第八单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第八单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、可能性大小的本质 可能性的大小描述的是随机事件发生的频繁程度，也就是事件发生机会的多少。 - 可能性大：对应事件出现的机会多，大量重复试验时发生的次数多； - 可能性小：对应事件出现的机会少，大量重复试验时发生的次数少； - 可能性相等：对应事件出现的机会完全相同。 二、影响可能性大小的核心因素 可能性的大小由符合条件的结果数量占总结果数量的比例决定，比例越大，可能性越大。 1. 摸球/抽签类场景 在总数量固定的前提下： - 某类物体的数量越多，摸到该类物体的可能性越大； - 某类物体的数量越少，摸到该类物体的可能性越小； - 两类物体数量相等时，摸到它们的可能性相等。 2. 转盘/区域类场景 在总面积固定的前提下： - 某类区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大； - 某类区域的面积越小，指针停在该区域的可能性越小； - 两类区域面积相等时，指针停在两类区域的可能性相等。 三、数量与可能性的变化规律 可能性的大小和对应物体的数量呈同向变化： 1. 增加某类物体的数量，该类事件发生的可能性会变大； 2. 减少某类物体的数量，该类事件发生的可能性会变小； 3. 要让两类事件发生的可能性相等，只需让两类物体的数量（或区域面积）相等。 四、等可能性与游戏公平性 1. 等可能性：如果每个基本结果发生的机会都相同，就称这些结果是等可能的。例如掷一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上就是等可能的。 2. 游戏公平性的判断标准：游戏规则是否公平，核心看参与各方获胜的可能性是否相等。 　- 各方获胜可能性相等 → 游戏公平； 　- 各方获胜可能性不相等 → 游戏不公平。 五、可能性与实际结果的区别 1. 可能性大不代表一定发生，可能性小也不代表一定不发生。单次试验的结果是随机的，和可能性大小没有必然的对应关系。 2. 大量重复试验时，事件发生的次数会和可能性大小趋于一致：可能性大的事件，发生的总次数通常更多；可能性小的事件，发生的总次数通常更少。这是可能性的统计规律。 六、常见易错点 1. 混淆数量与可能性：误以为数量多就一定会发生，忽略可能性只是对机会的描述； 2. 区域不平均分份数：转盘没有平均分时，直接数份数判断大小，忽略每份面积不同； 3. 公平性漏算结果：判断游戏公平时，漏算部分获胜结果，导致数量统计错误； 4. 调整后忘算总数：增减物体数量后，忘记总数量也会变化，错误沿用原来的总数； 5. 反向推导逻辑错：已知可能性大小反推数量时，搞反"数量多对应可能性大"的正向关系。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：占比比较法 【解题思路】 通过计算目标事件占总结果的比例，直观比较可能性大小。占比越大，可能性越大，适合多事件排序类题目。 【操作步骤】 第一步：算出所有可能结果的总数量； 第二步：分别数出每个事件对应的结果数量； 第三步：计算各自占总数的比例，比例大的可能性大； 第四步：按可能性大小完成排序或判断。 【易错提升】 ● 易错点：统计总数量时重复或遗漏，导致占比计算错误。 　　→ 规避技巧：按顺序枚举所有结果，数完后核对总数是否正确。 方法点拨2：同向调整法 【解题思路】 需要改变可能性大小时，根据"数量和可能性同向变化"的规律，通过增减对应物体的数量达到目标。 【操作步骤】 第一步：先算出当前两类物体的数量差； 第二步：明确调整目标（可能性变大/变小/相等）； 第三步：目标为"相等"时，补齐数量差即可；目标为"更大"时，在相等基础上再多增加1个。 【易错提升】 ● 易错点：要求"让A的可能性大于B"，只把A的数量加到和B相等就停止。 　　→ 规避技巧："大于"必须数量更多，相等时只是可能性相等，需要再多加1个才能实现"更大"。 方法点拨3：公平性三步校验法 【解题思路】 判断游戏是否公平，严格按"列结果→分各方→比数量"三步执行，避免主观判断出错。 【操作步骤】 第一步：不重不漏地列出所有可能出现的结果； 第二步：分别统计甲方、乙方获胜对应的结果数量，平局/无效结果单独列出； 第三步：双方结果数量相等则公平，数量不等则不公平。 【易错提升】 ● 易错点：把"重新摸/重新掷"的无效结果算进某一方的获胜数量里。 　　→ 规避技巧：无效结果不属于任何一方，只触发重新试验，不影响公平性判断，必须单独排除。 方法点拨4：逆向设计法 【解题思路】 已知可能性要求设计方案时，先确定总数量，再根据可能性大小的比例分配各部分数量，最后回代验证。 【操作步骤】 第一步：明确总数量（总份数、总球数等）； 第二步：根据"可能性越大对应数量越多"的原则，按要求分配各部分数量； 第三步：回代检验：核对数量关系是否符合可能性大小的要求。 【易错提升】 ● 易错点：分配后出现非整数数量，不符合实际场景。 　　→ 规避技巧：数量必须是整数，分配时优先保证整数，再调整大小关系。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础场景下的可能性大小比较 考查重点：能结合摸球、转盘等场景，准确比较不同事件的可能性大小，完成排序或判断。 【典例精讲】 题目：一个不透明的口袋里装了7个白球、4个红球、2个黑球，球除颜色外完全相同。从中任意摸1个球： （1）摸到哪种颜色球的可能性最大？哪种最小？ （2）小明说"摸到黑球的可能性太小了，所以不可能摸到黑球"，这句话对吗？为什么？ 【变式训练】 题目：下面是三个转盘，均被平均分成了若干份。 - 转盘1：8份，红色3份、黄色3份、蓝色2份； - 转盘2：10份，红色5份、黄色3份、蓝色2份； - 转盘3：6份，红色2份、黄色2份、蓝色2份。 下列说法正确的是（　）。 A. 三个转盘指针停在红色区域的可能性相等 B. 转盘2指针停在蓝色区域的可能性最小 C. 转盘3指针停在三种颜色区域的可能性相等 D. 转盘1指针停在黄色区域的可能性比转盘2大 考点二：可能性大小的动态调整 考查重点：能通过增减物体数量改变可能性大小，解决"变相等""变更大"类的调整问题。 【典例精讲】 题目：盒子里有12个绿球、8个紫球，球除颜色外完全相同。 （1）要让摸到绿球和紫球的可能性相等，可以怎么做？ （2）要让摸到紫球的可能性大于绿球，至少需要再放入几个紫球？ 【变式训练】 题目：书架上有故事书和科技书共20本，任意拿一本，要让拿到科技书的可能性更大，科技书至少要有（　）本。 A. 10　B. 11　C. 12　D. 9 考点三：游戏公平性的判断与规则优化 考查重点：能完整枚举游戏的所有结果，准确判断公平性，并能修改规则使游戏公平。 【典例精讲】 题目：有4张数字卡片，分别写着2、3、4、5，背面朝上打乱后，任意抽出2张，计算卡片上数字的和。和大于7小明赢，和小于7小丽赢，和等于7重新抽。 （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）请你修改规则，让游戏变得公平。 【变式训练】 题目：甲、乙两人玩掷骰子游戏，下面规则中公平的是（　）。 A. 点数大于3甲赢，点数小于3乙赢 B. 点数是质数甲赢，是合数乙赢 C. 点数是奇数甲赢，是偶数乙赢 D. 点数小于4甲赢，点数大于4乙赢 考点四：可能性的方案设计与实际应用 考查重点：能根据指定的可能性要求，设计合理的摸球、转盘等游戏方案。 【典例精讲】 题目：商场做抽奖活动，准备用一个被平均分成12份的转盘设置一、二、三等奖。要求：一等奖中奖可能性最小，三等奖中奖可能性最大，二等奖可能性介于两者之间。请你设计一种涂色方案，并说明理由。 【变式训练】 题目：在一个不透明的袋子里放20个除颜色外完全相同的球，其中有红球和黄球两种。要让摸到红球的可能性是摸到黄球的3倍，红球和黄球各应放多少个？ 【第四部分】专项提升练习 1．国庆节快到了，佳乐家超市发了1000张奖券，其中一等奖1名，二等奖10名，三等奖50名。如果得奖，请你预测一下，抽到( )等奖的可能性最大，抽到( )等奖的可能性最小。 2．如下图，商场开展“即摸即中”有奖促销活动，箱子里放入分别写有1~10的10个小球。顾客得到( )的可能性最大，得到( )的可能性最小。 3．一个箱子里放着形状、大小、轻重相同的球，其中，白球10个，红球8个，黄球3个。任意摸一个，摸到的可能性有( )种，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 4．某个十字路口红灯持续的时间是1.5分钟，黄灯持续的时间是3秒，绿灯持续的时间是60秒。当你到达这个路口时，遇到的交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 5．盒子里有大小、质地都一样的7个白球、5个红球、2个黄球，从盒子里摸一个球，摸到球的颜色有( )种可能，摸到( )球的可能性最大。 6．从五张数字卡片2、3、5、7、9中任意摸出两张（卡片除数字不同外其他都相同），若卡片上的数字之和是单数，则壮壮赢；若是双数，则丽丽赢。( )赢的可能性大。 7．盒子里有形状、大小相同的25张卡片，其中有13张粉色卡片，6张红色卡片，6张白色卡片，任意摸1张，摸到( )色卡片的可能性最大。 8．抽奖箱中有10张一等奖券、50张二等奖券、100张三等奖券、80张谢谢惠顾奖券，抽到( )奖券的可能性最小。 9．单词剪刀的英文是scissors，若从这个单词中随机抽取一个字母，抽到字母( )的可能性最大。要从这个单词中抽取出字母，至少要抽取( )个字母才能保证抽到2个不同的字母。 10．粽子是我国端午传统美食，妈妈包了7个蜜枣粽子和4个肉粽子。任意取一个粽子，取到( )粽子的可能性大；把这些粽子放进3个盘子里，总有一个盘子至少放( )个粽子；至少要取( )个粽子才能保证取到蜜枣粽子。 11．一个盒子装有10个红球，4个蓝球，2个黄球，任意摸一个，摸到( )球可能性最大；如果想要摸到蓝球和红球可能性一样大，需要拿走( )个红球。 12．如图，班级积分拍奖活动中，盒子里装有同样大小的颜色不同的球，绿球表示“当一周班干部”，黄球表示“电影票一张”，红球表示“小红花一朵”，任意摸出一个球，得到奖励“( )”的可能性最大，得到奖励“( )”的可能性最小。 13．盒子里装着大小、质地完全相同的7个白球和3个红球，从中任意摸出2个球，结果有( )种可能；从中任意摸出1个，摸到( )球的可能性大。 14．口袋里有5块红色橡皮和3块黄色橡皮，从中任意摸一块橡皮，摸到( )色橡皮的可能性大。如果想使摸到黄色橡皮的可能性大，至少再往袋中放入( )块同样的黄色橡皮。 15．为庆祝开园，他们设计了一个抽奖转盘，如果转盘指针指向3的倍数可获得游乐园周边钥匙扣，指向5的倍数可获得饮品兑换券。你认为这个游戏对想获得饮品兑换券的人公平吗？请说明理由。 16．学习完《可能性》这一单元后，小东和小亮在课后继续玩摸球游戏，每次从盒中任意摸出一个球，再放回去摇匀继续摸，摸20次。规定摸到黑球次数多时小东赢，摸到白球次数多时小亮赢。从下面的哪个盒中摸球最公平？请说明理由。 17．小娟和小红从下面盒中每次任意摸一个球，摸后放回，每人摸8次，摸到红球小娟得1分，摸到黄球小红得1分，摸到蓝球都不得分。你认为在哪几个盒子中摸球是公平的？ 18．淘气和笑笑在玩游戏，游戏规则，随便说一个数a（a＞0），然后转动转盘，进行运算，若结果比a大，则淘气赢；反之笑笑赢。 (1)你认为这个游戏公平吗？为什么？ (2)你认为怎样设计游戏规则才公平？ 19．小宇和小恒进行象棋比赛，他们通过掷两枚骰子的方法决定谁先走，规则：若朝上的数字之积为单数，则小恒先走；若朝上的数字之积为双数，则小宇先走。你认为这个规则公平吗？为什么？ 20．小军和小亮做游戏，他们用“手心、手背”决定谁先开始：如果两人出的相同（同为手心或手背），那么小军先开始；如果两人出的不同（一人出手心，另一人出手背），那么小亮先开始。请问：这个规则公平吗？为什么？ 21．甲、乙两人做游戏，从标有数字2、3、4、5的卡片中先后任意摸出两张组成两位数（先摸出来的数字作为十位上的数字，后摸出来的数字作为个位上的数字），组成的两位数是奇数甲获胜，组成的两位数是偶数乙获胜。这个游戏规则公平吗？ 22．小军和小明做数学游戏，他们分别从6、7、8、9这四张卡片中任抽出一张，再把两人抽到的数相乘，如果积是单数小军赢，积是双数小明赢。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 23．把标有5，7，8，9四张数字的卡片倒扣在桌面上。甲、乙利用这四张卡片做游戏。游戏规则如下：甲从中任意抽一张，若抽到的卡片数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜。这个游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 24．盒子里装有11个乒乓球，分别写着1到11共11个数，笑笑和奇思玩摸球游戏。游戏规则：如果摸到奇数笑笑赢，如果摸到偶数奇思赢。 （1）这个游戏规则公平吗？为什么？ （2）笑笑一定会赢吗？ （3）你能设计一个公平的规则吗？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、可能性大小的本质 可能性的大小描述的是随机事件发生的频繁程度，也就是事件发生机会的多少。 - 可能性大：对应事件出现的机会多，大量重复试验时发生的次数多； - 可能性小：对应事件出现的机会少，大量重复试验时发生的次数少； - 可能性相等：对应事件出现的机会完全相同。 二、影响可能性大小的核心因素 可能性的大小由符合条件的结果数量占总结果数量的比例决定，比例越大，可能性越大。 1. 摸球/抽签类场景 在总数量固定的前提下： - 某类物体的数量越多，摸到该类物体的可能性越大； - 某类物体的数量越少，摸到该类物体的可能性越小； - 两类物体数量相等时，摸到它们的可能性相等。 2. 转盘/区域类场景 在总面积固定的前提下： - 某类区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大； - 某类区域的面积越小，指针停在该区域的可能性越小； - 两类区域面积相等时，指针停在两类区域的可能性相等。 三、数量与可能性的变化规律 可能性的大小和对应物体的数量呈同向变化： 1. 增加某类物体的数量，该类事件发生的可能性会变大； 2. 减少某类物体的数量，该类事件发生的可能性会变小； 3. 要让两类事件发生的可能性相等，只需让两类物体的数量（或区域面积）相等。 四、等可能性与游戏公平性 1. 等可能性：如果每个基本结果发生的机会都相同，就称这些结果是等可能的。例如掷一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上就是等可能的。 2. 游戏公平性的判断标准：游戏规则是否公平，核心看参与各方获胜的可能性是否相等。 　- 各方获胜可能性相等 → 游戏公平； 　- 各方获胜可能性不相等 → 游戏不公平。 五、可能性与实际结果的区别 1. 可能性大不代表一定发生，可能性小也不代表一定不发生。单次试验的结果是随机的，和可能性大小没有必然的对应关系。 2. 大量重复试验时，事件发生的次数会和可能性大小趋于一致：可能性大的事件，发生的总次数通常更多；可能性小的事件，发生的总次数通常更少。这是可能性的统计规律。 六、常见易错点 1. 混淆数量与可能性：误以为数量多就一定会发生，忽略可能性只是对机会的描述； 2. 区域不平均分份数：转盘没有平均分时，直接数份数判断大小，忽略每份面积不同； 3. 公平性漏算结果：判断游戏公平时，漏算部分获胜结果，导致数量统计错误； 4. 调整后忘算总数：增减物体数量后，忘记总数量也会变化，错误沿用原来的总数； 5. 反向推导逻辑错：已知可能性大小反推数量时，搞反"数量多对应可能性大"的正向关系。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：占比比较法 【解题思路】 通过计算目标事件占总结果的比例，直观比较可能性大小。占比越大，可能性越大，适合多事件排序类题目。 【操作步骤】 第一步：算出所有可能结果的总数量； 第二步：分别数出每个事件对应的结果数量； 第三步：计算各自占总数的比例，比例大的可能性大； 第四步：按可能性大小完成排序或判断。 【易错提升】 ● 易错点：统计总数量时重复或遗漏，导致占比计算错误。 　　→ 规避技巧：按顺序枚举所有结果，数完后核对总数是否正确。 方法点拨2：同向调整法 【解题思路】 需要改变可能性大小时，根据"数量和可能性同向变化"的规律，通过增减对应物体的数量达到目标。 【操作步骤】 第一步：先算出当前两类物体的数量差； 第二步：明确调整目标（可能性变大/变小/相等）； 第三步：目标为"相等"时，补齐数量差即可；目标为"更大"时，在相等基础上再多增加1个。 【易错提升】 ● 易错点：要求"让A的可能性大于B"，只把A的数量加到和B相等就停止。 　　→ 规避技巧："大于"必须数量更多，相等时只是可能性相等，需要再多加1个才能实现"更大"。 方法点拨3：公平性三步校验法 【解题思路】 判断游戏是否公平，严格按"列结果→分各方→比数量"三步执行，避免主观判断出错。 【操作步骤】 第一步：不重不漏地列出所有可能出现的结果； 第二步：分别统计甲方、乙方获胜对应的结果数量，平局/无效结果单独列出； 第三步：双方结果数量相等则公平，数量不等则不公平。 【易错提升】 ● 易错点：把"重新摸/重新掷"的无效结果算进某一方的获胜数量里。 　　→ 规避技巧：无效结果不属于任何一方，只触发重新试验，不影响公平性判断，必须单独排除。 方法点拨4：逆向设计法 【解题思路】 已知可能性要求设计方案时，先确定总数量，再根据可能性大小的比例分配各部分数量，最后回代验证。 【操作步骤】 第一步：明确总数量（总份数、总球数等）； 第二步：根据"可能性越大对应数量越多"的原则，按要求分配各部分数量； 第三步：回代检验：核对数量关系是否符合可能性大小的要求。 【易错提升】 ● 易错点：分配后出现非整数数量，不符合实际场景。 　　→ 规避技巧：数量必须是整数，分配时优先保证整数，再调整大小关系。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础场景下的可能性大小比较 考查重点：能结合摸球、转盘等场景，准确比较不同事件的可能性大小，完成排序或判断。 【典例精讲】 题目：一个不透明的口袋里装了7个白球、4个红球、2个黑球，球除颜色外完全相同。从中任意摸1个球： （1）摸到哪种颜色球的可能性最大？哪种最小？ （2）小明说"摸到黑球的可能性太小了，所以不可能摸到黑球"，这句话对吗？为什么？ 【分析】 （1）总球数固定，哪种颜色的球数量最多，摸到的可能性就最大；数量最少，可能性就最小。 （2）可能性小不等于不可能，只要口袋里有黑球，就存在摸到的可能，只是机会少。 【详解】 （1）三种球的数量：白球7个＞红球4个＞黑球2个 总数量相同，数量越多可能性越大，因此摸到白球的可能性最大，摸到黑球的可能性最小。 （2）这句话不对。 理由：口袋里有2个黑球，说明存在摸到黑球的可能，只是黑球数量少，摸到的可能性小。可能性再小也属于可能事件，不是不可能事件。 【答案】 （1）摸到白球的可能性最大，摸到黑球的可能性最小； （2）不对，因为口袋里有黑球，就有可能摸到，只是可能性小，不是不可能。 【变式训练】 题目：下面是三个转盘，均被平均分成了若干份。 - 转盘1：8份，红色3份、黄色3份、蓝色2份； - 转盘2：10份，红色5份、黄色3份、蓝色2份； - 转盘3：6份，红色2份、黄色2份、蓝色2份。 下列说法正确的是（　）。 A. 三个转盘指针停在红色区域的可能性相等 B. 转盘2指针停在蓝色区域的可能性最小 C. 转盘3指针停在三种颜色区域的可能性相等 D. 转盘1指针停在黄色区域的可能性比转盘2大 【分析】 逐个分析选项： A：三个转盘总份数不同，红色份数也不同，占比不同，可能性不相等，错误； B：每个转盘里都是蓝色份数最少，因此停在蓝色的可能性都最小，转盘2也符合，正确； C：转盘3三种颜色各2份，份数相同，可能性相等，正确； D：转盘1黄色占3/8，转盘2黄色占3/10，分母大的分数小，转盘1黄色可能性更大，正确。 【详解】 选项B、C、D说法正确。 - A错误：总份数不同，红色占比不同，可能性不相等； - B正确：三个转盘中蓝色份数都是最少的，可能性最小； - C正确：三种颜色份数相同，可能性相等； - D正确：，转盘1停在黄色区域的可能性更大。 【答案】BCD 考点二：可能性大小的动态调整 考查重点：能通过增减物体数量改变可能性大小，解决"变相等""变更大"类的调整问题。 【典例精讲】 题目：盒子里有12个绿球、8个紫球，球除颜色外完全相同。 （1）要让摸到绿球和紫球的可能性相等，可以怎么做？ （2）要让摸到紫球的可能性大于绿球，至少需要再放入几个紫球？ 【分析】 （1）可能性相等需要两种球数量相等，当前绿球比紫球多个，可以去掉4个绿球，也可以加入4个紫球。 （2）紫球数量要超过绿球，先补到和绿球同样多需要4个，再多1个就能超过，一共需要5个。 【详解】 （1）当前数量差：（个） 方法一：去掉4个绿球，绿球、紫球各8个，数量相等，可能性相等； 方法二：放入4个紫球，绿球、紫球各12个，数量相等，可能性相等。（任选一种方法即可） （2）紫球数量要大于12个，至少要有13个紫球 需要放入：（个） 答：至少需要再放入5个紫球。 【答案】 （1）去掉4个绿球（或放入4个紫球）； （2）至少放入5个紫球。 【变式训练】 题目：书架上有故事书和科技书共20本，任意拿一本，要让拿到科技书的可能性更大，科技书至少要有（　）本。 A. 10　B. 11　C. 12　D. 9 【分析】 总共有20本书，可能性更大需要科技书的数量比故事书多。两种书数量相等时各10本，此时可能性相等；科技书要更多，至少要11本。 【详解】 （本），数量相等时各10本 要可能性更大，数量要超过10本，最少11本。 答案选B。 【答案】B 考点三：游戏公平性的判断与规则优化 考查重点：能完整枚举游戏的所有结果，准确判断公平性，并能修改规则使游戏公平。 【典例精讲】 题目：有4张数字卡片，分别写着2、3、4、5，背面朝上打乱后，任意抽出2张，计算卡片上数字的和。和大于7小明赢，和小于7小丽赢，和等于7重新抽。 （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）请你修改规则，让游戏变得公平。 【分析】 先枚举所有两张卡片的组合，算出所有和，再分别统计大于7、小于7的结果数量，比较是否相等。 【详解】 （1）所有可能的组合及和： ，，，，， 共6种有效结果（和为7的2种重新抽，不计入胜负）。 和大于7的：8、9，共2种 → 小明赢的结果有2种； 和小于7的：5、6，共2种 → 小丽赢的结果有2种。 双方获胜的结果数量相等，可能性相等，因此游戏公平。 （2）修改示例（答案不唯一）： 最终公平方案：抽到两张全是奇数小明赢，全是偶数小丽赢，一奇一偶重新抽。 奇数卡片3、5共2张，偶数卡片2、4共2张，全奇1种，全偶1种，可能性相等，游戏公平。 【答案】 （1）游戏公平，因为小明和小丽获胜的结果各有2种，可能性相等； （2）示例：抽到两张全是奇数小明赢，全是偶数小丽赢，一奇一偶重新抽。 【变式训练】 题目：甲、乙两人玩掷骰子游戏，下面规则中公平的是（　）。 A. 点数大于3甲赢，点数小于3乙赢 B. 点数是质数甲赢，是合数乙赢 C. 点数是奇数甲赢，是偶数乙赢 D. 点数小于4甲赢，点数大于4乙赢 【分析】 骰子点数1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果。 A：大于3的有4、5、6（3种），小于3的有1、2（2种），数量不等，不公平； B：质数有2、3、5（3种），合数有4、6（2种），数量不等，不公平； C：奇数有1、3、5（3种），偶数有2、4、6（3种），数量相等，公平； D：小于4的有1、2、3（3种），大于4的有5、6（2种），数量不等，不公平。 【详解】 只有选项C中双方获胜的结果数量相等，可能性相同，游戏公平。 答案选C。 【答案】C 考点四：可能性的方案设计与实际应用 考查重点：能根据指定的可能性要求，设计合理的摸球、转盘等游戏方案。 【典例精讲】 题目：商场做抽奖活动，准备用一个被平均分成12份的转盘设置一、二、三等奖。要求：一等奖中奖可能性最小，三等奖中奖可能性最大，二等奖可能性介于两者之间。请你设计一种涂色方案，并说明理由。 【分析】 总份数固定为12份，可能性大小对应份数多少：一等奖份数最少，三等奖份数最多，二等奖份数居中，只要满足三者份数的大小关系即可。 【详解】 设计方案（答案不唯一）： 一等奖涂1份，二等奖涂3份，三等奖涂8份。 理由：转盘被平均分成12份，每份大小相同，份数越多，指针停在对应区域的可能性越大。 1份＜3份＜8份，因此一等奖可能性最小，三等奖可能性最大，二等奖介于两者之间，符合要求。 【答案】 示例：一等奖1份，二等奖3份，三等奖8份；理由：份数越多可能性越大，份数多少对应可能性大小，符合题目要求。 【变式训练】 题目：在一个不透明的袋子里放20个除颜色外完全相同的球，其中有红球和黄球两种。要让摸到红球的可能性是摸到黄球的3倍，红球和黄球各应放多少个？ 【分析】 摸到红球的可能性是黄球的3倍，说明红球数量是黄球的3倍。把黄球数量看作1份，红球就是3份，一共4份，对应总数量20个，先算1份的数量，再分别求两种球的数量。 【详解】 总份数：（份） 黄球数量：（个） 红球数量：（个） 验证：15是5的3倍，总数量个，符合要求。 答：红球放15个，黄球放5个。 【答案】红球15个，黄球5个 【第四部分】专项提升练习 1．国庆节快到了，佳乐家超市发了1000张奖券，其中一等奖1名，二等奖10名，三等奖50名。如果得奖，请你预测一下，抽到( )等奖的可能性最大，抽到( )等奖的可能性最小。 【答案】 三 一 【分析】在奖券总数量不变的前提下，某类奖项的数量越多，抽到该类奖项的可能性越大，所以只需比较一、二、三等奖的名额数量的大小，即可解答。 【详解】50＞10＞1 所以，抽到三等奖的可能性最大，抽到一等奖的可能性最小。 2．如下图，商场开展“即摸即中”有奖促销活动，箱子里放入分别写有1~10的10个小球。顾客得到( )的可能性最大，得到( )的可能性最小。 【答案】 牙膏 手套 【分析】任意摸出的一个球，数量多的被摸到的可能性要大，数量少的可能性就小。在1~10这10个数字中，找出偶数、5的倍数、既是奇数又是合数的数的个数，直接比较个数多少即可。 【详解】在1~10这10个数字中，偶数有2、4、6、8、10，共5个数字；是5的倍数的数有5、10，共2个数字；既是奇数又是合数的数是9，共1个数字。 5＞2＞1，所以顾客得到牙膏的可能性最大，得到手套的可能性最小。 3．一个箱子里放着形状、大小、轻重相同的球，其中，白球10个，红球8个，黄球3个。任意摸一个，摸到的可能性有( )种，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 【答案】 3 白 黄 【分析】箱子里有几种颜色的球，摸到的结果就有几种可能；在形状、大小、轻重相同的情况下，哪种颜色的球数量最多，摸到的可能性就最大；哪种颜色的球数量最少，摸到的可能性就最小。 【详解】10＞8＞3； 一个箱子里放着形状、大小、轻重相同的球，其中，白球10个，红球8个，黄球3个。任意摸一个，摸到的可能性有3种，摸到白球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小。 4．某个十字路口红灯持续的时间是1.5分钟，黄灯持续的时间是3秒，绿灯持续的时间是60秒。当你到达这个路口时，遇到的交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 【答案】 3 红 【分析】1分钟＝60秒，有3种信号灯就有3种可能。根据时间长短判断可能性大小，时间越长可能性就越大，据此解答。 【详解】1.5×60＝90（秒） 90＞60＞3 遇到的交通信号灯有3种可能，遇到红灯的可能性最大。 5．盒子里有大小、质地都一样的7个白球、5个红球、2个黄球，从盒子里摸一个球，摸到球的颜色有( )种可能，摸到( )球的可能性最大。 【答案】 3 白 【分析】先看盒子里一共有几种颜色的球，确定有几种可能。再对比三种球的数量，数量最多的球，摸到的可能性最大；数量最少的球，摸到的可能性最小。 【详解】盒子里有白球、红球、黄球，一共3种颜色，所以有3种结果，摸到球的颜色有3种可能。 7＞5＞2，白球数量最多，黄球数量最少，摸到白球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小。 6．从五张数字卡片2、3、5、7、9中任意摸出两张（卡片除数字不同外其他都相同），若卡片上的数字之和是单数，则壮壮赢；若是双数，则丽丽赢。( )赢的可能性大。 【答案】丽丽 【分析】五张数字卡片，任意摸两张，有10种情况，即；；；；；；；；；；再根据它们的和是双数多，还是单数多；进行分析解答。 【详解】和为单数的有：，，，，共4种； 和为双数的有：，，，，，，共6种； 因为6＞4，所以丽丽赢的可能性大。 7．盒子里有形状、大小相同的25张卡片，其中有13张粉色卡片，6张红色卡片，6张白色卡片，任意摸1张，摸到( )色卡片的可能性最大。 【答案】粉 【分析】卡片总数相同，哪种颜色卡片数量越多，摸到的可能性就越大。先对比三种卡片的数量，找出数量最多的颜色。 【详解】13＞6，粉色卡片数量最多，所以摸到粉色卡片的可能性最大。 8．抽奖箱中有10张一等奖券、50张二等奖券、100张三等奖券、80张谢谢惠顾奖券，抽到( )奖券的可能性最小。 【答案】 一等 【分析】求抽到几等奖券的可能性最小，只要比较奖券的张数多少即可，张数少的抽到的可能性就小，据此解答。 【详解】10＜50＜80＜100 故抽到一等奖券的可能性最小。 9．单词剪刀的英文是scissors，若从这个单词中随机抽取一个字母，抽到字母( )的可能性最大。要从这个单词中抽取出字母，至少要抽取( )个字母才能保证抽到2个不同的字母。 【答案】 s 5 【分析】第一问根据字母出现的频次判断可能性大小，频次越高，被抽到的可能性越大；第二问要保证抽到个不同的字母，需考虑最不利情况，即先把数量最多的同一种字母全部抽完，再抽个就能保证出现另一种字母。 【详解】中字母出现次，字母、、、各出现次。 所以在随机抽取一个字母时，抽到字母的可能性最大。 连续抽到的都是同一种字母。数量最多的字母是，共有个。若前次都抽到字母，此时手中只有种字母。第次抽取时，剩余的字母中没有，必然抽到、、、中的某一个。此时手中至少有字母和另一种字母，满足有个不同的字母。 （个） 至少要抽取个字母才能保证抽到个不同的字母。 10．粽子是我国端午传统美食，妈妈包了7个蜜枣粽子和4个肉粽子。任意取一个粽子，取到( )粽子的可能性大；把这些粽子放进3个盘子里，总有一个盘子至少放( )个粽子；至少要取( )个粽子才能保证取到蜜枣粽子。 【答案】 蜜枣 4 5 【分析】①比较两种粽子的数量，数量多的被取到的可能性更大； ②先用蜜枣粽子的数量加上肉粽子的数量计算出粽子总数量，再用总数量除以盘子数，若有余数则商加1得到至少放的数量，若无余数则商即为结果。 ③要保证取到蜜枣粽子，需考虑最不利原则，所以先假设最倒霉的情况是先把所有肉粽子都取出来，再取1个就一定是蜜枣粽子，用肉粽子数量加1即可。 【详解】，蜜枣粽子数量更多，被取到的可能性越大。 （个） （个） （个） 任意取一个粽子，取到蜜枣粽子的可能性大；把这些粽子放进3个盘子里，总有一个盘子至少放4个粽子；至少要取5个粽子才能保证取到蜜枣粽子。 11．一个盒子装有10个红球，4个蓝球，2个黄球，任意摸一个，摸到( )球可能性最大；如果想要摸到蓝球和红球可能性一样大，需要拿走( )个红球。 【答案】 红 6 【分析】数量越多的球被摸到的可能性越大，所以先比较三种球的数量，判断哪种球数量最多。 当两种球数量相等时，被摸到的可能性相等，所以先确定现有红球和蓝球的数量差值，该差值就是需要拿走的红球数量。 【详解】10＞4＞2，所以任意摸一个，摸到红球可能性最大； 10－4＝6，所以如果想要摸到蓝球和红球可能性一样大，需要拿走6个红球。 12．如图，班级积分拍奖活动中，盒子里装有同样大小的颜色不同的球，绿球表示“当一周班干部”，黄球表示“电影票一张”，红球表示“小红花一朵”，任意摸出一个球，得到奖励“( )”的可能性最大，得到奖励“( )”的可能性最小。 【答案】 小红花一朵 当一周班干部 【分析】根据可能性大小的判断方法，比较盒子里黄球、红球、绿球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小，据此找到对应的奖励即可。 【详解】10＞7＞3，红球的数量最多，绿球的数量最少； 任意摸出一个球，得到奖励（小红花一朵）的可能性最大，得到奖励（当一周班干部）的可能性最小。 13．盒子里装着大小、质地完全相同的7个白球和3个红球，从中任意摸出2个球，结果有( )种可能；从中任意摸出1个，摸到( )球的可能性大。 【答案】 白 【分析】盒子里装着大小、质地完全相同的7个白球和3个红球，即盒子里的球有两种颜色，则从中任意摸出2个球，可能是两个白球，可能是两个红球，也可能是一个白球和一个红球。某种颜色的球的数量越多，被摸到的可能性就会越大。 【详解】任意摸出2个球，可能是两个白球，可能是两个红球，也可能是一个白球和一个红球，共3种可能。 因为，即白球的数量最多，所以摸到白球的可能性大。 14．口袋里有5块红色橡皮和3块黄色橡皮，从中任意摸一块橡皮，摸到( )色橡皮的可能性大。如果想使摸到黄色橡皮的可能性大，至少再往袋中放入( )块同样的黄色橡皮。 【答案】 红 3 【分析】比较两种颜色橡皮的数量，因为数量越多被摸到的可能性越大；要让摸到黄色的可能性更大，黄色数量至少要比红色多1块。 【详解】5＞3，摸到红色的可能性大。 红色比黄色多：5－3＝2（块） 黄色至少要比红色多1块，因此还要放入黄色橡皮：2＋1＝3（块）。 15．为庆祝开园，他们设计了一个抽奖转盘，如果转盘指针指向3的倍数可获得游乐园周边钥匙扣，指向5的倍数可获得饮品兑换券。你认为这个游戏对想获得饮品兑换券的人公平吗？请说明理由。 【答案】不公平；因为3的倍数有3个；5的倍数只有1个。3的倍数比5的倍数多，获得周边钥匙扣的可能性比获得饮品兑换券的可能性大，所以不公平。 【分析】一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出3的倍数和5的倍数各有几个，如果两个数的倍数的个数相同，游戏就公平，否则就不公平。 【详解】，7不是3的倍数，所以52不是3的倍数。 ，8不是3的倍数，所以35不是3的倍数。 ，6是3的倍数，所以33是3的倍数。 ，9是3的倍数，所以81是3的倍数。 ，14不是3的倍数，所以86不是3的倍数。 ，6是3的倍数，所以132是3的倍数。 个位上是0或5的数是：35。 3的倍数有33，81，132，共3个； 5的倍数只有35这1个。 ，3的倍数比5的倍数多，获得周边钥匙扣的可能性比获得饮品兑换券的可能性大，不公平。 答：不公平；因为3的倍数有3个；5的倍数只有1个。3的倍数比5的倍数多，获得周边钥匙扣的可能性比获得饮品兑换券的可能性大，所以不公平。 16．学习完《可能性》这一单元后，小东和小亮在课后继续玩摸球游戏，每次从盒中任意摸出一个球，再放回去摇匀继续摸，摸20次。规定摸到黑球次数多时小东赢，摸到白球次数多时小亮赢。从下面的哪个盒中摸球最公平？请说明理由。 【答案】 从③号盒中摸球最公平。理由：③号盒中黑球和白球的数量相等，摸到黑球和白球的可能性相等，因此游戏最公平。 【分析】明确游戏公平的判断标准：因为摸球游戏公平的前提是双方获胜的可能性相等，所以需要先确定摸到黑球和摸到白球的可能性相等的条件是盒中黑球和白球的数量相同。 逐个统计三个盒子中黑球、白球的数量，对比每个盒内两种球的数量是否相等。 找到黑球和白球数量相等的盒子，结合可能性相等的原理说明公平的理由。 【详解】①号盒中有8个白球，5个黑球，8＞5； ②号盒中有10个白球，4个黑球，10＞4； ③号盒中有6个白球，6个黑球，6＝6； 答：从③号盒中摸球最公平。因为③号盒中黑球和白球的数量相等，摸到黑球和白球的可能性相等，因此游戏最公平。 17．小娟和小红从下面盒中每次任意摸一个球，摸后放回，每人摸8次，摸到红球小娟得1分，摸到黄球小红得1分，摸到蓝球都不得分。你认为在哪几个盒子中摸球是公平的？ 【答案】A、B、D 【分析】根据题意，小娟摸到红球得1分，小红摸到黄球得1分，摸到蓝球都不得分，只有当盒子里红球和黄球的个数一样时才公平，据此解答即可。 【详解】 黄球和红球个数一样，对小娟和小红来说公平； 黄球和红球个数一样，对小娟和小红来说公平； 红球比黄球少，则摸到黄球的可能性比红球大，对小娟来说不公平； 黄球和红球个数一样，对小娟和小红来说公平。 答：我认为在哪A、B、D盒子中摸球是公平的。 18．淘气和笑笑在玩游戏，游戏规则，随便说一个数a（a＞0），然后转动转盘，进行运算，若结果比a大，则淘气赢；反之笑笑赢。 (1)你认为这个游戏公平吗？为什么？ (2)你认为怎样设计游戏规则才公平？ 【答案】(1)不公平，因为一个数“×3”“×1.1”“＋1.2”的结果都比原数大，有3种可能，×0.9的结果比原数小，有1种可能。 (2)把“×3”改为“×0.3”。（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的可能性大小是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可。 （1）根据一个非0数乘大于1的数，结果比原数大。乘小于1的数，结果比原数小。加大于0的数，结果比原数大。可知“×3”“×1.1”“＋1.2”结果都比原数大。×0.9的结果比原数小。据此分析说理。 （2）保证结果比原数大和比原数小的数量相等即可。 【详解】（1）这个游戏不公平。理由略。 （2）略 19．小宇和小恒进行象棋比赛，他们通过掷两枚骰子的方法决定谁先走，规则：若朝上的数字之积为单数，则小恒先走；若朝上的数字之积为双数，则小宇先走。你认为这个规则公平吗？为什么？ 【答案】不公平，因为积为单数的情况有9种，积为双数的情况有27种，小宇先走的可能性大，小恒先走的可能性小，所以不公平。 【分析】掷骰子过程有如下结果：                                                                                                                            由以上分析，出现双数积的次数是27，积为单数的次数是9，由于两人获胜的可能性不一样大，所以不公平。 【详解】这个规则不公平。因为积为单数的情况有9种，积为双数的情况有27种，小宇先走的可能性大，小恒先走的可能性小，所以不公平。 20．小军和小亮做游戏，他们用“手心、手背”决定谁先开始：如果两人出的相同（同为手心或手背），那么小军先开始；如果两人出的不同（一人出手心，另一人出手背），那么小亮先开始。请问：这个规则公平吗？为什么？ 【答案】公平。因为小军先开始的情况有两种，小亮先开始的情况也是两种，二人先开始的可能性相等。 【分析】共有4种情况：①两人同出手心；②两人同出手背；③小军出手心，小亮出手背；④小军出手背，小亮出手心。因为出的相同时有两种情况，不同时也有两种情况，所以，两人无论谁先开始，可能性相等。因此，这个规则是公平的。 【详解】小军先开始的情况有两人同出手心、两人同出手背，两种情况；小亮先开始的情况有小军出手心，小亮出手背，小军出手背，小亮出手心，两种情况；两人先开始都是两种情况，可能性相等，所以，这个游戏是公平的。 21．甲、乙两人做游戏，从标有数字2、3、4、5的卡片中先后任意摸出两张组成两位数（先摸出来的数字作为十位上的数字，后摸出来的数字作为个位上的数字），组成的两位数是奇数甲获胜，组成的两位数是偶数乙获胜。这个游戏规则公平吗？ 【答案】公平 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等；利用枚举法列举所有可能组成的数奇数和偶数的数量进行比较再判断。 【详解】这个游戏规则公平；因为摸出的两张卡片组成的两位数有23、24、25、34、35、45、32、42、52、43、53、54，共12个，奇数、偶数各有6个，所以游戏规则公平。 答：这个游戏规则公平 。 【点睛】本题考查了游戏的公平性：利用枚举法列举所有可能性，然后找出某两个事件所分别占有的结果数，计算出它们的概率，比较概率的大小即可得到游戏的公平性。 22．小军和小明做数学游戏，他们分别从6、7、8、9这四张卡片中任抽出一张，再把两人抽到的数相乘，如果积是单数小军赢，积是双数小明赢。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】不公平，理由见解析 【分析】6，7，8，9四张数字卡片任意抽出其中的两张，计算出所有的积，统计出单数结果和双数结果各有几种，判断谁赢的可能性大，据此解答即可。 【详解】6，7，8，9四张数字卡片任意抽出其中的两张，可以得到的积是，，，，，，共有6种，其中相乘后的积为双数的有5种，得到的积为单数有1种，所以小明赢的可能性大。所以这个游戏不公平。 【点睛】本题考查了可能性的大小，游戏规则的公平性体现在参与游戏的任何一方的获胜可能性大小一致。 23．把标有5，7，8，9四张数字的卡片倒扣在桌面上。甲、乙利用这四张卡片做游戏。游戏规则如下：甲从中任意抽一张，若抽到的卡片数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜。这个游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 【答案】不公平；奇数多，偶数少，甲赢得可能性大；抽到的卡片数字是质数，则甲获胜，否则乙获胜（答案不唯一） 【分析】根据5，7，8，9四张数字的卡片中奇数和偶数的个数多少进行判断即可得出游戏规则是否公平，再根据数的特点设计公平的游戏规则即可。 【详解】在5，7，8，9四张数字的卡片中奇数有5、7、9一共3个；偶数有8这1个，甲赢得可能性大。所以游戏规则不公平。 可以改成：甲从中任意抽一张，若抽到的卡片数字是质数，则甲获胜，否则乙获胜。（答案不唯一） 【点睛】此题考查了游戏的公平性，解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平。 24．盒子里装有11个乒乓球，分别写着1到11共11个数，笑笑和奇思玩摸球游戏。游戏规则：如果摸到奇数笑笑赢，如果摸到偶数奇思赢。 （1）这个游戏规则公平吗？为什么？ （2）笑笑一定会赢吗？ （3）你能设计一个公平的规则吗？ 【答案】（1）不公平，因为奇数和偶数的数量不同。 （2）不一定 （3）去掉一个奇数球，或添上一个偶数球（答案不唯一） 【分析】（1）1到11中的奇数有1、3、5、7、9、11，共6个；偶数有2、4、6、8、10，共5个。奇数和偶数的个数不同，则这个游戏规则不公平。 （2）奇数的数量多，说明笑笑赢的可能性大，但笑笑不是一定会赢。 （3）可以去掉一个奇数球，或添上一个偶数球。（答案不唯一） 【详解】（1）这个游戏规则不公平，因为奇数和偶数的个数不同。 （2）奇数个数多，则笑笑赢的可能性大，但笑笑不一定会赢。 （3）可以去掉一个奇数球，或添上一个偶数球。（答案不唯一） 【点睛】本题考查游戏规则的公平性、事件的确定和不确定性。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $