第三单元 小数乘法（整数乘法运算律推广到小数）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第三单元 小数乘法（整数乘法运算律推广到小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心结论 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法同样适用。应用这些运算定律，可以使一些小数乘法计算更简便。 - 教材关联：对应"手拉手"一课，通过购物情境验证了整数运算顺序和运算律在小数运算中完全成立，体现了迁移类推的数学思想。 二、三大运算定律 1. 乘法交换律 两个小数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 - 字母表示： - 示例： 2. 乘法结合律 三个小数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 - 字母表示： - 示例： 3. 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变。 - 字母表示： - 拓展：两个数的差与一个数相乘，同样适用： - 示例： 三、常见简便计算题型 1. 连乘凑整型：利用交换律和结合律，把相乘得整数的因数先乘，如与、与等组合。 2. 分配律正用型：把接近整数的因数拆成"整数±小数"的形式，再用分配律展开计算，如拆成，拆成。 3. 分配律逆用型：提取相同的公因数，把剩下的数先相加/减，再乘公因数，形如。 4. 变形构造型：利用积的变化规律，把不同的因数转化为相同因数，再用分配律逆用简算。 四、解题通用步骤 1. 一审：观察算式中数字的特点，判断是否可以简便计算； 2. 二定：确定适用哪一种运算定律，选择对应的简算方法； 3. 三算：按照运算定律变形后进行简便计算； 4. 四验：用普通顺序再算一遍，检验结果是否一致。 五、常见易错点 1. 乘法分配律漏乘：分配律展开时，只乘第一个数，忘记乘括号里的第二个数； 2. 结合律与分配律混淆：连乘算式误用分配律，或加减乘混合误用结合律； 3. 拆数错误：把拆成后，计算时忘记减对应的那一部分； 4. 逆用漏项：提取公因数后，剩下的数相加减时漏掉其中一项； 5. 强行简算：不符合运算定律的题目强行凑整，改变了运算顺序导致结果错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：凑整优先法 【解题思路】 连乘算式优先找"好朋友数"：配、配，利用交换律和结合律把它们凑在一起先乘，得到整数后再计算剩余部分。 【操作步骤】 第一步：观察算式中有没有、、等特殊数字； 第二步：用交换律把能凑整的数换到一起； 第三步：用结合律先算凑整的部分，再算剩下的。 【易错提升】 ● 易错点：直接按顺序计算。 　　→ 规避技巧：把拆成，分别与和配对，变成，计算更简便。 方法点拨2：拆分分配法 【解题思路】 遇到接近整数的因数（如、），把它拆成"整数+小数"或"整数-小数"，再用乘法分配律展开，转化为整数乘小数的口算。 【操作步骤】 第一步：把接近整数的因数拆成整数与小数的和或差； 第二步：用乘法分配律展开，分别相乘； 第三步：把两次的积相加或相减，得出结果。 【易错提升】 ● 易错点：，只减而不是。 　　→ 规避技巧：分配律要"分别相乘"，括号里每一项都要乘外面的因数，不能只乘第一项。 方法点拨3：提取公因数法 【解题思路】 算式中有相同的因数，且中间是加减连接时，逆用乘法分配律，把相同因数提取出来，剩下的数先加减，再乘公因数，一步简化计算。 【操作步骤】 第一步：找到算式中相同的因数； 第二步：把相同因数提到括号外面； 第三步：括号里剩下的数按原符号相加减； 第四步：计算括号里的结果，再乘公因数。 【易错提升】 ● 易错点：，括号里误用乘法。 　　→ 规避技巧：逆用分配律，括号里是加减号，和原式的运算符号保持一致。 方法点拨4：变形构造法 【解题思路】 算式中没有完全相同的因数，但数字相同、小数位数不同时，利用积不变的规律，把其中一个因数转化为相同的数，再用分配律简算。 【操作步骤】 第一步：观察数字特征，找到数字相同、小数点位置不同的两个因数； 第二步：利用积不变规律，把其中一组因数转化为和另一组相同的因数； 第三步：转化后提取公因数，按分配律逆用计算。 【易错提升】 ● 易错点：只移动小数点，不调整另一个因数，导致积改变。 　　→ 规避技巧：一个因数扩大几倍，另一个因数就要缩小相同倍数，保证积不变。 【第三部分】考点讲练 考点一：乘法交换律与结合律的简便计算 考查重点：掌握连乘算式的简便方法，能运用交换律和结合律凑整计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）和相乘得1，利用乘法交换律交换和的位置，先算凑整； （2）把拆成，再用结合律分别让与、与配对，都凑成整数。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）交换和的位置，先算凑整； （2）交换和的位置，先算凑整。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 考点二：乘法分配律的正向应用（拆数凑整） 考查重点：能把接近整数的因数拆成和或差的形式，运用乘法分配律简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）把拆成，用分配律展开，分别乘再相加； （2）把拆成，用分配律展开，分别乘再相减。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）拆成，分配律展开； （2）拆成，分配律展开。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 考点三：乘法分配律的逆向应用 考查重点：能逆用乘法分配律，提取公因数进行简便计算，包括"补1"型和变形构造型。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）有相同因数，逆用分配律，提取，剩下的和相加正好凑整； （2）把第二个看成，提取公因数，括号里凑成。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【分析】 （1）提取公因数，剩下的和相加凑整； （2）把第二个看成，提取，括号里凑成。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 考点四：简便运算的实际应用 考查重点：能运用乘法运算律解决购物、面积等生活实际问题，体会简便运算的价值。 【典例精讲】 题目：学校为希望小学购买文具，每本笔记本元，每支钢笔元。买本笔记本和支钢笔，一共需要多少元？（用简便方法计算） 【分析】 可以分别算出笔记本和钢笔的总价再相加；也可以先算一套（一本笔记本+一支钢笔）的价格，再乘，第二种方法利用分配律更简便。 【详解】 方法一：分别计算再相加 （元） 方法二：利用乘法分配律简便计算 （元） 答：一共需要元。 【答案】元 【变式训练】 题目：一块长方形菜地，长米，宽米。如果每平方米收白菜千克，这块菜地一共可以收白菜多少千克？ 【分析】 先算长方形面积（长×宽），再乘每平方米产量。计算时可以利用乘法结合律先算，凑整简便。 【详解】 （千克） 答：这块菜地一共可以收白菜千克。 【答案】千克 【第四部分】专项提升练习 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.7×5.4＋3.7×4.6　　　　　　　　2.5×1.25×0.8 【答案】37；2.5 【分析】利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 利用乘法结合律，先算。 【详解】 2．简便计算。 1.28×0.29－0.29×0.28 0.52×1.9＋0.32×1.9＋0.16×1.9 7.24×5.1＋0.049×724 8.7×2.6＋87×0.49＋0.87×25 【答案】 ； ； ； 【分析】：利用乘法分配律，提取公因数，将式子转化为进行计算； ：利用乘法分配律，提取公因数，将式子转化为进行计算； ：利用积不变性质，将转化为，提取公因数，将式子转化为进行计算； ：利用积不变性质，将转化为，将转化为，提取公因数，将式子转化为进行计算。 【详解】 3．能简算的要简算 1.25×32×0.25        14.98－4.98×0.5 4.2×6.7＋0.67×58 101×0.45 4.75＋4.75×99      0.65×101 【答案】10；12.49；67； 45.45；475；65.65 【分析】（1）把32拆成8×4，4与0.25结合，8与1.25结合计算； （2）把14.98看作10＋4.98，然后4.98－4.98×0.5运用乘法分配律的逆运算计算再与10相加； （3）根据积的变化规律，将0.67×58转化为6.7×5.8，然后运用乘法分配律的逆运算进行简便计算； （4）将101拆分为100＋1，运用乘法分配律简便计算； （5）把前面单独的4.75看成4.75×1，用乘法分配律的逆运算简便计算： （6）把101拆成100＋1，用乘法分配律简便计算。 【详解】（1）1.25×32×0.25 ＝1.25×（4×8）×0.25 ＝（1.25×8）×（4×0.25） ＝10×1 ＝10 （2）14.98－4.98×0.5 ＝10＋4.98－4.98×0.5 ＝10＋4.98×（1－0.5） ＝10＋4.98×0.5 ＝10＋2.49 ＝12.49 （3）4.2×6.7＋0.67×58 ＝4.2×6.7＋6.7×5.8 ＝（4.2＋5.8）×6.7 ＝10×6.7 ＝67 （4）101×0.45 ＝（100＋1）×0.45 ＝100×0.45＋1×0.45 ＝45＋0.45 ＝45.45 （5）4.75＋4.75×99 ＝4.75×1＋4.75×99 ＝4.75×（1＋99） ＝4.75×100 ＝475 （6）0.65×101 ＝0.65×（100＋1） ＝0.65×100＋0.65×1 ＝65＋0.65 ＝65.65 4．用简便方法计算下面各题。 6.7×3.6＋6.7×4.7＋8.3×3.3 11.2×2.9－29×0.77＋3.5×7.1 15.6×78－15.6×14－64×5.6             760000×0.04×0.04×0.25×0.25 【答案】 83；35；640；76 【分析】：先对前两项提取公因数6.7，得到含公因数8.3的加法项，再提取公因数8.3，凑整计算。 ：先统一公因数为2.9，对前两项提取公因数后得到含公因数3.5的加法项，再提取公因数3.5凑整计算。 ：先对前两项提取公因数15.6，得到含公因数64的减法项，再提取公因数64凑整计算。 ：利用乘法结合律，将0.04与0.25两两配对凑整，再相乘计算。 【详解】 5．脱式计算，能简算的要简算。 12.5×8.8             3.77＋5.64＋16.23＋24.36             6.3×9.9＋0.63 【答案】110；50；63 【分析】12.5×8.8先写成12.5×（8×1.1），再根据乘法结合律变成12.5×8×1.1使得计算简便。 3.77＋5.64＋16.23＋24.36根据加法交换律和加法结合律变成（3.77＋16.23）＋（5.64＋24.36）使得计算简便。 6.3×9.9＋0.63根据积不变规律，先写成6.3×9.9＋6.3×0.1，再根据乘法分配律变成6.3×（9.9＋0.1）使得计算简便。 【详解】12.5×8.8 ＝12.5×（8×1.1） ＝12.5×8×1.1 ＝100×1.1 ＝110 3.77＋5.64＋16.23＋24.36 ＝（3.77＋16.23）＋（5.64＋24.36） ＝20＋30 ＝50 6.3×9.9＋0.63 ＝6.3×9.9＋6.3×0.1 ＝6.3×（9.9＋0.1） ＝6.3×10 ＝63 6．用简便方法计算下面各题。 6.5×4.7＋0.13×47＋0.47×22 0.999×0.7＋0.111×2.7 111×33.6－1.2×333 222×4.4＋8.9×888 【答案】 47；0.999； 3330；8880 【分析】先根据积不变的规律，把三个乘法项转化成有相同因数的形式：，；再利用乘法分配律，提取公因数，把剩下的部分相加后再和相乘。 观察到是的9倍，把拆成；此时两项有共同因数，用乘法分配律提取公因数，将剩余部分相加后再乘。 发现是的3倍，把转化为；此时两项有共同因数，利用乘法分配律提取公因数，将剩余部分相减后再乘。 注意到是的倍，把转化为；此时两项有共同因数，用乘法分配律提取公因数，将剩余部分相加后再乘。 【详解】 7．算一算。                  【答案】10.72；10；2.3 【分析】（1）先计算乘法部分3.6×1.2，再将所得结果与6.4相加。 （2）1.25与0.8相乘、2.5与4相乘可得到整数，所以可以将3.2拆分为0.8×4，再利用乘法结合律分组计算。 （3）两个乘法项中都有相同因数2.3，所以可以逆用乘法分配律，提取公因数2.3后计算剩余部分的差，再与2.3相乘。 【详解】6.4＋3.6×1.2 ＝6.4＋4.32 ＝10.72 1.25×3.2×2.5 ＝1.25×（0.8×4）×2.5 ＝（1.25×0.8）×（4×2.5） ＝1×10 ＝10 4.8×2.3－3.8×2.3 ＝（4.8－3.8）×2.3 ＝1×2.3 ＝2.3 8．计算下面各题，能简算的要简算。 14.5×9.9＋14.5×0.1     50.48－3.8－0.48－6.2      12.5×3.5×8×10 【答案】145；40；3500 【分析】14.5×9.9＋14.5×0.1：运用乘法分配律进行简便计算； 50.48－3.8－0.48－6.2：运用加法交换律和减法的性质进行简便计算； 12.5×3.5×8×10：运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。 【详解】14.5×9.9＋14.5×0.1 ＝14.5×（9.9＋0.1） ＝14.5×10 ＝145 50.48－3.8－0.48－6.2 ＝（50.48－0.48）－（3.8＋6.2） ＝50－10 ＝40 12.5×3.5×8×10 ＝（12.5×8）×（3.5×10） ＝100×35 ＝3500 9．计算下面各题，能简算的要简算。 23.48－（1.58＋3.48）      12.5×1.38×0.8      3.4×6.2＋0.34×38 【答案】18.42；13.8；34 【分析】（1）先利用减法的性质去括号，再交换后面两个减数的位置，先算23.48－3.48，简化计算。 （2）先利用乘法交换律，交换1.38和0.8的位置，先算12.5×0.8，简化计算。 （3）先利用积不变规律，将0.34×38转化为3.4×3.8，再用乘法分配律提取相同因数，简化计算。 【详解】（1） 23.48－（1.58＋3.48） ＝23.48－1.58－3.48 ＝23.48－3.48－1.58 ＝20－1.58 ＝18.42 （2） 12.5×1.38×0.8 ＝12.5×0.8×1.38 ＝10×1.38 ＝13.8 （3） 3.4×6.2＋0.34×38 ＝3.4×6.2＋3.4×3.8 ＝3.4×（6.2＋3.8） ＝3.4×10 ＝34 10．计算下面各题，能简算的要简算。 10－2.63＋4.19      0.25×16.2×0.4     2.7×3.7＋0.37×73 【答案】11.56；1.62；37 【分析】（1）按照运算顺序，从左往右依次计算； （2）利用乘法交换律，将0.25×0.4凑整简算； （3）利用积不变的规律，将0.37×73写成3.7×7.3，再利用乘法分配律逆运算简算。 【详解】10－2.63＋4.19 ＝7.37＋4.19 ＝11.56 0.25×16.2×0.4 ＝ 0.25×0.4×16.2 ＝0.1×16.2 ＝1.62 2.7×3.7＋0.37×73 ＝2.7×3.7＋3.7×7.3 ＝3.7×（2.7＋7.3） ＝3.7×10 ＝37 11．计算下面各题，能简算的要简算。 12.8×10.1－1.28        12.87＋6.5＋3.5－2.87        3.29×0.125×8 【答案】128；20；3.29 【分析】第一题：将1.28转化为12.8×0.1，再逆用乘法分配律进行简便计算。 第二题：根据加法交换律和结合律可以调整运算顺序简化计算，所以先将12.87和2.87分组、6.5和3.5分组，分别计算两组的结果后再求和。 第三题：因为0.125和8相乘的积为整数，所以利用乘法结合律先计算，再用所得结果乘3.29。 【详解】 12．计算下面各题，能简算的要简算。 9.43×8.4＋8.4×0.57      5.17－1.8－3.2       2.5×0.8×12.5×4 【答案】84；0.17；100 【分析】在四则运算中，运用乘法分配律，式子变成8.4×（9.43＋0.57），再计算。 在减法运算中，一个数连续减去两个数，相当于减去这两个数的和，式子变成5.17－（1.8＋3.2），再计算。 在乘法运算中运用乘法交换律，式子变成2.5×4×0.8×1.25，再运用乘法结合律进行计算。 【详解】9.43×8.4＋8.4×0.57 ＝8.4×（9.43＋0.57） ＝8.4×10 ＝84 5.17－1.8－3.2 ＝5.17－（1.8＋3.2） ＝5.17－5 ＝0.17 2.5×0.8×12.5×4 ＝2.5×4×0.8×12.5 ＝10×0.8×12.5 ＝10×（0.8×12.5） ＝10×10 ＝100 13．计算下面各题，能简算的要简算。 9.5×80×1.25        76.8－27.4－12.6        3.82×10.1－38.2 【答案】950；36.8；0.382 【分析】9.5×80×1.25可根据乘法结合律先把80与1.25相乘，凑成整百后再乘9.5； 76.8－27.4－12.6可根据减法的性质先把两个减数相加，再从76.8中减去； 3.82×10.1－38.2中，先把38.2改写成3.82×10，再提取相同因数3.82，运用乘法分配律的逆运算计算。 【详解】9.5×80×1.25 ＝9.5×（80×1.25） ＝9.5×100 ＝950 76.8－27.4－12.6 ＝76.8－（27.4＋12.6） ＝76.8－40 ＝36.8 3.82×10.1－38.2 ＝3.82×10.1－3.82×10 ＝3.82×（10.1－10） ＝3.82×0.1 ＝0.382 14．计算下面各题，能简算的要简算。 6.65＋4.8－3.65        7.27×101        12.85－2.62－7.38 【答案】7.8；734.27；2.85 【分析】利用带符号搬家交换4.8与3.65的位置进行计算。 把101看作（100＋1），再利用乘法分配律进行计算。 利用减法的性质进行计算。 【详解】6.65＋4.8－3.65 ＝6.65－3.65＋4.8 ＝3＋4.8 ＝7.8 7.27×101 ＝7.27×（100＋1） ＝7.27×100＋7.27×1 ＝727＋7.27 ＝734.27 12.85－2.62－7.38 ＝12.85－（2.62＋7.38） ＝12.85－10 ＝2.85 15．计算下面各题，能简算的要简算。 5.78－0.33－2.67         7.3×2.3＋2.3×2.7           4×5.37×2.5 【答案】2.78；23；53.7 【分析】①将连续减法转化为减去两个数的和进行简便计算； ②根据乘法分配律进行简便计算； ③根据乘法交换律进行简便计算。 【详解】 16．计算下面各题，能简算的要简算。 5.25×（4＋0.4）     1.25×2.19×0.8        4.56＋7.08＋5.44＋2.92 【答案】23.1；2.19；20 【分析】可利用乘法分配律，将括号外的数分别与括号内的数相乘，最后相加即可； 利用乘法交换律和结合律，寻找能够凑整的数（如1.25和0.8相乘等于1），从而简化计算； 利用加法交换律和结合律，将小数部分能凑整的数结合在一起先算，使计算更加简便。 【详解】 17．计算下面各题，能简算的要简算。 2.6＋1.4×3       （8＋0.8）×1.25           68.7－22.48－18.52 0.25×17.85×0.4      4.9×3.67＋5.1×3.67      5.7＋3.46＋4.3＋5.54 【答案】6.8；11；27.7； 1.785；36.7；19 【分析】（1）按运算顺序，先算乘法再算加法； （2）用乘法分配律，把括号里的数分别和1.25相乘再相加： （3）用减法的性质：连续减两个数等于减这两个数的和； （4）用乘法交换律，先算0.25×0.4： （5）用乘法分配律的逆运算，提取相同的乘数3.67： （6）用加法交换律和结合律，把能凑整的数分组相加。 【详解】2.6＋1.4×3 ＝2.6＋4.2 ＝6.8 （8＋0.8）×1.25 ＝8×1.25＋0.8×1.25 ＝10＋1 ＝11 68.7－22.48－18.52 ＝68.7－（22.48＋18.52） ＝68.7－41 ＝27.7 0.25×17.85×0.4 ＝0.25×0.4×17.85 ＝0.1×17.85 ＝1.785 4.9×3.67＋5.1×3.67 ＝3.67×（4.9＋5.1） ＝3.67×10 ＝36.7 5.7＋3.46＋4.3＋5.54 ＝5.7＋4.3＋3.46＋5.54 ＝（5.7＋4.3）＋（3.46＋5.54） ＝10＋9 ＝19 18．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.5×7.9×0.8    0.038×99＋0.038    0.25×404    25.7×3.6－57×0.36 【答案】79；3.8；101；72 【分析】（1）利用乘法交换律，先计算12.5×0.8，简便计算。 （2）把单独的0.038看成0.038×1，乘法分配律逆用，简便计算。 （3）把404拆成400＋4，利用乘法分配律，简便计算。 （4）根据积不变规律：一个因数乘一个数（0除外），另一个因数同时除以相同的数，它们的积不变，57÷10＝5.7，0.36×10＝3.6，故57×0.36＝5.7×3.6；再根据乘法分配律逆用，简便计算。 【详解】12.5×7.9×0.8 ＝12.5×0.8×7.9 ＝10×7.9 ＝79 0.038×99＋0.038 ＝0.038×99＋0.038×1 ＝0.038×（99＋1） ＝0.038×100 ＝3.8 0.25×404 ＝0.25×（400＋4） ＝0.25×400＋0.25×4 ＝100＋1 ＝101 25.7×3.6－57×0.36 ＝25.7×3.6－5.7×3.6 ＝（25.7－5.7）×3.6 ＝20×3.6 ＝72 19．计算下面各题，能简算的要简算。 【答案】8.5；42；38.2 【分析】先算乘法，再算加法。 用乘法分配律进行简便计算。 用乘法交换律进行简便计算。 【详解】 20．计算下面各题，能简算的要简算。           【答案】 6.38；104.4；743.36；44 【分析】：利用乘法交换律，交换后两个乘数的位置，先计算简化运算。 ：按运算顺序，先计算小括号内的加法，再计算中括号内的减法，最后计算括号外的乘法。 ：把拆成，利用乘法分配律展开计算。 ：利用乘法分配律，提取公因数，先计算括号内的加法再算乘法。 【详解】 ： ： 21．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.4×2.5＋7.5×9.4    3.2×98    0.01＋1.01×99    2.5×1.6×4×5 【答案】；；； 【分析】9.4×2.5＋7.5×9.4利用乘法分配律为9.4×（2.5＋7.5），然后再计算； 100－2＝98，所以3.2×98＝3.2×（100－2），然后再利用乘法分配律进行简算； 99＝100－1，所以0.01＋1.01×99＝0.01＋1.01×（100－1），然后再利用乘法分配律进行简算； 2.5×1.6×4×5利用乘法交换律和结合律进行计算。 【详解】9.4×2.5＋7.5×9.4 ＝9.4×（2.5＋7.5） ＝9.4×10 ＝94 3.2×98 ＝3.2×（100－2） ＝3.2×100－3.2×2 ＝320－6.4 ＝313.6 0.01＋1.01×99 ＝0.01＋1.01×（100－1） ＝0.01＋1.01×100－1.01×1 ＝0.01＋101－1.01 ＝100 2.5×1.6×4×5 ＝2.5×4×1.6×5 ＝（2.5×4）×（1.6×5） ＝10×8 ＝80 22．计算下面各题。（能简算的要简算） 18.76－5.68＋1.24                2.95×101－2.95 1.25×（0.4＋0.8）            3.72×12.6＋3.72×27.4 【答案】14.32；295；1.5；148.8 【分析】（1）根据带符号搬家规则，交换后两个数的位置，先计算18.76＋1.24； （2）把后面的2.95看成2.95×1，用乘法分配律的逆运算； （3）运用乘法分配律计算； （4）用乘法分配律的逆运算简便计算。 【详解】（1）18.76－5.68＋1.24 ＝18.76＋1.24－5.68 ＝20－5.68 ＝14.32 （2）2.95×101－2.95 ＝2.95×101－2.95×1 ＝2.95×（101－1） ＝2.95×100 ＝295 （3）1.25×（0.4＋0.8） ＝1.25×0.4＋1.25×0.8 ＝0.5＋1 ＝1.5 （4）3.72×12.6＋3.72×27.4 ＝3.72×（12.6＋27.4） ＝3.72×40 ＝148.8 23．算一算。 20－15×0.46                   2.25×4.8＋7.75×4.8                3.12－3.2×（3－2.5） 【答案】13.1；48；1.52 【分析】第一题先计算乘法部分15×0.46，再用20减去该乘法结果得到最终值。 第二题观察到两个乘法项有相同因数，逆用乘法分配律，可以先计算2.25＋7.75，再将和与相乘简化计算。 第三题，因为式子包含小括号，所以先计算括号内的，再计算乘法部分乘以上述括号的结果，最后用减去该乘法结果得到最终值。 【详解】20－15×0.46 ＝20－6.9 ＝13.1 2.25×4.8＋7.75×4.8 ＝（2.25＋7.75）×4.8 ＝10×4.8 ＝48 3.12－3.2×（3－2.5） ＝3.12－3.2×0.5 ＝3.12－1.6 ＝1.52 24．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 5.6×1.25＋4.4×1.25             99×4.5＋4.5              0.25×5.7×0.4 【答案】12.5；450；0.57 【分析】（1）运用乘法分配律，把1.25提取出来，简便计算。 （2）把4.5看成1×4.5，运用乘法分配律，把4.5提取出来，简便计算。 （3）运用乘法交换律，先计算0.25×0.4，从而简便计算。 【详解】5.6×1.25＋4.4×1.25 ＝（5.6＋4.4）×1.25 ＝10×1.25 ＝12.5 99×4.5＋4.5 ＝99×4.5＋1×4.5 ＝（99＋1）×4.5 ＝100×4.5 ＝450 0.25×5.7×0.4 ＝0.25×0.4×5.7 ＝0.1×5.7 ＝0.57 25．认真计算，能简算的要简算。 0.5×13×400           6.7×99              9.3×6.4＋9.3×3.6 【答案】2600；663.3；93 【分析】先算0.5×400的积，再乘13。 把99看作（100－1），再运用乘法分配律计算。 运用乘法分配律你晕计算。 【详解】0.5×13×400 ＝0.5×400×13 ＝200×13 ＝2600 6.7×99 ＝6.7×（100－1） ＝6.7×100－6.7×1 ＝670－6.7 ＝663.3 9.3×6.4＋9.3×3.6 ＝9.3×（6.4＋3.6） ＝9.3×10 ＝93 26．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 0.85×201      1.25×2.4×3.3 7.26×9.9＋0.726    21.76×6.2－1.76×6.2 【答案】170.85；9.9； 72.6；124 【分析】（1）把201拆分成200＋1，利用乘法分配律简便计算； （2）把2.4写成0.8×3，然后利用乘法结合律简便计算； （3）把0.726写成7.26×0.1，然后利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律简便计算。 【详解】0.85×201 ＝0.85×（200＋1） ＝0.85×200＋0.85×1 ＝170＋0.85 ＝170.85 1.25×2.4×3.3 ＝1.25×0.8×3×3.3 ＝（1.25×0.8）×（3×3.3） ＝1×9.9 ＝9.9 7.26×9.9＋0.726 ＝7.26×9.9＋7.26×0.1 ＝7.26×（9.9＋0.1） ＝7.26×10 ＝72.6 21.76×6.2－1.76×6.2 ＝（21.76－1.76）×6.2 ＝20×6.2 ＝124 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数乘法（整数乘法运算律推广到小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心结论 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法同样适用。应用这些运算定律，可以使一些小数乘法计算更简便。 - 教材关联：对应"手拉手"一课，通过购物情境验证了整数运算顺序和运算律在小数运算中完全成立，体现了迁移类推的数学思想。 二、三大运算定律 1. 乘法交换律 两个小数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 - 字母表示： - 示例： 2. 乘法结合律 三个小数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 - 字母表示： - 示例： 3. 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变。 - 字母表示： - 拓展：两个数的差与一个数相乘，同样适用： - 示例： 三、常见简便计算题型 1. 连乘凑整型：利用交换律和结合律，把相乘得整数的因数先乘，如与、与等组合。 2. 分配律正用型：把接近整数的因数拆成"整数±小数"的形式，再用分配律展开计算，如拆成，拆成。 3. 分配律逆用型：提取相同的公因数，把剩下的数先相加/减，再乘公因数，形如。 4. 变形构造型：利用积的变化规律，把不同的因数转化为相同因数，再用分配律逆用简算。 四、解题通用步骤 1. 一审：观察算式中数字的特点，判断是否可以简便计算； 2. 二定：确定适用哪一种运算定律，选择对应的简算方法； 3. 三算：按照运算定律变形后进行简便计算； 4. 四验：用普通顺序再算一遍，检验结果是否一致。 五、常见易错点 1. 乘法分配律漏乘：分配律展开时，只乘第一个数，忘记乘括号里的第二个数； 2. 结合律与分配律混淆：连乘算式误用分配律，或加减乘混合误用结合律； 3. 拆数错误：把拆成后，计算时忘记减对应的那一部分； 4. 逆用漏项：提取公因数后，剩下的数相加减时漏掉其中一项； 5. 强行简算：不符合运算定律的题目强行凑整，改变了运算顺序导致结果错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：凑整优先法 【解题思路】 连乘算式优先找"好朋友数"：配、配，利用交换律和结合律把它们凑在一起先乘，得到整数后再计算剩余部分。 【操作步骤】 第一步：观察算式中有没有、、等特殊数字； 第二步：用交换律把能凑整的数换到一起； 第三步：用结合律先算凑整的部分，再算剩下的。 【易错提升】 ● 易错点：直接按顺序计算。 　　→ 规避技巧：把拆成，分别与和配对，变成，计算更简便。 方法点拨2：拆分分配法 【解题思路】 遇到接近整数的因数（如、），把它拆成"整数+小数"或"整数-小数"，再用乘法分配律展开，转化为整数乘小数的口算。 【操作步骤】 第一步：把接近整数的因数拆成整数与小数的和或差； 第二步：用乘法分配律展开，分别相乘； 第三步：把两次的积相加或相减，得出结果。 【易错提升】 ● 易错点：，只减而不是。 　　→ 规避技巧：分配律要"分别相乘"，括号里每一项都要乘外面的因数，不能只乘第一项。 方法点拨3：提取公因数法 【解题思路】 算式中有相同的因数，且中间是加减连接时，逆用乘法分配律，把相同因数提取出来，剩下的数先加减，再乘公因数，一步简化计算。 【操作步骤】 第一步：找到算式中相同的因数； 第二步：把相同因数提到括号外面； 第三步：括号里剩下的数按原符号相加减； 第四步：计算括号里的结果，再乘公因数。 【易错提升】 ● 易错点：，括号里误用乘法。 　　→ 规避技巧：逆用分配律，括号里是加减号，和原式的运算符号保持一致。 方法点拨4：变形构造法 【解题思路】 算式中没有完全相同的因数，但数字相同、小数位数不同时，利用积不变的规律，把其中一个因数转化为相同的数，再用分配律简算。 【操作步骤】 第一步：观察数字特征，找到数字相同、小数点位置不同的两个因数； 第二步：利用积不变规律，把其中一组因数转化为和另一组相同的因数； 第三步：转化后提取公因数，按分配律逆用计算。 【易错提升】 ● 易错点：只移动小数点，不调整另一个因数，导致积改变。 　　→ 规避技巧：一个因数扩大几倍，另一个因数就要缩小相同倍数，保证积不变。 【第三部分】考点讲练 考点一：乘法交换律与结合律的简便计算 考查重点：掌握连乘算式的简便方法，能运用交换律和结合律凑整计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 考点二：乘法分配律的正向应用（拆数凑整） 考查重点：能把接近整数的因数拆成和或差的形式，运用乘法分配律简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 考点三：乘法分配律的逆向应用 考查重点：能逆用乘法分配律，提取公因数进行简便计算，包括"补1"型和变形构造型。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算。 （1） （2） 考点四：简便运算的实际应用 考查重点：能运用乘法运算律解决购物、面积等生活实际问题，体会简便运算的价值。 【典例精讲】 题目：学校为希望小学购买文具，每本笔记本元，每支钢笔元。买本笔记本和支钢笔，一共需要多少元？（用简便方法计算） 【变式训练】 题目：一块长方形菜地，长米，宽米。如果每平方米收白菜千克，这块菜地一共可以收白菜多少千克？ 【第四部分】专项提升练习 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.7×5.4＋3.7×4.6　　　　　　　　2.5×1.25×0.8 2．简便计算。 1.28×0.29－0.29×0.28 0.52×1.9＋0.32×1.9＋0.16×1.9 7.24×5.1＋0.049×724 8.7×2.6＋87×0.49＋0.87×25 3．能简算的要简算 1.25×32×0.25        14.98－4.98×0.5 4.2×6.7＋0.67×58 101×0.45 4.75＋4.75×99      0.65×101 4．用简便方法计算下面各题。 6.7×3.6＋6.7×4.7＋8.3×3.3 11.2×2.9－29×0.77＋3.5×7.1 15.6×78－15.6×14－64×5.6             760000×0.04×0.04×0.25×0.25 5．脱式计算，能简算的要简算。 12.5×8.8             3.77＋5.64＋16.23＋24.36             6.3×9.9＋0.63 6．用简便方法计算下面各题。 6.5×4.7＋0.13×47＋0.47×22 0.999×0.7＋0.111×2.7 111×33.6－1.2×333 222×4.4＋8.9×888 7．算一算。                  8．计算下面各题，能简算的要简算。 14.5×9.9＋14.5×0.1     50.48－3.8－0.48－6.2      12.5×3.5×8×10 9．计算下面各题，能简算的要简算。 23.48－（1.58＋3.48）      12.5×1.38×0.8      3.4×6.2＋0.34×38 10．计算下面各题，能简算的要简算。 10－2.63＋4.19      0.25×16.2×0.4     2.7×3.7＋0.37×73 11．计算下面各题，能简算的要简算。 12.8×10.1－1.28        12.87＋6.5＋3.5－2.87        3.29×0.125×8 12．计算下面各题，能简算的要简算。 9.43×8.4＋8.4×0.57      5.17－1.8－3.2       2.5×0.8×12.5×4 13．计算下面各题，能简算的要简算。 9.5×80×1.25        76.8－27.4－12.6        3.82×10.1－38.2 14．计算下面各题，能简算的要简算。 6.65＋4.8－3.65        7.27×101        12.85－2.62－7.38 15．计算下面各题，能简算的要简算。 5.78－0.33－2.67         7.3×2.3＋2.3×2.7           4×5.37×2.5 16．计算下面各题，能简算的要简算。 5.25×（4＋0.4）     1.25×2.19×0.8        4.56＋7.08＋5.44＋2.92 17．计算下面各题，能简算的要简算。 2.6＋1.4×3       （8＋0.8）×1.25           68.7－22.48－18.52 0.25×17.85×0.4      4.9×3.67＋5.1×3.67      5.7＋3.46＋4.3＋5.54 18．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 12.5×7.9×0.8    0.038×99＋0.038    0.25×404    25.7×3.6－57×0.36 19．计算下面各题，能简算的要简算。 20．计算下面各题，能简算的要简算。           21．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.4×2.5＋7.5×9.4    3.2×98    0.01＋1.01×99    2.5×1.6×4×5 22．计算下面各题。（能简算的要简算） 18.76－5.68＋1.24                2.95×101－2.95 1.25×（0.4＋0.8）            3.72×12.6＋3.72×27.4 23．算一算。 20－15×0.46                   2.25×4.8＋7.75×4.8                3.12－3.2×（3－2.5） 24．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 5.6×1.25＋4.4×1.25             99×4.5＋4.5              0.25×5.7×0.4 25．认真计算，能简算的要简算。 0.5×13×400           6.7×99              9.3×6.4＋9.3×3.6 26．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 0.85×201      1.25×2.4×3.3 7.26×9.9＋0.726    21.76×6.2－1.76×6.2 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $