第七单元 倍数与因数（奇数与偶数） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第七单元 倍数与因数（奇数与偶数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、奇数与偶数的定义 在自然数范围内，根据是不是2的倍数，可以把自然数分为两类： 1. 偶数 是2的倍数的数叫做偶数（俗称双数）。 - 特征：个位上是0、2、4、6、8。 - 特殊规定：0是偶数，且是最小的偶数。 - 字母表示：如果用表示自然数，那么偶数可以表示为。 2. 奇数 不是2的倍数的数叫做奇数（俗称单数）。 - 特征：个位上是1、3、5、7、9。 - 最小的奇数是1，没有最大的奇数。 - 字母表示：奇数可以表示为。 3. 自然数的奇偶性分类 一个自然数，不是奇数就是偶数，二者必居其一。 二、和与差的奇偶性规律 两个数相加减时，结果的奇偶性遵循以下规律： 1. 偶数 ± 偶数 = 偶数 　例：（偶），（偶） 2. 奇数 ± 奇数 = 偶数 　例：（偶），（偶） 3. 偶数 ± 奇数 = 奇数 　例：（奇），（奇） 拓展：多个数相加的奇偶性 多个自然数相加，和的奇偶性只与奇数的个数有关，与偶数的个数无关： - 奇数个奇数相加，和是奇数； - 偶数个奇数相加，和是偶数； - 任意个偶数相加，和都是偶数。 三、积的奇偶性规律 两个数相乘时，积的奇偶性遵循以下规律： 1. 奇数 × 奇数 = 奇数 　例：（奇） 2. 偶数 × 偶数 = 偶数 　例：（偶） 3. 奇数 × 偶数 = 偶数 　例：（偶） 拓展：多个数相乘的奇偶性 乘法算式中，只要有一个因数是偶数，积就一定是偶数；只有所有因数都是奇数，积才是奇数。 四、奇偶性的实际应用 生活中很多问题可以用奇偶性规律快速判断，不用精确计算： 1. 往返问题：小船往返两岸、翻杯子、开关灯等，奇数次状态改变，偶数次回到原状态。 2. 分配问题：把总数分成两部分，根据总数的奇偶性判断两部分的奇偶性组合。 3. 数列规律：判断数列中第几个数是奇数还是偶数。 五、常见易错点 1. 忽略0是偶数：误以为最小的偶数是2，实际上0也是偶数，且是最小的偶数； 2. 和差规律记混：把"奇+奇=偶"记成"奇+奇=奇"，可以通过举例验证； 3. 多个数相加判断错：误以为加数越多和越大，奇偶性就越复杂，实际只看奇数的个数； 4. 乘法规律误用：以为奇数乘奇数可能得到偶数，实际上奇数乘奇数一定是奇数； 5. 实际问题次数判断错：往返问题中，第1次到达对岸，奇数次在对岸，偶数次回到起点，容易数反。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：个位速判法 【解题思路】 判断一个数是奇数还是偶数，只需要看个位数字，不用看整个数的大小，一秒钟就能快速判断。 【操作步骤】 第一步：只看这个数的个位数字； 第二步：个位是0、2、4、6、8 → 偶数； 第三步：个位是1、3、5、7、9 → 奇数。 【易错提升】 ● 易错点：判断100、1000是不是偶数时犹豫。 　　→ 规避技巧：个位都是0，符合偶数特征，肯定是偶数，位数再多也只看个位。 方法点拨2：举例验证法 【解题思路】 记不清奇偶性运算规律时，举简单的小数字例子计算一下，就能快速得出正确结论，避免死记硬背出错。 【操作步骤】 第一步：选最简单的奇数（1、3）和偶数（2、4）； 第二步：按题目中的运算方式计算结果； 第三步：根据结果判断奇偶性，总结规律。 【易错提升】 ● 易错点：记不清"奇数减奇数"结果是奇还是偶。 　　→ 规避技巧：举例，2是偶数，所以奇-奇=偶。 方法点拨3：分组计数法 【解题思路】 多个数相加判断和的奇偶性时，不用全部相加，只数有多少个奇数，根据奇数的个数就能判断结果。 【操作步骤】 第一步：把所有加数分成奇数和偶数两类； 第二步：数出奇数一共有多少个； 第三步：奇数个奇数相加 → 和是奇数；偶数个奇数相加 → 和是偶数。 【易错提升】 ● 易错点：把偶数的个数也算进去，影响判断。 　　→ 规避技巧：偶数相加永远是偶数，不改变和的奇偶性，只看奇数个数就行。 方法点拨4：状态归纳法 【解题思路】 解决翻杯子、开关灯、往返等实际问题时，通过列举前几次的状态，找出"奇数次、偶数次"的规律，直接对应判断。 【操作步骤】 第一步：列举第1次、第2次、第3次后的状态； 第二步：总结规律：奇数次对应什么状态，偶数次对应什么状态； 第三步：看题目中的次数是奇数还是偶数，对应规律得出结论。 【易错提升】 ● 易错点：数次数时从0开始数，导致奇偶搞反。 　　→ 规避技巧：初始状态是第0次（没动的时候），第1次是第一次操作，奇数次状态改变。 【第三部分】考点讲练 考点一：奇数与偶数的概念与判断 考查重点：理解奇数偶数的定义，能正确判断一个数是奇数还是偶数，掌握特殊数的奇偶性。 【典例精讲】 题目：把下面各数填入相应的圈里。 12，27，35，40，58，63，79，84，91，100，0，1 奇数： 偶数： 【分析】 根据个位数字判断：个位是1、3、5、7、9的是奇数，个位是0、2、4、6、8的是偶数。特别注意0是偶数，1是奇数。 【详解】 奇数：个位是1、3、5、7、9 → 27，35，63，79，91，1 偶数：个位是0、2、4、6、8 → 12，40，58，84，100，0 【答案】 奇数：27、35、63、79、91、1； 偶数：12、40、58、84、100、0 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）最小的偶数是2。（　） （2）一个自然数不是奇数就是偶数。（　） （3）个位上是3、6、9的数都是奇数。（　） （4）0既不是奇数也不是偶数。（　） 【分析】 根据奇数偶数的定义和特殊规定逐一判断。 【详解】 （1）×。0是偶数，且比2小，最小的偶数是0，不是2。 （2）√。自然数按是不是2的倍数分为奇数和偶数两类，非此即彼。 （3）×。个位上是3、9的数是奇数，但个位是6的数是偶数，判断奇偶只看个位是否为1、3、5、7、9。 （4）×。0是2的倍数（，商是整数），所以0是偶数。 【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）× 考点二：和与差的奇偶性 考查重点：掌握两个数及多个数相加减时和与差的奇偶性规律，能快速判断结果的奇偶性。 【典例精讲】 题目：不计算，直接判断下面算式的结果是奇数还是偶数，填在括号里。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） （5）的和（　） 【分析】 根据和差的奇偶性规律判断： （1）偶+偶=偶； （2）奇+奇=偶； （3）奇-奇=偶； （4）偶+奇=奇； （5）多个数相加，只看奇数个数：1、3、5、7共4个奇数，偶数个奇数相加和为偶数。 【详解】 （1）偶数+偶数=偶数 → 偶数 （2）奇数+奇数=偶数 → 偶数 （3）奇数-奇数=偶数 → 偶数 （4）偶数+奇数=奇数 → 奇数 （5）4个奇数相加，偶数个奇数和为偶数 → 偶数 【答案】（1）偶数；（2）偶数；（3）偶数；（4）奇数；（5）偶数 【变式训练】 题目：如果两个数的和是奇数，其中一个数是偶数，另一个数是奇数还是偶数？如果两个数的积是奇数，其中一个是奇数，另一个是什么数？ 【分析】 根据奇偶性运算规律反向推导： 和是奇数，说明是"偶+奇"的组合，一个是偶数，另一个一定是奇数； 积是奇数，说明两个因数都必须是奇数，一个是奇数，另一个也必须是奇数。 【详解】 和是奇数时，根据"偶数+奇数=奇数"，另一个数是奇数； 积是奇数时，根据"奇数×奇数=奇数"，另一个数是奇数。 答：和是奇数时，另一个数是奇数；积是奇数时，另一个数也是奇数。 【答案】另一个数是奇数；另一个数是奇数 考点三：积的奇偶性与多个数运算 考查重点：掌握乘法的奇偶性规律，能判断多个数相乘的积的奇偶性，能解决稍复杂的混合运算奇偶性问题。 【典例精讲】 题目：不计算，判断积是奇数还是偶数。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） 【分析】 乘法中，只要有一个偶数，积就是偶数；全是奇数，积才是奇数。 （1）全是奇数 → 积是奇数； （2）全是偶数 → 积是偶数； （3）有因数2是偶数 → 积是偶数； （4）从1到99的奇数相乘，全是奇数 → 积是奇数。 【详解】 （1）全部是奇数相乘，积是奇数； （2）全部是偶数相乘，积是偶数； （3）有偶数2，积是偶数； （4）所有因数都是奇数，积是奇数。 【答案】（1）奇数；（2）偶数；（3）偶数；（4）奇数 【变式训练】 题目：的结果是奇数还是偶数？ 【分析】 每一组都是"奇数×偶数"，奇数乘偶数得偶数；整个算式就是多个偶数相加，任意个偶数相加的和还是偶数。 【详解】 每组乘积：奇数×偶数=偶数 整个算式是多个偶数相加 偶数+偶数=偶数，任意个偶数相加和都是偶数。 所以最终结果是偶数。 【答案】偶数 考点四：奇偶性的实际应用 考查重点：能运用奇偶性规律解决生活中的实际问题，掌握状态变化类题目的规律。 【典例精讲】 题目：一盏灯是亮着的，按1次开关灯熄灭，按2次开关灯亮起。按15次开关后，灯是亮的还是灭的？按100次呢？ 【分析】 初始状态：灯亮（0次，偶数次） 按1次：灭（奇数次） 按2次：亮（偶数次） 规律：奇数次灯灭，偶数次灯亮。 15是奇数，对应灯灭；100是偶数，对应灯亮。 【详解】 规律：按奇数次，灯熄灭；按偶数次，灯亮起。 15是奇数，所以按15次后灯是灭的； 100是偶数，所以按100次后灯是亮的。 答：按15次后灯是灭的，按100次后灯是亮的。 【答案】15次：灭；100次：亮 【变式训练】 题目：把37个苹果分给两个小朋友，要求每个小朋友分得的苹果数都是奇数，能做到吗？为什么？ 【分析】 两个奇数相加，和是偶数；但总苹果数37是奇数，不符合"奇+奇=偶"的规律，所以做不到。 【详解】 奇数+奇数=偶数 如果两个小朋友分得的都是奇数，那么总数应该是偶数； 但37是奇数，与规律矛盾，因此不能做到。 答：不能做到。因为奇数+奇数=偶数，而37是奇数，不可能分成两个奇数相加。 【答案】不能做到，因为两个奇数的和是偶数，37是奇数，无法分成两个奇数。 【第四部分】专项提升练习 1．相邻的两个自然数相加，和一定是( )，两个连续的奇数相加，和一定是( )。（填“奇数或偶数”） 【答案】 奇数 偶数 【分析】相邻两个自然数一定是一个奇数和一个偶数，根据奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，据此解题。 【详解】相邻的两个自然数相加，比如3＋4＝7，7是奇数；两个连续的奇数相加，比如3＋5＝8，8是偶数。 相邻的两个自然数相加，和一定是奇数，两个连续的奇数相加，和一定是偶数。 2．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 【答案】 开 开 【分析】明确灯的初始状态以及开关次数与灯的状态变化之间的规律。灯的初始状态是开着的，每按一次开关，灯的状态就会改变一次（开变关，关变开）。由此可知：按奇数次开关，灯的状态与初始状态相反；按偶数次开关，灯的状态与初始状态相同。 【详解】灯原来是开着的。按1下开关，灯变为关；按2下开关，灯变为开；按3下开关，灯变为关；……可以发现：按奇数次开关，灯的状态改变（变为关）；按偶数次开关，灯的状态不变（仍为开）。 弟弟按了16下开关。因为16是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 如果再按50下，此时总共按开关的次数为：（下） 因为66是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 所以弟弟按了16下开关，这时灯是开着的。如果再按50下，这时好是开着的。 3．如果表示一个偶数，且是大于1的自然数，那么和它相邻的奇数分别是________和________。 【答案】 【分析】自然数按从小到大排列时，奇数和偶数交替出现，任意相邻的奇数与偶数的差为1。比偶数小1的数是，属于奇数；比偶数大1的数是，也属于奇数。 【详解】如果表示一个偶数，且是大于1的自然数，那么和它相邻的奇数分别是和。 4．偶数＋偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )，奇数＋偶数＝( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 偶数 偶数 奇数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。据此分析。 【详解】例如：2和4均为偶数，2＋4＝6，6为偶数，所以偶数＋偶数＝偶数； 例如：1和3均为奇数，1＋3＝4，4为偶数，所以奇数＋奇数＝偶数； 例如：3为奇数，4为偶数，3＋4＝7，7为奇数，所以奇数＋偶数＝奇数。 5．三个同学计算三个连续奇数的和，答案依次是：健健“130”，康康“132”，乐乐“135”。算对的同学是( )，这3个连续奇数中间的数是( )。 【答案】 乐乐 45 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，可以确定，三个连续奇数相加的和是奇数；三个连续奇数的和刚好是中间那个奇数的3倍，据此解答。 【详解】130，132，135这三个数当中135是奇数。 135÷3＝45 所以三个连续奇数中间的一个数是45，另外两个数分别是43和47。 6．已知a是非0自然数，那么( )一定是偶数，( )一定是奇数。 【答案】 【分析】（）根据偶数和奇数的定义，偶数是能被整除的数，奇数是不能被整除的数，非自然数的奇偶性只有奇数和偶数两种，可分是奇数、是偶数两类讨论。 （）一个算式如果可以写成乘一个整数，说明这个数里面含有因数，能够被整除，那么它就是偶数。 （）如果一个数是偶数加或者偶数减，就不再是的倍数，不能被整除，这样得到的结果就是奇数。 【详解】根据偶数的定义，是的倍数的数叫做偶数。 因为是非自然数，表示乘，即含有因数，是的倍数，所以一定是偶数。 根据奇数的定义，不是的倍数的数叫做奇数。 因为是偶数，表示比偶数大的数，不是的倍数，所以一定是奇数。 7．春分有“竖蛋”的习俗，寓意祈求好运。妈妈买了一些鸡蛋，鸡蛋的数量是一个两位数，这个数既是5的倍数，又是偶数。妈妈最少买了( )个鸡蛋。 【答案】10 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数； 偶数：能被2整除的数是偶数， 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 所以一个数既是5的倍数，又是偶数，那它的末尾一定是0。要使这个两位数最小，则十位是1，据此分析。 【详解】这个数既是5的倍数，又是偶数。妈妈最少买了10个鸡蛋。 8．一个长方形的宽为a（a为非零自然数），长为a＋3，则这个长方形的周长为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2＝（a＋a＋3）×2＝（2a＋3）×2，无论a是多少，周长都是2的倍数，能被2整除的数是偶数，所以长方形的周长是偶数。 【详解】根据长方形周长公式可知，周长一定是2的倍数，则长方形的周长为偶数。 9．1＋3＋5…＋41的和是( )，1×3×5×…×41的积是( )。（括号里填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 奇数 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 （1）连续奇数相加，奇数个数＝（最后一个数－第一个数）÷2＋1。奇数个奇数相加，和为奇数；偶数个奇数相加，和为偶数。 （2）乘法奇偶规律：乘数里只要有一个偶数，积就一定是偶数；全部乘数都是奇数，积就是奇数。 【详解】（1）奇数个数：（41－1）÷2＋1 ＝40÷2＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 一共有21个奇数相加，奇数个奇数相加，和是奇数。 （2）算式1×3×5×…×41中所有乘数全部都是奇数，没有偶数，所以式子的乘积一定是奇数。 10．端午节佩戴香囊是一种古老习俗。现有三款香囊，其重量分别是三个连续的奇数，且它们的重量总和是51克，最轻香囊重( )克。 【答案】15 【分析】三个连续奇数，相邻两个数相差2，它们的和等于中间数的3倍。已知三个香囊重量总和是51克，可以先用总和除以3求出中间那个香囊的重量，再根据连续奇数的特征，用中间的重量减去2即可求出最轻香囊的重量。 【详解】（克） （克） 11．晚上，小华正开着灯看书，突然停电了，调皮的弟弟按了28下开关之后，来电时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 【答案】开 【分析】开着灯看书，停电后，再来电时，灯也是开着的。按1下灯关，按2下灯开，按3下灯关……则按奇数下是关，偶数下是开；个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；判断28的奇、偶性，根据找到的规律即可填空。 【详解】28的个位上是8，28是2的倍数，28是偶数。 由分析可知，按偶数下灯是开的，即来电时灯是开着的。 12．的和是( )（填“奇数”或“偶数”）；的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 偶数 偶数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数。 （1）两个奇数相加，和是偶数；偶数加偶数，和是偶数。 如果是偶数个奇数相加，和是偶数；奇数个奇数相加，和是奇数。 （2）通过给出的式子可以看出，每个乘法都是相邻两个自然数相乘，相邻的两个自然数里一定有一个是偶数，根据“偶数乘任何数都是偶数”，所以每一项的乘积都是偶数。 偶数加偶数，和是偶数。 【详解】根据分析可知： （1）从1到999一共999个数，把1和2看成一组，这里有1个奇数；3和4看成一组，这里也有一个奇数……一直到997和998，最后还剩下单独的999。 从1到998，一共是998÷2＝499（组），每组有1个奇数，再加上最后的999，499＋1＝500（个），所以一共有500个奇数，因为偶数个奇数相加，和是偶数，偶数加偶数还是偶数，所以的和是偶数。 （2）观察给出的式子，每一项的乘积都是偶数，题目中是99个偶数相加，因为“偶数加偶数和是偶数”，所以它们的和是偶数，的和是偶数。 13．周末梦梦一家三口到电影院观看影片，爸爸、妈妈和她的座位号是三个连续的奇数，这三个连续的奇数的和是39，这三个奇数分别是( )、( )、( )。 【答案】 11 13 15 【分析】根据题意，先设中间的奇数为，前一个奇数为，后一个奇数为，然后再根据三个奇数和为39列出方程，解方程求出未知数，最后将方程的解代入表达式即可得出三个奇数。 【详解】解：设中间的奇数为，因为连续奇数相邻两个的差是2， 所以前一个奇数为：，后一个奇数为：。    根据题意，列方程为： 前一个奇数： 后一个奇数： 这三个奇数分别是11、13、15。 14．按要求选择合适的数填在圈内。 1    2    5    8    10    24    46    59    415    672    320    458    15 发现：（                    ）的数是2的倍数；（                    ）的数是5的倍数；（                    ）的数既是2的倍数，又是5的倍数。 【答案】 个位上是0，2，4，6，8；个位上是0或5；个位上是0。 【分析】根据题意可知：能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；据此解答。 【详解】根据分析可得： 奇数有：1，5，59，415，15； 偶数有：2，8，10，24，46，672，320，458； 2的倍数有：2，8，10，24，46，672，320，458； 5的倍数有：5，10，415，320，15； 既是2的倍数，又是5的倍数的有：10，320； 填写如下： 发现：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 15．奇数与偶数的和是( )，奇数与奇数的和是( )。 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇数加偶数等于奇数，奇数加奇数等于偶数； 【详解】举例：，是奇数；，是偶数。 16．三个连续奇数的和是57。这三个奇数中最大数是( )。最小数是( )。 【答案】 21 17 【分析】连续的相邻奇数之间相差2，假设中间数为a，则最小数为a－2，最大数为a＋2，它们的和是a－2＋a＋a＋2＝3a，即3个连续奇数的和是中间数的3倍，和÷3＝中间数，中间数＋2＝最大数，中间数－2＝最小数。 【详解】中间数：57÷3＝19 最大数：19＋2＝21 最小数：19－2＝17 17．一列数，前两个是1，3，从第三个开始，每个数都是它前面两个数的和，即1，3，4，7，11，18，29，…，到第2018个数为止，共有( )个奇数。 【答案】 1346 【分析】根据奇数与偶数的加法运算性质，列出前几个数的奇偶性，找出循环周期，再利用周期规律解答。 奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋奇数＝奇数。 【详解】第1项：1，奇数； 第2项：3，奇数； 第3项：1＋3＝4，偶数； 第4项：3＋4＝7，奇数； 第5项：4＋7＝11，奇数； 第6项：7＋11＝18，偶数； …… 观察发现，这列数的奇偶性按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环出现，周期为3。 每个周期内有2个奇数。 ，即2018个数中共有672个完整周期，余下2个数。 余下的2个数对应周期中的前两个数，均为奇数。 奇数的总个数为： （个） 18．1＋3＋5＋7＋9＋……＋99这道算式的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以奇数个奇数相加和是奇数，偶数个奇数相加和是偶数，据此即可解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋……＋99，一共是50个奇数，根据奇数＋奇数＝偶数可知，50个奇数相加的和为偶数。 19．把60个桔子放到15个盘子里，每个盘子里只能放奇数个，这件事( )办到。（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】奇数的性质，奇数个奇数相加的和仍为奇数。据此解答。 【详解】每个盘子放奇数个桔子，15个盘子（奇数个）的奇数之和为奇数。因为奇数个奇数相加的结果是奇数，而题目中总桔子数为60（偶数），奇数和偶数不可能相等，所以这件事不能办到。 20．有4张数字卡片，上面分别写着40、16、5、2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是偶数的一共有( )种不同的选法。 【答案】3 【分析】自然数中能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。 根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数 ＝偶数。先判断这四个数哪些是奇数，哪些是偶数，然后找出两个数相加和为偶数的组合。 【详解】40、16、5、2，其中40、16、2是偶数，5是奇数。 从40、16、2任选两个和都是偶数。 ①40＋16＝56（偶数） ②40＋2＝42（偶数） ③16＋2＝18（偶数） 有4张数字卡片，上面分别写着40、16、5、2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是偶数的一共有3种不同的选法。 21．王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？ 【答案】奇数 【分析】总个数是奇数，乙袋个数为总个数减甲袋个数，根据奇偶运算性质判断奇数减偶数的结果，就能得出结论。 【详解】是奇数，甲袋装的个数为偶数。 奇数－偶数＝奇数 答：乙袋装的个数是奇数。 22．爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？ 【答案】不能，因为5个奇数相加结果还是奇数，而26是偶数，所以不能。 【分析】先根据奇数相加的奇偶规律，判断5个奇数相加的和是奇数还是偶数，再把这个结果和白菜总棵数26（偶数）的奇偶性进行对比，如果奇偶性不一致，就不能按照要求分装。 【详解】根据奇偶运算规律：奇数＋奇数＝偶数。 把5个奇数两两分组，前4个奇数可以分成两组，每组两个奇数，两组的和都是偶数；偶数加偶数得到偶数，再加上剩下的1个奇数，最终的和一定是奇数。 题目里白菜一共有26棵，26是偶数，奇数不可能等于偶数，所以做不到。 答：不能做到。因为5个不同的奇数相加，总和一定是奇数，26是偶数，所以无法分装。 23．扬州是中国大运河的重要节点城市，拥有丰富的历史文化遗产。暑期研学活动中，49名小学生来到扬州古运河参观，导游将他们分成两队乘船观景，其中一队的人数是奇数。请问另一队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】 偶数。理由：两队人数的和是总人数49，49是奇数。根据数的奇偶性规律，只有奇数与偶数相加的和是奇数，已知其中一队人数是奇数，所以另一队人数一定是偶数。 【分析】根据两队人数之和等于总人数的关系，利用和的奇偶性规律，由总人数的奇偶性和其中一队的奇偶性，判断另一队人数的奇偶性。 【详解】答：另一队的人数是偶数。理由：两队人数的和是总人数49，49是奇数。根据数的奇偶性规律，只有奇数与偶数相加的和是奇数，已知其中一队人数是奇数，所以另一队人数一定是偶数。 24．有735名选手报名参加了这次马拉松比赛，比赛活动承办方打算将参赛选手分成4个小组，并且要求每个小组的人数都是奇数。你觉得能按要求分配吗？请说明理由。 【答案】不能；因为奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，总人数735是奇数，所以不能按要求分配。 【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数。先推导4个奇数相加的和的奇偶性，然后判断总人数是奇数还是偶数，最后通过比较两者是否矛盾得出结论。 【详解】因为要把参赛选手分成4个小组，且每个小组的人数都是奇数，根据奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，所以4个小组的人数之和应该是偶数，而参赛选手总人数735名是奇数，不是偶数，所以不能按要求分配。 答：不能按要求分配。因为奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，总人数735是奇数，所以不能按要求分配。 25．老师出了一道题：1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数还是奇数？安安和辰辰的观点如下，你支持谁的观点？并说明支持的理由。 【答案】支持安安的观点； 因为1~20中，有10个奇数，有10个偶数； 10个奇数相加和是偶数，10个偶数相加和是偶数； 偶数＋偶数＝偶数，所以1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数。 【分析】任意个偶数相加得偶数；偶数个奇数相加得偶数；奇数个奇数相加得奇数；据此解答。 【详解】支持安安的观点。 理由略。 26．有100个自然数，它们的和是偶数。且在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，这些数中最多有多少个偶数？ 【答案】48个 【分析】根据奇数、偶数的运算定律，加减法中算式结果的奇偶性与算式中奇数个数相关，算式中奇数个数为奇数时，算式的结果是奇数；奇数个数为偶数时，算式结果是偶数。100个自然数相加，和是偶数，则100个自然数中奇数个数为偶数，且奇数比偶数多，据此可得出答案。 【详解】100个自然数的和是偶数，则这100个自然数中的奇数个数为偶数，偶数个数也为偶数；奇数的个数比偶数的个数多，，此时偶数个数应小于50，小于50且最大的偶数是48个。 答：这些数中最多有48个偶数。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数（奇数与偶数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、奇数与偶数的定义 在自然数范围内，根据是不是2的倍数，可以把自然数分为两类： 1. 偶数 是2的倍数的数叫做偶数（俗称双数）。 - 特征：个位上是0、2、4、6、8。 - 特殊规定：0是偶数，且是最小的偶数。 - 字母表示：如果用表示自然数，那么偶数可以表示为。 2. 奇数 不是2的倍数的数叫做奇数（俗称单数）。 - 特征：个位上是1、3、5、7、9。 - 最小的奇数是1，没有最大的奇数。 - 字母表示：奇数可以表示为。 3. 自然数的奇偶性分类 一个自然数，不是奇数就是偶数，二者必居其一。 二、和与差的奇偶性规律 两个数相加减时，结果的奇偶性遵循以下规律： 1. 偶数 ± 偶数 = 偶数 　例：（偶），（偶） 2. 奇数 ± 奇数 = 偶数 　例：（偶），（偶） 3. 偶数 ± 奇数 = 奇数 　例：（奇），（奇） 拓展：多个数相加的奇偶性 多个自然数相加，和的奇偶性只与奇数的个数有关，与偶数的个数无关： - 奇数个奇数相加，和是奇数； - 偶数个奇数相加，和是偶数； - 任意个偶数相加，和都是偶数。 三、积的奇偶性规律 两个数相乘时，积的奇偶性遵循以下规律： 1. 奇数 × 奇数 = 奇数 　例：（奇） 2. 偶数 × 偶数 = 偶数 　例：（偶） 3. 奇数 × 偶数 = 偶数 　例：（偶） 拓展：多个数相乘的奇偶性 乘法算式中，只要有一个因数是偶数，积就一定是偶数；只有所有因数都是奇数，积才是奇数。 四、奇偶性的实际应用 生活中很多问题可以用奇偶性规律快速判断，不用精确计算： 1. 往返问题：小船往返两岸、翻杯子、开关灯等，奇数次状态改变，偶数次回到原状态。 2. 分配问题：把总数分成两部分，根据总数的奇偶性判断两部分的奇偶性组合。 3. 数列规律：判断数列中第几个数是奇数还是偶数。 五、常见易错点 1. 忽略0是偶数：误以为最小的偶数是2，实际上0也是偶数，且是最小的偶数； 2. 和差规律记混：把"奇+奇=偶"记成"奇+奇=奇"，可以通过举例验证； 3. 多个数相加判断错：误以为加数越多和越大，奇偶性就越复杂，实际只看奇数的个数； 4. 乘法规律误用：以为奇数乘奇数可能得到偶数，实际上奇数乘奇数一定是奇数； 5. 实际问题次数判断错：往返问题中，第1次到达对岸，奇数次在对岸，偶数次回到起点，容易数反。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：个位速判法 【解题思路】 判断一个数是奇数还是偶数，只需要看个位数字，不用看整个数的大小，一秒钟就能快速判断。 【操作步骤】 第一步：只看这个数的个位数字； 第二步：个位是0、2、4、6、8 → 偶数； 第三步：个位是1、3、5、7、9 → 奇数。 【易错提升】 ● 易错点：判断100、1000是不是偶数时犹豫。 　　→ 规避技巧：个位都是0，符合偶数特征，肯定是偶数，位数再多也只看个位。 方法点拨2：举例验证法 【解题思路】 记不清奇偶性运算规律时，举简单的小数字例子计算一下，就能快速得出正确结论，避免死记硬背出错。 【操作步骤】 第一步：选最简单的奇数（1、3）和偶数（2、4）； 第二步：按题目中的运算方式计算结果； 第三步：根据结果判断奇偶性，总结规律。 【易错提升】 ● 易错点：记不清"奇数减奇数"结果是奇还是偶。 　　→ 规避技巧：举例，2是偶数，所以奇-奇=偶。 方法点拨3：分组计数法 【解题思路】 多个数相加判断和的奇偶性时，不用全部相加，只数有多少个奇数，根据奇数的个数就能判断结果。 【操作步骤】 第一步：把所有加数分成奇数和偶数两类； 第二步：数出奇数一共有多少个； 第三步：奇数个奇数相加 → 和是奇数；偶数个奇数相加 → 和是偶数。 【易错提升】 ● 易错点：把偶数的个数也算进去，影响判断。 　　→ 规避技巧：偶数相加永远是偶数，不改变和的奇偶性，只看奇数个数就行。 方法点拨4：状态归纳法 【解题思路】 解决翻杯子、开关灯、往返等实际问题时，通过列举前几次的状态，找出"奇数次、偶数次"的规律，直接对应判断。 【操作步骤】 第一步：列举第1次、第2次、第3次后的状态； 第二步：总结规律：奇数次对应什么状态，偶数次对应什么状态； 第三步：看题目中的次数是奇数还是偶数，对应规律得出结论。 【易错提升】 ● 易错点：数次数时从0开始数，导致奇偶搞反。 　　→ 规避技巧：初始状态是第0次（没动的时候），第1次是第一次操作，奇数次状态改变。 【第三部分】考点讲练 考点一：奇数与偶数的概念与判断 考查重点：理解奇数偶数的定义，能正确判断一个数是奇数还是偶数，掌握特殊数的奇偶性。 【典例精讲】 题目：把下面各数填入相应的圈里。 12，27，35，40，58，63，79，84，91，100，0，1 奇数： 偶数： 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）最小的偶数是2。（　） （2）一个自然数不是奇数就是偶数。（　） （3）个位上是3、6、9的数都是奇数。（　） （4）0既不是奇数也不是偶数。（　） 考点二：和与差的奇偶性 考查重点：掌握两个数及多个数相加减时和与差的奇偶性规律，能快速判断结果的奇偶性。 【典例精讲】 题目：不计算，直接判断下面算式的结果是奇数还是偶数，填在括号里。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） （5）的和（　） 【变式训练】 题目：如果两个数的和是奇数，其中一个数是偶数，另一个数是奇数还是偶数？如果两个数的积是奇数，其中一个是奇数，另一个是什么数？ 考点三：积的奇偶性与多个数运算 考查重点：掌握乘法的奇偶性规律，能判断多个数相乘的积的奇偶性，能解决稍复杂的混合运算奇偶性问题。 【典例精讲】 题目：不计算，判断积是奇数还是偶数。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） 【变式训练】 题目：的结果是奇数还是偶数？ 考点四：奇偶性的实际应用 考查重点：能运用奇偶性规律解决生活中的实际问题，掌握状态变化类题目的规律。 【典例精讲】 题目：一盏灯是亮着的，按1次开关灯熄灭，按2次开关灯亮起。按15次开关后，灯是亮的还是灭的？按100次呢？ 【变式训练】 题目：把37个苹果分给两个小朋友，要求每个小朋友分得的苹果数都是奇数，能做到吗？为什么？ 【第四部分】专项提升练习 1．相邻的两个自然数相加，和一定是( )，两个连续的奇数相加，和一定是( )。（填“奇数或偶数”） 2．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 3．如果表示一个偶数，且是大于1的自然数，那么和它相邻的奇数分别是________和________。 4．偶数＋偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )，奇数＋偶数＝( )。（填“奇数”或“偶数”） 5．三个同学计算三个连续奇数的和，答案依次是：健健“130”，康康“132”，乐乐“135”。算对的同学是( )，这3个连续奇数中间的数是( )。 6．已知a是非0自然数，那么( )一定是偶数，( )一定是奇数。 7．春分有“竖蛋”的习俗，寓意祈求好运。妈妈买了一些鸡蛋，鸡蛋的数量是一个两位数，这个数既是5的倍数，又是偶数。妈妈最少买了( )个鸡蛋。 8．一个长方形的宽为a（a为非零自然数），长为a＋3，则这个长方形的周长为( )。（填“奇数”或“偶数”） 9．1＋3＋5…＋41的和是( )，1×3×5×…×41的积是( )。（括号里填“奇数”或“偶数”） 10．端午节佩戴香囊是一种古老习俗。现有三款香囊，其重量分别是三个连续的奇数，且它们的重量总和是51克，最轻香囊重( )克。 11．晚上，小华正开着灯看书，突然停电了，调皮的弟弟按了28下开关之后，来电时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 12．的和是( )（填“奇数”或“偶数”）；的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 13．周末梦梦一家三口到电影院观看影片，爸爸、妈妈和她的座位号是三个连续的奇数，这三个连续的奇数的和是39，这三个奇数分别是( )、( )、( )。 14．按要求选择合适的数填在圈内。 1    2    5    8    10    24    46    59    415    672    320    458    15 发现：（                    ）的数是2的倍数；（                    ）的数是5的倍数；（                    ）的数既是2的倍数，又是5的倍数。 15．奇数与偶数的和是( )，奇数与奇数的和是( )。 16．三个连续奇数的和是57。这三个奇数中最大数是( )。最小数是( )。 17．一列数，前两个是1，3，从第三个开始，每个数都是它前面两个数的和，即1，3，4，7，11，18，29，…，到第2018个数为止，共有( )个奇数。 18．1＋3＋5＋7＋9＋……＋99这道算式的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） 19．把60个桔子放到15个盘子里，每个盘子里只能放奇数个，这件事( )办到。（填“能”或“不能”） 20．有4张数字卡片，上面分别写着40、16、5、2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是偶数的一共有( )种不同的选法。 21．王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？ 22．爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？ 23．扬州是中国大运河的重要节点城市，拥有丰富的历史文化遗产。暑期研学活动中，49名小学生来到扬州古运河参观，导游将他们分成两队乘船观景，其中一队的人数是奇数。请问另一队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 24．有735名选手报名参加了这次马拉松比赛，比赛活动承办方打算将参赛选手分成4个小组，并且要求每个小组的人数都是奇数。你觉得能按要求分配吗？请说明理由。 25．老师出了一道题：1＋2＋3＋4＋5＋…＋20的和是偶数还是奇数？安安和辰辰的观点如下，你支持谁的观点？并说明支持的理由。 26．有100个自然数，它们的和是偶数。且在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，这些数中最多有多少个偶数？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $