第七单元 倍数与因数（质数与合数） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第七单元 倍数与因数（质数与合数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、质数与合数的定义 非0自然数按照因数的个数可以分为三类：质数、合数、1。 1. 质数（素数） 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 - 核心特征：因数个数恰好为2个，只有1和它本身两个约数。 2. 合数 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。 - 核心特征：因数个数≥3个，至少还有1个其他因数。 3. 特殊的1 1只有1个因数（就是它本身），因此1既不是质数，也不是合数。 二、重要的特殊数 1. 最小的质数是2，最小的合数是4；没有最大的质数，也没有最大的合数。 2. 2是唯一的偶质数：所有质数中，只有2是偶数，其余质数全部是奇数。 3. 一位数中的质数：2、3、5、7；一位数中的合数：4、6、8、9。 4. 质数与合数的个数都是无限的。 三、100以内的质数表 100以内共有25个质数，是本单元必须掌握的内容： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 - 记忆技巧：2、3、5、7是基础质数；两位数质数的个位多为1、3、7、9，再排除3、7的倍数即可快速筛选。 四、判断质数的常用方法 判断一个数是不是质数，常用试除法，按三步快速筛选： 1. 看个位：个位是0、2、4、6、8、5的数（2和5除外），一定是合数； 2. 验3的倍数：各位数字之和是3的倍数的数（3除外），一定是合数； 3. 试小质数：用7、11、13等从小到大的质数试除，直到除数的平方接近这个数，如果都不能整除，就是质数。 - 小学阶段判断100以内的数，试到7基本可以完成判断。 五、易混淆概念对比 自然数有两种分类方式： - 按是不是2的倍数分：奇数、偶数； - 按因数的个数分：质数、合数、1。 - 交叉关系：奇数不一定是质数（如9、15），偶数不一定是合数（如2）；质数不全是奇数，合数不全是偶数。 六、常见易错点 1. 1的归类错误：误以为1是质数，实际上1只有1个因数，既不是质数也不是合数； 2. 2的特殊性忽略：误以为所有质数都是奇数，忘记2是唯一的偶质数； 3. 概念交叉混淆：认为"奇数都是质数""偶数都是合数"，忽略9、15等奇合数和2这个偶质数； 4. 找因数漏项：找因数时漏掉1或数本身，导致因数个数算错，判断失误； 5. 最小概念记混：混淆最小的质数、最小的合数、最小的奇数、最小的偶数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：快速筛选判断法 【解题思路】 判断质数不用把所有因数都找出来，按"看个位→验3的倍数→试小质数"三步快速排除，效率更高。 【操作步骤】 第一步：看个位，排除个位是0、2、4、6、8、5的数（2、5除外），这些都是合数； 第二步：计算各位数字和，排除3的倍数（3除外），是3的倍数即为合数； 第三步：用7、11等质数试除，都不能整除则为质数。 【易错提升】 ● 易错点：看到个位是3、7就默认是质数。 　　→ 规避技巧：个位只是初步筛选，还要验证3、7的倍数，比如33个位是3，但它是3的倍数，属于合数。 方法点拨2：因数个数验证法 【解题思路】 对于较小的数，用乘法配对法找出全部因数，数因数的个数，只有2个就是质数，3个及以上就是合数，直观且准确。 【操作步骤】 第一步：用配对法从1开始，一对一对找出所有因数； 第二步：统计因数的总个数； 第三步：个数=2 → 质数；个数≥3 → 合数；个数=1 → 1。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或数本身，导致个数算少。 　　→ 规避技巧：任何非0自然数都有因数1和它本身，找完后检查首尾是否有1和原数。 方法点拨3：反例辨析法 【解题思路】 解决"质数都是奇数""偶数都是合数"这类辨析题，只要能找到一个反例，就可以判定说法错误。 【操作步骤】 第一步：理解题目说法的含义； 第二步：尝试寻找反例，比如找"是奇数但不是质数""是偶数但不是合数"的数； 第三步：找到反例则说法错误，找不到再进一步验证。 【易错提升】 ● 易错点：认为"所有质数都是奇数"是正确的。 　　→ 规避技巧：记住特殊反例2，2是质数但属于偶数，因此该说法不成立。 方法点拨4：特殊质数突破法 【解题思路】 解决质数的和差问题时，以"2是唯一的偶质数"为突破口，根据和的奇偶性快速判断是否包含2。 【操作步骤】 第一步：看两个质数的和是奇数还是偶数； 第二步：和为奇数 → 必有一个质数是2（奇数+偶数=奇数）； 第三步：用和减去2得到另一个质数，再验证是否符合条件。 【易错提升】 ● 易错点：两个质数和为奇数，硬找两个奇数相加，始终算不对。 　　→ 规避技巧：和为奇数说明一奇一偶，质数里只有2是偶数，因此一定包含2。 【第三部分】考点讲练 考点一：质数与合数的概念辨析 考查重点：理解质数和合数的定义，掌握1的特殊性，能辨析常见的错误说法。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）所有的质数都是奇数。（　） （2）所有的合数都是偶数。（　） （3）1既不是质数，也不是合数。（　） （4）最小的质数是3，最小的合数是4。（　） （5）一个自然数不是质数就是合数。（　） 【变式训练】 题目：选择题。 （1）下面各数中，（　）既不是质数也不是合数。 A. 0　B. 1　C. 2　D. 3 （2）下面说法正确的是（　）。 A. 奇数都是质数　B. 偶数都是合数　C. 质数只有2个因数　D. 合数都有3个因数 考点二：质数的判断与100以内质数 考查重点：掌握判断质数的方法，能正确找出指定范围内的质数，熟悉100以内的质数。 【典例精讲】 题目：把下面各数填入相应的圈里。 2，9，13，15，17，21，27，29，33，37，41，49 质数： 合数： 【变式训练】 题目：填空。 （1）20以内的质数一共有（　）个，分别是（　）。 （2）最小的质数是（　），最小的合数是（　）。 考点三：利用特殊质数2解决和差积问题 考查重点：掌握"2是唯一偶质数"的性质，能解决质数的和差、乘积类综合题。 【典例精讲】 题目：两个不同质数的和是15，这两个质数分别是多少？它们的积是多少？ 【变式训练】 题目：两个质数的积是35，这两个质数分别是多少？它们的和是多少？ 考点四：质数与合数的综合应用 考查重点：能综合运用质数合数知识，解决猜数、组数、多个质数求和等稍复杂的问题。 【典例精讲】 题目：一个两位数的质数，它的十位和个位上的数字都是质数，且十位数字比个位数字大。这个两位数可能是多少？ 【变式训练】 题目：三个不同质数的和是18，这三个质数的积最大是多少？ 【第四部分】专项提升练习 1．把下面的数填入相应的圈里。 1 11 36 31 27 103 94 40 114 89 2．A是最小的合数，B是一个质数，A与B的和是偶数，则A是( )，B是( )。 3．“豆包”是由字节跳动开发的AI智能助手，它能答疑解惑。若对它说：“两个质数的和为12，且”则豆包给出的答案是：( )，( )。 4．为鼓励居民参与垃圾分类，阳光社区在2026年启用了“绿色积分卡”。每张卡片上分别写有一个大于1且小于20的自然数。这些数中是质数的有( )，是合数的有( )。 5．在1～15的自然数中，质数有( )个，合数有( )个，( )既不是质数又不是合数。 6．四（一）班同学分组参加社会实践活动，每组6人或每组7人，都剩下2人，全班至少有( )人。把这个班级总人数分解质因数是( )。 7．琪琪和妙妙玩摸数字卡片的游戏，琪琪摸出的卡片上的两个数都是质数，她说这两个数的和是9，积是14，则琪琪摸出的卡片上的两个数分别是( )和( )。 8．在1、3、4、11、24、39、50中，是质数的数是( )，是合数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )，是奇数的数是( )。 9．2025年我国自主研发的量子计算机在一次复杂运算任务中，有一个关键运算步骤。运算结果用数字A表示，A是最小的合数与最小的自然数的和。那么A是( )数（填“奇”或“偶”）。 10．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 20   29   45   53   91   102   117 11．把下面各数分解质因数。 28        60       98      76 12．把下面各数用短除法分解质因数。 48            36         64         80 13．将下列各数分解质因数。 35               42 14．把下列各数分解质因数。 24   35   66 15．当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 16．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 17．水粉画是使用水调和粉质颜料绘制而成的一种画。李老师画了一幅长方形水粉画，用一个周长为36dm的画框装裱起来，且画框的长和宽均为质数。这幅水粉画的面积是多少平方分米？ 18．一个直角三角形，两条直角边的长度和是30厘米，且两条直角边的长度值是两个大于10的质数，这个直角三角形的面积最大是多少平方厘米？ 19．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 20．李叔叔的密码锁由三位数字组成，李叔叔设计的密码的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，三个数字相乘的积是90，这个密码是什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数（质数与合数） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、质数与合数的定义 非0自然数按照因数的个数可以分为三类：质数、合数、1。 1. 质数（素数） 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 - 核心特征：因数个数恰好为2个，只有1和它本身两个约数。 2. 合数 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。 - 核心特征：因数个数≥3个，至少还有1个其他因数。 3. 特殊的1 1只有1个因数（就是它本身），因此1既不是质数，也不是合数。 二、重要的特殊数 1. 最小的质数是2，最小的合数是4；没有最大的质数，也没有最大的合数。 2. 2是唯一的偶质数：所有质数中，只有2是偶数，其余质数全部是奇数。 3. 一位数中的质数：2、3、5、7；一位数中的合数：4、6、8、9。 4. 质数与合数的个数都是无限的。 三、100以内的质数表 100以内共有25个质数，是本单元必须掌握的内容： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 - 记忆技巧：2、3、5、7是基础质数；两位数质数的个位多为1、3、7、9，再排除3、7的倍数即可快速筛选。 四、判断质数的常用方法 判断一个数是不是质数，常用试除法，按三步快速筛选： 1. 看个位：个位是0、2、4、6、8、5的数（2和5除外），一定是合数； 2. 验3的倍数：各位数字之和是3的倍数的数（3除外），一定是合数； 3. 试小质数：用7、11、13等从小到大的质数试除，直到除数的平方接近这个数，如果都不能整除，就是质数。 - 小学阶段判断100以内的数，试到7基本可以完成判断。 五、易混淆概念对比 自然数有两种分类方式： - 按是不是2的倍数分：奇数、偶数； - 按因数的个数分：质数、合数、1。 - 交叉关系：奇数不一定是质数（如9、15），偶数不一定是合数（如2）；质数不全是奇数，合数不全是偶数。 六、常见易错点 1. 1的归类错误：误以为1是质数，实际上1只有1个因数，既不是质数也不是合数； 2. 2的特殊性忽略：误以为所有质数都是奇数，忘记2是唯一的偶质数； 3. 概念交叉混淆：认为"奇数都是质数""偶数都是合数"，忽略9、15等奇合数和2这个偶质数； 4. 找因数漏项：找因数时漏掉1或数本身，导致因数个数算错，判断失误； 5. 最小概念记混：混淆最小的质数、最小的合数、最小的奇数、最小的偶数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：快速筛选判断法 【解题思路】 判断质数不用把所有因数都找出来，按"看个位→验3的倍数→试小质数"三步快速排除，效率更高。 【操作步骤】 第一步：看个位，排除个位是0、2、4、6、8、5的数（2、5除外），这些都是合数； 第二步：计算各位数字和，排除3的倍数（3除外），是3的倍数即为合数； 第三步：用7、11等质数试除，都不能整除则为质数。 【易错提升】 ● 易错点：看到个位是3、7就默认是质数。 　　→ 规避技巧：个位只是初步筛选，还要验证3、7的倍数，比如33个位是3，但它是3的倍数，属于合数。 方法点拨2：因数个数验证法 【解题思路】 对于较小的数，用乘法配对法找出全部因数，数因数的个数，只有2个就是质数，3个及以上就是合数，直观且准确。 【操作步骤】 第一步：用配对法从1开始，一对一对找出所有因数； 第二步：统计因数的总个数； 第三步：个数=2 → 质数；个数≥3 → 合数；个数=1 → 1。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或数本身，导致个数算少。 　　→ 规避技巧：任何非0自然数都有因数1和它本身，找完后检查首尾是否有1和原数。 方法点拨3：反例辨析法 【解题思路】 解决"质数都是奇数""偶数都是合数"这类辨析题，只要能找到一个反例，就可以判定说法错误。 【操作步骤】 第一步：理解题目说法的含义； 第二步：尝试寻找反例，比如找"是奇数但不是质数""是偶数但不是合数"的数； 第三步：找到反例则说法错误，找不到再进一步验证。 【易错提升】 ● 易错点：认为"所有质数都是奇数"是正确的。 　　→ 规避技巧：记住特殊反例2，2是质数但属于偶数，因此该说法不成立。 方法点拨4：特殊质数突破法 【解题思路】 解决质数的和差问题时，以"2是唯一的偶质数"为突破口，根据和的奇偶性快速判断是否包含2。 【操作步骤】 第一步：看两个质数的和是奇数还是偶数； 第二步：和为奇数 → 必有一个质数是2（奇数+偶数=奇数）； 第三步：用和减去2得到另一个质数，再验证是否符合条件。 【易错提升】 ● 易错点：两个质数和为奇数，硬找两个奇数相加，始终算不对。 　　→ 规避技巧：和为奇数说明一奇一偶，质数里只有2是偶数，因此一定包含2。 【第三部分】考点讲练 考点一：质数与合数的概念辨析 考查重点：理解质数和合数的定义，掌握1的特殊性，能辨析常见的错误说法。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）所有的质数都是奇数。（　） （2）所有的合数都是偶数。（　） （3）1既不是质数，也不是合数。（　） （4）最小的质数是3，最小的合数是4。（　） （5）一个自然数不是质数就是合数。（　） 【分析】 根据质数、合数的定义和特殊数的性质逐一判断，重点关注2和1两个特殊数。 【详解】 （1）×。2是质数，但2是偶数，因此并非所有质数都是奇数。 （2）×。例如9、15是合数，但它们是奇数，不是所有合数都是偶数。 （3）√。1只有1个因数，不符合质数和合数的定义，既不是质数也不是合数。 （4）×。最小的质数是2，不是3。 （5）×。自然数按因数个数分为质数、合数、1三类，1既不属于质数也不属于合数。 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）× 【变式训练】 题目：选择题。 （1）下面各数中，（　）既不是质数也不是合数。 A. 0　B. 1　C. 2　D. 3 （2）下面说法正确的是（　）。 A. 奇数都是质数　B. 偶数都是合数　C. 质数只有2个因数　D. 合数都有3个因数 【分析】 （1）1既不是质数也不是合数，0不在因数与倍数的研究范围内； （2）根据定义逐一判断：质数的定义就是只有1和它本身两个因数。 【详解】 （1）1既不是质数也不是合数，答案选B。 （2）选项C符合质数的定义；A错误，如9是奇数但不是质数；B错误，2是偶数但不是合数；D错误，合数至少有3个因数，不是都只有3个。 答案选C。 【答案】（1）B；（2）C 考点二：质数的判断与100以内质数 考查重点：掌握判断质数的方法，能正确找出指定范围内的质数，熟悉100以内的质数。 【典例精讲】 题目：把下面各数填入相应的圈里。 2，9，13，15，17，21，27，29，33，37，41，49 质数： 合数： 【分析】 逐个判断每个数的因数个数，用快速筛选法：先看个位，再验证3的倍数，最后试除小质数。 【详解】 质数（只有1和它本身两个因数）：2，13，17，29，37，41 合数（除1和本身外还有其他因数）： ，，，，， 【答案】 质数：2、13、17、29、37、41； 合数：9、15、21、27、33、49 【变式训练】 题目：填空。 （1）20以内的质数一共有（　）个，分别是（　）。 （2）最小的质数是（　），最小的合数是（　）。 【分析】 按从小到大的顺序列举20以内的数，根据定义筛选质数；再对应写出最小的质数和合数。 【详解】 （1）20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。 （2）最小的质数是2，最小的合数是4。 【答案】（1）8；2、3、5、7、11、13、17、19；（2）2；4 考点三：利用特殊质数2解决和差积问题 考查重点：掌握"2是唯一偶质数"的性质，能解决质数的和差、乘积类综合题。 【典例精讲】 题目：两个不同质数的和是15，这两个质数分别是多少？它们的积是多少？ 【分析】 两个数的和是15（奇数），根据奇偶性规律：奇数=奇数+偶数。质数中只有2是偶数，因此其中一个质数一定是2，另一个用和减去2即可得到，再验证是否为质数。 【详解】 两个质数的和是奇数，说明一个是奇数、一个是偶数； 质数中只有2是偶数，因此其中一个质数是2； 另一个质数：，13是质数，符合条件。 两个质数分别是2和13； 它们的积： 答：这两个质数是2和13，积是26。 【答案】2和13；积是26 【变式训练】 题目：两个质数的积是35，这两个质数分别是多少？它们的和是多少？ 【分析】 两个质数相乘得35，把35分解成两个质数相乘的形式，从最小质数开始试除即可。 【详解】 ，5和7都是质数，符合条件。 两个质数分别是5和7； 它们的和： 答：这两个质数是5和7，和是12。 【答案】5和7；和是12 考点四：质数与合数的综合应用 考查重点：能综合运用质数合数知识，解决猜数、组数、多个质数求和等稍复杂的问题。 【典例精讲】 题目：一个两位数的质数，它的十位和个位上的数字都是质数，且十位数字比个位数字大。这个两位数可能是多少？ 【分析】 先找出一位数中的质数，再按"十位＞个位"的条件组合，最后判断组成的两位数是不是质数。 【详解】 一位数中的质数：2、3、5、7 十位数字比个位数字大，按十位从大到小组合： - 十位是7：个位可以是2、3、5 → 72（合数）、73（质数）、75（合数） - 十位是5：个位可以是2、3 → 52（合数）、53（质数） - 十位是3：个位可以是2 → 32（合数） 符合条件的两位数质数是：53、73 答：这个两位数可能是53或73。 【答案】53、73 【变式训练】 题目：三个不同质数的和是18，这三个质数的积最大是多少？ 【分析】 三个数的和是偶数（18），三个奇数相加和为奇数，因此三个质数中必有一个偶数，也就是唯一的偶质数2。剩下两个质数的和为，要让乘积最大，两个数应尽量接近。 【详解】 三个质数和为偶数，必有一个质数是2； 剩下两个质数的和： 16可以拆成：、 乘积分别为：，，55更大。 三个质数的积： 答：这三个质数的积最大是110。 【答案】110 【第四部分】专项提升练习 1．把下面的数填入相应的圈里。 1 11 36 31 27 103 94 40 114 89 【答案】 【分析】奇数：不能被2整除；偶数：能被2整除。质数：只有1和它本身两个因数；合数：除了1和它本身，还有别的因数。据此判断。 【详解】1是奇数；只有1个因数，既不是质数也不是合数 11：不能被2整除，是奇数；因数只有1、11，是质数 36：能被2整除，是偶数；因数除1、36还有2、3、4……，是合数 31：不能被2整除，是奇数；因数只有1、31，是质数 27：不能被2整除，是奇数；因数除1、27还有3、9，是合数 103：不能被2整除，是奇数；因数只有1、103，是质数 94：能被2整除，是偶数；因数除1、94还有2、47，是合数 40：能被2整除，是偶数；因数除1、40还有2、4、5……，是合数 114：能被2整除，是偶数；因数除1、114还有2、3、6……，是合数 89：不能被2整除，是奇数；因数只有1、89，是质数。 如图： 2．A是最小的合数，B是一个质数，A与B的和是偶数，则A是( )，B是( )。 【答案】 4 2 【分析】除了1和它本身还有其他因数的数是合数（如4、6、8、…）；只有1和它本身两个因数的数是质数（如：2、3、5、7、…）。最小的合数是4，4是偶数，偶数＋偶数=偶数，所以B也一定是个偶数，既是质数又是偶数的数只有2，据此分析。 【详解】A是最小的合数，B是一个质数，A与B的和是偶数，则A是4，B是2。 3．“豆包”是由字节跳动开发的AI智能助手，它能答疑解惑。若对它说：“两个质数的和为12，且”则豆包给出的答案是：( )，( )。 【答案】 【分析】先明确质数的定义：大于1的自然数中，除了1和它本身之外没有其他因数的数。列出所有小于12的质数：2、3、5、7、11。从这些质数里，找出两个数相加等于12，同时满足的组合，只有。因此可以确定，。 【详解】小于12的所有质数：2、3、5、7、11， （5和7均为质数，且，符合条件） 最终得到：，。 4．为鼓励居民参与垃圾分类，阳光社区在2026年启用了“绿色积分卡”。每张卡片上分别写有一个大于1且小于20的自然数。这些数中是质数的有( )，是合数的有( )。 【答案】 2，3，5，7，11，13，17，19 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18 【分析】只有和它本身两个因数的数，叫做质数；除了和它本身，还有其他因数的数，叫做合数，据此在大于1、小于20 的自然数里找出对应的质数、合数。 【详解】在大于1、小于20 的这些自然数中是质数的有2，3，5，7，11，13，17，19，是合数的有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 5．在1～15的自然数中，质数有( )个，合数有( )个，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 【分析】根据质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此解答。 【详解】的自然数中质数有：2、3、5、7、11、13共6个； 的自然数中合数有：4、6、8、9、10、12、14、15共8个； 既不是质数也不是合数。 6．四（一）班同学分组参加社会实践活动，每组6人或每组7人，都剩下2人，全班至少有( )人。把这个班级总人数分解质因数是( )。 【答案】 44 【分析】根据题意，每组6人或每组7人，都剩2人；说明四（一）班的总人数比6、7的公倍数还多2；求全班至少有多少人，求出6和7的最小公倍数，再加上2，即是全班至少的总人数。 【详解】6和7互为质数，最小公倍数是：6×7＝42 42＋2＝44 分解质因数： 所以四（一）班同学分组参加社会实践活动，每组6人或每组7人，都剩下2人，全班至少有44人。把这个班级总人数分解质因数是。 7．琪琪和妙妙玩摸数字卡片的游戏，琪琪摸出的卡片上的两个数都是质数，她说这两个数的和是9，积是14，则琪琪摸出的卡片上的两个数分别是( )和( )。 【答案】 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。根据两个质数的和与积，通过列举质数并结合条件来找出这两个质数。 【详解】小于9的质数有：2、3、5、7。 在这些质数中和为9且积为14的两个数为2和7，所以这两个质数分别是2和7。 8．在1、3、4、11、24、39、50中，是质数的数是( )，是合数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )，是奇数的数是( )。 【答案】 3，11 4，24，39，50 1 1，3，11，39 【分析】质数：大于1，只有1和它本身两个因数。合数：大于1，除了1和它本身还有别的因数。1：既不是质数，也不是合数。奇数：不能被2整除的整数。据此解答。 【详解】1：只有1个因数，既不是质数也不是合数，是奇数； 3：因数：1、3，是质数，奇数； 4：因数：1、2、4，是合数； 11：因数：1、11，是质数，奇数； 24：因数有1、2、3、4……，是合数； 39：因数：1、3、13、39，是合数，奇数； 50：因数有1、2、5……，是合数； 所以在1、3、4、11、24、39、50中，是质数的数是3，11，是合数的数是4，24，39，50，既不是质数也不是合数的数是1，是奇数的数是1，3，11，39。 9．2025年我国自主研发的量子计算机在一次复杂运算任务中，有一个关键运算步骤。运算结果用数字A表示，A是最小的合数与最小的自然数的和。那么A是( )数（填“奇”或“偶”）。 【答案】偶 【分析】除了1和它本身还有其他因数的自然数是合数，最小的合数是4，最小的自然数是0，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 【详解】A＝4＋0＝4 4能被2整除，符合偶数的定义，所以A是偶数。 10．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 20   29   45   53   91   102   117 【答案】见详解 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【详解】 20＝2×2×5 45＝3×3×5 91＝7×13 102＝2×3×17 117＝3×3×13 11．把下面各数分解质因数。 28        60       98      76 【答案】28＝2×2×7；60＝2×2×3×5；98＝2×7×7；76＝2×2×19 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般用短除法，先从简单的质数试着分解。 【详解】                                                                 28＝2×2×7        60＝2×2×3×5       98＝2×7×7       76＝2×2×19 12．把下面各数用短除法分解质因数。 48            36         64         80 【答案】见详解 【分析】把一个合数分解质因数，就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【详解】48＝2×2×2×2×3    36＝2×2×3×3   64＝2×2×2×2×2×2    80＝2×2×2×2×5                                        13．将下列各数分解质因数。 35               42 【答案】35＝5×7 42＝2×3×7 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行解答。 【详解】由以上分析可知： 35＝5×7 42＝6×7＝2×3×7 14．把下列各数分解质因数。 24   35   66 【答案】24＝2×2×2×3；35＝5×7； 66＝2×3×11 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】24＝2×2×2×3               35＝5×7            66＝2×3×11                                         15．当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 【答案】24岁 【分析】先按爷爷与小明的年龄倍数关系，把年龄和分成4份，求出两人的年龄差。首先明确最小质数是2，即小明2岁时，用不变的年龄差求出爷爷年龄；再根据“爷爷年龄是爸爸年龄的2倍”用除法求出爸爸年龄，最后求父子年龄差。 【详解】3＋1＝4（份） 100÷4＝25（岁） 25×3＝75（岁） 75－25＝50（岁） 2＋50＝52（岁） 52÷2＝26（岁） 26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 16．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】32.5平方厘米或38.5平方厘米 【分析】先找出相加等于18的两组不同质数，再根据直角三角形面积公式：面积＝直角边×直角边÷2求出面积。 【详解】小于18的质数有2、3、5、7、11、13、17， 其中和为18的不同质数组合为： 5＋13＝18 7＋11＝18 5×13÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方厘米） 7×11÷2 ＝77÷2 ＝38.5（平方厘米） 答：这个三角形的面积可能是32.5平方厘米或38.5平方厘米。 17．水粉画是使用水调和粉质颜料绘制而成的一种画。李老师画了一幅长方形水粉画，用一个周长为36dm的画框装裱起来，且画框的长和宽均为质数。这幅水粉画的面积是多少平方分米？ 【答案】65dm2或77dm2 【分析】根据题意，长方形的周长是36分米，依据长方形的周长公式，求出长与宽的和，再找出长和宽都是质数的组合，从而根据长方形的面积公式，列式计算即可。 【详解】 答：这幅水彩画的面积是65dm2或77dm2。 18．一个直角三角形，两条直角边的长度和是30厘米，且两条直角边的长度值是两个大于10的质数，这个直角三角形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】110.5平方厘米 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。大于10且和为30的质数对有：11和19，11＋19＝30；13和17，13＋17＝30。 对于11和19：根据直角三角形面积公式S＝ab÷2（a、b为两条直角边），可得面积为11×19÷2＝104.5平方厘米。对于13和17：面积为：13×17÷2＝110.5平方厘米。然后比较面积大小即可。 【详解】大于10且和为30的质数对是：11和19，13和17。 11＋19＝30 13＋17＝30 11×19÷2＝104.5（平方厘米） 13×17÷2＝110.5（平方厘米） 110.5＞104.5 答：这个直角三角形的面积最大是110.5平方厘米。 19．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 【答案】乐乐数对了 【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。 【详解】68＝2×2×17 70＝2×5×7 77＝7×11 72＝2×2×2×3×3 这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。 答：乐乐数对了。 20．李叔叔的密码锁由三位数字组成，李叔叔设计的密码的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，三个数字相乘的积是90，这个密码是什么？ 【答案】295 【分析】质数：因数只有1和它的本身的数叫作因数，最小的质数是2；最大的一位数是9；根据三个数字的乘积是90，则第三个数字＝乘积÷第一个数÷另外一个数。 【详解】最小的质数是2，最大的一位数是9 90÷2÷9 ＝45÷9 ＝5 答：这个密码是295。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $