第二单元 三角形的再认识（三角形的内角和）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第二单元 三角形的再认识（三角形的内角和）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形的内角和 1. 相关概念 - 三角形的内角：三角形内部的三个角，叫做三角形的内角。 - 三角形的内角和：三个内角的度数相加的总和。 2. 验证方法 - 测量法：用量角器分别测量三个内角的度数，再相加求和，结果接近180°（测量存在微小误差）。 - 撕拼法：把三角形的三个角撕下来，顶点对齐拼在一起，正好组成一个平角（180°）。 - 折拼法：把三角形的三个角向内部折叠，三个角正好拼成一个平角，验证内角和为180°。 3. 核心结论 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。无论是大三角形还是小三角形，无论是锐角、直角还是钝角三角形，内角和都固定为180°。 4. 重要推论 - 直角三角形中，两个锐角的和是90°（即两个锐角互余）； - 等边三角形的三个内角相等，每个内角都是60°； - 等腰三角形的两个底角相等，已知顶角可求底角，已知底角可求顶角。 二、多边形的内角和 1. 推导思想：转化法 研究多边形内角和时，把多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和180°推导出多边形的内角和，体现了转化的数学思想——把未知的多边形问题转化为已知的三角形问题。 2. 分割方法 从多边形的同一个顶点出发，向不相邻的顶点画对角线，把多边形分成若干个三角形： - 四边形：可以分成2个三角形，内角和 = 2×180° = 360°； - 五边形：可以分成3个三角形，内角和 = 3×180° = 540°； - 六边形：可以分成4个三角形，内角和 = 4×180° = 720°； - …… 3. 通用公式 n边形（n≥3）的内角和 = - 公式说明：分成的三角形个数 = 边数 - 2，因此内角和就是(n-2)个180°相加。 4. 正多边形的内角 正多边形的所有内角都相等，因此： 正n边形每个内角的度数 = 三、解题通用步骤 1. 判类型：判断是三角形还是多边形，明确已知条件和所求问题； 2. 定公式：三角形用内角和180°，多边形代入(n-2)×180°公式； 3. 找隐含：挖掘题目中的隐含条件，如直角、等腰、等边对应的角度特征； 4. 列算式：根据数量关系列式计算； 5. 验结果：把结果代入验证，看内角和是否符合规律。 四、常见易错点 1. 误以为大三角形内角和更大：认为三角形越大，内角和越大，忽略所有三角形内角和都是180°； 2. 直角三角形求角错误：忘记直角是90°，用180°减一个锐角后忘记再减90°； 3. 多边形公式记错：把内角和公式记成n×180°，正确应为(n-2)×180°； 4. 分割三角形个数算错：误以为边数等于三角形个数，实际三角形个数比边数少2； 5. 等腰三角形底角顶角混淆：已知等腰三角形一个角，不判断是顶角还是底角就直接计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法 【解题思路】 已知三角形两个内角求第三个角，或已知多边形边数求内角和，直接代入对应公式，一步算出结果。 【操作步骤】 第一步：确定图形类型（三角形/多边形）； 第二步：三角形：180°减去已知两个角的度数 = 未知角； 第三步：多边形：代入(n-2)×180°，算出内角和。 【易错提升】 ● 易错点：三角形已知一个角就直接减，忘记是两个已知角。 　　→ 规避技巧：三角形三个角加起来180°，求一个角必须用180°减去另外两个角的和。 方法点拨2：分割转化法 【解题思路】 探究或推导多边形内角和时，通过画对角线把多边形拆成三角形，用三角形内角和推算多边形内角和，是解决多边形问题的核心思想。 【操作步骤】 第一步：从多边形一个顶点出发，向不相邻顶点画对角线； 第二步：数出分成的三角形个数 = 边数 - 2； 第三步：三角形个数 × 180° = 多边形内角和。 【易错提升】 ● 易错点：从多边形内部取点连接各顶点，误以为是标准分割法。 　　→ 规避技巧：小学阶段统一从顶点出发分割，三角形个数 = 边数 - 2，公式对应一致。 方法点拨3：隐含条件挖掘法 【解题思路】 特殊三角形（直角、等腰、等边）题目中，很多角度条件没有直接给出，需要先挖掘出隐含的角度，再计算未知角。 【操作步骤】 第一步：识别三角形类型，提取隐含角度； 　- 直角三角形：隐含一个90°角； 　- 等腰三角形：隐含两个底角相等； 　- 等边三角形：隐含每个角都是60°。 第二步：结合内角和180°，列式计算未知角。 【易错提升】 ● 易错点：等腰三角形已知一个角是50°，直接当成底角计算顶角。 　　→ 规避技巧：先判断已知角是顶角还是底角，若未说明，需分两种情况讨论。 方法点拨4：逆推公式法 【解题思路】 已知多边形内角和求边数，把内角和公式反向运用，用除法推导出边数。 【操作步骤】 第一步：内角和 ÷ 180° = 三角形的个数； 第二步：三角形个数 + 2 = 多边形的边数； 第三步：代入公式验证结果是否正确。 【易错提升】 ● 易错点：内角和 ÷ 180°后直接当边数，忘记加2。 　　→ 规避技巧：三角形个数比边数少2，求边数必须用三角形个数加2。 【第三部分】考点讲练 考点一：三角形的内角和 【典例精讲】 红领巾一个底角的度数是15°，顶角的度数是多少度？ 【变式训练】 求如图中角1、角2、角3的度数？ 考点二：多边形的内角和 【典例精讲】 同学们探究多边形内角和与边数的关系。如下图，依次类推：一个八边形的内角和是( )，一个n边形的内角和是( )。 图形 边数 3 4 5 6 内角和 180 180×2 180×3 180×4 【变式训练】 如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形，按边分是( )三角形。将两个这样的三角形拼成一个四边形，四边形的内角和是( )°。 【第四部分】专项提升练习 1．∠1、∠2、∠3是同一个三角形的三个内角，根据三角形的内角和完成下表。 ∠1 45° 80° 60° ∠2 60° 90° 80° 120° ∠3 50° 30° 35° 2．写出下列未知角的度数。 ∠B＝______°     ∠C＝______°     ∠C＝______° 3．从如图的信封中抽出的是一个( )角三角形，已知另外两个内角的度数分别是33°和29°，那么∠1的度数是( )。 4．如图，∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 5．一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是( )°。 6．如下图，∠C＝( )°。 7．从一张三角形纸上剪去一个角，余下部分的内角和是( )。 8．一个多边形的边数增加1条，它的内角和就增加( )°；一个十二边形的内角和比九边形的内角和多( )°。 9．小丽将两个完全相同的等边三角形拼成一个大图形，拼成的图形是( )边形，这个图形的内角和是( )°。 10．正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 180°÷3＝( )°  ( )°÷4＝( )°  ( )°÷5＝( )° 11．如图，在三角形ABC中，∠A＝50°。如果沿图中的虚线将三角形ABC剪成两部分，那么∠1＋∠2＝( )°。 12．奶奶在折纸的时候，将一张长方形纸的一角折起，如图所示，∠1＝( )。 13．奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 14．在三角形中，3个内角分别是∠1、∠2、∠3。已知∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，则∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？ 15．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      16．正六边形在中国传统文化中有着“六六大顺”的吉祥寓意，请你结合自己的方法探究六边形的内角和。（提示：画一画、算一算、写一写） 17．已知三角形ABC是等腰三角形，AB＝BC，∠A＝35°，∠1＝20°，求∠2的度数。 18．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠6。图中的等腰三角形按角分是什么三角形？ 19．三角形有三个内角，其实也有三个外角。下图△ABC是等腰三角形，∠2、∠3、∠4就是它的外角。已知∠1＝70°，求三个外角的和。 20．奇思制作一个形状是等腰三角形的风筝，已知其中一个角是70°，这个风筝另外两个角的度数分别是多少？（请列方程解答，注意考虑不同的情况，找到所有可能的结果哦） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识（三角形的内角和）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形的内角和 1. 相关概念 - 三角形的内角：三角形内部的三个角，叫做三角形的内角。 - 三角形的内角和：三个内角的度数相加的总和。 2. 验证方法 - 测量法：用量角器分别测量三个内角的度数，再相加求和，结果接近180°（测量存在微小误差）。 - 撕拼法：把三角形的三个角撕下来，顶点对齐拼在一起，正好组成一个平角（180°）。 - 折拼法：把三角形的三个角向内部折叠，三个角正好拼成一个平角，验证内角和为180°。 3. 核心结论 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。无论是大三角形还是小三角形，无论是锐角、直角还是钝角三角形，内角和都固定为180°。 4. 重要推论 - 直角三角形中，两个锐角的和是90°（即两个锐角互余）； - 等边三角形的三个内角相等，每个内角都是60°； - 等腰三角形的两个底角相等，已知顶角可求底角，已知底角可求顶角。 二、多边形的内角和 1. 推导思想：转化法 研究多边形内角和时，把多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和180°推导出多边形的内角和，体现了转化的数学思想——把未知的多边形问题转化为已知的三角形问题。 2. 分割方法 从多边形的同一个顶点出发，向不相邻的顶点画对角线，把多边形分成若干个三角形： - 四边形：可以分成2个三角形，内角和 = 2×180° = 360°； - 五边形：可以分成3个三角形，内角和 = 3×180° = 540°； - 六边形：可以分成4个三角形，内角和 = 4×180° = 720°； - …… 3. 通用公式 n边形（n≥3）的内角和 = - 公式说明：分成的三角形个数 = 边数 - 2，因此内角和就是(n-2)个180°相加。 4. 正多边形的内角 正多边形的所有内角都相等，因此： 正n边形每个内角的度数 = 三、解题通用步骤 1. 判类型：判断是三角形还是多边形，明确已知条件和所求问题； 2. 定公式：三角形用内角和180°，多边形代入(n-2)×180°公式； 3. 找隐含：挖掘题目中的隐含条件，如直角、等腰、等边对应的角度特征； 4. 列算式：根据数量关系列式计算； 5. 验结果：把结果代入验证，看内角和是否符合规律。 四、常见易错点 1. 误以为大三角形内角和更大：认为三角形越大，内角和越大，忽略所有三角形内角和都是180°； 2. 直角三角形求角错误：忘记直角是90°，用180°减一个锐角后忘记再减90°； 3. 多边形公式记错：把内角和公式记成n×180°，正确应为(n-2)×180°； 4. 分割三角形个数算错：误以为边数等于三角形个数，实际三角形个数比边数少2； 5. 等腰三角形底角顶角混淆：已知等腰三角形一个角，不判断是顶角还是底角就直接计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法 【解题思路】 已知三角形两个内角求第三个角，或已知多边形边数求内角和，直接代入对应公式，一步算出结果。 【操作步骤】 第一步：确定图形类型（三角形/多边形）； 第二步：三角形：180°减去已知两个角的度数 = 未知角； 第三步：多边形：代入(n-2)×180°，算出内角和。 【易错提升】 ● 易错点：三角形已知一个角就直接减，忘记是两个已知角。 　　→ 规避技巧：三角形三个角加起来180°，求一个角必须用180°减去另外两个角的和。 方法点拨2：分割转化法 【解题思路】 探究或推导多边形内角和时，通过画对角线把多边形拆成三角形，用三角形内角和推算多边形内角和，是解决多边形问题的核心思想。 【操作步骤】 第一步：从多边形一个顶点出发，向不相邻顶点画对角线； 第二步：数出分成的三角形个数 = 边数 - 2； 第三步：三角形个数 × 180° = 多边形内角和。 【易错提升】 ● 易错点：从多边形内部取点连接各顶点，误以为是标准分割法。 　　→ 规避技巧：小学阶段统一从顶点出发分割，三角形个数 = 边数 - 2，公式对应一致。 方法点拨3：隐含条件挖掘法 【解题思路】 特殊三角形（直角、等腰、等边）题目中，很多角度条件没有直接给出，需要先挖掘出隐含的角度，再计算未知角。 【操作步骤】 第一步：识别三角形类型，提取隐含角度； 　- 直角三角形：隐含一个90°角； 　- 等腰三角形：隐含两个底角相等； 　- 等边三角形：隐含每个角都是60°。 第二步：结合内角和180°，列式计算未知角。 【易错提升】 ● 易错点：等腰三角形已知一个角是50°，直接当成底角计算顶角。 　　→ 规避技巧：先判断已知角是顶角还是底角，若未说明，需分两种情况讨论。 方法点拨4：逆推公式法 【解题思路】 已知多边形内角和求边数，把内角和公式反向运用，用除法推导出边数。 【操作步骤】 第一步：内角和 ÷ 180° = 三角形的个数； 第二步：三角形个数 + 2 = 多边形的边数； 第三步：代入公式验证结果是否正确。 【易错提升】 ● 易错点：内角和 ÷ 180°后直接当边数，忘记加2。 　　→ 规避技巧：三角形个数比边数少2，求边数必须用三角形个数加2。 【第三部分】考点讲练 考点一：三角形的内角和 【典例精讲】 红领巾一个底角的度数是15°，顶角的度数是多少度？ 【答案】150° 【分析】由题图可知，红领巾是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的和就是顶角，列式解答即可。 【详解】180°－15°×2 ＝180°－30° ＝150° 答：顶角的度数是150°。 【变式训练】 求如图中角1、角2、角3的度数？ 【答案】∠1＝41°；∠2＝119°；∠3＝49° 【分析】根据三角形内角和是180°，然后减去已知的角的度数，解答即可。 【详解】∠1＝180°－84°－55°＝96°－55°＝41° ∠2＝180°－32°－29°＝148°－29°＝119° ∠3＝180°－90°－41°＝90°－41°＝49° 答：∠1＝41°，∠2＝119°，∠3＝49°。 【点睛】本题考查了三角形内角和的知识，结合题意分析解答即可。 考点二：多边形的内角和 【典例精讲】 同学们探究多边形内角和与边数的关系。如下图，依次类推：一个八边形的内角和是( )，一个n边形的内角和是( )。 图形 边数 3 4 5 6 内角和 180 180×2 180×3 180×4 【答案】 1080° 180°×（n－2） 【分析】根据探究多边形内角和与边数的关系，从表格数据中可以看出一个多边形的内角和等于这个多边形的边数减2再乘180°，由此解答。 【详解】由表格推导规律，一个八边形的内角和＝180°×（8－2）＝180°×6＝1080° 所以一个n边形的内角和＝180°×（n－2） 所以一个八边形的内角和是1080°，一个n边形的内角和是180°×（n－2）。 【变式训练】 如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形，按边分是( )三角形。将两个这样的三角形拼成一个四边形，四边形的内角和是( )°。 【答案】 67 锐角 等腰 360 【分析】①三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可算出未知的角； ②三角形中三个角都是大于0°小于90°是锐角三角形；有角等于90°是直角三角形；有角大于90°小于180°是钝角三角形； ③按边分，三边相等是等边三角形；两腰相等是等腰三角形； ④一个三角形的内角和是180°，两个三角形拼成四边形，就是两个三角形的内角和相加。 【详解】①180°-67°-46°＝67°； ②三角形中三个角度数都小于90°，所以是锐角三角形； ③三角形中有两个角都是67°，所以有两条边相等，即为等腰三角形； ④一个三角形是180°，两个就是180°＋180°＝360°。 【第四部分】专项提升练习 1．∠1、∠2、∠3是同一个三角形的三个内角，根据三角形的内角和完成下表。 ∠1 45° 80° 60° ∠2 60° 90° 80° 120° ∠3 50° 30° 35° 【答案】 ∠1 45° 80° 60° 60° 25° ∠2 60° 50° 90° 80° 120° ∠3 75° 50° 30° 40° 35° 【分析】三角形三个内角的和等于180°，用180°减去两个角的和即可计算出第三个角。 【详解】 2．写出下列未知角的度数。 ∠B＝______°     ∠C＝______°     ∠C＝______° 【答案】 55 25 60 【分析】三角形的内角和是180°，分别减去两个已知角，得出未知角的度数即可。 【详解】180°－60°－65° ＝120°－65° ＝55° ，∠B＝55° 180°－25°－130° ＝155°－130° ＝25° ，∠C＝25° 180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° ，∠C＝60° 3．从如图的信封中抽出的是一个( )角三角形，已知另外两个内角的度数分别是33°和29°，那么∠1的度数是( )。 【答案】 钝角 118° 【分析】三角形内角和180°，用180°减去已知的两个内角33°和29°求出∠1的度数。大于90°小于180°是钝角，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 【详解】180°－33°－29°＝118° 90°＜118°＜180° 所以这个三角形是钝角三角形，∠1度数是118°。 4．如图，∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 【答案】 75° 105° 75° 165° 【分析】（1）∠1与105°的角组成一个平角，所以∠1等于平角减去105°的角； （2）根据三角形的内角和是180°，分别求出两个直角三角形的另一个内角度数，∠2与两个三角形的内角组成一个平角； （3）∠3与105°角组成一个平角，∠4与105°角和直角组成一个周角。 【详解】∠1＝180°－105°＝75° 180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠2＝180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° ∠3＝180°－105°＝75° ∠4＝360°－105°－90° ＝255°－90° ＝165° 5．一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是( )°。 【答案】55 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。用三角形的内角和减去等腰三角形的顶角，求出两个底角之和，再除以2，求出一个底角的度数。 【详解】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 6．如下图，∠C＝( )°。 【答案】122 【分析】三角形的内角和是，也就是三角形三个内角度数相加等于。其中两个内角的度数已知，用减去已知的两个角的度数，就可以得到要求的角的度数。 【详解】由图片得：，， 7．从一张三角形纸上剪去一个角，余下部分的内角和是( )。 【答案】180° 【分析】这张三角形纸片被剪去了一个角后是两种情况，情况一：如下左图剪去一个角后是一个四边形，四边形的内角和是360°；情况二：如下右图剪去一个角后是一个三角形，三角形的内角和是180°。据此解题即可。 【详解】从一张三角形纸上剪去一个角，余下部分的内角和是360°或180°。 8．一个多边形的边数增加1条，它的内角和就增加( )°；一个十二边形的内角和比九边形的内角和多( )°。 【答案】 180 540 【分析】根据多边形内角和公式（n－2）×180°可知，每增加一条边，内角和就增加一个180°；分别求出十二边形的内角和和九边形的内角和，再相减即可求出结果。 【详解】（12－2）×180° ＝10×180° ＝1800° （9－2）×180° ＝7×180° ＝1260° 1800°－1260°＝540° 一个多边形的边数增加1条，它的内角和就增加180°；一个十二边形的内角和比九边形的内角和多540°。 9．小丽将两个完全相同的等边三角形拼成一个大图形，拼成的图形是( )边形，这个图形的内角和是( )°。 【答案】 四 360 【分析】两个完全相同的等边三角形，把一条边重合拼在一起，每个等边三角形3条边，拼的时候重合1条边，就会少掉2条边；一个三角形内角和180°，两个三角形内角和相加就是拼成图形的内角和。 【详解】根据分析可知，拼成的图形边数是：（条），所以是四边形；内角和是：。 10．正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 180°÷3＝( )°  ( )°÷4＝( )°  ( )°÷5＝( )° 【答案】 60 360 90 540 108 【分析】三角形内角和180°，三角形内角和÷3＝正三角形每个角的度数；正方形可以分成2个三角形，三角形内角和×2＝正方形内角和，正方形内角和÷4＝正方形每个角的度数；正五边形可以分成3个三角形，三角形内角和×3＝正五边形内角和，正五边形内角和÷5＝正五边形每个角的度数。 【详解】正三角形：180°÷3＝60° 正四边形：180°×2＝360°，360°÷4＝90° 正五边形：180°×3＝540°，540°÷5＝108° 11．如图，在三角形ABC中，∠A＝50°。如果沿图中的虚线将三角形ABC剪成两部分，那么∠1＋∠2＝( )°。 【答案】130 【分析】在三角形中，三角形内角和180°，∠A＋∠1＋∠2＝180°，故∠1＋∠2＝180°－∠A。 【详解】180°－50°＝130° 12．奶奶在折纸的时候，将一张长方形纸的一角折起，如图所示，∠1＝( )。 【答案】 【分析】长方形四个角都为直角，即每个角的角度都为； 把题干图形其余各角标注，如图，根据纸张折起来后，有两个一模一样的角，即∠3，用∠3求出∠2，再根据三角形内角和等于，用减去∠2与直角的和即可求出∠1的度数。 【详解】根据分析可知：∠3，因此∠2的角度为： 因为∠1、∠2和长方形其中一个直角围成一个三角形，三角形内角和等于，所以∠1的角度为： 13．奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 【答案】32°；52° 【分析】先用最大角的度数除以3，求出最小角的度数；再根据三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数。 【详解】96°÷3＝32° 180°－96°－32°＝52° 答：船帆另外两个角分别是32°和52°。 14．在三角形中，3个内角分别是∠1、∠2、∠3。已知∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，则∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？ 【答案】∠1是60°；∠2是30°；∠3是90° 【分析】三角形的内角和是180°。可以把∠2的度数看作1份，那么∠1就是2份，∠3就是3份，三个角的总份数为1＋2＋3＝6（份），这6份对应的总度数是180°。先求出1份的度数（也就是∠2的度数），再根据倍数关系分别求出∠1和∠3的度数。 【详解】∠2：180°÷（1＋2＋3） =180°÷6 ＝30°   ∠1：30°×2＝60°   ∠3：30°×3＝90° 答：∠1的度数是60°，∠2的度数是30°，∠3的度数是90°。 15．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      【答案】（1）钝角三角形； （2）锐角三角形（等边三角形）； （3）直角三角形 【分析】 根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数，再根据角的度数判断三角形类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形；有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形；三个角都相等（60°）的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的锐角三角形。 【详解】 (1) 因为103°是钝角，所以该三角形是钝角三角形。 答：原来的三角形是钝角三角形。 (2) 三个角都是60°，所以该三角形是锐角三角形（等边三角形）。 答：原来的三角形是锐角三角形（等边三角形）。 (3) 因为90°是直角，所以该三角形是直角三角形。 答：原来的三角形是直角三角形。 16．正六边形在中国传统文化中有着“六六大顺”的吉祥寓意，请你结合自己的方法探究六边形的内角和。（提示：画一画、算一算、写一写） 【答案】 ；正六边形的内角和是 【分析】根据三角形的内角和是，可以把六边形分割成若干个三角形，通过计算所有三角形的内角和总和，得到六边形的内角和。 【详解】选取正六边形的一个顶点，连接这个顶点与它不相邻的3个顶点，可将正六边形分成4个三角形。 答：正六边形的内角和是。 17．已知三角形ABC是等腰三角形，AB＝BC，∠A＝35°，∠1＝20°，求∠2的度数。 【答案】50° 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。所以∠A＝∠ACB，∠ACB也是35°，用180°减去两个35°就是∠B的度数。再用180°减去∠B的度数，再减去∠1的度数，就是∠2的度数。 【详解】180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° 180°－110°－20° ＝70°－20° ＝50° 答：∠2是50° 18．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠6。图中的等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】∠6＝120°；钝角三角形 【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角相等。在等边三角形中，三个角都相等且每个角的度数都是60°。由题意得，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4。由图可知，∠1和∠2合起来、∠3和∠4合起来都是等边三角形的内角，那么直接用60°除以2即可算出∠2和∠3的度数。∠2、∠3和∠6是等腰三角形的三个内角，那么直接用180°减去∠2和∠3的度数和即可算出∠6的度数。然后根据三个角的度数来判断三角形的类型即可。 【详解】∠1＝∠2，∠1＋∠2＝60°，那么∠2＝60°÷2＝30°。 ∠3＝∠4，∠3＋∠4＝60°，那么∠3＝60°÷2＝30°。 ∠6＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－（30°＋30°）＝180°－60°＝120° ∠6是一个钝角，这个等腰三角形是钝角三角形。 答：∠6＝120°，这个等腰三角形是钝角三角形。 19．三角形有三个内角，其实也有三个外角。下图△ABC是等腰三角形，∠2、∠3、∠4就是它的外角。已知∠1＝70°，求三个外角的和。 【答案】360° 【分析】如下图，△ABC是等腰三角形，所以∠1＝∠5，三角形内和等于180°，所以180°减2个∠1等于∠6，180°减∠6等于∠4，180°减∠5等于∠3，180°减∠1等于∠2，再把∠2、∠3、∠4的度数相加即可解答。 【详解】∠5＝∠1＝70° ∠6＝180°－∠1－∠5＝180°－70°－70°＝110°－70°＝40° ∠2＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠3＝180°－∠5＝180°－70°＝110° ∠4＝180－∠6＝180°－40°＝140° ∠2＋∠3＋∠4＝110°＋110°＋140°＝220°＋140°＝360° 答：三个外角的和等于360°。 20．奇思制作一个形状是等腰三角形的风筝，已知其中一个角是70°，这个风筝另外两个角的度数分别是多少？（请列方程解答，注意考虑不同的情况，找到所有可能的结果哦） 【答案】70°、40°或55°、55° 【分析】情况一：已知的70°角是底角，所以另一个底角也为70°，顶角未知，所以列方程时应设顶角的度数为未知数，根据三角形内角和为180°，即可列出方程，再解答即可； 情况二：已知的70°角是顶角，底角未知，所以列方程时应设底角的度数为未知数，根据三角形的内角和为180°，即可列出方程，再解答即可。 【详解】当70°角是底角： 解：设这个三角形的顶角为x 70°＋70°＋x＝180° 140°＋x＝180° 140°＋x－140°＝180°－140° x＝40° 当70°角是顶角： 解：设这个三角形的底角为x 70°＋x＋x＝180° 70°＋2x＝180° 70°＋2x－70°＝180°－70° 2x＝110° 2x÷2＝110°÷2 x＝55° 答：这个风筝另外两个角的度数分别是70°、40°或55°、55°。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $