第二单元 三角形的再认识-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+十二大考点讲练+难度分层练 共56题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建“三角形的再认识”知识体系，以框架图呈现三角形内角和（含测量、拼角等验证方法）、三边关系（判断依据与第三边计算）、多边形内角和（公式推导）等核心知识点，清晰展现重难点内在联系，培养几何直观与空间观念。 讲义亮点在于12个高频考点讲练设计，如“剪绳问题”（判断三段能否围成三角形）培养推理意识，“三角形内角和实际应用”（花坛角度计算）发展模型意识，搭配分层真题演练（基础通关20题、能力提升36题）。知识梳理中提分方法与解题技巧指导，助力不同层次学生掌握，支持自主复习与教师精准教学。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 三角形的再认识『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 三角形内角和 2 知识点二 三角形三边关系 3 知识点三 多边形内角和 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 直接计算角度（三角形内角和） 5 高频考点二 结合几何图形计算角度（三角形内角和） 5 高频考点三 三角形内角和的实际应用 6 高频考点四 判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系） 7 高频考点五 求第三边长度（三角形三边关系的应用） 7 高频考点六 等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用） 8 高频考点七 求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用） 8 高频考点八 三角形三边关系的实际应用 9 高频考点九 多边形的内角和的直接计算 10 高频考点十 结合几何图形计算多边形的内角和 10 高频考点十一 多边形的内角和的推导一（较简单） 11 高频考点十二 多边形的内角和的推导二（较复杂） 12 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 16 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 高频考点一 直接计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 (1)若将支撑架调节成图①的样子，，，则( )；按角分，这是一个( )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京东城·期中）一个三角形的三个角分别为50°、60°和( )。 高频考点二 结合几何图形计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知，那么( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·海南海口·专题练习）如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是( )°。这张纸片的形状按角分是( )三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）如图，一张三角形的纸片被撕去一个角，被撕去的这个角的度数为( )，原来三角形纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 高频考点三 三角形内角和的实际应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河北邢台·期末）一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·全国·期末）红色教育基地的农耕实践园围长方形木条防护栏，长方形结构容易晃动变形，文文同学提议斜钉一根木条加固围栏。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（ ）三角形，按边分是一个（ ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西渭南·期末）在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组的同学们正在进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花坛，被巧妙地划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得，，还发现了花坛内部一条分割线与边形成的。求∠2的度数。 高频考点四 判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·福建漳州·期末）一个三角形的两条边分别是5cm和12cm。下列选项中能作为第三条边长度的是（    ）。 A．5cm B．12cm C．17cm D．19cm 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·浙江宁波·期末）从2cm、3cm、5cm、6cm四根小棒中任选三根，共可拼成四种不同的三角形。( )（判断对错） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·江苏宿迁·期末）东东用小棒摆三角形，已经选了两根小棒，分别长3厘米和7厘米，他应该再选择一根（    ）的小棒。 A．3厘米 B．4厘米 C．7厘米 D．11厘米 高频考点五 求第三边长度（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河南平顶山·期末）如图，在池塘的一侧选取一点O，测得米，米。那么A、B两点之间的距离可能是（    ）。 A．8米 B．16米 C．24米 D．以上都可以 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏淮安·期末）如下图，不同长度的小棒各有2根。如果任选三根小棒，( )能围成三角形（填“一定”或“不一定”）；如果要围出一个平行四边形，最少用( )种不同长度的小棒；如果要围出一个梯形，最多要( )种不同长度的小棒。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·重庆忠县·期末）下图是张叔叔家的太阳能热水器。热水器的下方一段支架损坏了。需要更换的支架长度可能是（    ）dm。 A．5 B．8 C．16 D．35 高频考点六 等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆开州·期末）把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个( )角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是( )厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么( )厘米。（BD的长是整厘米数） 高频考点七 求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏泰州·期末）童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪两刀，使剪成的三根绳子能围成三角形。 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由：__________。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·福建福州·期末）荣荣和莉莉准备围一个周长是14cm的三角形，现在他们都有一根长14cm的小棒，怎样剪两刀，使剪成的三根小棒能围成三角形。（每个小棒的长度都是整厘米数）。荣荣准备将第一刀剪在小棒的中点处。这种剪法行吗？为什么？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆巴南·期末）把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 高频考点八 三角形三边关系的实际应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）王老师和李老师一样，都是骑行爱好者，上周末她们沿着一个三角形湖泊环湖骑行。李老师从A地出发，先向B地骑行，再向C地骑行；李老师出发半小时后王老师也从A地出发，先向C地骑行，再向B地骑行。 (1)请你选一选：A、C两地之间的距离可能是（    ）千米。 A．18 B．21 C．35 D．53 (2)如果李老师每小时骑行16千米，王老师每小时骑行24千米，王老师出发后几小时遇到李老师？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东深圳·期中）乐乐和明明打算用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根9厘米和一根15厘米的木条。乐乐说：“第三根木条可以是6厘米。”明明却认为：“第三根木条可以是7厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南焦作·期末）五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 高频考点九 多边形的内角和的直接计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南株洲·期末）三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·内蒙古通辽·期末）连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 高频考点十 结合几何图形计算多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·期末）如图是由4个边长为6厘米的等边三角形拼成的大三角形。 (1)图中共有( )个平行四边形，( )个梯形，每个四边形的内角和是( )°。 (2)涂色部分四边形中的一个钝角是( )°，拼成后的大三角形的周长是其中一个小三角形周长的( )倍。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河南南阳·期末）如图：将四边形沿虚线剪去一个100°的角，剩余图形的内角和是（    ）。 A．360° B．260° C．540° D．180° 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·湖南怀化·期末）如图：在一个等边三角形中，如果沿虚线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠5＋∠4＝( )°。 高频考点十一 多边形的内角和的推导一（较简单） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·湖北襄阳·期末）同学们探究多边形内角和与边数的关系。如下图，依次类推：一个八边形的内角和是( )，一个n边形的内角和是( )。 图形 边数 3 4 5 6 内角和 180 180×2 180×3 180×4 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·山东滨州·期末）观察下面的图形，请根据你的发现解答有关问题（直接填写结果，不用写解答过程）。 (1)填表（将表中空着的表格填上相应的结果）： 图形 三角形 四边形 五边形 六边形 …… n边形 边数 3 4 5 …… n 分成的三角形个数 1 2 …… 内角和 180° …… (2)填空：如果一个n边形的内角和是2160°，那么这个n边形的边数n＝______。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·山东潍坊·期中） 如上图所示，一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形…… (1)一个十边形可以分成( )个三角形，这个十边形的内角和是( )； (2)一个n边形可以分成( )个三角形，这个n边形的内角和是( )。 高频考点十二 多边形的内角和的推导二（较复杂） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·云南昆明·期末）四名同学以六边形为例，探究多边形内角和的计算方法，探究过程如下： （1）你认为哪些同学的探究过程是正确的，请在他们名字后面的里打“√”： 姓名 聪聪 明明 睿睿 智智 分法 分成两个四边形 分成一个四边形和两个三角形 分成两个四边形和一个三角形 分成四个四边形 图示 计算过程 360°×2＝720° 360°＋180°×2 ＝360°＋360° ＝720° 360°×2＋180° ＝720°＋180° ＝900° 360°×4＝1440° （2）除了以上四种方法，你还有其它探究六边形内角和的方法吗？请你先在下图中分一分，再写出探究过程。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东德州·期末）法国著名的数学家帕斯卡在12岁时就发现了重要的数学定理：平面上任何一个三角形的内角和是180°。 在探究多边形的内角和时，李明同学想到了这样一种办法：通过把多边形分割成三角形来求多边形的内角和。如图所示。               因为长方形的4个角都是90°，所以长方形的内角和是360°。 在一个长方形中做一条辅助线，将长方形分成两个三角形，两个三角形内角和加起来是360°，正好等于长方形的内角和。 探索：你能运用类似的方法解决下面的问题吗？ 请你根据自己发现的规律画出以下图形的辅助线，并求出它们的内角和。 我这样分： 内角和：____________             ___________           ___________ 如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为_____个。 那么多边形的内角和度数＝_____ 应用：如果是十边形，那么它的内角和是多少度？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（    ）。 【基础通关】 1．（24-25四年级下·重庆万州·期末）在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是三名同学的作品，其中小明使用的算式是180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． 2．（24-25五年级下·山东泰安·期末）下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm       1cm       2cm B．1cm       2.5cm       3cm C．0.8dm       1dm       2dm D．2dm       1dm       5dm 3．（24-25五年级下·河南洛阳·期末）数学思想方法是数学的灵魂。下列解决问题的方法中，运用了“转化”思想的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（25-26四年级下·河南商丘·期中）如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形内角和是( )，剩余部分图形的内角和是( )。 5．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期中）一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 6．（25-26四年级下·浙江金华·期中）如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 7．（24-25五年级下·江苏淮安·期末）图中圆半径为6厘米，求涂色部分的面积。 8．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 9．（25-26五年级下·四川内江·期末）一个零件如下图，当∠1＝40°，∠2＝25°，∠3＝90°时才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 10．（25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测）公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 【能力提升】 1．（25-26五年级下·山东泰安·期末）一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边可能是（    ）厘米。 A．10厘米 B．4厘米 C．2厘米 D．16厘米 2．（24-25五年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．用长度是6cm、4cm和11cm的3根小棒，可以围成一个三角形。 B．小明做一个等腰三角形，这个等腰三角形的一个底角是92°。 C．圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长和面积会扩大到原来的2倍。 D．任意翻阅2025年的台历，翻到星期一的可能性比翻到2号的可能性大。 3．下面三幅图中每个扇形的半径都是1厘米，比较每幅图中涂色部分的面积之和，结果是（    ）。 A．图①中涂色部分面积之和大 B．图②中涂色部分面积之和大 C．图③中涂色部分面积之和大 D．一样大 4．（24-25四年级下·海南儋州·期末）在一个三角形中，∠1＝100°，∠2＝35°，那么∠3＝( )°；按角分，这是一个( )三角形。一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°；按角分，它是一个( )三角形。 5．（24-25五年级下·安徽六安·期末）一个等腰钝角三角形，其中钝角的度数是一个锐角的4倍，则钝角是( )°。 6．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一般三角形的内角和等于180°，但是钝角三角形的内角和大于180°。( )(判断对错） 7．（24-25四年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）用2倍的放大镜看一个三角形，这时三角形的内角和是360度。( )(判断对错） 8．（23-24四年级下·全国·单元测试）如下图所示，求的度数。 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 10．（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元三角形的再认识『举一反三知识讲练』 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+12个考点讲练展+真题难度分层演练共56题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 多目录指引内容知晓 知识梳理温故知新…· 9 知识点一三角形内角和. ……2 知识点二三角形三边关系 知识点三多边形内角和…… 考点讲练真题汇总..... 5 高频考点一直接计算角度（三角形内角和） 。。。，。。。。。。。。，。。。。。。◆4。◆，4，◆0,40，，44.4。。5 高频考，点二结合几何图形计算角度（三角形内角和） .。.1,。..5 高频考点三三角形内角和的实际应用…6 高频考点四判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系)…·7 高频考点五求第三边长度（三角形三边关系的应用) …7 高频考点六等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用）.....8 高频考点七求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用）…8 第1页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点八三角形三边关系的实际应用.·· ..9 高频考点九多边形的内角和的直接计算.. 10 高频考点十结合几何图形计算多边形的内角和. 10 高频考点十一多边形的内角和的推导一（较简单) 11 高频考，点十二多边形的内角和的推导二（较复杂） 12 优选真题实战演练…………… 【基础通关】 14 【能力提升】 16 导图指引梳理脉貉 一、探索三角形内角和 二、三角形的三边关系 三、三角形的内角和与分类 四、探素内角和的奥秘 1,认识：三角形内角和一定比任何一个内角都大 1,提撞：三角形任童两边之和大于第三边 1.三角形内角和：三角形内角和等于180 ,生活中的围形中有许多三角形 2.测量与记录 8b 2.按角的大小分类： 三角形的影状 相个内角的数三个内角的对 想角三角形()()()180 判断三条线能香圃三角 锐角三角形 直角三角彩 链角三角形 商角=角彩《)(1方 180 a◆D>0 个内角都是能角有一个直角(90)。有一个纯角(>对】 纯角三角()(() b+c>a 【例题】到断并分类。 2.剩幻计划：测量。骑拼三角形，检证内角和量180 【数】判断下面三组线段能否围成三角形 (1)三个内角分别是40,70,70 3.深素方法（拼或朗一霸）： 3.结论：三角形内角和等于80。 1)2m 2)一个内角题90，另两个内角分别是30和60 (2)3cm cm.8cm 【例题】下列三角形的内角和是多少度？ 《3)一个内角量120，另两个内角分别是30和30 (3)5 cm.6 cm.10 cm 答：都是180 蓉：1)经角三角形(2)直角三角形《3)旋角三角形 答：（1)能(2)不能 (3)不能 结论 三角形的内角和等于180 第二单元 五、三角形与三角形的关系 三角形的再认识 1用一条线段肥一个等三角形分成两个三角列 八、解决问题 这两个三角形一定是等三角形 单元复习思维导图 1,问题：一个直角三角影中，一个锐角是32，另一个锐角 是多少匿？ 答1180-90-32°=58 2。如果三角形的两条边的长度关系无法判断第三条过 。 的长 3m(共6种 下列说法正确的是C) 综合巩围题（含答蜜） 3题 一个等边三角形的周长是24m,它的边长是多少 c>la-bl 内角和小于10 B。三角形任意两边之和小于第三边 答：24÷3=8(cm) c a+b C,直角三角影中有一个角是90” D,能角三角形件P有两个纯角 2用三根小棒园成一个三角形，长度分别是3cm,4cm.6cm, 例题】等魔三角形的港长6cm,底边长8cm 这个三角形是(A)三角形. 落，70知90 这个三角彩圈长是多少厘来？ A视角 答：20cm B.直角 C.纯角 D.不能确定 六、三角形的意 否围成三角 1,从三角形的一个须点向对边画垂线，预点和垂足之同的 (1)1cm.2 cm.3 cm (x 九、巩固与应用 (3)5cm,6cm,10cm(×） 线段到作三角形的高。 1求∠B的度数 2求∠B的度数 求∠C的废数 个 个三角形的底角是它的面角是多少度 个直角三角形的一个锐角是35”，另一个锐角整多少度？ 转角三角形和直角三角形都有3条高 答：180-90-35=55 高的属法：用三角尺的直角边作垂线 七、整理与复习 1衡题】画出下面三角形的高， 15 人2 小哈三角分 不同三角在全器中有什么更多的面用 ：∠8=60 若：∠=40 ∠0=72 合学习小站士：多动手禁作，多观察思考，善于发现规律，蚊学就在我们身边： 知识梳理温故知新 知识点一三角形内角和 1.三角形的内角和 (1)定义 第2页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 (2)内角和规律 任意一个三角形的内角和都是180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 (3)验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°)。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 (4)举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50°+40°+90°=180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60°+60°+60°=180°。 2.应用内角和求未知角 (1)已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3=180°-∠1-∠2 (2)等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角=(180°-顶角)÷2 已知底角，可求顶角：顶角=180°-底角×2 (3)直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角=90°-另一个锐角 知识点二三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 (1)判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 (2)判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三 条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b(a≥b),第三边为c,则根据三边关系可得a-b<c< a+b,第三边c的长度取值范围就在a-b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短)长度剪绳问题 第3页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于+b,同时要考虑到实际问题中的取值要求，通 常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能 围成三角形。 知识点三多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。 例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有 个顶点的多边形可以分解成-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和=(n -2)×180度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为(6-2)× 180度=720度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式(n-2)×180度计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多 边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面 都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如 相似多边形、全等多边形等。 第4页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 考点讲练真题亿邑 高频考点一直接计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】（食食★★)(24-25四年级下·四川雅安·期末)一个三角形既是等腰三角形，又是钝 角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是( )。 A.40°和100°B.70°和70° C.50°和90° D.无法判断 【变式训练1】（★食★）(25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)下面是可调节的手机支架示意图， 底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 ② (1)若将支撑架调节成图①的样子，∠1=50°，∠2=80°，则∠3=( )°；按角分，这是一个 )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 【变式训练2】（★★★）(23-24五年级下·北京东城·期中)一个三角形的三个角分别为50°、60° 和( )。 高频考点二结合几何图形计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】（★★食青）(25-26四年级下四川成都阶段检测)如图，已知∠5=40°，那么∠1+∠2+ ∠3+∠4=( ) 【变式训练1】（★★★）（2025四年级下·海南海口·专题练习)如图所示，一张三角形纸片被撕去 了一个角，其中∠1=50°，∠2=65°，撕去的这个角是( )°。这张纸片的形状按角分是( 三角形。 Q 第5页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练2】（食★食）如图，一张三角形的纸片被撕去一个角，被撕去的这个角的度数为( 原来三角形纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 750 30° 高频考点三三角形内角和的实际应用 【典例精讲】（食★★）(25-26四年级下·河北邢台·期末)一个三角形花坛，花坛的最大角是120°， 是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【变式训练1】（★★★）(25-26四年级下·全国·期末)红色教育基地的农耕实践园围长方形木条防 护栏，长方形结构容易晃动变形，文文同学提议斜钉一根木条加固围栏。 7 B (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中AB=AC,∠1=105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个()三角形，按边分是一个()三角形。 ②求出图中∠2和∠3的度数。 第6页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练2】（★★★★)(24-25四年级下·陕西渭南·期末)在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组 的同学们正在进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花 坛，被巧妙地划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得∠B=65°，∠C=40°，还发现了花坛内部 一条分割线与边形成的∠1=30°。求∠2的度数。 BQ65 40°C 高频考点四判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系) 【典例精讲】（★★★)(25-26四年级下·福建漳州·期末)一个三角形的两条边分别是5cm和12Cm。 下列选项中能作为第三条边长度的是( A.5cm B.12cm C.17cm D.19cm 【变式训练1】（★青★）（25-26四年级下·浙江宁波·期末)从2cm、3cm、5cm、6cm四根小棒中任 选三根，共可拼成四种不同的三角形。( ）(判断对错) 【变式训练2】（★★★）(24-25六年级下·江苏宿迁·期末)东东用小棒摆三角形，己经选了两根小 棒，分别长3厘米和7厘米，他应该再选择一根( )的小棒。 A.3厘米 B.4厘米 C.7厘米 D.11厘米 高频考点五求第三边长度（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】（★★★）(25-26四年级下河南平顶山期末)如图，在池塘的一侧选取一点0，测得0A=8 米，OB=16米。那么A、B两点之间的距离可能是( A.8米 B.16米 C.24米 D.以上都可以 【变式训练1】（★★★）(25-26四年级下·江苏准安·期末)如下图，不同长度的小棒各有2根。如 果任选三根小棒，()能围成三角形（填“一定”或“不一定”）：如果要围出一个平行四边形，最 第7页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 少用( )种不同长度的小棒；如果要围出一个梯形，最多要( )种不同长度的小棒。 5厘米 6厘米■ 7厘米 3厦米 【变式训川练2】（★★★）(25-26四年级下·重庆忠县·期末)下图是张叔叔家的太阳能热水器。热水 器的下方一段支架损坏了。需要更换的支架长度可能是( ）dmo 支架损坏 A.5 B.8 C.16 D.35 高频考点六等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】（食★★）(24-25四年级下·四川雅安·期末)一个等边三角形的周长是36厘米，它的 一条边长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 【变式训练1】（★★★）(24-25四年级下·重庆开州·期末)把一个三角形的3个内角剪下来可以拼 成一个( )角：如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°： 若它的两条边分别是6cm和12cm,那么它的周长是( )厘米。 【变式训练2】（★★★★)(25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)一个等腰三角形的两条边分别是 6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，AB=6厘 米，AD=7厘米，BC=4厘米，CD=15厘米，那么BD=( )厘米。(BD的长是整厘米数) B D 高频考点七求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】（食★★)(25-26四年级下·江苏泰州·期末)童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪 两刀，使剪成的三根绳子能围成三角形。 oB 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由： 第8页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练1】（★★★）(25-26四年级下·福建福州·期末)荣荣和莉莉准备围一个周长是14cm的 三角形，现在他们都有一根长14cm的小棒，怎样剪两刀，使剪成的三根小棒能围成三角形。（每个小棒的 长度都是整厘米数)。荣荣准备将第一刀剪在小棒的中点处。这种剪法行吗？为什么？ 【变式训练2】（食★★食)（24-25四年级下·重庆巴南·期末)把一根长10厘米的铁丝剪成3段， 再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） 012345678910 (1)若从4厘米处剪了一刀，再在( )厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 (2)小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 高频考点八三角形三边关系的实际应用 【典例精讲】（★★★)(23-24四年级下·辽宁沈阳·期末)王老师和李老师一样，都是骑行爱好者， 上周末她们沿着一个三角形湖泊环湖骑行。李老师从A地出发，先向B地骑行，再向C地骑行；李老师出 发半小时后王老师也从A地出发，先向C地骑行，再向B地骑行。 A 16km 37km (1)请你选一选：A、C两地之间的距离可能是( )千米。 A.18 B.21 C.35 D.53 (2)如果李老师每小时骑行16千米，王老师每小时骑行24千米，王老师出发后几小时遇到李老师？ 第9页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练1】（★★★）(24-25四年级下·广东深圳·期中)乐乐和明明打算用木条制作一个三角形 框架。他们先截出一根9厘米和一根15厘米的木条。乐乐说：“第三根木条可以是6厘米。”明明却认为： “第三根木条可以是7厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 【变式训练2】（食★★★）(23-24四年级下·河南焦作·期末)五月是育才学校的劳动月，为增强师 生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整 菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多 少米？ 高频考点九多边形的内角和的直接计算 【典例精讲】（★★★）(25-26六年级下·湖南株洲·期末)三角形的内角和是180度，四边形的内角 和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是()度。 【变式训练1】（食食食）(25-26四年级下·内蒙古通辽·期末)连接四边形的一条对角线，四边形被 分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( ),所以四边形的内角和是( )。 【变式训练2】（★★★）(25-26四年级下·江苏徐州·期末)一个等腰三角形的顶角是50°，它的底 角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 高频考点十结合几何图形计算多边形的内角和 【典例精讲】（食食食）(25-26四年级下·江苏徐州·期末)如图是由4个边长为6厘米的等边三角形 拼成的大三角形。 第10页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 (1)图中共有( )个平行四边形，(）个梯形，每个四边形的内角和是( )°。 (2)涂色部分四边形中的一个钝角是( )°，拼成后的大三角形的周长是其中一个小三角形周长的 )倍。 【变式训练1】（★★★）（25-26四年级下·河南南阳·期末)如图：将四边形沿虚线剪去一个100° 的角，剩余图形的内角和是( )。 100 A.360° B.260° C.540° D.180 【变式训练2】（★★★）(25-26四年级下·湖南怀化·期末)如图：在一个等边三角形中，如果沿虚 线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2十∠3=( )°，∠5+∠4=( )°。 高频考点十一多边形的内角和的推导一（较简单） 【典例精讲】（食★食）(24-25六年级下·湖北襄阳·期末)同学们探究多边形内角和与边数的关系。 如下图，依次类推：一个八边形的内角和是( ),一个n边形的内角和是( 图形 边数 3 4 6 内角和 180 180×2 180×3 180×4 第11页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练1】（★★★★）(24-25六年级下·山东滨州·期末)观察下面的图形，请根据你的发现解 答有关问题（直接填写结果，不用写解答过程）。 (1)填表（将表中空着的表格填上相应的结果）： 图形 三角形 四边形 五边形 六边形 票带质质带质 n边形 边数 3 4 5 果泰 n 分成的三角形个数 1 2 … 内角和 1809 雨 (2)填空：如果一个n边形的内角和是2160°，那么这个n边形的边数n= 【变式训练2】（★★★）(25-26四年级下·山东潍坊·期中) 如上图所示，一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4 个三角形… (1)一个十边形可以分成( )个三角形，这个十边形的内角和是( (2)一个n边形可以分成( )个三角形，这个n边形的内角和是( 高频考点十二多边形的内角和的推导二（较复杂） 【典例精讲】（食食食）(24-25四年级下·云南昆明·期末)四名同学以六边形为例，探究多边形内角 和的计算方法，探究过程如下： (1)你认为哪些同学的探究过程是正确的，请在他们名字后面的 里打“√”： 姓名 聪聪 明明 睿睿 智智口 分成两个四 分成一个四边形和两 分成两个四边形和 一 分成四个四 分法 边形 个三角形 个三角形 边形 第12页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 图示 360°+180°×2 360°×2+180° 计算 360°×2= 360°×4= =360°+360° =720°+180 过程 720° 1440° =720° =900° (2)除了以上四种方法，你还有其它探究六边形内角和的方法吗？请你先在下图中分一分，再写出探究过 程。 【变式训练1】（青食★青）(24-25四年级下·山东德州·期末)法国著名的数学家帕斯卡在12岁时 就发现了重要的数学定理：平面上任何一个三角形的内角和是180°。 在探究多边形的内角和时，李明同学想到了这样一种办法：通过把多边形分割成三角形来求多边形的内角 和。如图所示。 因为长方形的4个角都是90°，所以长方形的内角和是360°。 在一个长方形中做一条辅助线，将长方形分成两个三角形，两个三角形内角和加起来是360°，正好等于长 方形的内角和。 探索：你能运用类似的方法解决下面的问题吗？ 请你根据自己发现的规律画出以下图形的辅助线，并求出它们的内角和。 我这样分： 第13页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 内角和： 如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为个。 那么多边形的内角和度数= 应用：如果是十边形，那么它的内角和是多少度？ 【变式训练2】（★★★★）(23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)求四边形的内角和有以下几种 方法： 方法3：分成4个三角 方法2：分成2个三 方法1：拼一拼 形 角形 2 1个周角 六边形 180×4-360=360 180×2=360(度) (度) 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：( )。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25四年级下·重庆万州·期末)在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是三 名同学的作品，其中小明使用的算式是180°×4一180°。你认为图( )是小明的作品。 B C 第14页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 2.(24-25五年级下·山东泰安·期末)下面各组线段中，能围成三角形的是( )。 A.1cm 1cm 2cm B.1cm 2.5cm 3cm C.0.8dm 1dm 2dm D.2dm 1dm 5dm 3.(24-25五年级下·河南洛阳·期末)数学思想方法是数学的灵魂。下列解决问题的方法中，运用了“转 化”思想的有( )。 1 ②+-+- 求多边形内角和 异分母分数加法 求平行四边形面积 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 4.(25-26四年级下·河南商丘·期中)如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一 个小三角形，剪下的小三角形内角和是( ),剩余部分图形的内角和是( )。 409 100 5. (25-26四年级下·辽宁沈阳·期中)一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和 是( )度。 6.(25-26四年级下·浙江金华·期中)如下图，已知AB=BC,求∠1，∠2，∠3的度数。 110A 2 B<1 7.(24-25五年级下·江苏准安·期末)图中圆半径为6厘米，求涂色部分的面积。 第15页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 8.(25-26四年级下·甘肃张掖·期中)夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度 呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 我的方 我还想到一 法是： 180°×4=720° 种方法： 我的方 这样也可以， 法是： 9.(25-26五年级下·四川内江·期末)一个零件如下图，当∠1=40°，∠2=25°，∠3=90°时才符合 要求，工人师傅在检验时，只量了∠4=140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 10.(25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测)公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角 的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 【能力提升】 1.(25-26五年级下·山东泰安·期末)一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边 可能是( )厘米。 A.10厘米 B.4厘米 C.2厘米 D.16厘米 2.(24-25五年级下·山东威海·期末)下列说法正确的是( )。 A.用长度是6cm、4cm和11cm的3根小棒，可以围成一个三角形。 B.小明做一个等腰三角形，这个等腰三角形的一个底角是92°。 C.圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长和面积会扩大到原来的2倍。 D.任意翻阅2025年的台历，翻到星期一的可能性比翻到2号的可能性大。 第16页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 3.下面三幅图中每个扇形的半径都是1厘米，比较每幅图中涂色部分的面积之和，结果是( )。 ① ② ③ A.图①中涂色部分面积之和大 B.图②中涂色部分面积之和大 C.图③中涂色部分面积之和大 D.一样大 4.（24-25四年级下·海南儋州·期末)在一个三角形中，∠1=100°，∠2=35°，那么∠3=( )°； 按角分，这是一个( )三角形。一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°；按角分，它 是一个( )三角形。 5.(24-25五年级下·安徽六安·期末)一个等腰钝角三角形，其中钝角的度数是一个锐角的4倍，则钝 角是( )°。 6.(24-25四年级下·甘肃张掖·期末)一般三角形的内角和等于180°，但是钝角三角形的内角和大于 180°。( )(判断对错) 7.(24-25四年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)用2倍的放大镜看一个三角形，这时三角形的内角和是360 度。( )(判断对错) 8.(23-24四年级下·全国·单元测试)如下图所示，求∠1的度数。 55 115° 第17页共18页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 9.(24-25四年级下·全国·课后作业)如下图，已知∠4=70°，∠6=120°，求∠2和∠7的度数。 10.(24-25五年级上·山东滨州·期中)在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其 内角和。 我把这个四边形 我把这个四边形分 我把这个四边形分 分成2个三角形 成3个三角形，可 成4个三角形，可 是多了一个平角。 是多了一个周角。 四边形的内角和： 四边形的内角和： 四边形的内角和： 180°+180°=360° 180°×3=540° 180°×4=720° 540°-180°=360° 720°-360°=3609 方法1 方法2 方法3 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 第18页共18页2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 三角形的再认识『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+12个考点讲练展+真题难度分层演练 共56题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 三角形内角和 2 知识点二 三角形三边关系 3 知识点三 多边形内角和 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 直接计算角度（三角形内角和） 5 高频考点二 结合几何图形计算角度（三角形内角和） 6 高频考点三 三角形内角和的实际应用 7 高频考点四 判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系） 9 高频考点五 求第三边长度（三角形三边关系的应用） 10 高频考点六 等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用） 12 高频考点七 求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用） 14 高频考点八 三角形三边关系的实际应用 16 高频考点九 多边形的内角和的直接计算 18 高频考点十 结合几何图形计算多边形的内角和 19 高频考点十一 多边形的内角和的推导一（较简单） 21 高频考点十二 多边形的内角和的推导二（较复杂） 23 优选真题 实战演练 27 【基础通关】 27 【能力提升】 32 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 高频考点一 直接计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 【答案】A 【思路引导】一个三角形既是钝角三角形，又是等腰三角形，它的一个内角是40°，40°若作为顶角，180°减去40°得到两个相等的底角和，再除以2等到底角是70°，这三个角均为锐角，不符合题意，所以40°一定是底角，才能是钝角三角形。根据三角形的内角和是180°，用180°减去两个相等的底角的度数就是顶角的度数，据此作答。 【规范解答】 所以另外两个内角分别是40°和100°。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 (1)若将支撑架调节成图①的样子，，，则( )；按角分，这是一个( )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 【答案】(1) 50 锐 (2)钝 【思路引导】根据三角形的内角和180°，计算出∠3的度数，根据三个角的度数可以判断出三角形的类型；根据图②三角形的样子，观察三个角的形状，判断三角形的类型。三角形类型按角分：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90°；2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90°；3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90°且小于180°。 【规范解答】（1）180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° ∠3＝50°，三个角均小于90°，所以按角分类，这是一个锐角三角形。 （2）图②的三角形，观察图形可知，有一个角大于90°且小于180°，所以图3是一个钝角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京东城·期中）一个三角形的三个角分别为50°、60°和( )。 【答案】70° 【思路引导】根据三角形内角和180°，用180°－50°－60°即可求出剩余一个角的度数。 【规范解答】180°－50°－60°＝70°，所以一个三角形的三个角分别为50°、60°和70°。 高频考点二 结合几何图形计算角度（三角形内角和） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知，那么( )。 【答案】280°/280度 【思路引导】根据“三角形的内角和是180°”这个核心知识点，可以发现图中包含了两个三角形，它们共用一个角∠5。我们可以分别利用这两个三角形的内角和，求出两个三角形的内角和，再减去两个∠5，来巧妙地求出四个角的总和，列式计算即可。 【规范解答】∠5＝40° ∠1＋∠2＋∠5＝180° ∠3＋∠4＋∠5＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°－∠5－∠5＝360°－40°－40°＝320°－40°＝280° 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（2025四年级下·海南海口·专题练习）如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是( )°。这张纸片的形状按角分是( )三角形。 【答案】 65 锐角 【思路引导】三角形的内角和是180°，用内角和依次减去50°和65°，求出撕去的角是65°；然后根据三个角的大小判断，三个角都是锐角，那么三角形是锐角三角形。 【规范解答】180°－50°－65° ＝130°－65° ＝65° 三个角都是锐角（小于90°），那么三角形是锐角三角形。 即如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角是65°。这张纸片的形状按角分是锐角三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）如图，一张三角形的纸片被撕去一个角，被撕去的这个角的度数为( )，原来三角形纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 【答案】 75° 等腰 锐角 【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，求出第三个角是180°－75°－30°＝75°。这个三角形中两个角相等，都是75°，三角形是等腰三角形。这个三角形的三个角都是锐角，三角形是锐角三角形。 【规范解答】180°－75°－30°＝75° 被撕去的这个角的度数为75°。原来三角形纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 【考点剖析】本题关键是根据三角形的内角和定理求出第三个角的度数。 高频考点三 三角形内角和的实际应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河北邢台·期末）一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【答案】40°；钝角三角形。 【思路引导】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【规范解答】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·全国·期末）红色教育基地的农耕实践园围长方形木条防护栏，长方形结构容易晃动变形，文文同学提议斜钉一根木条加固围栏。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（ ）三角形，按边分是一个（ ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【答案】(1) 三角形具有稳定性 (2) ① 锐角；等腰； ② ∠2＝75°，∠3＝30°。 【思路引导】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 （2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 【规范解答】（1）略 （2）若图中AB＝AC，∠1＝105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个锐角三角形，按边分是一个等腰三角形。 ②∠ABC＝180°－105°＝75° ∠2＝∠ABC＝75° ∠3＝180°－75°－75°＝105°－75°＝30° 答：∠2的度数是75°，∠3的度数是30°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西渭南·期末）在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组的同学们正在进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花坛，被巧妙地划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得，，还发现了花坛内部一条分割线与边形成的。求∠2的度数。 【答案】45° 【思路引导】根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，可以先求出三角形ABC中∠BAC的度数，由图可得，∠BAC＝180°－∠B－∠C，再通过∠BAC与∠1的关系求出∠2的度数，∠2＝∠BAC－∠1，据此解答即可。 【规范解答】∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－65°－40° ＝75° ∠2＝∠BAC－∠1 ＝75°－30° ＝45° 答：∠2的度数为45°。 高频考点四 判断三条线段是否能围出三角形（三角形三边关系） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·福建漳州·期末）一个三角形的两条边分别是5cm和12cm。下列选项中能作为第三条边长度的是（    ）。 A．5cm B．12cm C．17cm D．19cm 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边据此判断。 【规范解答】先算已知两边的和与差，和：5＋12＝17（cm），差：12－5＝7（cm） 所以第三条边的长度必须满足：7cm＜第三边长度＜17cm 对照选项判断： A. 5cm：小于7cm，不符合。 B． 12cm：在7cm和17cm之间，符合条件。 C． 17cm：等于两边的和，不能构成三角形 D. 19cm：大于17cm，不符合。 所以，能作为第三条边长度的是12cm。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·浙江宁波·期末）从2cm、3cm、5cm、6cm四根小棒中任选三根，共可拼成四种不同的三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】依据三角形任意两边之和大于第三边依次判断。 【规范解答】所有选三根小棒的组合，共4种： ①2cm、3cm、5cm，2＋3＝5，不满足，不能拼成三角形； ②2cm、3cm、6cm，2＋3＜6，不满足，不能拼成三角形； ③2cm、5cm、6cm，2＋5＞6，满足，可以拼成三角形； ④3cm、5cm、6cm，3＋5＞6，满足，可以拼成三角形。 所以只有2种组合能拼成三角形，题目说“四种”，说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·江苏宿迁·期末）东东用小棒摆三角形，已经选了两根小棒，分别长3厘米和7厘米，他应该再选择一根（    ）的小棒。 A．3厘米 B．4厘米 C．7厘米 D．11厘米 【答案】C 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，据此分析四个选项找出合适的即可。 【规范解答】A．3＋3＝6（厘米），6＜7，不能围成三角形，此选项错误。 B．4＋3＝7（厘米），7＝7，不能围成三角形，此选项错误。 C．3＋7＝10（厘米），10＞7，7＋7＝14（厘米），14＞3，所以3厘米、7厘米、7厘米能围成三角形。此选项正确。 D．3＋7＝10（厘米），10＜11，不能围成三角形，此选项错误。 高频考点五 求第三边长度（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河南平顶山·期末）如图，在池塘的一侧选取一点O，测得米，米。那么A、B两点之间的距离可能是（    ）。 A．8米 B．16米 C．24米 D．以上都可以 【答案】B 【思路引导】三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知这个三角形的两条边分别是8米和16米，根据三边关系，即可算出AB两点之间的距离范围。据此解答。 【规范解答】8＋16＝24（米） 16－8＝8（米） 8＜AB＜24，只有B选项的16米符合，所以A、B两点的距离可能是16米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏淮安·期末）如下图，不同长度的小棒各有2根。如果任选三根小棒，( )能围成三角形（填“一定”或“不一定”）；如果要围出一个平行四边形，最少用( )种不同长度的小棒；如果要围出一个梯形，最多要( )种不同长度的小棒。 【答案】 不一定 2 4 【思路引导】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，需判断从给定小棒中任选3根是否一定满足该条件； 平行四边形对边平行且相等，考虑不同长度小棒的组合情况； 梯形只有一组对边平行，分析其对边长度的不同组合可能性。 【规范解答】任选三根小棒，假如选3厘米、5厘米、6厘米，（厘米），能围成；假如选3厘米、3厘米、6厘米，（厘米），不能围成。所以任选3根小棒不一定能围成三角形。 平行四边形的对边要相等，所以最少要用2种不同长度，如5厘米和6厘米各2根。 梯形的上底、下底、两腰可以各不相等，所以最多用4种不同长度的小棒，如5厘米，6厘米，7厘米，3厘米各一根。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·重庆忠县·期末）下图是张叔叔家的太阳能热水器。热水器的下方一段支架损坏了。需要更换的支架长度可能是（    ）dm。 A．5 B．8 C．16 D．35 【答案】C 【思路引导】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出20与12的和，20与12的差，即这个支架的长度要大于20与12的差，小于20与12的和，据此逐项比较，即可解答。 【规范解答】20－12＝8（分米） 20＋12＝32（分米） A．5＜8，不符合三边关系； B．8＝8，不符合三边关系； C．8＜16＜32，符合三边关系； D．35＞32，不符合三边关系。 张叔叔家的太阳能热水器。热水器的下方一段支架损坏了。需要更换的支架长度可能是16dm。 高频考点六 等腰三角形与等边三角形三边长度的计算（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 12 20 【思路引导】等边三角形的三条边相等，用等边三角形的周长除以3，就是它的一条边的长。等腰三角形的两腰相等，所以第三条边长可能是4厘米或8厘米。三角形的任意两边之和大于第三条边，如果第三条边的长度是4厘米。4＋4＝8。不能围成三角形。所以第三条边的长度是8厘米。再把三条边的长度相加， 就是它的周长。 【规范解答】36÷3＝12（厘米） 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（厘米） 所以，一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长12厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是20厘米。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆开州·期末）把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个( )角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是( )厘米。 【答案】 平 80 30 【思路引导】三角形的内角和是180°，所以3个内角剪下来可以拼成一个180°的角；180°的角是平角。 等腰三角形两个底角相等，三角形内角和180°，180°减去两个底角的度数，即可算出顶角的度数。 三角形两边之和大于第三边。如果腰是6cm，6＋6＝12，不满足两边之和大于第三边，所以腰只能是12cm，这个三角形三条边的长度分别是：6cm、12cm、12cm。 【规范解答】180°-50°×2 ＝180°-100° ＝80° 6＋12＋12 ＝30（cm） 把一个三角形的3个内角剪下来可以拼成一个平角；如果这个三角形是一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是80°；若它的两条边分别是6cm和12cm，那么它的周长是30厘米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么( )厘米。（BD的长是整厘米数） 【答案】 14 12 【思路引导】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。根据三角形三边关系，任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，确定三角形第三边可能的长度，再结合三角形三边关系求出周长的最小值；然后在两个三角形中分别利用三边关系确定BD的取值范围，最后综合得出BD的整厘米数。 【规范解答】假设腰长是6厘米，底边是4厘米，此时三边为6厘米、6厘米、4厘米， 6＋4＞6，满足三角形三边关系， 周长为：6＋6＋4 ＝12＋4 ＝16（厘米） 假设腰长是4厘米，底边是6厘米，此时三边为4厘米、4厘米、6厘米， 4＋4＞6，满足三角形三边关系， 周长为：4＋4＋6 ＝8＋6 ＝14（厘米） 14＜16 围成这个三角形至少需要14厘米的铁丝； 在三角形ABD中，根据三角形三边关系：AB－AD＜BD＜AD＋AB，即7厘米－6厘米＜BD＜7厘米＋6厘米，所以1厘米＜BD＜13厘米； 在三角形BCD中，根据三角形三边关系：CD－BC＜BD＜CD＋BC，即15厘米－4厘米＜BD＜15厘米＋4厘米，所以11厘米＜BD＜19厘米； 综合两个范围BD需同时满足11厘米＜BD＜13厘米，因为BD是整厘米数，所以BD＝12厘米。 一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要14厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么12厘米。 高频考点七 求第三边最长（最短）长度剪绳问题（三角形三边关系的应用） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏泰州·期末）童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪两刀，使剪成的三根绳子能围成三角形。 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由：__________。 【答案】 不可以 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【思路引导】这根绳子总长10cm，一共被平均分成10份，每份长1cm，第一刀剪出的第一段长度是5cm，剩下两段长度和是10－5＝5cm；三角形三边要求任意两边之和大于第三边，这里剩余两段长度之和等于5cm，不满足三角形的三边要求，无法围成三角形。 【规范解答】10－5＝5（cm） 童童第一刀剪的位置不可以。理由略 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·福建福州·期末）荣荣和莉莉准备围一个周长是14cm的三角形，现在他们都有一根长14cm的小棒，怎样剪两刀，使剪成的三根小棒能围成三角形。（每个小棒的长度都是整厘米数）。荣荣准备将第一刀剪在小棒的中点处。这种剪法行吗？为什么？ 【答案】 这种剪法不行。因为三角形任意两边之和大于第三边，第一刀剪在中点时，会得到一根长7cm的小棒，另外两根小棒的长度和是7cm，两边之和等于第三边，无法围成三角形。 【思路引导】14cm长的小棒中点位置是14÷2＝7cm，第一刀剪在这里后，已经得到了一段长7cm的小棒，剩下的两根小棒总长度为14－7＝7cm。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，这里剩下两根小棒的长度和等于第三边的长度，不满足三角形三边的要求，因此无法围成三角形，这种剪法不行。 【规范解答】14÷2＝7（cm） 14－7＝7（cm） 答：这种剪法不行。因为三角形任意两边之和大于第三边，第一刀剪在中点时，会得到一根长7cm的小棒，另外两根小棒的长度和是7cm，两边之和等于第三边，无法围成三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆巴南·期末）把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 【答案】（1）6、7或8 （2）飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 【思路引导】（1）根据题意，明确三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知铁丝长10厘米，从4厘米处剪了一刀，剩下10－4＝6（厘米），另外两边之和是6厘米，可以分成5厘米、1厘米，4厘米、2厘米，3厘米、3厘米，分别进行验证，4＋1＝5，所以不能分成5厘米、1厘米；4＋2＝6＞4，3＋3＝6＞4，另外两边4厘米、2厘米，3厘米、3厘米成立；可以在4＋2＝6（厘米），4＋3＝7（厘米）、4＋4＝8（厘米）处处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。以此答题即可。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确，因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）10－4＝6（厘米） 4＋1＝5 4＋2＝6＞4 3＋3＝6＞4 4＋2＝6（厘米） 4＋3＝7（厘米） 4＋4＝8（厘米） 若从4厘米处剪了一刀，再在6、7或8厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）4＋1＝5 飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 高频考点八 三角形三边关系的实际应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）王老师和李老师一样，都是骑行爱好者，上周末她们沿着一个三角形湖泊环湖骑行。李老师从A地出发，先向B地骑行，再向C地骑行；李老师出发半小时后王老师也从A地出发，先向C地骑行，再向B地骑行。 (1)请你选一选：A、C两地之间的距离可能是（    ）千米。 A．18 B．21 C．35 D．53 (2)如果李老师每小时骑行16千米，王老师每小时骑行24千米，王老师出发后几小时遇到李老师？ 【答案】(1)C (2)2小时 【思路引导】（1）三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 （2）根据题意可知，若两人同时出发，两人相遇时，两人路程和等于这个三角形湖泊的周长。实际上李老师先出发半小时，行驶了16÷2＝8千米。则两人路程和等于这个三角形湖泊的周长再减去8千米。根据时间＝路程和÷速度和解答。 【规范解答】（1）16＋37＝53（千米） 37－16＝21（千米） A．18＜21 B．21＝21 C．53＞35＞21 D．53＝53 A、C两地之间的距离可能是35千米。 故答案为：C （2）16÷2＝8（千米） （16＋37＋35－8）÷（16＋24） ＝80÷40 ＝2（小时） 答：王老师除法后2小时遇到李老师。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东深圳·期中）乐乐和明明打算用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根9厘米和一根15厘米的木条。乐乐说：“第三根木条可以是6厘米。”明明却认为：“第三根木条可以是7厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 【答案】明明；6厘米、9厘米和15厘米的三根木条无法围成三角形，7厘米、9厘米和15厘米的三根木条可以围成三角形。 【思路引导】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。据此解答。 【规范解答】如果第三根木条是6厘米，6＋9＝15（厘米），15厘米＝15厘米，即这三根木条无法围成三角形。所以乐乐说的错误。 如果第三根木条是7厘米，7＋9＝16（厘米），16厘米＞15厘米，即这三根木条可以围成三角形。所以明明说的正确。 答：明明说的正确，6厘米、9厘米和15厘米的三根木条无法围成三角形，7厘米、9厘米和15厘米的三根木条可以围成三角形。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南焦作·期末）五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 【答案】12米、12米 【思路引导】等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 若底为6米：（等腰三角形周长一底）÷2＝腰； 若腰为6米：等腰三角形周长一腰×2＝底，再根据三角形两边之和一定大于第三边，去掉不可能的情况，得出另外两条边分别是多少米。 【规范解答】若底为6米，则腰为： （30－6）÷ 2 ＝24÷2 ＝ 12（米） 若腰为6米，则底为： 30－6×2 ＝30－12 ＝ 18（米） 6＋6＝12＜18，根据三角形两边之和一定大于第三边可知，三角形的腰不可能是6米。 所以底为6米，其他两边长都是12米。 答：另外两条边分别是12米、12米。 高频考点九 多边形的内角和的直接计算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级下·湖南株洲·期末）三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 【答案】 【思路引导】先从已知的三角形、四边形、五边形的内角和数据，推导多边形内角和与边数的关系，确定突破口是找到边数和对应内角和的通用公式。因为边形可以从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，分割为个三角形，所以根据三角形内角和为，可得出多边形内角和公式为：，如果求八边形的内角和，那么将代入上述公式计算即可。 【规范解答】 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·内蒙古通辽·期末）连接四边形的一条对角线，四边形被分割成( )个三角形，因为三角形的内角和是( )，所以四边形的内角和是( )。 【答案】 2/两/二 180°/180度 360°/360度 【思路引导】对角线可以把四边形分割成2个三角形，利用三角形内角和等于180°的已知结论来推导四边形的内角和，所以四边形的内角和等于这两个三角形的内角和之和＝180°×2＝360°。 【规范解答】连接四边形的一条对角线，四边形被分割成2个三角形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·期末）一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 【答案】 65 九 【思路引导】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去50°，再除以2，求出底角的度数即可。 多边形内角和公式为：内角和＝（边数－2）×180°，代入内角和1260°，用1260°除以180°，再加上2，求出多边形的边数即可。 【规范解答】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是65°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是九边形。 高频考点十 结合几何图形计算多边形的内角和 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·江苏徐州·期末）如图是由4个边长为6厘米的等边三角形拼成的大三角形。 (1)图中共有( )个平行四边形，( )个梯形，每个四边形的内角和是( )°。 (2)涂色部分四边形中的一个钝角是( )°，拼成后的大三角形的周长是其中一个小三角形周长的( )倍。 【答案】(1) 3 3 360 (2) 120 2 【思路引导】根据平行四边形、梯形的定义，平行四边形是两组对边平行且相等的四边形，梯形只有一组对边平行，在图形中依照规律计数，得到对应图形数量，结合所学知识，四边形内角和为；先明确等边三角形内角为，观察涂色四边形钝角的构成，通过角度相加计算钝角的度数，分别计算大三角形和小三角形的周长，计算得到倍数关系。 【规范解答】（1）数平行四边形：每两个相邻的小等边三角形可以拼成1个平行四边形，一共能拼出3个平行四边形。 数梯形：每3个小等边三角形可以拼成1个只有一组对边平行的梯形，一共能拼出3个梯形。 四边形内角和：任意四边形的内角和都是。 （2）求钝角：等边三角形每个内角都是，涂色四边形的钝角由2个拼接而成，即。 周长倍数：大三角形的边长是小三角形边长的2倍，三角形周长＝边长×3，因此大三角形的周长是小三角形周长的2倍。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·河南南阳·期末）如图：将四边形沿虚线剪去一个100°的角，剩余图形的内角和是（    ）。 A．360° B．260° C．540° D．180° 【答案】C 【思路引导】根据图示可知，剩余的图形是一个五边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此将多边形的边数代入公式计算出结果即可。 【规范解答】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·湖南怀化·期末）如图：在一个等边三角形中，如果沿虚线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠5＋∠4＝( )°。 【答案】 120 240 【思路引导】等边三角形的三个角相等，都等于60°，三角形内角和等于180°，所以∠2＋∠3＝180°－∠1。四边形内角和等于360°，∠4＋∠5＝360°－∠2－∠3，据此即可解答。 【规范解答】∠2＋∠3＝180°－60°＝120° ∠5＋∠4＝360°－∠2－∠3＝360°－（∠2＋∠3）＝360°－120°＝240° 高频考点十一 多边形的内角和的推导一（较简单） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·湖北襄阳·期末）同学们探究多边形内角和与边数的关系。如下图，依次类推：一个八边形的内角和是( )，一个n边形的内角和是( )。 图形 边数 3 4 5 6 内角和 180 180×2 180×3 180×4 【答案】 1080° 180°×（n－2） 【思路引导】根据探究多边形内角和与边数的关系，从表格数据中可以看出一个多边形的内角和等于这个多边形的边数减2再乘180°，由此解答。 【规范解答】由表格推导规律，一个八边形的内角和＝180°×（8－2）＝180°×6＝1080° 所以一个n边形的内角和＝180°×（n－2） 所以一个八边形的内角和是1080°，一个n边形的内角和是180°×（n－2）。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25六年级下·山东滨州·期末）观察下面的图形，请根据你的发现解答有关问题（直接填写结果，不用写解答过程）。 (1)填表（将表中空着的表格填上相应的结果）： 图形 三角形 四边形 五边形 六边形 …… n边形 边数 3 4 5 …… n 分成的三角形个数 1 2 …… 内角和 180° …… (2)填空：如果一个n边形的内角和是2160°，那么这个n边形的边数n＝______。 【答案】(1) 图形 三角形 四边形 五边形 六边形 …… n边形 边数 3 4 5 6 …… n 分成的三角形个数 1 2 3 4 …… n－2 内角和 180° 360° 540° 720° …… （n－2）×180° (2)14 【思路引导】（1）从图中可以看出，求多边形的内角和，可把多边形分成三角形，即连接一个顶点与不相邻的各顶点，可观察出分成三角形的个数与边数的关系，从而求出分成三角形的个数；再用分成三角形的个数乘180°，即可求出多边形的内角和，并根据数量关系表示n边形分成三角形的个数和内角和。 （2）根据用字母表示的n边形的内角和，把2160°代入式子求出n的值即可。 【规范解答】（1）通过观察，多边形分成的三角形的个数比边数少2，内角和等于分成三角形的个数乘180°。 四边形：内角和是2×180°＝360°； 五边形：分成三角形的个数是5－2＝3（个）；内角和是3×180°＝540°； 六边形：边数是6，分成三角形的个数是6－2＝4（个），内角和是4×180°＝720°； n边形：分成三角形的个数是（n－2）个，内角和是（n－2）×180° （2）（n－2）×180°＝2160° 解：n－2＝2160°÷180° n－2＝12 n＝12＋2 n＝14 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·山东潍坊·期中） 如上图所示，一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形…… (1)一个十边形可以分成( )个三角形，这个十边形的内角和是( )； (2)一个n边形可以分成( )个三角形，这个n边形的内角和是( )。 【答案】(1) 8 1440° (2) n－2 （n－2）×180° 【思路引导】根据题目可以得出规律，可分成三角形个数＝多边形边数－2；三角形内角和为180°。，多边形内角和＝三角形个数×180° 【规范解答】（1）10－2＝8（个），所以十边形可以分成8个三角形，十边形内角和为： （2）n边形可分成的三角形个数＝n－2，n边形的内角和＝（n－2）×180°。 高频考点十二 多边形的内角和的推导二（较复杂） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·云南昆明·期末）四名同学以六边形为例，探究多边形内角和的计算方法，探究过程如下： （1）你认为哪些同学的探究过程是正确的，请在他们名字后面的里打“√”： 姓名 聪聪 明明 睿睿 智智 分法 分成两个四边形 分成一个四边形和两个三角形 分成两个四边形和一个三角形 分成四个四边形 图示 计算过程 360°×2＝720° 360°＋180°×2 ＝360°＋360° ＝720° 360°×2＋180° ＝720°＋180° ＝900° 360°×4＝1440° （2）除了以上四种方法，你还有其它探究六边形内角和的方法吗？请你先在下图中分一分，再写出探究过程。 【答案】（1） （2） ；六边形可以分成4个三角形，它的内角和为4个三角形的内角之和；720°（分法不唯一） 【思路引导】（1）由题意得，聪聪把六边形分成了两个四边形，所以六边形的内角和等于两个四边形的内角之和，聪聪的方法正确；明明把六边形分成了一个四边形和两个三角形，所以六边形的内角和等于两个三角形的内角之和再加上一个四边形的内角之和，明明的方法正确；睿睿把六边形分成两个四边形和一个三角形，但最下面的一个平角本来不是六边形的内角，所以睿睿计算六边形的内角和时多算了180°；智智把六边形分成四个四边形，但最中间的周角和上下两个平角本来不是六边形的内角，所以智智计算六边形的内角和时多算了两个360°。 （2）由题意得，求六边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把六边形分成了几个三角形，六边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。 【规范解答】（1）略 （2）图略 六边形可以分成4个三角形，它的内角和为4个三角形的内角之和。 180°×4＝720° 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东德州·期末）法国著名的数学家帕斯卡在12岁时就发现了重要的数学定理：平面上任何一个三角形的内角和是180°。 在探究多边形的内角和时，李明同学想到了这样一种办法：通过把多边形分割成三角形来求多边形的内角和。如图所示。               因为长方形的4个角都是90°，所以长方形的内角和是360°。 在一个长方形中做一条辅助线，将长方形分成两个三角形，两个三角形内角和加起来是360°，正好等于长方形的内角和。 探索：你能运用类似的方法解决下面的问题吗？ 请你根据自己发现的规律画出以下图形的辅助线，并求出它们的内角和。 我这样分： 内角和：____________             ___________           ___________ 如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为_____个。 那么多边形的内角和度数＝_____ 应用：如果是十边形，那么它的内角和是多少度？ 【答案】360°；540°；720°； N－2； （N－2）×180°； 1440度   【思路引导】根据题意，由于一个四边形可以分割成两个三角形，多边形的边数是4的时候，相当于可以分割2个三角形；多边形的边数是5的时候，相当于可以分割3个三角形；六边形相当于可以分割4个三角形；三角形的内角和是180°；四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加；五边形可以分割成3个三角形，所以五边形的内角和是3个三角形内角和相加；六边形可以分割成4个三角形，所以六边形的内角和是4个三角形内角和相加；由此可知，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°。 【规范解答】根据分析可知： 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° 内角和：360°                           540°                          720°   如果从一个顶点画出，用N表示图形的边数，那么你发现的所分三角形个数为N－2个。   那么多边形的内角和度数＝（N－2）×180° 应用：（10－2）×180 ＝8×180 ＝1440（度） 答：如果是十边形，那么它的内角和是1440度。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）求四边形的内角和有以下几种方法： 方法1：拼一拼 方法2：分成2个三角形 180×2＝360（度） 方法3：分成4个三角形 180×4－360＝360（度） 选择你喜欢的方法在上边的六边形上画一画，并列式计算。 六边形内角和：（    ）。 【答案】720°/720度 【思路引导】根据方法3可知，四边形可以分成（4－2）个三角形，四边形的内角和是：180°×（4－2）＝360°，同理，五边形可以分成（5－2）个三角形，五边形的内角和是：180°×（5－2）＝540°；六边形可以分成（5－2）个三角形，六边形的内角和是：180°×（6－2）＝720°。 【规范解答】 180°×（6－2）＝180°×4＝720° 六边形内角和：（720°）。 【基础通关】 1．（24-25四年级下·重庆万州·期末）在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是三名同学的作品，其中小明使用的算式是180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】观察算式可知，三角形的内角和是180°，180°×4，说明图中有四个三角形，再减去一个180°，说明是减去一个平角或者是一个三角形。据此解答。 【规范解答】A. 图中把五边形分成3个三角形，列式为：180°×3；不符合题意； B．图中把五边形分成5个三角形再减去一个周角，列式为：180°×5－360°；不符合题意； C．图中把五边形分成4个三角形再减去一个平角，列式为：180°×4－180°；符合题意； 所以图C是小明的作品。 2．（24-25五年级下·山东泰安·期末）下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．1cm       1cm       2cm B．1cm       2.5cm       3cm C．0.8dm       1dm       2dm D．2dm       1dm       5dm 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，据此解答。 【规范解答】A．1＋1＝2；2＝2，不能围成三角形，不符合题意。 B．1＋2.5＝3.5；3.5＞3，能围成三角形，符合题意。 C．0.8＋1＝1.8；1.8＜2，不能围成三角形，不符合题意。 D．2＋1＝3；3＜5，不能围成三角形，不符合题意。 能围成三角形的是1cm   2.5cm   3cm。 3．（24-25五年级下·河南洛阳·期末）数学思想方法是数学的灵魂。下列解决问题的方法中，运用了“转化”思想的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】①三角形的内角和为180°，通过分割将六边形分成4个三角形，把几个三角形的内角和加起来就是六边形的内角和。 ②计算异分母分数加法时，先将两个分数通分，使得它们有相同的分母，这样就可以直接相加，这是将异分母分数加法问题转化为同分母分数加法问题的“转化”思想。 ③求平行四边形的面积时，可以沿高剪拼成一个长方形，平行四边形的长等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，这样就可以利用长方形的面积公式来计算。 【规范解答】①把求六边形的内角和转化为4个三角形的内角和，用到了“转化”思想；②把异分母分数加法转化为同分母分数加法，用到了“转化”思想；③通过平移把求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，用到了“转化”思想。 所以，①②③都运用了“转化”思想。 4．（25-26四年级下·河南商丘·期中）如图，图中的三角形按边分是( )三角形，沿虚线剪下一个小三角形，剪下的小三角形内角和是( )，剩余部分图形的内角和是( )。 【答案】 等腰三角形 180° 360° 【思路引导】三角形按边分类：有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等； 三角形内角和定理：任意三角形的内角和恒为180°，与三角形的大小、形状无关； 四边形内角和定理：任意四边形的内角和恒为360°，可通过将四边形分成两个三角形推导得出。 先利用三角形内角和算出未知角，判断三角形的边的类型，再根据剩余图形的形状，应用对应的内角和定理。 【规范解答】根据图示信息，已知三角形的两个内角分别为100°和40°， 根据三角形内角和为180°， 第三个角为：180°−100°−40° ＝80°−40° ＝40° 三角形中有两个角都是40°，根据“等角对等边”，对应的两条边相等，因此这个三角形按边分是等腰三角形。 剪下的小三角形内角和：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是固定的180°，所以剪下的小三角形内角和是180°。 剩余部分图形的内角和：沿虚线剪下后，剩余部分是一个四边形，根据四边形内角和定理，其内角和为360°。 5．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期中）一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 【答案】 180 360 【思路引导】直角三角形：根据三角形的内角和是180度，直角三角形是三角形的一种进行解答； 平行四边形：连接一条对角线，可以把平行四边形分成两个三角形，再根据三角形的内角和是180度解答即可。 【规范解答】所有三角形的内角和都是180度，所以直角三角形的内角和是180度； 如下图所示，平行四边形可以分成2个三角形，所以内角和是180度×2＝360度。 6．（25-26四年级下·浙江金华·期中）如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70° 【思路引导】观察图形可知，∠2与 110°的角组成一个平角，平角等于180°，用180°减去110°即可求出∠2。已知AB＝BC，说明三角形ABC是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的边所对的角相等，即∠2和∠3相等。根据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠3的度数，即可求出∠1。 【规范解答】∠2＝180°−110°＝70° 因为AB＝BC，所以△ABC是等腰三角形，且∠3＝∠2。所以∠3＝70° ∠1＝180°−∠2−∠3＝180°−70°−70°＝110°−70°＝40° 答：∠1是40°，∠2是70°，∠3是70°。 7．（24-25五年级下·江苏淮安·期末）图中圆半径为6厘米，求涂色部分的面积。 【答案】113.04平方厘米 【思路引导】涂色部分都是半径为6厘米的扇形，而图形中间是一个梯形，梯形的内角和是360°，那么涂色部分可以组成一个半径为6厘米的圆，根据圆的面积＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 则涂色部分的面积是113.04平方厘米。 8．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 【答案】720度；思考过程及算式见详解 【思路引导】已知三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°，把正六边形分割成几个三角形，或分割成几个四边形，或者分割成三角形和四边形；分成的几个图形的内角和之和就是这个正六边形的内角之和，按照这个思路进行即可。 已知从正六边形中心向各顶点画线，把正六边形分成了6个同样大的三角形。因为三角形内角和是180°，这6个三角形内角和的总和为180°×6。但是在计算这6个三角形内角和时，正六边形中心处的角360°被重复计算了，需要减去。 【规范解答】 答：正六边形的内角和是720度。 9．（25-26五年级下·四川内江·期末）一个零件如下图，当∠1＝40°，∠2＝25°，∠3＝90°时才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 【答案】零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 【思路引导】四边形的内角和是360°，∠4与它相邻的内角的和是360°；用四边形的内角和减去∠1，∠2，∠3的度数算出与∠4相邻的内角；用360°减去与∠4相邻的角算出∠4的度数，如果等于140°，零件合格，如果不等于140°，零件不合格。 【规范解答】360°－∠1－∠2－∠3 ＝360°－40°－25°－90° ＝205° 360°－205°＝155° 155°≠140° 答：零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 10．（25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测）公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 【答案】36°；钝角三角形 【思路引导】先用草地的最大角除以5，即可计算出最小角的度数，三角形的内角和为180°，因此用180°减最大角的度数后，再减最小角的度数即可得到第三个角的度数，然后再根据三角形按角的分类标准进行解答即可。 【规范解答】 答：这块三角形草地的第三个角是36°，按角分类，这块草地是钝角三角形。 【能力提升】 1．（25-26五年级下·山东泰安·期末）一个三角形两条边的长度分别是10厘米、6厘米，它的另一条边可能是（    ）厘米。 A．10厘米 B．4厘米 C．2厘米 D．16厘米 【答案】A 【思路引导】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先计算出已知两边的和与差，第三条边在和与差之间。 【规范解答】10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 第三条边比16厘米短，比4厘米长，对比选项可知：另一条边可能是10厘米。 2．（24-25五年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．用长度是6cm、4cm和11cm的3根小棒，可以围成一个三角形。 B．小明做一个等腰三角形，这个等腰三角形的一个底角是92°。 C．圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长和面积会扩大到原来的2倍。 D．任意翻阅2025年的台历，翻到星期一的可能性比翻到2号的可能性大。 【答案】D 【思路引导】A．三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 B．等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和是180°。 C．根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律解答； D．根据可能性大小的判断方法，比较2025年星期一与2号出现的次数多少，次数多的，翻到的可能性就大。 【规范解答】A．6＋4＝10（cm），10cm＜11cm，不符合三角形的三边关系，所以用长度是6cm、4cm和11cm的3根小棒，不能围成一个三角形，原说法错误。 B．92°×2＝184°，184°＞180°，不符合三角形内角和的定理，原说法错误。 C．圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长会扩大到原来的2倍，面积会扩大到原来的2×2＝4倍。 D．2025÷4＝506……1 2025年是平年，每月至少28天； 28÷7＝4 星期一：每月出现4次或5次； 2号：每月出现1次； 星期一出现的次数比2号多，所以，翻到星期一的可能性比翻到2号的可能性大，原说法正确。 3．下面三幅图中每个扇形的半径都是1厘米，比较每幅图中涂色部分的面积之和，结果是（    ）。 A．图①中涂色部分面积之和大 B．图②中涂色部分面积之和大 C．图③中涂色部分面积之和大 D．一样大 【答案】D 【思路引导】平行四边形、梯形和长方形都是四边形，内角和都是360°，则每幅图中的扇形都可以拼成半径是1厘米的圆，据此解答即可。 【规范解答】根据分析可得，三幅图的涂色面积之和都是半径为1厘米的圆的面积。 故答案为：D 【考点剖析】本题考查平行四边形、梯形、长方形的内角和，圆的面积，解答本题的关键是掌握这些图形的特征。 4．（24-25四年级下·海南儋州·期末）在一个三角形中，∠1＝100°，∠2＝35°，那么∠3＝( )°；按角分，这是一个( )三角形。一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°；按角分，它是一个( )三角形。 【答案】 45 钝角 90 直角 【思路引导】三角形的内角和是180°；三角形按内角度数可分为三类：三个角都是锐角的叫锐角三角形；有一个角是直角的叫直角三角形；有一个角是钝角的叫钝角三角形；等腰三角形的两个底角相等，据此解答。 【规范解答】180°－100°－35° ＝80°－35° ＝45° 180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 因此，在一个三角形中，∠1＝100°，∠2＝35°，那么∠3＝45°；按角分，这是一个钝角三角形。 一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是90°；按角分，它是一个直角三角形。 5．（24-25五年级下·安徽六安·期末）一个等腰钝角三角形，其中钝角的度数是一个锐角的4倍，则钝角是( )°。 【答案】120 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等。已知一个等腰钝角三角形，其中钝角的度数是一个锐角的4倍，即这个等腰三角形的两个锐角相等，把锐角的度数看作1份，则钝角的度数看作4份，一共是（1＋1＋4）份；用三角形的内角和除以总份数，求出一份数，也就是锐角的度数；再用锐角的度数乘4，求出钝角的度数。 【规范解答】锐角是： 180°÷（1＋1＋4） ＝180°÷6 ＝30° 钝角是：30°×4＝120° 6．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一般三角形的内角和等于180°，但是钝角三角形的内角和大于180°。( )(判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形内角和定理，所有三角形的内角和均为180°，钝角三角形的一个内角大于90°，但另外两个角均为锐角。三个内角的度数之和为：钝角＋锐角1＋锐角2＝180°。因此，钝角三角形的内角和仍为180°，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，一般三角形的内角和等于180°，钝角三角形的内角和等于180°，原说法错误。 故答案为：× 7．（24-25四年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）用2倍的放大镜看一个三角形，这时三角形的内角和是360度。( )(判断对错） 【答案】× 【思路引导】三角形内角和为180度；用放大镜观察三角形时，各边的长度按比例放大，但角度大小保持不变；据此解答。 【规范解答】由分析可知，三角形内角和为180度，无论用多少倍的放大镜观察，三角形的大小会改变，但角度大小不变，因此内角和仍为180度；原题干说法错误。 故答案为：× 8．（23-24四年级下·全国·单元测试）如下图所示，求的度数。 【答案】80° 【思路引导】四边形的内角和为360°。图中四边形一共有四个角，有1个直角，直角的度数为90°。可以先算出给出的三个角的度数之和，再用360°减去这三个角的度数之和即可得到剩下的那个角的度数，再用180°减去这个角度，就求出了∠1的度数。 【规范解答】90°＋55°＋115°＝260° 360°－260°＝100° 180°－100°＝80° ∠1的度数是80° 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【思路引导】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【规范解答】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 10．（24-25五年级上·山东滨州·期中）在求“四边形的内角和”时，我们可以多角度去思考，计算出其内角和。 按照以上研究思路，选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，在图中画一画，并列式计算。 【答案】（画法不唯一）；720° 【思路引导】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形。因为一个三角形的内角和是180°，所以六边形的内角和为：180°×4＝720°。 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点画虚线，将六边形分成5个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以这5个三角形的内角和是180°×5＝900°，因为还多一个平角（180°），所以还需减180°，六边形的内角和是900°－180°＝720°。 方法三：从六边形的中点出发，向各顶点画虚线，此时六边形被分成了6个三角形，一个三角形的内角和是180°，180°×6＝1080°，因为这样分会多一个周角（360°），所以还需减360°，即六边形的内角和是1080°－360°＝720°。 【规范解答】方法一：从六边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把六边形分成4个三角形，如下图： 180°×4＝720° 方法二：从六边形的最下面的边向不相邻的顶点连线，将六边形分成5个三角形。 180°×5－180° ＝900°－180° ＝720° 方法三：从六边形的中点出发向各顶点连线，把六边形分成了6个三角形。 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 该六边形的内角和是720°。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null