第五单元 比的认识（解决实际问题）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学六年级上册（新教材）

第五单元 比的认识（解决实际问题）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、按比分配的意义 把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比分配，是比在实际生活中的核心应用，常见于物品分配、溶液配制、几何计算、工程分配等场景。 - 核心逻辑：根据比确定份数关系，将已知数量与对应份数匹配，求出每份的量，再推导所求数量。 二、两种基本解题方法 1. 归一法（份数法） 把比看成份数之比，先求出1份对应的具体数量，再乘各部分的份数得到结果，是所有按比分配题型的通用方法。 - 步骤： ① 根据比求出总份数/份数差/对应份数； ② 已知数量 ÷ 对应份数 = 每份的量； ③ 每份的量 × 所求量的份数 = 所求数量。 2. 分数法（分率法） 已知总量时，把比转化为各部分占总量的几分之几，用分数乘法直接计算各部分量。 - 步骤： ① 求总份数； ② 各部分份数 ÷ 总份数 = 对应分率； ③ 总量 × 对应分率 = 各部分的量。 三、常见四大题型 1. 基础总量型：已知总量和各部分的比，求各部分量。 　- 例：两数和是50，两数比为2:3，求两个数分别是多少。 2. 部分量型：已知其中一个部分量和比，求总量或另一个部分量。 　- 例：甲数是20，甲:乙=2:3，求乙数。 3. 差量型：已知两个量的差和比，求总量或各部分量。 　- 例：甲比乙多10，甲:乙=3:2，求两数之和。 4. 连比型：三个及以上数量的比，已知总量或部分量，求各部分量。 　- 例：三数和是60，甲:乙:丙=1:2:3，求三个数。 四、解题通用步骤 1. 找：定位已知的比和对应的已知数量； 2. 配：匹配已知数量对应的份数（总量对应总份数，差量对应份数差，部分量对应自身份数）； 3. 求：用归一法算出每份的量，或用分数法算出对应分率； 4. 算：推导所求的数量； 5. 验：把结果代入原比验证，确认比例关系成立。 五、常见易错点 1. 量份不对应：已知差量却除以总份数，正确应为差量对应份数差； 2. 隐藏总量忽略：长方形周长、三角形内角和等题型，直接用原始数据分配，未先求出分配的实际总量； 3. 总份数算错：连比问题漏加份数，或两数比总份数计算错误； 4. 连比不统一：两个两数比合成连比时，中间量的份数未统一，直接拼接导致比例错误； 5. 单位不统一：比的前后项单位不一致，未换算直接计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：归一份数法 【解题思路】 把比转化为份数关系，先求出1份对应的具体数值，再根据所求量的份数计算结果，是按比分配的通用解法。 【操作步骤】 第一步：根据比确定各部分对应的份数； 第二步：匹配已知数量对应的份数（总量→总份数，差→份数差，部分量→自身份数）； 第三步：已知数量 ÷ 对应份数 = 每份的量； 第四步：每份的量 × 所求量的份数 = 最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：差量除以总份数。 　　→ 规避技巧：什么量对应什么份数，差量对应份数差，总量对应总份数，一一对应再计算。 方法点拨2：分数转化法 【解题思路】 已知总量的题型，把比转化为各部分占总量的分率，用分数乘法直接求解，步骤更简洁。 【操作步骤】 第一步：计算总份数； 第二步：各部分份数 ÷ 总份数 = 该部分占总量的分率； 第三步：总量 × 对应分率 = 各部分的量。 【易错提升】 ● 易错点：计算分率时分子分母颠倒。 　　→ 规避技巧：占谁就除以谁，占总量就除以总份数。 方法点拨3：隐藏总量挖掘法 【解题思路】 几何类按比分配题，先根据公式挖掘出真正的分配总量，再进行按比分配。 【操作步骤】 第一步：识别场景，确定需要分配的实际总量； 第二步：用公式算出分配总量（如周长÷2=长宽和，内角和固定180°）； 第三步：按比分配计算各部分量； 第四步：代回原公式验证结果。 【易错提升】 ● 易错点：直接用长方形周长按比分配长和宽。 　　→ 规避技巧：周长是2组长宽的和，必须先除以2得到一组长宽的和，再分配。 方法点拨4：连比统一法 【解题思路】 已知两个两数比、求三个量的关系时，先统一中间量的份数（取最小公倍数），再合成连比计算。 【操作步骤】 第一步：找到两个比中的公共量，计算公共量两个份数的最小公倍数； 第二步：根据比的基本性质，把两个比中公共量的份数都化为最小公倍数； 第三步：合并得到三个量的连比； 第四步：按连比进行分配计算。 【易错提升】 ● 易错点：统一份数时只改变公共量，其他量不变。 　　→ 规避技巧：比的前项后项必须同时乘相同的数，每个比都要整体扩倍。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础按比分配（已知总量） 考查重点：掌握已知总量和比的按比分配，能熟练运用归一法、分数法两种方法解题。 【典例精讲】 题目：学校把300本课外读物按3:2的比例分给五、六年级，五、六年级各分得多少本？ 【分析】 已知总数量300本，分配比为3:2，总份数5份。可以用归一法先求每份数量，再乘各年级份数；也可以用分数法，算出各年级占总数的分率，再乘总数。 【详解】 方法一：归一法 总份数：（份） 每份数量：（本） 五年级：（本） 六年级：（本） 方法二：分数法 总份数：（份） 五年级占总数的，六年级占总数的 五年级：（本） 六年级：（本） 答：五年级分得180本，六年级分得120本。 【答案】五年级180本，六年级120本 【变式训练】 题目：一种糖水是糖和水按1:19的比配制而成的，要配制2000克这种糖水，需要糖和水各多少克？ 【分析】 糖水总质量2000克，糖和水的比为1:19，总份数20份，分别计算糖和水的质量。 【详解】 总份数：（份） 每份质量：（克） 糖：（克） 水：（克） 答：需要糖100克，水1900克。 【答案】糖100克，水1900克 考点二：已知部分量或差量的按比分配 考查重点：掌握已知单个部分量、已知差量的按比分配，精准匹配数量与对应份数。 【典例精讲】 题目：六（1）班男生和女生人数的比是5:4，已知男生有25人，女生有多少人？全班有多少人？ 【分析】 已知男生人数和男生对应的5份，先求出每份的人数，再乘女生对应的4份得到女生人数，用总份数乘每份数得到全班人数。 【详解】 每份人数：（人） 女生人数：（人） 全班总份数：（份） 全班人数：（人） 答：女生有20人，全班有45人。 【答案】女生20人，全班45人 【变式训练】 题目：果园里苹果树和梨树的棵数比是5:3，苹果树比梨树多40棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 已知棵数差40棵，对应份数差为份，先算出每份的棵数，再分别乘两种树的份数。 【详解】 份数差：（份） 每份棵数：（棵） 苹果树：（棵） 梨树：（棵） 答：苹果树有100棵，梨树有60棵。 【答案】苹果树100棵，梨树60棵 考点三：隐藏总量的按比分配 考查重点：掌握几何场景的按比分配，能挖掘隐藏的分配总量，正确解决周长、内角和等问题。 【典例精讲】 题目：一个长方形的周长是40厘米，长和宽的比是3:2，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 长方形周长包含2组长和宽，不能直接用40厘米分配，要先除以2得到一组长与宽的和，再按3:2分配求出长和宽，最后计算面积。 【详解】 一组长宽的和：（厘米） 总份数：（份） 每份长度：（厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积是96平方厘米。 【答案】96平方厘米 【变式训练】 题目：一个三角形三个内角的度数比是2:3:5，这个三角形是什么三角形？最大的角是多少度？ 【分析】 三角形内角和是180°，是隐藏的总量，按2:3:5分配，算出最大角的度数，判断三角形类型。 【详解】 总份数：（份） 每份度数： 最大角： 90°是直角，因此这个三角形是直角三角形。 答：这个三角形是直角三角形，最大的角是90度。 【答案】直角三角形，最大角90度 考点四：连比与比的综合应用 考查重点：掌握三个量的连比分配，能统一中间量的份数，解决稍复杂的多量比问题。 【典例精讲】 题目：学校把450本图书按2:3:4分给低、中、高三个年级，三个年级各分得多少本？ 【分析】 三个量的连比，总份数是份，先求每份的本数，再分别乘各年级对应的份数。 【详解】 总份数：（份） 每份本数：（本） 低年级：（本） 中年级：（本） 高年级：（本） 答：低年级分得100本，中年级分得150本，高年级分得200本。 【答案】低年级100本，中年级150本，高年级200本 【变式训练】 题目：甲乙两数的比是2:3，乙丙两数的比是4:5，甲数是16，丙数是多少？ 【分析】 两个比中都有乙数，先统一乙数的份数：3和4的最小公倍数是12，把两个比中乙数都化为12份，得到甲乙丙的连比，再根据甲数求每份数，进而求丙数。 【详解】 统一乙数份数：3和4的最小公倍数是12 甲:乙 乙:丙 甲:乙:丙 每份的量： 丙数： 答：丙数是30。 【答案】30 【第四部分】专项提升练习 1．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔。大雁塔高度约64米，文创商店有两款大雁塔模型，高分别为6.4厘米和3.2厘米，这两款模型的高与大雁塔高的比分别是多少？ 【答案】1∶1000和1∶2000 【分析】先根据1米＝100厘米，乘进率将米换算成厘米，再依据比的意义分别求出两款模型的高与大雁塔高的比，并根据比的基本性质将比化简为最简整数比。 【详解】64×100＝6400（厘米） 第一款模型高与大雁塔高的比： 第二款模型高与大雁塔高的比： 答：这两款模型的高与大雁塔高的比分别是1∶1000和1∶2000。 2．糕点师傅用面粉、鸡蛋和奶油做了一个1500克的蛋糕，其中面粉用了900克，鸡蛋用了360克，其余是奶油，写出制作这个蛋糕用到的面粉、鸡蛋、奶油的质量比。 【答案】15∶6∶4 【分析】要求三种原料的质量比，需要先用蛋糕的质量减去面粉和鸡蛋的质量，求出奶油的质量，再把三个质量写成比的形式并根据比的基本性质化简为最简整数比。 【详解】奶油的质量： 1500－900－360 ＝600－360 ＝240（克） 面粉、鸡蛋、奶油的质量比为： 900∶360∶240 ＝（900÷60）∶（360÷60）∶（240÷60） ＝15∶6∶4 答：制作这个蛋糕用到的面粉、鸡蛋、奶油的质量比是15∶6∶4。 3．大齿轮有32个齿，小齿轮有24个齿，大齿轮和小齿轮齿数的最简整数比是多少？ 【答案】4∶3 【分析】两个数相除，又叫这两个数的比。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。已知大齿轮有32个齿，小齿轮有24个齿，根据比的意义写出大齿轮和小齿轮齿数的比后，利用比的基本性质进行化简。 【详解】 答：大齿轮和小齿轮齿数的最简整数比是4∶3。 4．把3克盐放入50克水中，盐和水的质量的比是多少？盐和盐水的质量的比是多少？ 【答案】3∶50； 3∶53 【分析】依据比的意义，盐和水的质量的比就是用盐的质量比水的质量，盐和盐水的质量的比就是盐的质量比盐加水的质量和。 【详解】盐和水的质量的比：3∶50 盐和盐水的质量比： 3∶（3＋50）＝3∶53 答：盐和水的质量的比是3∶50，盐和盐水的质量的比是3∶53。 5．学校航模队有男生20人，女生15人，男生人数是女生的几分之几？女生人数是男生的几分之几？写出男生人数与女生人数的最简整数比，再求比值。 【答案】；；4∶3； 【分析】求男生人数是女生的几分之几，是把女生人数看作单位“1”，用男生人数除以女生人数； 求女生人数是男生人数的几分之几，是把男生人数看作单位“1”，用女生人数除以男生人数； 写出男生人数与女生人数的比，再根据比的基本性质将其化成最简整数比，用前项除以后项即可求出比值。 【详解】20÷15＝＝ 15÷20＝＝ 20∶15＝（20÷5）∶（15÷5）＝4∶3 4∶3＝4÷3＝ 答：男生人数是女生的，女生人数是男生的，男生人数与女生人数的最简整数比是4∶3，比值是。 6．甲、乙两地相距360千米，客车和货车分别从两地同时相向开出，经过2.4时相遇，客车和货车的速度比是3∶2，客车每时行驶多少千米？ 【答案】90千米 【分析】相遇问题中，两车的速度和等于总路程除以相遇时间；客车和货车的速度比是3∶2，把客车的速度看作3份，货车的速度就是2份，客车的速度为两车速度和的，两车的速度和乘即等于客车的速度。 【详解】 ＝150× （千米） 答：客车每时行驶90千米。 7．在上劳动实践课时，需要把180平方米的劳动场地按照六年级两个班的人数分配给各班。六（1）班有44人，六（2）班有46人，两个班各应分得多少平方米的劳动场地？ 【答案】六（1）班88平方米，六（2）班92平方米 【详解】先求出两个班级的人数比：44∶46＝22∶23，再把180按22∶23进行分配，即可解答。 【解答】根据分析，解答如下： 44∶46＝22∶23 18088（平方米） 18092（平方米） 答：六（1）班应分得88平方米，六（2）班应分得92平方米的劳动场地。 8．传统比赛用的足球是由32块黑色五边形牛皮和白色六边形牛皮缝制成的。黑色牛皮和白色牛皮数量比是3∶5。两种颜色的牛皮各有多少块？ 【答案】黑色牛皮12块，白色牛皮20块 【分析】根据两种牛皮的数量比求出总份数，用总块数除以总份数得到每份的数量，再分别乘两种牛皮对应的份数，就能算出各自的数量。 【详解】（份） （块） （块） （块） 答：黑色牛皮12块，白色牛皮20块。 9．画一个半径为3厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形，我们都知道：“这个圆和这个正方形的面积比是π∶2”，请你说明得出这个结论的过程。 【答案】圆的面积：＝（平方厘米） 正方形的面积：3×3÷2×4＝18（平方厘米） 圆的面积∶正方形的面积＝＝＝∶2 【分析】已知圆的半径，根据圆的面积公式，可以用含有字母的式子表示出圆的面积；连接圆内最大正方形的对角线（如图），最大正方形被平均分成4个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边都等于圆的半径，根据三角形的面积公式，可求出每个直角三角形的面积，再乘4即可求出大正方形的面积；最后写出这个圆的面积与这个正方形的面积的比，并化简即可。 【详解】略 10．一个等腰三角形的周长是70厘米，一条腰与底的长度比是3∶1，这个三角形的一条腰和底的长分别是多少厘米？ 【答案】 这个三角形的一条腰和底的长分别是30、10厘米。 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，确定三边的长度比，再用按比例分配的方法计算腰和底的长度。 【详解】由等腰三角形两腰相等，得三边长度比为。 总份数： 每份长度：（厘米） 腰长：（厘米） 底长：（厘米） 答：这个三角形的一条腰和底的长分别是30、10厘米。 11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离中点13千米处相遇，甲、乙两车的速度比是2∶3。A、B两地相距多少千米？ 【答案】130千米 【分析】根据题意可知，甲乙两车同时出发相向而行，相遇时所用时间相同，则行驶的路程比等于速度比，即甲乙两车行驶的路程比是2∶3。那么甲行驶的路程占总路程的，乙行驶的路程占总路程的。两车在离中点13千米处相遇，说明速度快的乙车比速度慢的甲车多行驶（13×2）千米，而多行驶的路程占总路程的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用（13×2）除以，即可求出A、B两地的距离。 【详解】 ＝13×2÷ ＝13×2÷ ＝26÷ ＝26×5 ＝130（千米） 答：A、B两地相距130千米。 12．甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，相遇时，甲车行驶的路程是乙车的。已知乙车每小时行驶86千米，甲车行驶完全程要10小时，A、B两地相距多少千米？ 【答案】688千米 【分析】相遇时，甲车行驶的路程是乙车的，即甲车与乙车的路程比为4∶5，因为是同时出发，因此速度比也为4∶5，已知乙车速度为86千米/小时，用乙车的速度除以对应的份数（5份），求出1份是多少，再乘4就是甲车的速度，甲车行驶全程需10小时，根据路程＝速度×时间，代入数据解答即可。 【详解】86÷5×4×10 ＝17.2×4×10 ＝68.8×10 ＝688（千米）     答：A、B两地相距688千米。 13．植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3∶2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？ 【答案】四年级220人；五年级200人；六年级300人 【分析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720＋80＝800人，那么四、五、六三个年级的人数比为3∶2∶3，根据按比例分配，六年级的人数是800人的，五年级的人数是800人的，据此解答。 【详解】六年级： （720＋80）× ＝800× ＝300（人） 四年级：300－80＝220（人） 五年级： （720＋80）× ＝800× ＝200（人） 答：四、五、六年级参加植树的人数分别是220人、200人、300人。 14．一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 【答案】2∶5；奶味加重了 【分析】用700减去两个100可得原来奶茶的总量，再根据比的应用，把原来奶茶的总量看作单位“1”，奶的质量是总量的，茶的质量是总量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可分别求出原来的奶和茶的质量。再分别用原来的奶的质量加100的和比原来的茶的质量加100的和，再化简比可得第一问；比较原来奶和茶的比是1∶4，即2∶8，而现在的奶和茶的比是2∶5，是奶味加重了。 【详解】700－100×2 ＝700－200 ＝500（克） 500× ＝500× ＝100（克） 500× ＝500× ＝400（克） （100＋100）∶（100＋400） ＝200∶500 ＝2∶5 据分析可知，加入的奶和茶各100克，比原来奶味重。 答：在的奶茶中奶和茶的比是2∶5；现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了。 【点睛】本题的关键是找出原来奶茶的质量，再根据原来奶与茶的比，分别求出奶与茶的质量，由现在奶与茶的质量求现在奶与茶的比，如果奶与茶的比值和以前相比增大，则奶味加重，反之是茶味加重。 15．小仑往240毫升酸梅原汁中加了540毫升水后，才发现调制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是4：6时，口感最佳”。请你帮小仑判断一下，为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加水还是加酸梅原汁？应该加多少？ 【答案】加酸梅原汁；加120毫升。 【分析】根据酸梅原汁与水的比是4∶6时，口感最佳计算求出240毫升的酸梅原汁需要加入的水是多少，通过计算可知水加多了，故需要再次加入酸梅原汁，再次根据多加入水的容积计算需要加酸梅原汁的容积即可。 【详解】240÷4×6＝360（毫升） 即240毫升的酸梅原汁中加入360毫升的水，即达到酸梅原汁与水的比是4∶6。 现在多加入的水为540－360＝180（毫升），故需要再次加酸梅原汁。 180÷6×4＝120（毫升），即需要加入120毫升的酸梅原汁才能使口感最佳。 答：为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加酸梅原汁，加120毫升。 16．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 【答案】小品8人；朗诵12人；合唱21人 【分析】根据“参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人”，可以设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人； 已知参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，即参加小品的同学人数是参加朗诵的同学人数的，因为参加朗诵的同学有人，那么参加小品的同学有人。 根据“六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目”可得出等量关系：参加小品的同学人数＋参加朗诵的同学人数＋参加合唱的同学人数＝参加节目的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人，参加小品的同学有人。 ＋＋2－3＝41 －3＝41 －3＋3＝41＋3 ＝44 ÷＝44÷ ＝44× ＝12 合唱：12×2－3 ＝24－3 ＝21（人） 小品：12×＝8（人） 答：参加小品的同学有8人，参加朗诵的同学有12人，参加合唱的同学有21人。 17．猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 【答案】90米 【分析】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步a米；由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑a×3＝a米；从而可知猎犬与兔子的速度比是2a∶a ＝6∶5，在同一时间里，路程比就是速度比6∶5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6－5＝1倍，正好是相差15米，从而求出1倍的，再乘以6就是猎犬追上兔子的距离，据此解答即可。 【详解】设猎犬每步a米，则兔子每步a米 （2×a）∶（a×3） ＝2a∶a ＝6∶5 15÷（6－5）×6 ＝15×6 ＝90（米） 答：猎犬至少跑90米才能追上兔子。 【点睛】解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比，再根据在同一时间里，速度比就是路程比，求出其路程比。 18．甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的40%，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 【答案】甲仓库原来存粮57吨，乙仓库原来存粮38吨。 【分析】由题意可知，甲仓库存粮的等于乙仓库存粮的，假设两仓库剩下的存粮为1，则可用1分别除以和，再列比并化简可得到甲乙两仓库存粮的比，根据比的应用，用95除以两仓库比的和，得到每份是多少，于用每份的数量分别乘两仓库对应的份数即可得解。 【详解】假设甲×＝乙×＝1 甲： 乙： 甲∶乙＝ （吨） 甲：（吨） 乙：（吨） 答：甲仓库原来存粮57吨，乙仓库原来存粮38吨。 【点睛】因为没有甲仓库和乙仓库的具体量，只有两仓库的和，所以要转换成比的应用题，根据两仓库的关系，确定两仓库的比。 19．水果店运来苹果、香蕉、橘子共380千克，其中苹果与香蕉的质量比是3∶2，香蕉与橘子的质量比也是3∶2，运进苹果、香蕉、橘子各多少千克？ 【答案】苹果180千克；香蕉120千克；橘子80千克 【分析】根据题意，苹果与香蕉的质量比是3∶2，香蕉与橘子的质量比是3∶2，把香蕉的份数变成相同的份数，即6份，那么苹果与香蕉的质量比是9∶6，香蕉与橘子的质量比是6∶4，则苹果、香蕉、橘子的质量比是9∶6∶4，再根据按比例分配的方法，用总质量除以总份数，求出每份的质量，再乘份数即可求出各自的重量。 【详解】苹果与香蕉的质量比是3∶2＝9∶6 香蕉与橘子的质量比是3∶2＝6∶4 苹果、香蕉、橘子的质量比是9∶6∶4 380÷（9＋6＋4） ＝380÷19 ＝ 20（千克） 20×9 ＝180（千克） 20×6＝120（千克） 20×4＝80（千克） 答：运进苹果180千克，香蕉120千克，橘子80千克。 20．小华对本校2024年春季学期参加足球、篮球和乒乓球三项社团活动的学生进行了统计，参加这3项活动的学生共有360人，其中足球社团人数是篮球社团人数的，篮球社团人数与乒乓球社团人数的比是5∶7。参加这3项社团活动的学生各有多少人？（先画线段图分析，再列式解答） 【答案】 72人；120人；168人 【分析】根据题意，把乒乓球社团人数看作单位“1”，篮球社团人数是乒乓球社团人数的，足球社团人数是篮球社团人数的，据此画出线段图。由图可知，足球社团人数、篮球社团人数、乒乓球社团人数的比是3∶5∶7，将360人平均分成（3＋5＋7）份，求出每份是多少人，再根据每个社团所占的份数，求出每个社团的人数即可。 【详解】 360÷（3＋5＋7） ＝360÷15 ＝24（人） 24×3＝72（人） 24×5＝120（人） 24×7＝168（人） 答：足球社团有72人，篮球社团有120人，乒乓球社团有168人。 21．加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 【答案】450个 【分析】将零件总个数看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，根据完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2，师傅完成总个数的，徒弟完成总个数的，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，求出师傅加工总天数，师傅加工总天数－师傅单独加工的天数＝两人合作天数，即徒弟加工天数，徒弟每天加工个数×徒弟加工天数＝徒弟加工个数，徒弟加工个数÷对应分率＝零件总个数，据此列式解答。 【详解】（天） 9－3＝6（天） 30×6÷ ＝180÷ ＝180× ＝450（个） 答：这批零件一共有450个。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，部分数量÷对应分率＝整体数量。 22．小红和小花各有一个盒子，两个盒子里一共有180颗棋子，小红从自己的盒子里拿出的棋子放入小花的盒子后，小花盒子里的棋子数恰好比原来增加了。小红和小花原来各有多少颗棋子？ 【答案】小红80颗；小花100颗 【分析】由题意可知，小红原来棋子数量的等于小花原来棋子数量的，先求出小红和小花原来棋子数量的比，再根据比的应用求出小红和小花各有多少颗棋子，据此解答。 【详解】假设小红的棋子数量×＝小花的棋子数量×＝1，则小红的棋子数量∶小花的棋子数量＝4∶5。 小红的棋子数量：180× ＝180× ＝80（颗） 小花的棋子数量：180× ＝180× ＝100（颗） 答：小红原来有80颗棋子，小花原来有100颗棋子。 【点睛】分析题意求出两人棋子数量的比，并掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 23．本校六年级学生被抽到参加全国小学生体育质量检测，第一批测验的学生人数与六年级总人数的比是1∶3，后来又检测了20人，这时已测验的同学与还未测验同学的人数的比是3∶4，本校六年级一共有多少人？ 【答案】210人 【分析】把六年级总人数看作单位“1”，已知第一批测验的学生人数与六年级总人数的比是1∶3，根据分数与比的关系，可知第一批测验的学生人数占六年级总人数的；又已知后来又检测了20人，这时已测验的同学与还未测验同学的人数的比是3∶4，可得后面已测验的学生人数占六年级总人数的，根据减法的意义，可知20人占六年级总人数的（－），根据分数除法的意义，用20÷（－）即可求出六年级的总人数。 【详解】1∶3＝ ＝ 20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝210（人） 答：本校六年级一共有210人。 【点睛】本题可将比转化为分数来解决问题，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 24．文明城市是一座城市的崇高荣誉。县精神文明办公室把20个文明劝导员臂章按照三个单位人数比分发给他们，甲单位有18人，乙单位有15人，丙单位有27人。甲、乙、丙单位各领了多少个文明劝导员臂章？ 【答案】甲单位6个；乙单位5个；丙单位9个 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，确定甲、乙、丙三个单位的最简人数比，文明劝导员臂章总个数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘甲、乙、丙三个单位的对应份数，即可求出甲、乙、丙三个单位各领文明劝导员臂章的个数。 【详解】18∶15∶27＝6∶5∶9 20÷（6＋5＋9） ＝20÷20 ＝1（个） 1×6＝6（个） 1×5＝5（个） 1×9＝9（个） 答：甲单位领了6个文明劝导员臂章，乙单位领了5个文明劝导员臂章，丙单位领了9个文明劝导员臂章。 【点睛】关键是理解比的意义，确定人数比，掌握按比分配问题的解题方法。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比的认识（解决实际问题）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、按比分配的意义 把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比分配，是比在实际生活中的核心应用，常见于物品分配、溶液配制、几何计算、工程分配等场景。 - 核心逻辑：根据比确定份数关系，将已知数量与对应份数匹配，求出每份的量，再推导所求数量。 二、两种基本解题方法 1. 归一法（份数法） 把比看成份数之比，先求出1份对应的具体数量，再乘各部分的份数得到结果，是所有按比分配题型的通用方法。 - 步骤： ① 根据比求出总份数/份数差/对应份数； ② 已知数量 ÷ 对应份数 = 每份的量； ③ 每份的量 × 所求量的份数 = 所求数量。 2. 分数法（分率法） 已知总量时，把比转化为各部分占总量的几分之几，用分数乘法直接计算各部分量。 - 步骤： ① 求总份数； ② 各部分份数 ÷ 总份数 = 对应分率； ③ 总量 × 对应分率 = 各部分的量。 三、常见四大题型 1. 基础总量型：已知总量和各部分的比，求各部分量。 　- 例：两数和是50，两数比为2:3，求两个数分别是多少。 2. 部分量型：已知其中一个部分量和比，求总量或另一个部分量。 　- 例：甲数是20，甲:乙=2:3，求乙数。 3. 差量型：已知两个量的差和比，求总量或各部分量。 　- 例：甲比乙多10，甲:乙=3:2，求两数之和。 4. 连比型：三个及以上数量的比，已知总量或部分量，求各部分量。 　- 例：三数和是60，甲:乙:丙=1:2:3，求三个数。 四、解题通用步骤 1. 找：定位已知的比和对应的已知数量； 2. 配：匹配已知数量对应的份数（总量对应总份数，差量对应份数差，部分量对应自身份数）； 3. 求：用归一法算出每份的量，或用分数法算出对应分率； 4. 算：推导所求的数量； 5. 验：把结果代入原比验证，确认比例关系成立。 五、常见易错点 1. 量份不对应：已知差量却除以总份数，正确应为差量对应份数差； 2. 隐藏总量忽略：长方形周长、三角形内角和等题型，直接用原始数据分配，未先求出分配的实际总量； 3. 总份数算错：连比问题漏加份数，或两数比总份数计算错误； 4. 连比不统一：两个两数比合成连比时，中间量的份数未统一，直接拼接导致比例错误； 5. 单位不统一：比的前后项单位不一致，未换算直接计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：归一份数法 【解题思路】 把比转化为份数关系，先求出1份对应的具体数值，再根据所求量的份数计算结果，是按比分配的通用解法。 【操作步骤】 第一步：根据比确定各部分对应的份数； 第二步：匹配已知数量对应的份数（总量→总份数，差→份数差，部分量→自身份数）； 第三步：已知数量 ÷ 对应份数 = 每份的量； 第四步：每份的量 × 所求量的份数 = 最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：差量除以总份数。 　　→ 规避技巧：什么量对应什么份数，差量对应份数差，总量对应总份数，一一对应再计算。 方法点拨2：分数转化法 【解题思路】 已知总量的题型，把比转化为各部分占总量的分率，用分数乘法直接求解，步骤更简洁。 【操作步骤】 第一步：计算总份数； 第二步：各部分份数 ÷ 总份数 = 该部分占总量的分率； 第三步：总量 × 对应分率 = 各部分的量。 【易错提升】 ● 易错点：计算分率时分子分母颠倒。 　　→ 规避技巧：占谁就除以谁，占总量就除以总份数。 方法点拨3：隐藏总量挖掘法 【解题思路】 几何类按比分配题，先根据公式挖掘出真正的分配总量，再进行按比分配。 【操作步骤】 第一步：识别场景，确定需要分配的实际总量； 第二步：用公式算出分配总量（如周长÷2=长宽和，内角和固定180°）； 第三步：按比分配计算各部分量； 第四步：代回原公式验证结果。 【易错提升】 ● 易错点：直接用长方形周长按比分配长和宽。 　　→ 规避技巧：周长是2组长宽的和，必须先除以2得到一组长宽的和，再分配。 方法点拨4：连比统一法 【解题思路】 已知两个两数比、求三个量的关系时，先统一中间量的份数（取最小公倍数），再合成连比计算。 【操作步骤】 第一步：找到两个比中的公共量，计算公共量两个份数的最小公倍数； 第二步：根据比的基本性质，把两个比中公共量的份数都化为最小公倍数； 第三步：合并得到三个量的连比； 第四步：按连比进行分配计算。 【易错提升】 ● 易错点：统一份数时只改变公共量，其他量不变。 　　→ 规避技巧：比的前项后项必须同时乘相同的数，每个比都要整体扩倍。 【第三部分】考点讲练 考点一：基础按比分配（已知总量） 考查重点：掌握已知总量和比的按比分配，能熟练运用归一法、分数法两种方法解题。 【典例精讲】 题目：学校把300本课外读物按3:2的比例分给五、六年级，五、六年级各分得多少本？ 【变式训练】 题目：一种糖水是糖和水按1:19的比配制而成的，要配制2000克这种糖水，需要糖和水各多少克？ 考点二：已知部分量或差量的按比分配 考查重点：掌握已知单个部分量、已知差量的按比分配，精准匹配数量与对应份数。 【典例精讲】 题目：六（1）班男生和女生人数的比是5:4，已知男生有25人，女生有多少人？全班有多少人？ 【变式训练】 题目：果园里苹果树和梨树的棵数比是5:3，苹果树比梨树多40棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 考点三：隐藏总量的按比分配 考查重点：掌握几何场景的按比分配，能挖掘隐藏的分配总量，正确解决周长、内角和等问题。 【典例精讲】 题目：一个长方形的周长是40厘米，长和宽的比是3:2，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】 题目：一个三角形三个内角的度数比是2:3:5，这个三角形是什么三角形？最大的角是多少度？ 考点四：连比与比的综合应用 考查重点：掌握三个量的连比分配，能统一中间量的份数，解决稍复杂的多量比问题。 【典例精讲】 题目：学校把450本图书按2:3:4分给低、中、高三个年级，三个年级各分得多少本？ 【变式训练】 题目：甲乙两数的比是2:3，乙丙两数的比是4:5，甲数是16，丙数是多少？ 【第四部分】专项提升练习 1．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔。大雁塔高度约64米，文创商店有两款大雁塔模型，高分别为6.4厘米和3.2厘米，这两款模型的高与大雁塔高的比分别是多少？ 2．糕点师傅用面粉、鸡蛋和奶油做了一个1500克的蛋糕，其中面粉用了900克，鸡蛋用了360克，其余是奶油，写出制作这个蛋糕用到的面粉、鸡蛋、奶油的质量比。 3．大齿轮有32个齿，小齿轮有24个齿，大齿轮和小齿轮齿数的最简整数比是多少？ 4．把3克盐放入50克水中，盐和水的质量的比是多少？盐和盐水的质量的比是多少？ 5．学校航模队有男生20人，女生15人，男生人数是女生的几分之几？女生人数是男生的几分之几？写出男生人数与女生人数的最简整数比，再求比值。 6．甲、乙两地相距360千米，客车和货车分别从两地同时相向开出，经过2.4时相遇，客车和货车的速度比是3∶2，客车每时行驶多少千米？ 7．在上劳动实践课时，需要把180平方米的劳动场地按照六年级两个班的人数分配给各班。六（1）班有44人，六（2）班有46人，两个班各应分得多少平方米的劳动场地？ 8．传统比赛用的足球是由32块黑色五边形牛皮和白色六边形牛皮缝制成的。黑色牛皮和白色牛皮数量比是3∶5。两种颜色的牛皮各有多少块？ 9．画一个半径为3厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形，我们都知道：“这个圆和这个正方形的面积比是π∶2”，请你说明得出这个结论的过程。 10．一个等腰三角形的周长是70厘米，一条腰与底的长度比是3∶1，这个三角形的一条腰和底的长分别是多少厘米？ 11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离中点13千米处相遇，甲、乙两车的速度比是2∶3。A、B两地相距多少千米？ 12．甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，相遇时，甲车行驶的路程是乙车的。已知乙车每小时行驶86千米，甲车行驶完全程要10小时，A、B两地相距多少千米？ 13．植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3∶2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？ 14．一种奶茶，奶和茶的比是1∶4，现在加入奶和茶各100克后，可得奶茶700克。现在的奶茶中奶和茶的比是多少？现在的奶茶与原来相比，是奶味加重了还是茶味加重了？ 15．小仑往240毫升酸梅原汁中加了540毫升水后，才发现调制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是4：6时，口感最佳”。请你帮小仑判断一下，为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加水还是加酸梅原汁？应该加多少？ 16．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 17．猎犬发现离它15米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 18．甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的40%，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 19．水果店运来苹果、香蕉、橘子共380千克，其中苹果与香蕉的质量比是3∶2，香蕉与橘子的质量比也是3∶2，运进苹果、香蕉、橘子各多少千克？ 20．小华对本校2024年春季学期参加足球、篮球和乒乓球三项社团活动的学生进行了统计，参加这3项活动的学生共有360人，其中足球社团人数是篮球社团人数的，篮球社团人数与乒乓球社团人数的比是5∶7。参加这3项社团活动的学生各有多少人？（先画线段图分析，再列式解答） 21．加工一批零件，师傅单独加工15天完成，徒弟每天能加工30个。现在先由师傅单独加工3天，然后两人共同加工，完成任务时，师徒加工零件个数的比是3∶2。这批零件一共有多少个？ 22．小红和小花各有一个盒子，两个盒子里一共有180颗棋子，小红从自己的盒子里拿出的棋子放入小花的盒子后，小花盒子里的棋子数恰好比原来增加了。小红和小花原来各有多少颗棋子？ 23．本校六年级学生被抽到参加全国小学生体育质量检测，第一批测验的学生人数与六年级总人数的比是1∶3，后来又检测了20人，这时已测验的同学与还未测验同学的人数的比是3∶4，本校六年级一共有多少人？ 24．文明城市是一座城市的崇高荣誉。县精神文明办公室把20个文明劝导员臂章按照三个单位人数比分发给他们，甲单位有18人，乙单位有15人，丙单位有27人。甲、乙、丙单位各领了多少个文明劝导员臂章？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $