第七单元 倍数与因数（最大公因数与最小公倍数） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第七单元 倍数与因数（最大公因数与最小公倍数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、基本概念 1. 公因数与最大公因数 - 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 - 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 　示例：12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18。 　12和18的公因数有1,2,3,6；最大公因数是6。 - 特征： 　① 几个数的公因数的个数是有限的； 　② 1是所有非0自然数的公因数； 　③ 最大公因数 ≤ 两个数中较小的数。 2. 公倍数与最小公倍数 - 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 - 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 　示例：6的倍数有6,12,18,24,30,36…；8的倍数有8,16,24,32,40… 　6和8的公倍数有24,48…；最小公倍数是24。 - 特征： 　① 几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数； 　② 最小公倍数 ≥ 两个数中较大的数。 二、两种特殊关系的最大公因数与最小公倍数 1. 倍数关系 当两个数成倍数关系时： - 较小的数是它们的最大公因数； - 较大的数是它们的最小公倍数。 　示例：12和4成倍数关系，最大公因数是4，最小公倍数是12。 2. 互质关系（互质数） - 定义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 当两个数互质时： - 它们的最大公因数是1； - 它们的最小公倍数是两个数的乘积。 　示例：3和5互质，最大公因数是1，最小公倍数是。 - 常见互质情况： 　① 两个不同的质数一定互质； 　② 1和任何非0自然数都互质； 　③ 相邻的两个自然数一定互质。 三、常用求解方法 1. 列举法：分别列出两个数的因数/倍数，找出公共的，再取最大/最小的。适合基础入门。 2. 筛选法：先列出小数的因数/倍数，从中筛选出也是大数的因数/倍数的，再取最值。 3. 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止。 　- 最大公因数 = 所有除数相乘； 　- 最小公倍数 = 所有除数和最后的商相乘。 4. 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数相乘得最大公因数；公有的+各自独有的质因数相乘得最小公倍数。 四、常见易错点 1. 概念混淆：把最大公因数和最小公倍数搞反，倍数关系时错记成"大数是最大公因数"； 2. 互质判断错：误以为两个数都是质数才互质，实际上只要公因数只有1就是互质； 3. 短除法漏乘：求最小公倍数时，只乘除数忘记乘最后的商； 4. 应用模型错：实际问题中分不清该用最大公因数还是最小公倍数； 5. 忽略特殊数：忘记1和任何数的最大公因数都是1，最小公倍数是另一个数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列举筛选法 【解题思路】 找最大公因数时，先找小数的所有因数，再从中挑出也是大数因数的数，最大的就是最大公因数；找最小公倍数时，先列大数的倍数，从中找也是小数倍数的，第一个就是最小公倍数。 【操作步骤】 第一步：列出较小数的所有因数（或较大数的倍数）； 第二步：从中筛选出同时是另一个数的因数（或倍数）的数； 第三步：最大的那个公因数就是最大公因数，最小的那个公倍数就是最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或本身，导致公因数找不全。 　　→ 规避技巧：因数从1开始成对找，确保不重不漏。 方法点拨2：短除法 【解题思路】 用公有的质因数连续去除两个数，除到商互质为止，除数相乘得最大公因数，除数乘商得最小公倍数，是最常用的高效方法。 【操作步骤】 第一步：写短除号，把两个数放进去，用公有的质因数去除； 第二步：继续除，直到两个商只有公因数1（互质）； 第三步：最大公因数 = 左边所有除数相乘； 第四步：最小公倍数 = 左边所有除数 × 下面最后的两个商。 【易错提升】 ● 易错点：求最小公倍数只乘除数，忘记乘商。 　　→ 规避技巧：口诀"大公因，乘半边；小公倍，乘一圈"。 方法点拨3：特殊关系速判法 【解题思路】 先判断两个数是不是倍数关系或互质关系，符合的直接用结论秒出答案，不用再慢慢列举。 【操作步骤】 第一步：看大数是不是小数的倍数，是则成倍数关系：大公因=小数，小公倍=大数； 第二步：不是倍数关系，看是不是公因数只有1，是则互质：大公因=1，小公倍=乘积； 第三步：都不是，再用短除法计算。 【易错提升】 ● 易错点：相邻两个数误以为不是互质。 　　→ 规避技巧：相邻自然数相差1，公因数只有1，一定互质。 方法点拨4：实际问题模型法 【解题思路】 解决实际问题时，先判断是"等分、分份、最长最大"类，还是"同时、再次相遇、最少"类，对应选择最大公因数或最小公倍数。 【操作步骤】 第一步：题目求"最长、最多、最大边长、正好分完"→ 用最大公因数； 第二步：题目求"至少、最少、再次同时、下次相遇"→ 用最小公倍数； 第三步：根据问题列式计算，结合实际作答。 【易错提升】 ● 易错点：看到"分东西"就用最大公因数，没看清是不是"正好分完且数量最多"。 　　→ 规避技巧：抓住关键词"正好分完、最长、最大"是最大公因数的标志。 【第三部分】考点讲练 考点一：找最大公因数 考查重点：掌握列举法、筛选法找最大公因数，理解公因数的意义。 【典例精讲】 题目：求12和18的最大公因数。 【变式训练】 题目：求24和36的最大公因数。 考点二：找最小公倍数 考查重点：掌握找最小公倍数的方法，理解公倍数的意义。 【典例精讲】 题目：求6和8的最小公倍数。 【变式训练】 题目：用短除法求18和30的最小公倍数。 考点三：特殊关系的最大公因数与最小公倍数 考查重点：掌握倍数关系、互质关系的快速判断，能直接写出结果。 【典例精讲】 题目：直接写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）7和21 （2）5和9 （3）8和9 【变式训练】 题目：判断：两个不同的质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。（　） 考点四：最大公因数与最小公倍数的实际应用 考查重点：能区分实际问题的模型，正确选择最大公因数或最小公倍数解决问题。 【典例精讲】 题目：有两根彩带，一根长24分米，一根长36分米。把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【变式训练】 题目：爸爸每6天休息一天，妈妈每8天休息一天。今天他们同时休息，至少再过多少天他们又同时休息？ 【第四部分】专项提升练习 1．两根铁丝分别长78米和104米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，那么这根绳子最长有____米。 2．，，则和的最小公倍数是____。 3．甲乙两个数的差为54，其中甲数是乙数的7倍，甲数和乙数的最小公倍数是( )。 4．一盒棋子，4颗4颗地数余3颗，6颗6颗地数余5颗，15颗15颗地数余14颗。这盒棋子在150～200颗之间，这盒棋子共有_____________颗。 5．一块长方形花布，长28dm，宽12dm。要将它裁成若干块同样大小的正方形而没有剩余，裁出的正方形的边长最长是( )dm。 6．求下列各组数的最大公因数。 88和121        91和13 7．求下列各组数的最小公倍数。 56和26        51和34 8．用短除法求最小公倍数和最大公因数。 （1）36和48的最小公倍数        （2）24和78的最大公因数 9．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）3和5                （2）4和8                （3）6和9 10．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和16    18和30    15和18 11．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        55和11        7和9 12．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 25和30         36和24         19和38 13．有两路公交车从同一站点同时出发，1路车每2分发车一辆，3路车每5分发车一辆，两路公交车早上7时开始同时发车，第二次同时发车是几时？ 14．某班在夏令营活动中，分为5人一组，9人一组，15人一组都恰好无余，这个班至少有学生多少人？ 15．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 16．五（1）班有42人，五（2）班有36人。如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人？一共可分成几组？ 17．一块长方形的布，长为15分米，宽为6分米。要把它截成若干块边长是整分米且大小一样的正方形手绢（要求裁完后长方形的布没有剩余且不计损耗），正方形手绢的边长最大是多少分米？ 18．张师傅买回一根50分米长的铁丝和一根43分米长的铜丝，然后将它们截成同样长的小段，结果铁丝剩余2分米，铜丝剩余3分米。所截成的小段最长多少分米？一共能截成多少段同样的小段？ 19．一张长方形木板长25米，宽12米。在无剩余的前提下，将它裁成大小相等的若干个正方形，正方形的边长可以是多少米？边长最大是多少米？ 20．5路和17路公交车都是早上6：20首次同时发车，5路和17路公交车第二次同时发车的时间是几时几分？ 5路公交车每12分钟发一次车 17路公交车每16分钟发一次车 21．张老师把42本作文本和30本数学本分别平均分给几个同学，正好分完。最多可以分给几个同学？每个同学分得两种作业本各多少本？ 22．一条1800米的马路两边每隔6米插着一面彩旗，现在要改为每隔10米插一面。除两端的两面彩旗不需要移动外，还有多少面彩旗不需要移动？ 23．同学们去春游，如果把30袋果冻和42瓶矿泉水平均分给各个小组，正好分完，同学们最多可以分成几个小组？这时每个小组分得多少袋果冻和多少瓶矿泉水？ 24．为了弘扬中华优秀传统文化，沿江小学在端午节期间举行了1000米龙舟比赛。五年级参加龙舟比赛的学生有40～50，分组时4人一组或6人一组都剩余1人，五年级参加龙舟比赛的学生有多少人？ 25．端午龙舟赛开幕式中，有36名男生，48名女生参加团体操表演，男、女生分别排队，要使每排人数相等，每排最多有多少人？男女生一共有多少排？ 26．社团活动时，王老师要求同学们将一块长为75厘米，宽为60厘米的长方形大卡纸，裁成若干个同样大小的小正方形备用，小正方形的边长是整厘米数，大卡纸不能有任何剩余。请问：能裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少块这样的小正方形？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数（最大公因数与最小公倍数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、基本概念 1. 公因数与最大公因数 - 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 - 最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 　示例：12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18。 　12和18的公因数有1,2,3,6；最大公因数是6。 - 特征： 　① 几个数的公因数的个数是有限的； 　② 1是所有非0自然数的公因数； 　③ 最大公因数 ≤ 两个数中较小的数。 2. 公倍数与最小公倍数 - 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 - 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 　示例：6的倍数有6,12,18,24,30,36…；8的倍数有8,16,24,32,40… 　6和8的公倍数有24,48…；最小公倍数是24。 - 特征： 　① 几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数； 　② 最小公倍数 ≥ 两个数中较大的数。 二、两种特殊关系的最大公因数与最小公倍数 1. 倍数关系 当两个数成倍数关系时： - 较小的数是它们的最大公因数； - 较大的数是它们的最小公倍数。 　示例：12和4成倍数关系，最大公因数是4，最小公倍数是12。 2. 互质关系（互质数） - 定义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 当两个数互质时： - 它们的最大公因数是1； - 它们的最小公倍数是两个数的乘积。 　示例：3和5互质，最大公因数是1，最小公倍数是。 - 常见互质情况： 　① 两个不同的质数一定互质； 　② 1和任何非0自然数都互质； 　③ 相邻的两个自然数一定互质。 三、常用求解方法 1. 列举法：分别列出两个数的因数/倍数，找出公共的，再取最大/最小的。适合基础入门。 2. 筛选法：先列出小数的因数/倍数，从中筛选出也是大数的因数/倍数的，再取最值。 3. 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止。 　- 最大公因数 = 所有除数相乘； 　- 最小公倍数 = 所有除数和最后的商相乘。 4. 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数相乘得最大公因数；公有的+各自独有的质因数相乘得最小公倍数。 四、常见易错点 1. 概念混淆：把最大公因数和最小公倍数搞反，倍数关系时错记成"大数是最大公因数"； 2. 互质判断错：误以为两个数都是质数才互质，实际上只要公因数只有1就是互质； 3. 短除法漏乘：求最小公倍数时，只乘除数忘记乘最后的商； 4. 应用模型错：实际问题中分不清该用最大公因数还是最小公倍数； 5. 忽略特殊数：忘记1和任何数的最大公因数都是1，最小公倍数是另一个数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列举筛选法 【解题思路】 找最大公因数时，先找小数的所有因数，再从中挑出也是大数因数的数，最大的就是最大公因数；找最小公倍数时，先列大数的倍数，从中找也是小数倍数的，第一个就是最小公倍数。 【操作步骤】 第一步：列出较小数的所有因数（或较大数的倍数）； 第二步：从中筛选出同时是另一个数的因数（或倍数）的数； 第三步：最大的那个公因数就是最大公因数，最小的那个公倍数就是最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或本身，导致公因数找不全。 　　→ 规避技巧：因数从1开始成对找，确保不重不漏。 方法点拨2：短除法 【解题思路】 用公有的质因数连续去除两个数，除到商互质为止，除数相乘得最大公因数，除数乘商得最小公倍数，是最常用的高效方法。 【操作步骤】 第一步：写短除号，把两个数放进去，用公有的质因数去除； 第二步：继续除，直到两个商只有公因数1（互质）； 第三步：最大公因数 = 左边所有除数相乘； 第四步：最小公倍数 = 左边所有除数 × 下面最后的两个商。 【易错提升】 ● 易错点：求最小公倍数只乘除数，忘记乘商。 　　→ 规避技巧：口诀"大公因，乘半边；小公倍，乘一圈"。 方法点拨3：特殊关系速判法 【解题思路】 先判断两个数是不是倍数关系或互质关系，符合的直接用结论秒出答案，不用再慢慢列举。 【操作步骤】 第一步：看大数是不是小数的倍数，是则成倍数关系：大公因=小数，小公倍=大数； 第二步：不是倍数关系，看是不是公因数只有1，是则互质：大公因=1，小公倍=乘积； 第三步：都不是，再用短除法计算。 【易错提升】 ● 易错点：相邻两个数误以为不是互质。 　　→ 规避技巧：相邻自然数相差1，公因数只有1，一定互质。 方法点拨4：实际问题模型法 【解题思路】 解决实际问题时，先判断是"等分、分份、最长最大"类，还是"同时、再次相遇、最少"类，对应选择最大公因数或最小公倍数。 【操作步骤】 第一步：题目求"最长、最多、最大边长、正好分完"→ 用最大公因数； 第二步：题目求"至少、最少、再次同时、下次相遇"→ 用最小公倍数； 第三步：根据问题列式计算，结合实际作答。 【易错提升】 ● 易错点：看到"分东西"就用最大公因数，没看清是不是"正好分完且数量最多"。 　　→ 规避技巧：抓住关键词"正好分完、最长、最大"是最大公因数的标志。 【第三部分】考点讲练 考点一：找最大公因数 考查重点：掌握列举法、筛选法找最大公因数，理解公因数的意义。 【典例精讲】 题目：求12和18的最大公因数。 【分析】 可以用列举法，分别列出12和18的所有因数，找出公因数，再取最大的；也可以用筛选法，先找12的因数，再从中挑18的因数。 【详解】 方法一：列举法 12的因数：1，2，3，4，6，12 18的因数：1，2，3，6，9，18 公因数：1，2，3，6 最大公因数：6 方法二：筛选法 12的因数：1，2，3，4，6，12 其中也是18的因数的有：1，2，3，6 最大的是6。 答：12和18的最大公因数是6。 【答案】6 【变式训练】 题目：求24和36的最大公因数。 【分析】 用列举法或短除法都可以，这里用短除法演示，更快捷。 【详解】 用短除法： 先用公有的质因数2除：24÷2=12，36÷2=18 再用公有的质因数2除：12÷2=6，18÷2=9 再用公有的质因数3除：6÷3=2，9÷3=3 商2和3互质，停止。 最大公因数 = 答：24和36的最大公因数是12。 【答案】12 考点二：找最小公倍数 考查重点：掌握找最小公倍数的方法，理解公倍数的意义。 【典例精讲】 题目：求6和8的最小公倍数。 【分析】 用列举法分别列出两个数的倍数，找出第一个公共的倍数，就是最小公倍数。 【详解】 方法一：列举法 6的倍数：6，12，18，24，30，36… 8的倍数：8，16，24，32，40… 第一个公共的倍数是24，所以最小公倍数是24。 方法二：筛选法 8的倍数：8，16，24，32… 其中也是6的倍数的第一个数是24。 答：6和8的最小公倍数是24。 【答案】24 【变式训练】 题目：用短除法求18和30的最小公倍数。 【分析】 用公有的质因数去除，直到商互质，除数乘商就是最小公倍数。 【详解】 短除法： 先用2除：18÷2=9，30÷2=15 再用3除：9÷3=3，15÷3=5 商3和5互质，停止。 最小公倍数 = 答：18和30的最小公倍数是90。 【答案】90 考点三：特殊关系的最大公因数与最小公倍数 考查重点：掌握倍数关系、互质关系的快速判断，能直接写出结果。 【典例精讲】 题目：直接写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）7和21 （2）5和9 （3）8和9 【分析】 先判断关系： （1）21是7的倍数，成倍数关系； （2）5和9公因数只有1，互质； （3）8和9是相邻自然数，互质。 【详解】 （1）倍数关系： 最大公因数是较小数7，最小公倍数是较大数21。 （2）互质关系： 最大公因数是1，最小公倍数是。 （3）互质关系（相邻自然数）： 最大公因数是1，最小公倍数是。 【答案】 （1）最大公因数7，最小公倍数21； （2）最大公因数1，最小公倍数45； （3）最大公因数1，最小公倍数72 【变式训练】 题目：判断：两个不同的质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。（　） 【分析】 两个不同的质数，公因数只有1，属于互质关系，因此最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。 【详解】 质数只有1和它本身两个因数，两个不同的质数没有其他公共因数，公因数只有1，互质。 所以最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，说法正确。 【答案】√ 考点四：最大公因数与最小公倍数的实际应用 考查重点：能区分实际问题的模型，正确选择最大公因数或最小公倍数解决问题。 【典例精讲】 题目：有两根彩带，一根长24分米，一根长36分米。把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【分析】 "截成同样长且没有剩余，最长多少"，说明每段长度是24和36的公因数，求最长就是求最大公因数。算出每段长度后，再分别算段数相加。 【详解】 第一步：求24和36的最大公因数 24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24 36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36 最大公因数是12。 所以每小段最长12分米。 第二步：算总段数 （段） （段） 一共：（段） 答：每小段最长12分米，一共可以截成5段。 【答案】最长12分米，共5段 【变式训练】 题目：爸爸每6天休息一天，妈妈每8天休息一天。今天他们同时休息，至少再过多少天他们又同时休息？ 【分析】 "再次同时休息、至少再过多少天"，说明天数是6和8的公倍数，求最少就是求最小公倍数。 【详解】 求6和8的最小公倍数： 6的倍数：6,12,18,24,30… 8的倍数：8,16,24,32… 最小公倍数是24。 答：至少再过24天他们又同时休息。 【答案】24天 【第四部分】专项提升练习 1．两根铁丝分别长78米和104米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，那么这根绳子最长有____米。 【答案】26 【分析】根据已知，用一根绳子测量两根铁丝，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长，也就是求78和104的最大公因数。 【详解】 因为2×13＝26（米），所以这根绳子最长有26米。 2．，，则和的最小公倍数是____。 【答案】210 【分析】根据题意，a和b公有的质因数是2和7，各自独有的质因数分别是a的3、b的5。要求最小公倍数，需要把公有质因数和所有独有的质因数全部相乘。 【详解】 所以和的最小公倍数是210。 3．甲乙两个数的差为54，其中甲数是乙数的7倍，甲数和乙数的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，较小数是最大公因数。 题中两数的差是54，即甲数－乙数＝54，把乙数看作1份，甲数就是7份，则两数相差7－1＝6份，6份对应54，可以先求出1份即乙数。 【详解】乙数：     份数差：7－1＝6 乙数：54÷6＝9 甲数： 甲数是乙数的7倍：9×7＝63 最小公倍数： 甲数63，乙数9，63÷9＝7，两数为倍数关系，则大数是最小公倍数，所以甲数和乙数的最小公倍数是63。 4．一盒棋子，4颗4颗地数余3颗，6颗6颗地数余5颗，15颗15颗地数余14颗。这盒棋子在150～200颗之间，这盒棋子共有_____________颗。 【答案】 179 【分析】每次数的余数与除数的关系，发现余数均比除数少1。这说明如果棋子总数增加1颗，就能同时被4、6、15整除。因此，棋子总数加1是4、6、15的公倍数。先求出这三个数的最小公倍数，再根据棋子总数在150∼200之间的条件，确定具体的公倍数，最后减去1得到棋子总数。 【详解】由题意可知，余数与除数的差相等：，，，说明棋子总数加1是4、6、15的公倍数。 ，，，三个数的最小公倍数是：， 60的倍数有：60、120、180、240…因为棋子总数在150∼200之间，所以棋子总数加1应为180，棋子总数是：（颗） 5．一块长方形花布，长28dm，宽12dm。要将它裁成若干块同样大小的正方形而没有剩余，裁出的正方形的边长最长是( )dm。 【答案】4 【分析】裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数；要求边长最长，就是求长和宽的最大公因数。先把28和12分解质因数，再将公有质因数相乘，求出最大公因数。 【详解】28＝2×2×7 12＝2×2×3 28和12的最大公因数是2×2＝4，所以裁出的正方形的边长最长是4dm。 6．求下列各组数的最大公因数。 88和121        91和13 【答案】11；13 【分析】求最大公因数，可以先观察两个数是不是倍数关系。如果是倍数关系，最大公因数就是较小的数；如果不是倍数关系，就用分解质因数法，找出所有公有质因数，公有质因数的乘积就是最大公因数。 【详解】（1）88＝2×2×2×11 121＝11×11 最大公因数：11 （2）91÷13＝7，91是13的倍数，两数为倍数关系。 较小数是13，最大公因数：13 7．求下列各组数的最小公倍数。 56和26        51和34 【答案】728；102 【分析】用分解质因数法求最小公倍数，先把两个数分解成质因数相乘的形式，最小公倍数等于公有质因数乘各自独有的质因数。 【详解】（1）56＝2×2×2×7 26＝2×13 最小公倍数：2×2×2×7×13＝728 （2）51＝3×17 34＝2×17 最小公倍数：17×3×2＝102 8．用短除法求最小公倍数和最大公因数。 （1）36和48的最小公倍数        （2）24和78的最大公因数 【答案】（1）144；（2）6 【分析】（1）用短除法求最小公倍数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。 （2）用短除法求最大公因数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。 【详解】（1）36和48的最小公倍数 2×2×3×3×4＝144 （2）24和78的最大公因数 2×3＝6 9．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）3和5                （2）4和8                （3）6和9 【答案】（1）1，15；（2）4，8；（3）3，18 【分析】（1）求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积； （2）两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数； （3）先把6和9分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】（1）3和5互质，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5＝15； （2）8÷4＝2，8是4的2倍，所以4和8的最大公因数是4，最小公倍数是8； （3）6＝2×3 9＝3×3 所以6和9的最大公因数是3，最小公倍数是2×3×3＝6×3＝18。 10．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和16    18和30    15和18 【答案】4，48；6，90；3，90 【分析】用分解质因数法求最大公因数与最小公倍数：两个数的最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数乘各自独有的质因数的乘积。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数：2×2＝4，最小公倍数：2×2×3×2×2＝48 18＝2×3×3 30＝2×3×5 18和30的最大公因数：2×3＝6，最小公倍数：2×3×3×5＝90 15＝3×5 18＝2×3×3 15和18的最大公因数：3，最小公倍数：3×5×2×3＝90 11．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        55和11        7和9 【答案】6，36；11，55；1，63 【分析】最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积； 最小公倍数：两个数的公有质因数和每一个数的独有质因数的连乘积； 如果两个数成倍数关系，最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数； 如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36。 （2）55和11成倍数关系，最大公因数是11；最小公倍数是55。 （3）7和9为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是7×9＝63。 12．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 25和30         36和24         19和38 【答案】5、150；12、72；19、38 【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大数； 除了以上两种情况外，可以用分解质因数或短除法去找两个数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】由分析可得： 25和30： 25＝5×5 30＝2×3×5 25和30的最大公因数为：5，最小公倍数是： 2×3×5×5＝150 36和24： 36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数为： 2×2×3＝12 最小公倍数是： 2×2×2×3×3＝72 19和38是倍数关系，最大公因数是19，最小公倍数是38。 综上所述：25和30最大公因数为5，最小公倍数是150； 36和24最大公因数为12，最小公倍数是72； 19和38最大公因数是19，最小公倍数是38。 13．有两路公交车从同一站点同时出发，1路车每2分发车一辆，3路车每5分发车一辆，两路公交车早上7时开始同时发车，第二次同时发车是几时？ 【答案】7时10分 【分析】第二次同时发车的间隔时间是2和5的最小公倍数，用初始发车时刻加上间隔时间可求出第二次同时发车时刻。 【详解】2×5＝10（分钟） 7时10分钟7时10分 答：第二次同时发车是7时10分。 14．某班在夏令营活动中，分为5人一组，9人一组，15人一组都恰好无余，这个班至少有学生多少人？ 【答案】45人 【分析】班级人数分成5人、9人、15人一组都恰好无剩余，说明人数是5、9、15的公倍数，求最少人数就是求这三个数的最小公倍数。 【详解】5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95…… 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90…… 15的倍数有：15、30、45、60、75、90…… 5、9、15的公倍数有：45、90…… 5、9、15的最小公倍数是45。 答：这个班至少有学生45人。 15．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 【答案】 60天 【分析】玫瑰花每20天浇一次水，它的浇水间隔是20的倍数；吊兰每15天浇一次水，它的浇水间隔是15的倍数。要找到“同时浇水”的时间，就是找同时是15和20的倍数的数，也就是两个数的公倍数；题目要求“至少再过多少天”，也就是找两个数的最小公倍数。先将20和15分解质因数，再取两个数所有公有的质因数和各自独有的质因数相乘，所得乘积就是最小公倍数。 【详解】， 20和15的最小公倍数：（天） 答：下一次再给这两种植物同时浇水至少再过60天。 16．五（1）班有42人，五（2）班有36人。如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人？一共可分成几组？ 【答案】 6人；13组 【分析】要使两个班每个小组的人数相等，每组最多的人数是42和36的最大公因数，求出最大公因数后，分别计算两个班的小组数，相加得到总组数。 【详解】 42和36的最大公因数是，即每组最多有6人。 （组） （组） （组） 答：每组最多有6人；一共可分成13组。 17．一块长方形的布，长为15分米，宽为6分米。要把它截成若干块边长是整分米且大小一样的正方形手绢（要求裁完后长方形的布没有剩余且不计损耗），正方形手绢的边长最大是多少分米？ 【答案】3分米 【分析】要把长15分米、宽6分米的长方形裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形边长必须是15和6的公因数，求最大边长就是求15和6的最大公因数。用分解质因数法求最大公因数。 【详解】15＝3×5 6＝2×3 15和6的最大公因数是3 答：正方形手绢的边长最大是3分米。 18．张师傅买回一根50分米长的铁丝和一根43分米长的铜丝，然后将它们截成同样长的小段，结果铁丝剩余2分米，铜丝剩余3分米。所截成的小段最长多少分米？一共能截成多少段同样的小段？ 【答案】 所截成的小段最长8分米，一共能截成11段同样的小段。 【分析】先算出铁丝和铜丝实际用于截段的长度，截成同样长的最长小段的长度，就是这两个实际长度的最大公因数，再分别算出两种丝截得的段数，相加得到总段数。 【详解】计算两种丝实际用去的长度铁丝用去：50－2＝48（分米） 铜丝用去：43－3＝40（分米） 求48和40的最大公因数 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40； 48和40的最大公因数是8，即小段最长为8分米。 计算总段数铁丝截得段数：（段） 铜丝截得段数：（段） 总段数：（段） 答：所截成的小段最长8分米，一共能截成11段同样的小段。 19．一张长方形木板长25米，宽12米。在无剩余的前提下，将它裁成大小相等的若干个正方形，正方形的边长可以是多少米？边长最大是多少米？ 【答案】1米；1米 【分析】裁成的正方形要满足无剩余且大小相等，边长必须同时是长方形长和宽的因数，也就是25和12的公因数，最大边长是它们的最大公因数。通过分解质因数的方法找出两个数的公因数和最大公因数即可。 【详解】 25和12的公因数只有1，最大公因数是1，这两个数互质。 答：正方形的边长可以是1米，边长最大是1米。 20．5路和17路公交车都是早上6：20首次同时发车，5路和17路公交车第二次同时发车的时间是几时几分？ 5路公交车每12分钟发一次车 17路公交车每16分钟发一次车 【答案】7时8分 【分析】5路车的发车间隔是12的倍数，17路车的发车间隔是16的倍数，两路车第二次同时发车的间隔时间是12和16的最小公倍数，用首次同时发车时间加上这个间隔时间就能得到结果。 【详解】12＝2×2×3，16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数：2×2×3×2×2＝48， 也就是两路车每隔48分钟会同时发车一次。 首次同时发车的6∶20再过48分钟时：6时20分＋48分＝7时8分 答：5路和17路公交车第二次同时发车的时间是7时8分。 21．张老师把42本作文本和30本数学本分别平均分给几个同学，正好分完。最多可以分给几个同学？每个同学分得两种作业本各多少本？ 【答案】个；本作文本；本数学本； 【分析】要使两种本子都正好分完，同学人数是和的公因数；求最多的人数，就是求和的最大公因数。再用总本数除以人数，得到每人分得的本数。 【详解】 和的最大公因数是，即最多分给个同学。 （本） （本） 答：最多可以分给个同学，每个同学分得本作文本和本数学本。 22．一条1800米的马路两边每隔6米插着一面彩旗，现在要改为每隔10米插一面。除两端的两面彩旗不需要移动外，还有多少面彩旗不需要移动？ 【答案】 118面 【分析】不需要移动的彩旗位于6和10的公倍数位置，先求出两个数的最小公倍数，再结合两端都栽的植树问题规律，用总长度除以最小公倍数，求出总长度中包含最小公倍数的个数，即马路一边除起点外不需要移动的面数，再减去终点处的1面，求出马路一边除两端外不需要移动的面数，最后乘2得到马路两边不需要移动的面数。 【详解】6和10的最小公倍数： 马路一边除两端外不需要移动的彩旗数： ＝ ＝（面） 马路两边除两端外不需要移动的彩旗数： （面） 答：还有118面彩旗不需要移动。 23．同学们去春游，如果把30袋果冻和42瓶矿泉水平均分给各个小组，正好分完，同学们最多可以分成几个小组？这时每个小组分得多少袋果冻和多少瓶矿泉水？ 【答案】 6个；5袋；7瓶 【分析】要求最多分成的小组数且物品正好分完，就是求30和42的最大公因数；再用果冻、矿泉水的总数量分别除以最大公因数，即可求出每个小组分得的数量。 【详解】30＝2×3×5 42＝2×3×7 30和42的最大公因数是2×3＝6； 30÷6＝5（袋） 42÷6＝7（瓶） 答：同学们最多可以分成6个小组，这时每个小组分得5袋果冻和7瓶矿泉水。 24．为了弘扬中华优秀传统文化，沿江小学在端午节期间举行了1000米龙舟比赛。五年级参加龙舟比赛的学生有40～50，分组时4人一组或6人一组都剩余1人，五年级参加龙舟比赛的学生有多少人？ 【答案】49人 【分析】因为分组时4人一组或6人一组都剩余1人，所以总人数是4和6的公倍数再加1，且在40～50人之间。两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数，据此分析。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、… 6的倍数：6、12、18、24、… 4和6的最小公倍数为：12 4和6的公倍数有：12、24、36、48、60、… 所以在40～50之间12的倍数是48 48＋1＝49（人） 答：五年级参加龙舟比赛的学生有49人。 25．端午龙舟赛开幕式中，有36名男生，48名女生参加团体操表演，男、女生分别排队，要使每排人数相等，每排最多有多少人？男女生一共有多少排？ 【答案】12人；7排 【分析】根据题意，每排人数既是36的因数，又是48的因数。要使每排人数相等且最多，需找到36和48的最大公因数，再分别计算男、女生的排数，相加得到总排数。 【详解】 36和48的最大公因数是2×2×3＝12，即每排最多有12人。 男生排数：36÷12＝3（排） 女生排数：48÷12＝4（排） 总排数：3＋4＝7（排） 答：每排最多有12人，男女生一共有7排。 26．社团活动时，王老师要求同学们将一块长为75厘米，宽为60厘米的长方形大卡纸，裁成若干个同样大小的小正方形备用，小正方形的边长是整厘米数，大卡纸不能有任何剩余。请问：能裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少块这样的小正方形？ 【答案】 15厘米；20块 【分析】根据题意，小正方形的边长既是75的因数，又是60的因数，即小正方形的边长是75和60的公因数，要使长方形卡纸无剩余且裁出的小正方形边长最大，小正方形的边长应为75和60的最大公因数；求出小正方形最大边长后，分别计算长÷小正方形最大边长可得长方向可裁的块数，宽÷小正方形最大边长可得宽方向可裁的块数，最后相乘得到总块数。 【详解】分解质因数得：75＝3×5×5，60＝2×2×3×5 75和60的最大公因数是：3×5＝15 即小正方形最大边长是15厘米。 （75÷15）×（60÷15） ＝5×4 ＝20（块） 答：能裁出的小正方形的边长最大是15厘米，一共可以裁成20块这样的小正方形。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $