第二单元 三角形的再认识（三角形三边的关系）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第二单元 三角形的再认识（三角形三边的关系）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形三边关系的核心定理 1. 定理内容 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的根本依据。 - 正向结论：只要是三角形，就一定满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； - 反向结论：三条线段中，只要有一组两边之和小于或等于第三边，就一定不能围成三角形。 2. 验证方法 - 摆小棒法：用不同长度的小棒尝试首尾相接，能闭合围成封闭图形的就符合三边关系； - 尺规作图法：以线段两端为圆心画弧，两弧能相交就能围成三角形，不能相交则围不成； - 测量计算法：量出三边长度，计算任意两边之和，与第三边比较验证。 3. 快速判断技巧 判断三条线段能否围成三角形，只需比较两条较短边的和与最长边： - 若两条短边之和 大于 最长边 → 可以围成三角形； - 若两条短边之和 小于或等于 最长边 → 不能围成三角形。 原理：最短的两条边加起来都比最长边大，那么其余任意两边之和一定都大于第三边，无需再逐一验证。 二、第三边的取值范围 已知三角形的两条边长度分别为a和b（a≥b），则第三条边c的长度必须满足： - 第三边必须大于两边之差，小于两边之和； - 若要求取整厘米数：第三边最长为"两数之和减1"，最短为"两数之差加1"。 三、常见四大题型 1. 判断型：给出三条线段长度，判断能否围成三角形； 2. 范围型：已知两边长度，求第三边的取值范围或整数取值； 3. 列举型：给定周长或小棒长度，列举所有能围成的三角形； 4. 等腰特殊型：已知等腰三角形两条边，求周长或第三边，需分情况讨论并验证三边关系。 四、解题通用步骤 1. 排序：把三条边按长度从小到大排序，确定短边和长边； 2. 验证：用两条短边之和与最长边比较，判断能否围成三角形； 3. 计算：求范围时用"两边之差<第三边<两边之和"； 4. 检验：等腰三角形分情况讨论后，必须逐一验证是否符合三边关系，舍去不能围成的情况。 五、常见易错点 1. 等于第三边判断错：误以为两边之和等于第三边也能围成三角形，实际上等于时三条线段重合，只能形成一条直线，不能围成三角形； 2. 范围端点搞混：第三边取值范围包含等号，正确应为开区间，大于两边之差、小于两边之和； 3. 等腰题漏验证：等腰三角形已知两边求周长，算出两种结果后不验证三边关系，保留了无法围成的错误答案； 4. 单位不统一：三条边单位不同时直接计算，未先统一单位； 5. 枚举漏情况：列举符合条件的三角形时，遗漏部分组合或重复计数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：快速判断法 【解题思路】 判断三条线段能否围成三角形，不用三组都比，只看最短两边之和是否大于最长边，一步得出结论，高效准确。 【操作步骤】 第一步：把三条边的长度按从小到大排序； 第二步：计算前两条短边的和； 第三步：和与最长边比较：和＞最长边→能围成；和≤最长边→不能围成。 【易错提升】 ● 易错点：认为3cm、4cm、7cm能围成三角形。 　　→ 规避技巧：3+4=7，等于最长边，不能围成；必须是"大于"，等于和小于都不行。 方法点拨2：范围确定法 【解题思路】 已知两边求第三边范围，直接套用"两边之差＜第三边＜两边之和"，整数取值时最长和最短分别对应和减1、差加1。 【操作步骤】 第一步：确定已知两条边的长度，算出和与差； 第二步：写出范围：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和； 第三步：取整数时，最长 = 和 - 1，最短 = 差 + 1。 【易错提升】 ● 易错点：认为第三边最长就是两边之和。 　　→ 规避技巧：第三边必须小于两边之和，等于时不能围成三角形，所以整数最长要减1。 方法点拨3：分情况验证法 【解题思路】 等腰三角形已知两条边求周长或第三边时，分"已知边为腰"和"已知边为底"两种情况讨论，每种情况都验证三边关系，舍去不成立的。 【操作步骤】 第一步：第一种情况：较长边为腰，较短边为底，算出第三边，验证三边关系； 第二步：第二种情况：较短边为腰，较长边为底，算出第三边，验证三边关系； 第三步：保留符合条件的情况，计算周长或给出答案。 【易错提升】 ● 易错点：等腰三角形两边为4cm和9cm，误算成周长17cm。 　　→ 规避技巧：若4为腰，则4+4=8＜9，不能围成三角形；只能9为腰，周长9+9+4=22cm。 方法点拨4：有序枚举法 【解题思路】 列举所有符合条件的三角形时，按边长从短到长有序列举，确保不重复、不遗漏，每组都验证三边关系。 【操作步骤】 第一步：确定最短边的可能取值； 第二步：固定最短边，依次增加第二边的长度，对应求出第三边的范围； 第三步：每组都验证三边关系，记录符合条件的组合，统计总数。 【易错提升】 ● 易错点：枚举时顺序混乱，出现重复或遗漏。 　　→ 规避技巧：按"最短边→中边→最长边"的顺序递增列举，保证有序不重不漏。 【第三部分】考点讲练 考点一：判断三条线段能否围成三角形 考查重点：掌握三角形三边关系，能用快速判断法准确判断三条线段能否围成三角形。 【典例精讲】 题目：下面各组小棒，能围成三角形的在括号里画"√"，不能的画"×"。（单位：厘米） （1）3、4、5 （ ） （2）2、2、5 （ ） （3）6、6、6 （ ） （4）4、5、9 （ ） 【变式训练】 题目：下面长度的三条线段，不能围成三角形的是（ ）。 A. 5cm、6cm、7cm B. 3cm、8cm、10cm C. 2cm、4cm、6cm D. 7cm、7cm、3cm 考点二：确定第三边的取值范围 考查重点：掌握第三边的取值范围，能求出第三边的长度范围或整数值。 【典例精讲】 题目：一个三角形的两条边分别长5厘米和8厘米。 （1）第三条边的长度范围是多少？ （2）如果第三条边取整厘米数，最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【变式训练】 题目：一个三角形的两条边都是6分米，第三条边不可能是（ ）分米。 A. 6 B. 10 C. 11 D. 12 考点三：等腰三角形的三边关系与周长 考查重点：掌握等腰三角形分情况讨论的方法，能结合三边关系求周长或边长，排除不成立的情况。 【典例精讲】 题目：一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是多少厘米？ 【变式训练】 题目：一个等腰三角形的周长是20厘米，其中一条边长4厘米，它的另外两条边分别是多少厘米？ 考点四：三边关系的实际应用与列举 考查重点：能运用三边关系解决生活实际问题，能有序列举符合条件的三角形。 【典例精讲】 题目：从长度分别为2cm、3cm、5cm、7cm的四根小棒中，任选三根摆三角形，能摆出几种不同的三角形？ 【变式训练】 题目：小明要做一个三角形支架，现有两根木条，长度分别是8分米和12分米。第三根木条的长度为整分米数，最长可以是多少分米？最短可以是多少分米？ 【第四部分】专项提升练习 1．一个三角形两条边分别是4厘米和6厘米，第三条边最短是( )厘米（取整厘米数）。 2．李叔叔想制作一个等腰三角形框架，他找到两根木条（如图）。如果只能把其中一根锯成两段，那么李叔叔应该锯断( )木条（填“A”或“B”），理由是( )。 3．有两根小棒，长度分别为5厘米和8厘米，再拿一根小棒与这两根小棒围成一个三角形，再拿的这根小棒最长( )厘米，最短( )厘米。（取整数厘米） 4．有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 5．为了落实国家“双减”政策，丰富同学们的校内生活，学校开设多种社团，芳芳参加了“创意搭建”社团，今天她想用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形相框，其中两根小棒的长度分别是12cm和8cm，第三根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 6．一个三角形三边长度都是整厘米数，其中两条边长分别是5厘米和12厘米，那么第三条边最长______厘米，这个三角形周长最短是______厘米。 7．四根小棒的长度分别是20cm，10cm，10cm、8cm，选择其中的三根首尾相接围成一个三角形，它的周长是( )cm。 8．一个三角形其中两条边分别长5cm、10cm，这个三角形的第三条边可能是( )cm。（答案取整数） 9．王老师用三根木条（长度都是整厘米数）制作了一个三角形教具，这个三角形教具的第一条边长12cm，第二条边长18cm，第三条边的长度最长为( )cm，最短为( )cm。 10．有4根分别长3厘米、5厘米、2厘米、6厘米的小棒，从中取出3根，首尾相连围成一个三角形，这个三角形的周长是( )厘米或( )厘米。 11．如图所示，小思从学校出发到研学基地走( )号路线近一些，因为( )。 12．安安同学准备搭一个三角形框架，目前他有2根木条，长度分别是18厘米和24厘米。现在需要再找一根木条，这根木条的长度最短是( )厘米。（木条长度为整厘米数） 13．从下面4根长度不同的小棒里任选3根围成三角形，写出其中一组符合条件的三边长度：( )厘米、( )厘米、( )厘米。（写出一组即可） 14．一个三角形的两条边的长度分别是5厘米和8厘米，这个三角形的周长最长是多少厘米？（边长均为整厘米数） 15．学三角形的认识时，大家都买了袋装小棒做学具。洋洋在自己的学具中取出6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 16．游乐园有一块三角形花坛。奇奇用软尺测量了花坛三条边的长度，并记录在本子上（如图）。妙妙看了一眼记录说：“你的测量有误。”为什么妙妙没有测量就知道奇奇的测量有误呢？用文字或列算式的方式写出你的思考过程。（单位：米） 17．小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 18．田田和贝贝想用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根10厘米和一根17厘米的木条。田田说：“第三根木条可以是7厘米。”贝贝却认为：“第三根木条可以是9厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 19．学校的学生餐厅、宿舍楼和教学楼的位置如图所示，教学楼到学生餐厅的距离L可能是多少米？（先写出范围，再回答） 20．一个三角形的三条边的长度都是整厘米，已知第一条边长是7厘米，第二条边长是9厘米，则第三条边长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 21．已知一根铁丝围成一个等腰三角形，三角形的两条边分别是7厘米和5厘米，这根铁丝一共是多少厘米？ 22．为了参加风筝节，小明做了一个等腰三角形的风筝，已知其中两条边的长度分别是50厘米和24厘米，那么这个风筝的周长的是多少厘米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识（三角形三边的关系）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形三边关系的核心定理 1. 定理内容 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的根本依据。 - 正向结论：只要是三角形，就一定满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； - 反向结论：三条线段中，只要有一组两边之和小于或等于第三边，就一定不能围成三角形。 2. 验证方法 - 摆小棒法：用不同长度的小棒尝试首尾相接，能闭合围成封闭图形的就符合三边关系； - 尺规作图法：以线段两端为圆心画弧，两弧能相交就能围成三角形，不能相交则围不成； - 测量计算法：量出三边长度，计算任意两边之和，与第三边比较验证。 3. 快速判断技巧 判断三条线段能否围成三角形，只需比较两条较短边的和与最长边： - 若两条短边之和 大于 最长边 → 可以围成三角形； - 若两条短边之和 小于或等于 最长边 → 不能围成三角形。 原理：最短的两条边加起来都比最长边大，那么其余任意两边之和一定都大于第三边，无需再逐一验证。 二、第三边的取值范围 已知三角形的两条边长度分别为a和b（a≥b），则第三条边c的长度必须满足： - 第三边必须大于两边之差，小于两边之和； - 若要求取整厘米数：第三边最长为"两数之和减1"，最短为"两数之差加1"。 三、常见四大题型 1. 判断型：给出三条线段长度，判断能否围成三角形； 2. 范围型：已知两边长度，求第三边的取值范围或整数取值； 3. 列举型：给定周长或小棒长度，列举所有能围成的三角形； 4. 等腰特殊型：已知等腰三角形两条边，求周长或第三边，需分情况讨论并验证三边关系。 四、解题通用步骤 1. 排序：把三条边按长度从小到大排序，确定短边和长边； 2. 验证：用两条短边之和与最长边比较，判断能否围成三角形； 3. 计算：求范围时用"两边之差<第三边<两边之和"； 4. 检验：等腰三角形分情况讨论后，必须逐一验证是否符合三边关系，舍去不能围成的情况。 五、常见易错点 1. 等于第三边判断错：误以为两边之和等于第三边也能围成三角形，实际上等于时三条线段重合，只能形成一条直线，不能围成三角形； 2. 范围端点搞混：第三边取值范围包含等号，正确应为开区间，大于两边之差、小于两边之和； 3. 等腰题漏验证：等腰三角形已知两边求周长，算出两种结果后不验证三边关系，保留了无法围成的错误答案； 4. 单位不统一：三条边单位不同时直接计算，未先统一单位； 5. 枚举漏情况：列举符合条件的三角形时，遗漏部分组合或重复计数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：快速判断法 【解题思路】 判断三条线段能否围成三角形，不用三组都比，只看最短两边之和是否大于最长边，一步得出结论，高效准确。 【操作步骤】 第一步：把三条边的长度按从小到大排序； 第二步：计算前两条短边的和； 第三步：和与最长边比较：和＞最长边→能围成；和≤最长边→不能围成。 【易错提升】 ● 易错点：认为3cm、4cm、7cm能围成三角形。 　　→ 规避技巧：3+4=7，等于最长边，不能围成；必须是"大于"，等于和小于都不行。 方法点拨2：范围确定法 【解题思路】 已知两边求第三边范围，直接套用"两边之差＜第三边＜两边之和"，整数取值时最长和最短分别对应和减1、差加1。 【操作步骤】 第一步：确定已知两条边的长度，算出和与差； 第二步：写出范围：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和； 第三步：取整数时，最长 = 和 - 1，最短 = 差 + 1。 【易错提升】 ● 易错点：认为第三边最长就是两边之和。 　　→ 规避技巧：第三边必须小于两边之和，等于时不能围成三角形，所以整数最长要减1。 方法点拨3：分情况验证法 【解题思路】 等腰三角形已知两条边求周长或第三边时，分"已知边为腰"和"已知边为底"两种情况讨论，每种情况都验证三边关系，舍去不成立的。 【操作步骤】 第一步：第一种情况：较长边为腰，较短边为底，算出第三边，验证三边关系； 第二步：第二种情况：较短边为腰，较长边为底，算出第三边，验证三边关系； 第三步：保留符合条件的情况，计算周长或给出答案。 【易错提升】 ● 易错点：等腰三角形两边为4cm和9cm，误算成周长17cm。 　　→ 规避技巧：若4为腰，则4+4=8＜9，不能围成三角形；只能9为腰，周长9+9+4=22cm。 方法点拨4：有序枚举法 【解题思路】 列举所有符合条件的三角形时，按边长从短到长有序列举，确保不重复、不遗漏，每组都验证三边关系。 【操作步骤】 第一步：确定最短边的可能取值； 第二步：固定最短边，依次增加第二边的长度，对应求出第三边的范围； 第三步：每组都验证三边关系，记录符合条件的组合，统计总数。 【易错提升】 ● 易错点：枚举时顺序混乱，出现重复或遗漏。 　　→ 规避技巧：按"最短边→中边→最长边"的顺序递增列举，保证有序不重不漏。 【第三部分】考点讲练 考点一：判断三条线段能否围成三角形 考查重点：掌握三角形三边关系，能用快速判断法准确判断三条线段能否围成三角形。 【典例精讲】 题目：下面各组小棒，能围成三角形的在括号里画"√"，不能的画"×"。（单位：厘米） （1）3、4、5 （ ） （2）2、2、5 （ ） （3）6、6、6 （ ） （4）4、5、9 （ ） 【分析】 每组先找出两条短边，计算它们的和，再与最长边比较：和大于最长边就能围成，小于或等于就不能围成。 【详解】 （1）短边3和4，3+4=7，7＞5，能围成，画√； （2）短边2和2，2+2=4，4＜5，不能围成，画×； （3）三条边都是6，6+6=12，12＞6，等边三角形能围成，画√； （4）短边4和5，4+5=9，9=9，等于最长边，不能围成，画×。 【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）× 【变式训练】 题目：下面长度的三条线段，不能围成三角形的是（ ）。 A. 5cm、6cm、7cm B. 3cm、8cm、10cm C. 2cm、4cm、6cm D. 7cm、7cm、3cm 【分析】 逐一计算每组两条短边之和，与最长边比较，找出和小于或等于最长边的一组。 【详解】 A：5+6=11＞7，能围成； B：3+8=11＞10，能围成； C：2+4=6，等于最长边，不能围成； D：3+7=10＞7，能围成。 答案选C。 【答案】C 考点二：确定第三边的取值范围 考查重点：掌握第三边的取值范围，能求出第三边的长度范围或整数值。 【典例精讲】 题目：一个三角形的两条边分别长5厘米和8厘米。 （1）第三条边的长度范围是多少？ （2）如果第三条边取整厘米数，最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【分析】 根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，先算出两边的和与差，再确定范围；整数取值时，最长为和减1，最短为差加1。 【详解】 （1）两边之和：5+8=13（厘米） 两边之差：8-5=3（厘米） 根据三边关系：3厘米 ＜ 第三边 ＜ 13厘米 （2）取整厘米数： 最长：13-1=12（厘米） 最短：3+1=4（厘米） 答：（1）第三条边大于3厘米且小于13厘米；（2）最长12厘米，最短4厘米。 【答案】（1）大于3厘米，小于13厘米；（2）最长12厘米，最短4厘米 【变式训练】 题目：一个三角形的两条边都是6分米，第三条边不可能是（ ）分米。 A. 6 B. 10 C. 11 D. 12 【分析】 两条边都是6分米，先算出第三边的范围，再判断哪个选项不在范围内。 【详解】 两边之和：6+6=12（分米） 两边之差：6-6=0（分米） 第三边范围：0分米 ＜ 第三边 ＜ 12分米 选项中12分米不在范围内，不可能是12分米。 答案选D。 【答案】D 考点三：等腰三角形的三边关系与周长 考查重点：掌握等腰三角形分情况讨论的方法，能结合三边关系求周长或边长，排除不成立的情况。 【典例精讲】 题目：一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是多少厘米？ 【分析】 等腰三角形有两条边相等，因此分两种情况讨论：第一种5厘米为腰、11厘米为底；第二种11厘米为腰、5厘米为底。每种情况都验证三边关系，能围成的再计算周长。 【详解】 情况一：腰长5厘米，底边长11厘米 三边：5cm、5cm、11cm 验证：5+5=10，10＜11，两边之和小于第三边，不能围成三角形，舍去。 情况二：腰长11厘米，底边长5厘米 三边：11cm、11cm、5cm 验证：5+11=16＞11，符合三边关系，能围成三角形。 周长：11+11+5=27（厘米） 答：它的周长是27厘米。 【答案】27厘米 【变式训练】 题目：一个等腰三角形的周长是20厘米，其中一条边长4厘米，它的另外两条边分别是多少厘米？ 【分析】 分两种情况：4厘米是腰长，或4厘米是底边长，分别计算后验证三边关系。 【详解】 情况一：4厘米是腰长 底边长：20-4×2=12（厘米） 三边：4cm、4cm、12cm 验证：4+4=8＜12，不能围成三角形，舍去。 情况二：4厘米是底边长 腰长：(20-4)÷2=8（厘米） 三边：8cm、8cm、4cm 验证：4+8=12＞8，符合三边关系，成立。 答：另外两条边都是8厘米。 【答案】8厘米、8厘米 考点四：三边关系的实际应用与列举 考查重点：能运用三边关系解决生活实际问题，能有序列举符合条件的三角形。 【典例精讲】 题目：从长度分别为2cm、3cm、5cm、7cm的四根小棒中，任选三根摆三角形，能摆出几种不同的三角形？ 【分析】 先列出所有任选三根的组合，再逐一用三边关系判断，统计能围成的种数。 【详解】 四根小棒选三根，共有4种组合： ① 2cm、3cm、5cm：2+3=5，等于最长边，不能围成； ② 2cm、3cm、7cm：2+3=5＜7，不能围成； ③ 2cm、5cm、7cm：2+5=7，等于最长边，不能围成； ④ 3cm、5cm、7cm：3+5=8＞7，能围成。 只有1种组合可以摆出三角形。 答：能摆出1种不同的三角形。 【答案】1种 【变式训练】 题目：小明要做一个三角形支架，现有两根木条，长度分别是8分米和12分米。第三根木条的长度为整分米数，最长可以是多少分米？最短可以是多少分米？ 【分析】 根据三角形三边关系，第三边要小于两边之和、大于两边之差，取整数时最长为和减1，最短为差加1。 【详解】 两边之和：8+12=20（分米） 两边之差：12-8=4（分米） 第三边范围：4分米 ＜ 第三边 ＜ 20分米 整分米数： 最长：20-1=19（分米） 最短：4+1=5（分米） 答：最长可以是19分米，最短可以是5分米。 【答案】最长19分米，最短5分米 【第四部分】专项提升练习 1．一个三角形两条边分别是4厘米和6厘米，第三条边最短是( )厘米（取整厘米数）。 【答案】3 【分析】三角形任意两边的差小于第三边，同时第三边也要小于两条边的和。已知两条边是4厘米和6厘米，先求出两边的差，第三边必须比这个差值大，题目要求取整厘米数，找出满足条件的最小整数。 【详解】6－4＝2（厘米） 第三边大于2厘米，最短是3厘米。 2．李叔叔想制作一个等腰三角形框架，他找到两根木条（如图）。如果只能把其中一根锯成两段，那么李叔叔应该锯断( )木条（填“A”或“B”），理由是( )。 【答案】 B 三角形任意两边之和大于第三边 【分析】等腰三角形的两条腰相等，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此进行解答。 【详解】如果锯A：把8厘米分成两段，两段短加起来等于8厘米，8＜14，两边之和小于第三边，围不成三角形； 如果锯B：14厘米可以锯成两段8厘米＋6厘米或7厘米＋7厘米，形成8厘米、8厘米、6厘米或8厘米、7厘米、7厘米的等腰三角形，14＞8，均满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），能围成等腰三角形框架； 故李叔叔应该锯断B木条，理由是三角形任意两边之和大于第三边。 3．有两根小棒，长度分别为5厘米和8厘米，再拿一根小棒与这两根小棒围成一个三角形，再拿的这根小棒最长( )厘米，最短( )厘米。（取整数厘米） 【答案】 12 4 【分析】根据三角形的特性，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根小棒长度分别为5厘米和8厘米，再拿的这根小棒的长度应小于这两根小棒长度之和，大于这两根小棒长度之差。结合题目要求“取整数厘米”，即可确定再拿的这根小棒最长和最短的整厘米数。 【详解】5＋8＝13（厘米），再拿的这根小棒最长不能超过这两根小棒的长度的和。因为取整数厘米，13－1＝12（厘米），所以再拿的这根小棒最长12厘米。 8−5＝3（厘米），再拿的这根小棒最短不能小于这两根小棒的长度的差。因为取整数厘米，3＋1＝4（厘米），所以再拿的这根小棒最短4厘米。 4．有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 【答案】26 【分析】根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断。选择能围成三角形的组合中三条磁力棒相加长度最短的组合，求出周长即可。 【详解】（厘米） 所以4厘米、6厘米的磁力棒不能同时出现在一个三角形中，即长度为4厘米、10厘米、12厘米或6厘米、10厘米、12厘米的磁力棒能围成三角形。 周长最短的是4厘米、10厘米、12厘米的磁力棒围成的三角形：（厘米）。 5．为了落实国家“双减”政策，丰富同学们的校内生活，学校开设多种社团，芳芳参加了“创意搭建”社团，今天她想用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形相框，其中两根小棒的长度分别是12cm和8cm，第三根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 19 5 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边是12cm和8cm，先求出两边之和与两边之差，第三边要大于两边的差，小于两边的和；小棒长度为整厘米数，据此找出最长、最短取值。 【详解】12＋8＝20（cm） 12－8＝4（cm） 第三边长度大于4cm，小于20cm。 因为小棒长度是整厘米数， 大于4的最小整数是5，小于20的最大整数是19。 第三根小棒最长是19cm，最短是5cm。 6．一个三角形三边长度都是整厘米数，其中两条边长分别是5厘米和12厘米，那么第三条边最长______厘米，这个三角形周长最短是______厘米。 【答案】 16 25 【分析】三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合边长为整厘米数确定第三边的长度，最后计算周长。 【详解】已知三角形其中两条边分别是厘米和厘米，根据分析可知： （厘米） （厘米） 所以第三条边大于厘米，小于厘米。 因为三边长度都是整厘米数，所以第三边的长度可能是厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米。 那么第三条边最长厘米。 要使三角形周长最短，第三边应取最小值，即厘米。 （厘米） 这个三角形周长最短是厘米。 7．四根小棒的长度分别是20cm，10cm，10cm、8cm，选择其中的三根首尾相接围成一个三角形，它的周长是( )cm。 【答案】28 【分析】从四根小棒中选出三根，首先列出所有可能的三根组合情况；对每一种组合，应用三角形三边关系定理：如果任意两边之和大于第三边，那么该组合可以围成三角形，据此筛选出符合条件的组合；对符合条件的组合，将三根小棒的长度相加，即可得到三角形的周长。 【详解】选20cm、10cm、10cm：10＋10＝20cm，不大于20cm，围不成三角形； 选20cm、10cm、8cm：10＋8＝18＜20cm，围不成三角形； 选10cm、10cm、8cm：10＋8＞10cm，符合要求，周长是：10＋10＋8＝28cm。 8．一个三角形其中两条边分别长5cm、10cm，这个三角形的第三条边可能是( )cm。（答案取整数） 【答案】8 【分析】根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和。先算出已知两条边的差与和，再找出这个范围内的整数，就是第三条边可能的长度。 【详解】10－5＝5（cm） 10＋5＝15（cm） 所以：5＜第三边＜15 因为答案取整数，所以第三条边可能是：6、7、8、9、10、11、12、13、14cm。（答案不唯一） 9．王老师用三根木条（长度都是整厘米数）制作了一个三角形教具，这个三角形教具的第一条边长12cm，第二条边长18cm，第三条边的长度最长为( )cm，最短为( )cm。 【答案】 29 7 【分析】三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边长为12cm、18cm，设第三条边长为a。 【详解】两边之和：（cm），因此30＞a； 两边之差：（cm），因此6＜a。 题中要求边长为整厘米数： 少于30的最大整数是，所以第三条边的长度最长为29cm； 大于6的最小整数是，所以第三条边的长度最短为7cm。 10．有4根分别长3厘米、5厘米、2厘米、6厘米的小棒，从中取出3根，首尾相连围成一个三角形，这个三角形的周长是( )厘米或( )厘米。 【答案】 14 13 【分析】从4根小棒中每次选3根，共有4种组合。每组先把长度从小到大排列，用“较短两边之和大于最长边”判断能否围成三角形；对符合条件的组合，把三边长度相加求周长。 【详解】2＋3＝5（厘米），5不大于5，所以2厘米、3厘米、5厘米不能围成三角形。 3＋5＝8（厘米），8＞6，所以3厘米、5厘米、6厘米能围成三角形。 3＋5＋6＝14（厘米） 2＋3＝5（厘米），5＜6，所以2厘米、3厘米、6厘米不能围成三角形。 2＋5＝7（厘米），7＞6，所以2厘米、5厘米、6厘米能围成三角形。 2＋5＋6＝13（厘米） 所以这个三角形的周长是14厘米或13厘米。 11．如图所示，小思从学校出发到研学基地走( )号路线近一些，因为( )。 【答案】 ② 三角形的两边之和大于第三边 【分析】根据题意可知，学校、①号路线途经点、研学基地三点构成三角形，①号路线长度为该三角形两条边的长度和，②号路线为该三角形的第三条边；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，则②号路线一定小于①号路线，据此填空即可。 【详解】由分析得： 从学校去研学基地走②号路线近一些；因为：三角形的两边之和大于第三边。（答案不唯一） 12．安安同学准备搭一个三角形框架，目前他有2根木条，长度分别是18厘米和24厘米。现在需要再找一根木条，这根木条的长度最短是( )厘米。（木条长度为整厘米数） 【答案】 7 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。这根木条最长需要（18＋24－1）厘米，最短需要（24－18＋1）厘米（填整数）。 【详解】24－18＋1 ＝6＋1 ＝7（厘米） 13．从下面4根长度不同的小棒里任选3根围成三角形，写出其中一组符合条件的三边长度：( )厘米、( )厘米、( )厘米。（写出一组即可） 【答案】 3 5.5 6 【分析】围成三角形需要满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，对所有选3根小棒的情况验证。 【详解】选2.5、3、5.5：2.5＋3＝5.5，不满足要求，不能围成三角形。 选2.5、3、6：2.5＋3＝5.5＜6，不满足要求，不能围成三角形。 选2.5、5.5、6：2.5＋5.5＝8＞6，满足三边关系，可以围成三角形。 选3、5.5、6：3＋5.5＝8.5＞6，满足三边关系，也可以围成三角形。 从下面4根长度不同的小棒里任选3根围成三角形，写出其中一组符合条件的三边长度：3厘米、5.5厘米、6厘米。（写出一组即可） 14．一个三角形的两条边的长度分别是5厘米和8厘米，这个三角形的周长最长是多少厘米？（边长均为整厘米数） 【答案】 25厘米 【分析】要得到最长周长，需让第三边长度最长；根据三角形任意两边之和大于第三边的关系，先确定第三边的最大整厘米数，再计算三边之和。 【详解】（厘米），根据三角形的三边关系，第三边长度小于13厘米，且边长为整厘米数，因此第三边最长为（厘米）， 三角形的周长：（厘米） 答：这个三角形的周长最长是厘米。 15．学三角形的认识时，大家都买了袋装小棒做学具。洋洋在自己的学具中取出6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】①4厘米、7厘米、9厘米；②7厘米、9厘米、13厘米； ③7厘米、13厘米、17厘米；④7厘米、17厘米、21厘米； ⑤9厘米、13厘米、17厘米；⑥9厘米、13厘米、21厘米； ⑦9厘米、17厘米、21厘米；⑧13厘米、17厘米、21厘米。 【分析】先将小棒按长度从小到大排序，利用三角形“较短两边之和大于最长边”的性质，按最长边的长度分类有序列举，逐一判断组合是否符合要求，避免重复和遗漏。 【详解】将根小棒的长度按从小到大排列：、、、、、（单位：厘米）； 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：，，，；符合的组合：厘米、厘米、厘米；厘米、厘米、厘米；厘米、厘米、厘米和厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：，；符合的组合：厘米、厘米、厘米和厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：；符合的组合：厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：；符合的组合：厘米、厘米、厘米。 最长边小于等于厘米时，无法选出两根更短的小棒满足要求，无符合组合。 16．游乐园有一块三角形花坛。奇奇用软尺测量了花坛三条边的长度，并记录在本子上（如图）。妙妙看了一眼记录说：“你的测量有误。”为什么妙妙没有测量就知道奇奇的测量有误呢？用文字或列算式的方式写出你的思考过程。（单位：米） 【答案】因为三角形任意两边之和大于第三边，10＋13＝23（米），23＜25，不满足三角形三边关系，无法围成三角形，所以奇奇的测量有误。 【分析】利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，把较短两条边相加，和最长边做对比，判断能否构成三角形。 【详解】两条短边之和：10＋13＝23（米） 23＜25，不符合三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，无法围成三角形。 答：奇奇的测量有误，妙妙不用测量就知道测量有误。 17．小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 【答案】从家经过宾馆再到学校的路；从家直接到学校的路；300米 【分析】根据题意可知，小明家到学校有3条路，分别是小明从家经过博物馆再到学校、小明从家直接到学校、小明从家经过宾馆再到学校。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知从家直接到学校那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】800＋1200＝2000（米） 1100＋1000＝2100（米） 2100＞2000＞1800 2100－1800＝300（米） 答：小明从家经过宾馆再到学校的路最远，小明从家直接到学校的路最近，相差300米。 18．田田和贝贝想用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根10厘米和一根17厘米的木条。田田说：“第三根木条可以是7厘米。”贝贝却认为：“第三根木条可以是9厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 【答案】贝贝；理由：根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差（17－10＝7厘米）且小于两边之和（17＋10＝27厘米）；田田提出的7厘米等于两边之差，无法构成三角形；贝贝提出的9厘米满足7＜9＜27，可以构成三角形。 【分析】已知两边分别为10厘米和17厘米，根据三角形三边关系：任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边；计算两边之差：17－10＝7（厘米），计算两边之和：17＋10＝27（厘米），因此，第三边必须大于7厘米且小于27厘米；据此解答即可。 【详解】两边之差：17－10＝7（厘米） 两边之和：17＋10＝27（厘米） 即7厘米＜第三边＜27厘米， 验证田田的建议（7厘米）： 当第三边是7厘米时，检查是否满足三边关系：7＝7，即第三边等于两边之差，因此，7厘米不成立； 验证贝贝的建议（9厘米）： 当第三边是9厘米时，检查是否满足三边关系： 7厘米＜9厘米＜27厘米；因此，9厘米成立； 答：所以贝贝说的正确。理由略。 19．学校的学生餐厅、宿舍楼和教学楼的位置如图所示，教学楼到学生餐厅的距离L可能是多少米？（先写出范围，再回答） 【答案】1200米（答案不唯一） 【分析】观察图示可知，教学楼、学生餐厅和宿舍楼分别在三角形的顶点位置，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可。 【详解】（965－435）米＜L＜（965＋435）米 530米＜L＜1400米 第三条边，即L的取值范围在530米到1400米之间，不包括530米和1400米， 答：教学楼到学生餐厅的距离L可能是1200米。（答案不唯一） 20．一个三角形的三条边的长度都是整厘米，已知第一条边长是7厘米，第二条边长是9厘米，则第三条边长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】15厘米；3厘米 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此计算出第三条边的范围，选出最长和最短的即可。 【详解】9－7＝2（厘米） 9＋7＝16（厘米） 2＜第三条边＜16 答：第三条边长最长是15厘米，最短是3厘米。 21．已知一根铁丝围成一个等腰三角形，三角形的两条边分别是7厘米和5厘米，这根铁丝一共是多少厘米？ 【答案】19厘米或17厘米 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边可能长7厘米或5厘米。根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边，判断出第三条边的长度，再将这三条边的长度相加，求出这根铁丝的长度。 【详解】7＋5＞7，5＋5＞7，则长7厘米、5厘米、7厘米或者长7厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形，第三条边长7厘米或5厘米。 7＋5＋7＝19（厘米） 7＋5＋5＝17（厘米） 答：这根铁丝一共是19厘米或17厘米。 22．为了参加风筝节，小明做了一个等腰三角形的风筝，已知其中两条边的长度分别是50厘米和24厘米，那么这个风筝的周长的是多少厘米？ 【答案】124厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形教具的腰长，再计算出这个风筝三条边的总长度即可。 【详解】假设腰长为50厘米，50＋24＝74（厘米），74厘米＞50厘米，50－24＝26（厘米），26厘米＜50厘米，因此满足。 此时周长为：50＋50＋24＝124（厘米） 假设腰长为24厘米，24＋24＝48（厘米），48厘米＜50厘米，因此不满足。 答：这个风筝的周长的是124厘米。 【点睛】此题考查的是三角形的周长的计算，应熟练掌握三角形三边的关系，以及等腰三角形的特点。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $