子的装量－小袋子的装量；小袋子数量＝总装量与实际质量的装量差÷大小袋子的装量差；大袋子总数量＝袋子数量－小袋子数量。 【详解】假设10个袋子全是大袋子。 （千克） （千克） （千克） 小袋子：（个） 大袋子：（个） 答：大袋子用了6个，小袋子用了4个。 6．游乐园入口的亲子骑行区停放着儿童三轮车和两轮自行车共15辆，这些车一共有36个轮子。请问儿童三轮车和两轮自行车各有多少辆? 【答案】 儿童三轮车有6辆，两轮自行车有9辆。 【分析】采用假设法解题，先假设全部是两轮自行车，算出轮子总数与实际的差值，结合两种车的轮子数差，计算三轮车数量，再求出自行车数量。 【详解】假设15辆车全是两轮自行车，总轮子数为： （个） 实际比假设多的轮子数： （个） 每辆儿童三轮车比两轮自行车多的轮子数： （个） 儿童三轮车的数量： （辆） 两轮自行车的数量： （辆） 答：儿童三轮车有6辆，两轮自行车有9辆。 7．某学校的教师和学生共有100人，教师平均每人栽3棵树，学生平均每人栽1棵树，一共栽了130棵树。教师、学生各有多少人？ 【答案】 教师有15人，学生有85人。 【分析】用假设法求解，先假设全为学生，根据总栽树棵数的差和单人栽树棵数的差推算教师人数，再求学生人数。 【详解】假设100人全是学生，栽树总棵数为：（棵） 实际比假设多栽的棵数：（棵） 每名教师比每名学生多栽的棵数：（棵） 教师人数：（人） 学生人数：（人） 答：教师有15人，学生有85人。 8．在篮球比赛中，3分线外投进一球记3分，3分线内投进一球记2分，罚进一球得1分。在一场比赛中，张鹏共得20分，他在这场比赛中投进了几个3分球？（张鹏没有罚球） 【答案】2个 【分析】根据题意，假设张鹏投进去的都是3分球，先计算出其总得分，再减去实际的得分，算出多的分数；用多的分数除以三分球比二分球多的分数，即可计算出二分球的个数，最后用进球总数减去二分球的个数，即可得出三分球的个数。 【详解】3×9＝27（分） 27－20＝7（分） 7÷（3－2） ＝7÷1 ＝7（个） 9－7＝2（个） 答：他在这场比赛中投进2个3分球。 9．某运输公司帮玻璃厂运2000块玻璃，每块运输费是0.5元。但是如果损坏一块，扣除运费外还要赔偿7.5元，结果运输公司共得运费880元。运输公司损坏玻璃多少块？ 【答案】15块 【分析】采用假设法解题，先假设所有玻璃完好运输，算出应得总运费，再求出与实际运费的差额。每损坏块玻璃，不仅拿不到元运费，还要赔偿元，即每损坏块会少得元，用总差额除以每块的损失金额，就能得到损坏的玻璃块数。 【详解】（元） （元） （元） （块） 答：运输公司损坏玻璃15块。 10．为提高孩子们的阅读兴趣，张老师带领四（2）班的50名同学去新建图书馆读书，张老师读了5本书，每名男同学读了3本书，每名女同学读了2本书。所有人共读书120本。男同学和女同学各有多少名？ 【答案】男同学有15名；女同学有35名 【分析】先从总读书量中减去张老师读的本数，得到50名学生的读书总本数。再根据鸡兔同笼的问题，男生每名比女生多读（3－2）本书。假设全部都是女生读书，则读了（50×2）本书，用实际读的本数减去女生读的本数求出实际比假设多的本数，再除以每名男同学比女同学多读的本数即可求出男同学人数，最后用50减去男同学人数即可求出女同学的人数。 【详解】（本） 假设50名全是女同学，则男同学有： （115－50×2）÷（3－2） ＝（115－100）÷1 ＝15÷1 ＝15（名） （名） 答：男同学有15名，女同学有35名。 11．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。现有16只骆驼，共21个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有多少只？双峰骆驼有多少只？ 【答案】 单峰骆驼有11只，双峰骆驼有5只。 【分析】假设16只骆驼全是单峰骆驼，一共应该有16个驼峰，实际有21个驼峰，就少算了5个驼峰，说明里面还有双峰骆驼；而把双峰骆驼看成单峰骆驼，每只双峰骆驼就少算了1个驼峰，所以用一共少算的5个驼峰除以每只少算的1个驼峰，就得到双峰骆驼的只数5只；再用一共的16只减去双峰骆驼5只，就得到单峰骆驼的只数。据此解答。 【详解】假设16只骆驼全是单峰骆驼： 双峰骆驼： （21－16）÷（2－1） ＝5÷1 ＝5（只） 单峰骆驼： 16－5＝11（只） 答：单峰骆驼有11只，双峰骆驼有5只。 12．外卖员陈东今天共送了50单外卖，准时安全送到顾客手上完成每单外卖有跑腿费5元，超时倒扣1元。陈东今天共获得220元跑腿费，那么陈东今天多少单外卖超时了？ 【答案】 5单 【分析】用假设法解题，先假设50单全部准时送达，算出应得总跑腿费，再与实际收入对比得到总差额；每超时1单会比准时少得6元，用总差额除以每单的差额即可得到超时单数。 【详解】（元） （元） （元） （单） 答：陈东今天5单外卖超时了。 13．学校打造航天主题科技角，采购了火箭模型和飞船模型共10个，一共花费560元。已知火箭模型每个60元，飞船模型每个50元，火箭模型和飞船模型各采购了多少个？ 【答案】 火箭模型采购了6个；飞船模型采购了4个 【分析】用假设法解题，先假设10个全是火箭模型，算出与实际花费的差额，再结合两种模型的单价差求出飞船模型的数量，最后计算火箭模型的数量。 【详解】假设10个全是火箭模型。 飞船模型：（60×10－560）÷（60－50） ＝（600－560）÷10 ＝40÷10 ＝4（个） 火箭模型：10－4＝6（个） 答：火箭模型采购了6个，飞船模型采购了4个。 14．希望小学“环保先锋”小分队14人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了36棵树。男生、女生各有几人？ 【答案】 男生有人，女生有人。 【分析】用假设法解题，先假设人全是男生，算出假设栽树总棵数与实际棵数的差，再根据每名男生比女生多栽棵树，用总差除以每人多栽的棵数得到女生人数，最后求男生人数。 【详解】（棵） （人） （人） 答：男生有人，女生有人。 15．兔妈妈拔萝卜，晴天每天可拔23个，雨天每天只能拔14个。它这几天一共拔了144个萝卜，平均每天拔16个萝卜。这几天中有几个晴天？有几个雨天？ 【答案】2个晴天，7个雨天 【分析】先用萝卜总数除以平均每天拔的个数求出一共的天数，假设这几天都是晴天，拔的总个数比实际多，是因为把雨天每天14个算成了每天23个，多的总个数除以每天多的个数求出雨天天数，总天数减雨天天数求出晴天天数。 【详解】144÷16＝9（天） 雨天天数： （23×9－144）÷（23－14） ＝（207－144）÷9 ＝63÷9 ＝7（天） 晴天天数：9－7＝2（天） 答：这几天中有2个晴天，有7个雨天。 16．兔妈妈拔萝卜，晴天每天可拔23个，雨天每天只能拔14个。它这几天一共拔了144个萝卜，平均每天拔16个萝卜。这几天中有几个晴天？有几个雨天？ 【答案】 2个；7个 【分析】先根据总萝卜数和平均每天拔的数量求出总天数，再用假设法，通过实际与假设的总数量差、晴天和雨天的日拔量差，算出晴天的天数，进而得到雨天的天数。 【详解】（天） （个） （个） （个） （天） （天） 答：这几天中有2个晴天，有7个雨天。 17．《孙子算经》是唐代数学家李淳风所写的一本数学著作，其中首次记录了“鸡兔同笼”问题。在数学课上，李淳风先生通过AI技术向同学们发问：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共15个头，42只脚。问：鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡有9只；兔有6只 【分析】假设全是鸡，则脚的总数＝头数×2。与实际脚数比较，差数是因为每只兔比鸡多2只脚。用总脚数差除以每只兔与鸡的脚数差，得到兔的只数。再用总头数减兔的只数得到鸡的只数。 【详解】假设全是鸡。 兔：（42－15×2）÷（4－2） ＝（42－30）÷2 ＝12÷2 ＝6（只） 鸡：15－6＝9（只） 答：鸡有9只，兔有6只。 18．爸爸为了鼓励东东和强强养成坚持跳绳的习惯，约定：每天先完成跳绳的获得4面红旗，后完成跳绳的获得3面红旗。经过几天的坚持锻炼，东东已经获得了29面红旗，那么强强可能获得了多少面红旗？请表示你的思考过程。 【答案】27面或34面 【分析】每天两人一共得7面红旗，总红旗数是7的倍数。根据东东的红旗数，结合每天最多得4面、最少得3面，推算出总天数的可能值，再用总红旗数减去东东的红旗数，就能得到强强的红旗数。 【详解】每天两人一共得： 4＋3＝7（面） 东东要得到29面，假设每天都得4面，最少需要天数： 29÷4＝7（天）……1（面），7天最多得4×7＝28（面），小于29面，所以总天数最少是7＋1＝8（天）； 东东要得到29面，假设每天都得3面，最多需要天数： 29÷3＝9（天）……2（面），9天最少得3×9＝27（面），小于29面；如果是10天，最少得3×10＝30（面），大于29面，所以总天数最多是9天。 因此总天数只能是8天或9天。 当总天数为8天时：强强的红旗数： 7×8－29 ＝56－29 ＝27（面） 当总天数为9天时，强强的红旗数： 7×9－29 ＝63－29 ＝34（面） 答：强强可能获得了27面或34面红旗。 19．希望小学四（2）班李晓东是一个不乱花钱的孩子，每次长辈给他的零花钱他都放进自己的储蓄罐。目前他的储蓄罐里有10元人民币和5元人民币共15张，合计120元，其中10元的人民币和5元的人民币各有多少张？ 【答案】10元的9张；5元的6张 【分析】假设15张全都是10元的人民币，用乘法算出15张10元人民币一共是多少钱，实际共有120元，用减法计算假设比实际多出的钱数，每把1张10元人民币换成1张5元人民币钱数就会减少（10－5）元，用假设比实际多出的钱数除以每张10元人民币比每张5元人民币多的钱数就是5元人民币的张数。 【详解】假设15张全都是10元人民币，那么5元人民币的张数： （15×10－120）÷（10－5） ＝（150－120）÷5 ＝30÷5 ＝6（张） 10元人民币的张数： 15－6＝9（张） 答：其中10元的人民币有9张，5元的人民币有6张。 20．绝句，每首四句，多为五言或七言，凝练隽永，恰如古典诗园里的“小品画”。在经典诵读活动中，学校给同学们推荐了五言绝句和七言绝句共20首，464个字（不计题目字数）。五言绝句和七言绝句各有多少首？ 【答案】五言绝句：12首；七言绝句：8首 【分析】先根据每首绝句4句的特点，分别算出五言、七言绝句每首的字数，再用假设法求解两类绝句的数量，假设20首全是五言绝句，求出总字数，再将所得的总字数与464进行求差，将所得的结果除以每首七言绝句比五言绝句多的字数，即可求出七言绝句多少首，进而求出五言绝句多少首。 【详解】每首五言绝句的字数：（个） 每首七言绝句的字数：（个） 假设20首全是五言绝句，总字数为：（个） 实际总字数比假设多：（个） 每首七言绝句比五言绝句多的字数：（个） 七言绝句的数量：（首） 五言绝句的数量：（首） 答：五言绝句12首，七言绝句8首。 21．某鞋厂将600双皮鞋分装在4个木箱和12个纸箱里，已知两个纸箱和一个木箱装的皮鞋一样多，问每个木箱和每个纸箱各装多少双皮鞋？ 【答案】每个木箱装60双；每个纸箱装30双 【分析】根据题意，假设皮鞋都装在木箱里，12个纸箱装的皮鞋双数就相当于（12÷2）个木箱装的箱数。再加上原本的4个木箱。那么就可以算出600双一共装了多少个木箱。用除法计算出每个木箱装多少双。再除以2就是纸箱装了多少双。 【详解】假设皮鞋都装在木箱里。 12÷2＋4 ＝6＋4 ＝10（个） 600÷10＝60（双） 60÷2＝30（双） 答：每个木箱装60双皮鞋，每个纸箱装30双皮鞋。 22．【购买物资】活动结束后，老师让小明去买水。小明的存钱罐里正好有一些零钱，里面有5角和1元的硬币共30枚，他数了一下，总钱数是24元。请问： 存钱罐里5角的硬币有多少枚？1元的硬币有多少枚？ 【答案】5角硬币12枚；1元硬币18枚 【分析】明确1元＝10角，可知24元＝240角，假设30枚全是1元的硬币，30×1＝30（元）总钱数应为：30元＝300角，比实际总钱数多了：300－240＝60（角）；每把1枚5角硬币当成1元，多算了：10－5＝5（角）；用60除以5，求出5角硬币的数量；再用30减去5角硬币的数量，求出1元硬币的数量；列式计算即可。 【详解】1元＝10角 24元＝240角 30×1＝30（元） 30元＝300角 300－240＝60（角） 10－5＝5（角） 60÷5＝12（枚） 30－12＝18（枚） 答：5角硬币12枚，1元硬币18枚。 23．某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 【答案】2个 【分析】根据题意，可以假设所有花瓶都完好无损，计算出理论上应得的总运费，然后与实际结算的运费相减，得出总差额。用20加100计算出损坏一个花瓶造成的差额。最后用总差额除以损坏一个花瓶造成的差额，即可求出损坏花瓶的数量。 【详解】假设150个花瓶全部完好无损。 150×20＝3000（元） （3000－2760）÷（20＋100） ＝240÷120 ＝2（个） 答：共损坏了2个花瓶。 24．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中的一道题目，把它翻译成现代汉语是：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共35个头、94只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡23只；兔12只 【分析】可以假设全是兔，则此时的脚全是兔脚，用总只数乘一只兔的脚的数量求出总脚数，即只，比原来的94只脚多只脚 ，多的这46只脚是把鸡也当成兔算了，原来一只鸡2只脚，现在变成4只脚，用求出每只鸡多加的脚的数量，再用比原来的总脚数多的46只脚除以给每只鸡多加的脚数就可以求出鸡的只数，最后用总只数减去鸡的只数求出兔的只数。 【详解】（只） （只） 鸡的只数： （只） 兔的只数： （只） 答：鸡的只数有23只，兔的只数有12只。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $