单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学讲义通过“考点梳理-例题讲解-提升练习”三级架构系统构建三角形与多边形知识体系，用表格归纳多边形内角和关键数据，分点呈现核心结论与易错点，清晰展现内角和定理、三边关系等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层设计，如题型一通过“已知两角求第三角”及变式训练培养推理意识，“两短边之和大于长边”的判定技巧渗透几何直观。提升练习涵盖选择、解答等题型，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准复习教学。

专题02 三角形的再认识 内容导航 考点梳理 1 考点一、三角形的内角和 1 考点二、三角形三边关系 2 考点三、多边形的内角和 2 例题讲解 3 题型一、三角形的内角和 3 题型二、三角形三边关系 4 题型三、多边形的内角和 4 提升练习 6 考点梳理 考点一、三角形的内角和 1. 核心结论 (1) 定理：任意三角形的内角和等于 180°。 (2) 适用范围：无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，内角和恒为180°。 2. 常见题型与解法 (1) 已知两角求第三角： 1　 公式： 2　 示例：已知 ，则 。 (2) 直角三角形的特殊性质： 1　 两个锐角之和等于 90°（互余）。 2　 示例：若一个锐角是 ，另一个锐角必为 。 (3) 等腰/等边三角形的角度计算： 1　 等边三角形：三个角相等，每个角均为 。 2　 等腰三角形：两底角相等。 已知顶角求底角： 已知底角求顶角： 3. 易错点提醒 (1) 不要受三角形大小、形状影响，所有三角形内角和都是180°。 (2) 计算等腰三角形时，需判断已知角是顶角还是底角。 考点二、三角形三边关系 1. 核心结论 (1) 基本定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 即： ， ， 。 (2) 推论（快速判断法）：三角形任意两边之差 小于 第三边。 即： 。 2. 快速判定技巧 (1) 方法：只需检验 两条较短边之和 是否大于 最长边。 1　 若 短边1 + 短边2 > 长边 能组成三角形。 2　 若 短边1 + 短边2 长边 不能组成三角形。 3. 常见题型与解法 (1) 判断能否围成三角形： 1　 例：3cm, 4cm, 8cm。因为 ，所以不能组成三角形。 2　 例：3cm, 4cm, 5cm。因为 ，所以能组成三角形。 (2) 求第三边的取值范围： 1　 已知两边 （设 ），第三边 的范围： 2　 3　 例：两边为 3cm 和 7cm，则第三边 满足： ，即 。 4　 若要求整数解，则 可以是 5, 6, 7, 8, 9。 4. 易错点提醒 (1) “两边之和大于第三边”必须是任意两边，但做题时用“两短之和大于最长”最简便。 (2) 注意单位统一，比较前需确认单位一致。 考点三、多边形的内角和 1. 核心推导逻辑 (1) 分割法：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分割成若干个三角形。 (2) 规律： 1　 四边形可分成 2 个三角形 内角和 2　 五边形可分成 3 个三角形 内角和 3　 六边形可分成 4 个三角形 内角和 2. 通用公式 (1) n边形内角和公式：，其中 为边数（ ）。 3. 关键数据记忆表 图形名称 边数 (n) 分割成的三角形个数 (n-2) 内角和 三角形 3 1 四边形 4 2 五边形 5 3 六边形 6 4 八边形 8 6 4. 常见题型与解法 (1) 已知边数求内角和：直接代入公式 。 (2) 已知内角和求边数： 1　 步骤1：用内角和除以 。 2　 步骤2：结果加 2 即为边数。 3　 例：某多边形内角和为 ，求边数。 ， 。故为七边形。 (3) 正多边形单个内角度数： 1　 公式： 2　 例：正五边形每个内角为 。 5. 易错点提醒 (1) 公式中的 代表边数，不是三角形个数。 (2) 此公式仅适用于凸多边形（小学阶段默认研究凸多边形）。 (3) 区分“内角和”与“单个内角”，正多边形才能直接用除法求单个角。 例题讲解 题型一、三角形的内角和 【典型例题】在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝( )；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是( )。 举一反三 【变式训练1】下面（    ）组是同一个三角形的三个内角。 A．90°    50°    41° B．57°    50°    63° C．95°    25°    60° D．100°    50°    50° 【变式训练2】科学课测量一些三角形支架的内角，记录了其中四个角度：25°、110°、75°、65°。其中( )和( )一定不会出现在同一个三角形中。 【变式训练3】算出下面三角形中∠A的度数。 ①这个三角形三条边相等。        ②这是等腰三角形，底角是40°。             ③这是直角三角形。 ∠A＝( )                         ∠A＝( )                        ∠A＝( ) 题型二、三角形三边关系 【典型例题】用每组中的三条线段围三角形。能围成三角形的有（    ）组。 A．4 B．3 C．2 D．1 举一反三 【变式训练1】用三根小棒拼成一个三角形，如果前两根分别是4cm和7cm，那么第三根不可能是（    ）。（取整厘米数） A．10cm B．7cm C．5cm D．3cm 【变式训练2】一个三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。（边长取整厘米） 【变式训练3】周末，淘气一家到公园露营。他们搭了一个帐篷，帐篷支架是一个等腰三角形，其中两条边分别长1.5米和2米。制作这个帐篷支架需要( )米或( )米的材料。 题型三、多边形的内角和 【典型例题】足球是正五边形黑皮与正六边形白皮缝合而成的（如图），请你用已经学过的三角形“内角和”知识，通过画一画、算一算的方法，推算出正五边形的内角和。（提示：写出2种正确的推算方法） 举一反三 【变式训练1】在研究多边形内角和时，图图和红红一起探索五边形的内角和，下图是他们的思考过程，下列算式能体现他们思考过程的是（    ）。 A．180°×5 B．180°×4 C．180°×3 D．180°×2 【变式训练2】探究四边形的内角和时，我们可以把它分成2个三角形（如图1）。用同样的方法分割六边形（如图2），可以把它分成( )个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是( )。 【变式训练3】你知道吗！中华蜜蜂的蜂窝大约由7000个小蜂房紧密地排布在一起组成的，这种结构不留空隙，相互支撑，空间大而且承重强。 (1)仔细观察，每一个蜂房口是一个________边形。 (2)明明想了一个办法把它分成4个三角形算出了这个多边形的内角和是______°。 (3)按照这样的思路，你还有不同的分法算出它的内角和吗？请在下面画一画，算一算！ 提升练习 1．下面能围成三角形的一组线段是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．2cm、2cm、4cm C．1cm、3cm、5cm D．2cm、3cm、5cm 2．一个等腰三角形的一个底角是50°，那么另外两个内角分别是（     ）。 A．50°和50° B．65°和65° C．50°和80° D．40°和90° 3．飞飞想用三根木棒围成一个三角形，其中两根的长度分别是13厘米和17厘米，第三根木棒的长度不可能是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．23厘米 D．32厘米 4．在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是（    ）。 A．54° B．44° C．64° D．36° 5．乐乐用下图的方法求五边形的内角和，下列算式中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．在下面的线段中，用( )、( )和( )可以围成一个三角形。（填序号） ①2cm    ②3cm    ③5cm    ④7cm 7．一个三角形三条边长均为整厘米数，已知其中两条边长分别是6厘米和9厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 8．如果等腰三角形的一个底角是68°，那么它的顶角是( )°。如果一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和6厘米，那么它的周长是( )厘米。 9．临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中( )°的角是平平的。 10．三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 11．在探索多边形的内角和时，我们可以像如图这样，从同一个顶点出发，分成几个三角形再计算，那么计算七边形内角和的算式是( )。 12．如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 13．在课堂学习过程中，动手实操和观察推理是学习数学的重要方法。如表是学习多边形内角和的过程： 图形 △ □ … n边形 内角和 180° 360° … 第一，引导同学们通过活动，得出三角形的内角和是180°。 第二，让学生探讨，由已学三角形的内角和为基础，将四边形通过分割，得到两个三角形，从而得出四边形的内角和是360°； 第三，学生继续对五边形和六边形进行探究； 第四，通过以上结果，总结多边形内角和度数的规律。 请你按照规律，写出十二边形内角和的度数＝( )°，并猜想n边形内角和的度数＝( )。 14．（如图）你能想办法求出这个多边形的内角和吗？可以先在图中画一画，再算一算，这个多边形的内角和是（     ）度。       15．求下图中∠1的度数。 16．计算下列各未知角的度数。 17．学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 18．丽丽家有一个直角三角形的小花园，这个花园中最大角的度数恰好是最小角的3倍，这个花园的两个锐角的度数分别是多少？ 19．同学们在解决三角形、四边形和多边形的内角和的问题。 (1)下面是他们解决三角形、四边形的内角和的分析和解答，看看他们的解答方法正确吗？请在正确方法后面的（    ）里画“√”、在错误方法后面的（    ）里画“×”。 方法1： 1个平角＝180°（    ） 方法2： 1个周角＝360°（    ） 方法3： 2个平角＝360°（    ） 方法4： 180°×4＝720°（    ） (2)下图是胡灵犀研究七边形内角和的画图，请你按照他的画图分析，列式算出七边形的内角和是多少度？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的再认识 内容导航 考点梳理 1 考点一、三角形的内角和 1 考点二、三角形三边关系 2 考点三、多边形的内角和 2 例题讲解 3 题型一、三角形的内角和 3 题型二、三角形三边关系 5 题型三、多边形的内角和 7 提升练习 10 考点梳理 考点一、三角形的内角和 1. 核心结论 (1) 定理：任意三角形的内角和等于 180°。 (2) 适用范围：无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，内角和恒为180°。 2. 常见题型与解法 (1) 已知两角求第三角： 1　 公式： 2　 示例：已知 ，则 。 (2) 直角三角形的特殊性质： 1　 两个锐角之和等于 90°（互余）。 2　 示例：若一个锐角是 ，另一个锐角必为 。 (3) 等腰/等边三角形的角度计算： 1　 等边三角形：三个角相等，每个角均为 。 2　 等腰三角形：两底角相等。 已知顶角求底角： 已知底角求顶角： 3. 易错点提醒 (1) 不要受三角形大小、形状影响，所有三角形内角和都是180°。 (2) 计算等腰三角形时，需判断已知角是顶角还是底角。 考点二、三角形三边关系 1. 核心结论 (1) 基本定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 即： ， ， 。 (2) 推论（快速判断法）：三角形任意两边之差 小于 第三边。 即： 。 2. 快速判定技巧 (1) 方法：只需检验 两条较短边之和 是否大于 最长边。 1　 若 短边1 + 短边2 > 长边 能组成三角形。 2　 若 短边1 + 短边2 长边 不能组成三角形。 3. 常见题型与解法 (1) 判断能否围成三角形： 1　 例：3cm, 4cm, 8cm。因为 ，所以不能组成三角形。 2　 例：3cm, 4cm, 5cm。因为 ，所以能组成三角形。 (2) 求第三边的取值范围： 1　 已知两边 （设 ），第三边 的范围： 2　 3　 例：两边为 3cm 和 7cm，则第三边 满足： ，即 。 4　 若要求整数解，则 可以是 5, 6, 7, 8, 9。 4. 易错点提醒 (1) “两边之和大于第三边”必须是任意两边，但做题时用“两短之和大于最长”最简便。 (2) 注意单位统一，比较前需确认单位一致。 考点三、多边形的内角和 1. 核心推导逻辑 (1) 分割法：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分割成若干个三角形。 (2) 规律： 1　 四边形可分成 2 个三角形 内角和 2　 五边形可分成 3 个三角形 内角和 3　 六边形可分成 4 个三角形 内角和 2. 通用公式 (1) n边形内角和公式：，其中 为边数（ ）。 3. 关键数据记忆表 图形名称 边数 (n) 分割成的三角形个数 (n-2) 内角和 三角形 3 1 四边形 4 2 五边形 5 3 六边形 6 4 八边形 8 6 4. 常见题型与解法 (1) 已知边数求内角和：直接代入公式 。 (2) 已知内角和求边数： 1　 步骤1：用内角和除以 。 2　 步骤2：结果加 2 即为边数。 3　 例：某多边形内角和为 ，求边数。 ， 。故为七边形。 (3) 正多边形单个内角度数： 1　 公式： 2　 例：正五边形每个内角为 。 5. 易错点提醒 (1) 公式中的 代表边数，不是三角形个数。 (2) 此公式仅适用于凸多边形（小学阶段默认研究凸多边形）。 (3) 区分“内角和”与“单个内角”，正多边形才能直接用除法求单个角。 例题讲解 题型一、三角形的内角和 【典型例题】在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝( )；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是( )。 【答案】 80° 40° 【分析】根据三角形内角和是180度，可得∠3＝180°－∠1－∠2；在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90度，所以另一个锐角的度数是：90°－50°，据此即可解答。 【详解】由分析可得： ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80° 90°－50°＝40° 所以，在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝80°；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是40°。 举一反三 【变式训练1】下面（    ）组是同一个三角形的三个内角。 A．90°    50°    41° B．57°    50°    63° C．95°    25°    60° D．100°    50°    50° 【答案】C 【分析】三角形的内角和为180°，将各个选项的三个角分别相加，看结果是否是180°，是180°的就可以组成一个三角形。据此解答。 【详解】A．90°＋50°＋41°＝140°＋41°＝181°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 B．57°＋50°＋63°＝107°＋63°＝170°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 C．95°＋25°＋60°＝120°＋60°＝180°，即这三个角可以是一个三角形的三个内角。 D．100°＋50°＋50°＝150°＋50°＝200°，即这三个角不可能是一个三角形的三个内角。 所以，95°、25°、60°是同一个三角形的三个内角。 【变式训练2】科学课测量一些三角形支架的内角，记录了其中四个角度：25°、110°、75°、65°。其中( )和( )一定不会出现在同一个三角形中。 【答案】 【分析】任意三角形的三个内角度数之和等于180°。 【详解】110°＋75°＝185°，185°＞180°，仅两个角相加就超过180°，再加第三个角必然超过180°，所以，110°和75°一定不会出现在同一个三角形中。 【变式训练3】算出下面三角形中∠A的度数。 ①这个三角形三条边相等。        ②这是等腰三角形，底角是40°。             ③这是直角三角形。 ∠A＝( )                         ∠A＝( )                        ∠A＝( ) 【答案】 60°/60度 100°/100度 40°/40度 【分析】①因为三角形三条边相等，所以该三角形是等边三角形，依据等边三角形三个内角相等且内角和为的性质计算。 ②因为三角形是等腰三角形且底角为，所以两个底角度数相等，依据三角形内角和为，用内角和减去两个底角的度数得到。 ③因为三角形是直角三角形且为直角，为，所以依据直角三角形两个锐角和为计算。 【详解】①∠A＝180°÷3＝60° ②180°－40°－40°＝140°－40°＝100° ③∠A＝90°－50°＝40° 题型二、三角形三边关系 【典型例题】用每组中的三条线段围三角形。能围成三角形的有（    ）组。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】（1），；，；因此可以围成三角形； （2），；，；因此可以围成三角形； （3），；，；因此不能围成三角形； （4），；，；因此可以围成三角形； 综上，能围成三角形的有3组。 举一反三 【变式训练1】用三根小棒拼成一个三角形，如果前两根分别是4cm和7cm，那么第三根不可能是（    ）。（取整厘米数） A．10cm B．7cm C．5cm D．3cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项长度是否符合要求。 【详解】A．，可以拼成三角形； B．，可以拼成三角形； C．，可以拼成三角形； D．，不满足两边之和大于第三边，不能拼成三角形。 【变式训练2】一个三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。（边长取整厘米） 【答案】 4 10 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】根据三角形的特性可知：7－4＜第三边＜7＋4，所以：3＜第三边＜11。 因为要求取整厘米数，所以第三条边最短是4厘米，最长是10厘米。 【变式训练3】周末，淘气一家到公园露营。他们搭了一个帐篷，帐篷支架是一个等腰三角形，其中两条边分别长1.5米和2米。制作这个帐篷支架需要( )米或( )米的材料。 【答案】 5 5.5 【分析】三角形三边关系是任意两边长度之和大于第三边，等腰三角形有两条边长度相等，题目给出的两条边分别是1.5米和2米，因此有两种合理的搭法： 第一种：两条相等的腰长是1.5米，底边长2米。任意两边之和1.5＋1.5＝3米，大于第三边2米，符合三角形搭建要求； 第二种：两条相等的腰长是2米，底边长1.5米。2＋2＝4米，大于第三边1.5米，也符合搭建要求。 【详解】第一种：腰长是1.5米，底边长2米。 1.5＋1.5＋2＝5（米） 第二种：腰长是2米，底边长1.5米。 2＋2＋1.5＝5.5（米） 题型三、多边形的内角和 【典型例题】足球是正五边形黑皮与正六边形白皮缝合而成的（如图），请你用已经学过的三角形“内角和”知识，通过画一画、算一算的方法，推算出正五边形的内角和。（提示：写出2种正确的推算方法） 【答案】540°； 方法一：； 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 方法二：；180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° （方法不唯一） 【分析】方法一： 分割图形：从五边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，可以把五边形分割成多个三角形。对于五边形，从一个顶点出发可以连（5－3＝2）条对角线，把五边形分割成（5－2＝3）个三角形。 计算内角和：因为每个三角形的内角和是180°，那么3个三角形的内角和就是五边形的内角和，即180°×3＝540°。 方法二： 分割图形：在五边形内部任取一点，连接这点与五边形的各个顶点，可以把五边形分割成5个三角形。 计算内角和：这5个三角形的内角和是：180°×5＝900°，但这5个三角形的内角和比五边形的内角和多了一个周角（360°），所以五边形的内角和是：900°－360°＝540°。 【详解】方法一： 图略 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 方法二： 图略 180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 所以正五边形的内角和是540°。 （方法不唯一） 举一反三 【变式训练1】在研究多边形内角和时，图图和红红一起探索五边形的内角和，下图是他们的思考过程，下列算式能体现他们思考过程的是（    ）。 A．180°×5 B．180°×4 C．180°×3 D．180°×2 【答案】C 【分析】通过观察图形，将多边形分割成三角形来求解内角和的方法。 【详解】由图形可知，从五边形的一个顶点出发，画对角线把五边形分成了个三角形。 因为三角形的内角和是，所以五边形的内角和是个三角形内角和的总和，也就是：。 【变式训练2】探究四边形的内角和时，我们可以把它分成2个三角形（如图1）。用同样的方法分割六边形（如图2），可以把它分成( )个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是( )。 【答案】 4 720 【分析】从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和，三角形内角和为180°，据此解答。 【详解】根据分析可知：计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是 4×180°＝720° 【变式训练3】你知道吗！中华蜜蜂的蜂窝大约由7000个小蜂房紧密地排布在一起组成的，这种结构不留空隙，相互支撑，空间大而且承重强。 (1)仔细观察，每一个蜂房口是一个________边形。 (2)明明想了一个办法把它分成4个三角形算出了这个多边形的内角和是______°。 (3)按照这样的思路，你还有不同的分法算出它的内角和吗？请在下面画一画，算一算！ 【答案】(1)六 (2)720 (3)可以经过中心点将这个多边形分成6个三角形，用180°×6再减去中间一个周角的度数，即可求出这个多边形内角和的度数。（方法不唯一） 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 【分析】（1）根据图片可知，每一个蜂房口都有6条边，由6条边组成的图形是六边形。 （2）三角形内角和是180°，这个多边形分成了4个三角形，用180°×4即可求出这个多边形的内角和。 （3）明确周角等于360°，可以经过中心点将这个多边形分成6个三角形，用180°×6再减去中间一个周角的度数，即可求出这个多边形内角和的度数。 【详解】（1）每一个蜂房口是一个六边形。 （2） 180°×4＝720° 明明想了一个办法把它分成4个三角形算出了这个多边形的内角和是720°。 （3）略 提升练习 1．下面能围成三角形的一组线段是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．2cm、2cm、4cm C．1cm、3cm、5cm D．2cm、3cm、5cm 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能构成三角形，据此逐项分析，即可解答。 【详解】A．3＋4＞5，符合三边关系，能围成三角形； B．2＋2＝4，不符合三边关系，不能围成三角形； C．1＋3＜5，不符合三边关系，不能围成三角形； D．2＋3＝5，不符合三边关系，不能围成三角形。 能围成三角形的一组线段是3cm、4cm、5cm。 2．一个等腰三角形的一个底角是50°，那么另外两个内角分别是（     ）。 A．50°和50° B．65°和65° C．50°和80° D．40°和90° 【答案】C 【分析】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为，已知一个底角的度数，先确定另一个底角的度数，再计算顶角的度数即可。 【详解】另一个底角度数等于已知底角度数，为， 顶角度数： 所以另外两个内角分别是和。 3．飞飞想用三根木棒围成一个三角形，其中两根的长度分别是13厘米和17厘米，第三根木棒的长度不可能是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．23厘米 D．32厘米 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三根木棒的长度取值范围，再对比选项判断即可。 【详解】（厘米） （厘米） 4厘米＜第三边长度＜30厘米 A．4＜5＜30，可以围成一个三角形； B．4＜9＜30，可以围成一个三角形； C．4＜23＜30，可以围成一个三角形； D．32＞30，不可能围成一个三角形。 4．在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是（    ）。 A．54° B．44° C．64° D．36° 【答案】A 【分析】直角三角形有一个角是直角为，三角形内角和是，所以两个锐角的和是，用减去已知锐角的度数就能得到另一个锐角的度数。 【详解】 在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是。 5．乐乐用下图的方法求五边形的内角和，下列算式中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，这个五边形被分成了5个三角形。三角形的内角和为180°，直接用180°×5即可求出5个三角形的内角和。但是因为把这个五边形分成三角形时，图形中间的这个周角是因为分割产生的，所以还需要减去这个周角的度数。 【详解】根据分析可得：五边形的内角和为：180°×5－360°。 6．在下面的线段中，用( )、( )和( )可以围成一个三角形。（填序号） ①2cm    ②3cm    ③5cm    ④7cm 【答案】 ② ③ ④ 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短的两条线段长度之和是否大于最长的一条线段长度。通过依次计算验证各组合，找出符合条件的三条线段。 【详解】已知四条线段的长度分别为：2cm、3cm、5cm、7cm。 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。 选①②③：2＋3＝5，5＝5，不符合任意两边之和大于第三边，不能围成三角形； 选①②④：2＋3＝5，5＜7，不符合任意两边之和大于第三边，不能围成三角形； 选①③④：2＋5＝7，7＝7，不符合任意两边之和大于第三边，不能围成三角形； 选②③④：3＋5＝8，8＞7，符合任意两边之和大于第三边，能围成三角形。 所以用②、③、④可以围成一个三角形。 7．一个三角形三条边长均为整厘米数，已知其中两条边长分别是6厘米和9厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 14 4 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【详解】6＋9＝15（厘米） 9－6＝3（厘米） 第三条边大于3厘米小于15厘米，三条边都是整厘米数，所以 最长是：15－1＝14（厘米） 最短是：3＋1＝4（厘米） 8．如果等腰三角形的一个底角是68°，那么它的顶角是( )°。如果一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和6厘米，那么它的周长是( )厘米。 【答案】 44 15 【分析】根据等腰三角形的特征，两个底角相等。已知三角形内角和是，用减去两个底角的度数即可求出顶角。 等腰三角形有两条边相等。已知两条边分别是厘米和厘米，需要分两种情况讨论：一是腰长为厘米，二是腰长为厘米。然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”判断能否组成三角形，最后计算能组成三角形的周长。 【详解】 情况一：当腰长为厘米时，三条边分别是厘米、厘米、厘米。，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 情况二：当腰长为厘米时，三条边分别是厘米、厘米、厘米。，，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 计算周长： （厘米） 9．临临在探究三角形内角和时把三角形纸片撕成三个角，不小心和同桌平平的一个角混在了一起，那么图中( )°的角是平平的。 【答案】60 【分析】三角形的内角和是180°，找出三个和是180度的角，剩下的就是平平的角。 【详解】因为53°＋50°＋77°＝180°，所以60°的角是平平的。 10．三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度，八边形的内角和是( )度。 【答案】 【分析】先从已知的三角形、四边形、五边形的内角和数据，推导多边形内角和与边数的关系，确定突破口是找到边数和对应内角和的通用公式。因为边形可以从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，分割为个三角形，所以根据三角形内角和为，可得出多边形内角和公式为：，如果求八边形的内角和，那么将代入上述公式计算即可。 【详解】 11．在探索多边形的内角和时，我们可以像如图这样，从同一个顶点出发，分成几个三角形再计算，那么计算七边形内角和的算式是( )。 【答案】180°×（7－2）＝900° 【分析】三角形的内角和是180°，计算多边形的内角和时，可以将多边形分成几个三角形，然后用三角形的个数乘180°，即可求出这个多边形的内角和。 【详解】 如图，七边形可以分成5个三角形；7－2＝5，那么计算七边形内角和的算式是：180°×（7－2） ＝180°×5 ＝900° 12．如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 【答案】 360 720 【分析】图①将三角形的一个角剪掉，剩下图形是一个四边形，图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形是一个六边形。 多边形的内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【详解】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是360°。 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是720°。 13．在课堂学习过程中，动手实操和观察推理是学习数学的重要方法。如表是学习多边形内角和的过程： 图形 △ □ … n边形 内角和 180° 360° … 第一，引导同学们通过活动，得出三角形的内角和是180°。 第二，让学生探讨，由已学三角形的内角和为基础，将四边形通过分割，得到两个三角形，从而得出四边形的内角和是360°； 第三，学生继续对五边形和六边形进行探究； 第四，通过以上结果，总结多边形内角和度数的规律。 请你按照规律，写出十二边形内角和的度数＝( )°，并猜想n边形内角和的度数＝( )。 【答案】 1800 （n－2）×180°（n≥3） 【分析】根据题意，已知三角形的内角和是； 四边形是由2个三角形组成的，可以求出四边形的内角和是； 五边形是由3个三角形组成的，可以求出五边形的内角和是； 六边形是由4个三角形组成的，可以求出六边形的内角和是； 七边形是由5个三角形组成的，可以求出七边形的内角和是； 以此推出：n边形的内角的和等于：，据此解答。 【详解】如下图所示： 图形 △ □ … n边形 内角和 180° 360° 540° 720° 900° … （n－2）×180°（n≥3） 十二边形内角和的度数＝，并猜想n边形内角和的度数＝。 14．（如图）你能想办法求出这个多边形的内角和吗？可以先在图中画一画，再算一算，这个多边形的内角和是（     ）度。       【答案】；720 【分析】连接多边形的一个顶点和其他不相邻的顶点，可以把这个多边形分割成4个三角形。每个三角形的内角和是180度，4个三角形的内角和就是这个多边形的内角和。 【详解】 如图，把这个多边形分割成4个三角形，因为一个三角形的内角和是180度，所以4个三角形的内角和就是180×4＝720（度），也就是这个多边形的内角和是720度。 15．求下图中∠1的度数。 【答案】92° 【分析】如图所示，四边形可以分成两个三角形，三角形的内角和是180°，则四边形的内角和是180°×2＝360°，所以∠1的度数等于180°×2－50°－95°－123°。 【详解】180°×2－50°－95°－123° ＝360°－50°－95°－123° ＝310°－95°－123° ＝215°－123° ＝92° ∠1的度数是92° 。 16．计算下列各未知角的度数。 【答案】（1）35°；（2）61°；（3）120° 【分析】（1）三角形的内角和是180°。看图可知，直角三角形中有一个角是直角，直角是90°，其中一个角是55°，用180°减去三角形中已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数； （2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那么这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。一个顶角的度数为58°，用180°减去顶角的度数，再除以2即可求出底角的度数； （3）四边形的内角和是360°。看图可知，有一个角是直角，直角是90°，其中一个角是46°，一个角是104°，用360°减去四边形中已知三个角的度数，即可求出第四个角的度数。 【详解】（1）180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° （2）（180°－58°）÷2 ＝122°÷2 ＝61° （3）360°－90°－104°－46° ＝270°－104°－46° ＝166°－46° ＝120° 17．学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 【答案】 60米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。已知两条边分别是米和米，需要分两种情况讨论：第一种情况是腰长米，底边米；第二种情况是腰长米，底边米。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能构成三角形的情况，确定正确的三条边长度后，再计算周长。 【详解】情况一：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，所以这种情况舍去。 情况二：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，，符合三角形三边关系，可以构成三角形。 栅栏的总长度为： （米） 答：栅栏的长是米。 18．丽丽家有一个直角三角形的小花园，这个花园中最大角的度数恰好是最小角的3倍，这个花园的两个锐角的度数分别是多少？ 【答案】 和 【分析】先根据直角三角形的特征确定最大角是的直角，结合最大角是最小角的3倍求出最小锐角，再利用三角形内角和为算出另一个锐角的度数。 【详解】直角三角形的最大角是直角，度数为。 最小锐角的度数：（度） 另一个锐角的度数：（度） 答：这个花园的两个锐角的度数分别是和。 19．同学们在解决三角形、四边形和多边形的内角和的问题。 (1)下面是他们解决三角形、四边形的内角和的分析和解答，看看他们的解答方法正确吗？请在正确方法后面的（    ）里画“√”、在错误方法后面的（    ）里画“×”。 方法1： 1个平角＝180°（    ） 方法2： 1个周角＝360°（    ） 方法3： 2个平角＝360°（    ） 方法4： 180°×4＝720°（    ） (2)下图是胡灵犀研究七边形内角和的画图，请你按照他的画图分析，列式算出七边形的内角和是多少度？ 【答案】(1) 方法1： 1个平角＝180°（ √ ） 方法2： 1个周角＝360°（ √  ） 方法3： 2个平角＝360°（ √  ） 方法4： 180°×4＝720°（ ×  ） (2) 【分析】（1）方法一，同学们把三角形三个角剪下来拼成一个平角，方法正确； 方法二：同学们把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； 方法三：把四边形的四个角拼成两个平角，每个平角180°，2×180°＝360°，方法正确； 方法四：长方形内画两条对角线，把图形分成了4个三角形，用180°×4＝720°，这个计算多算了中间的周角，所以这个方法错误； （2）从图中可以看出，胡灵犀是从七边形的一个顶点出发，向其他不相邻的顶点连线，把七边形分割成5个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以七边形的内角和就是这5个三角形内角和的总和，列式计算即可。 【详解】（1）略 （2）180°×5＝900° 答：七边形的内角和为900°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $