湖北荆门市外语学校2026－2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026 秋季荆门外校 九年级数学期中考试 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．若 是方程 的一个根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．若 ， 是方程 的两个根，则（　　） A． B． C． D． 4．将抛物线 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是反比例函数 的图象，则 的值可以是（　　） A． B． C． D． 6．某玩具汽车的电动机工作时的功率 保持不变，其牵引力 与速度 的关系如图所示，根据图象可知，当牵引力 超过 50N 时，速度 可能的范围是（　　） A． B． C． D． 7．反比例函数 与一次函数 在同一坐标系内的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走 7 步，乙每单位时间走 3 步．乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了 个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt 的顶点 与原点 重合，点 ， 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好落在 上，点 ， 的对应点分别为 ，．若 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．某同学用描点法画二次函数 的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，错误的是（　　） A．　 B．　抛物线与 轴的交点为 和 C．　若点 ， 在该抛物线上，当 时，则 D．　对于任意实数 ， 总成立 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11．若点 与点 关于原点对称，则 ______． 12．反比例函数 的图象如图所示，则 的值可以是 ______．（写出一个满足条件的 值即可） 13．已知一元二次方程 的两根为 ，，则 的值为 ______． 14．二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 ，若该抛物线与 轴的一个交点为 ，则由图象可知，方程 的解是 ________． 15．如图，等边三角形 ，边长为 4，点 为 边上一点，，以 为顶点作边长为 6 的正方形 ，连接 ，．将正方形 绕点 旋转，当 取最小值时， 的长为 ______． 三、解答题（共 9 题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6 分）解方程： （1） （2） 17．（6 分）已知二次函数 ． （1）当 时，求函数图象与 轴的交点坐标； （2）若该函数图象与 轴没有交点，求实数 的取值范围． 18．（6 分）如图， 中，点 在 边上，，将线段 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的度数． 19．（8 分）如图某桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ． （1）按如图所示的坐标系，求该桥拱 的函数表达式； （2）要保证高 2.26 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 0.3 米），求小船的最大宽度是多少？ 20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数，）的图象交于 、 两点，点 的横坐标为 1． （1）求 的值； （2）直接写出关于 的不等式 的解集； （3）若点 在 轴上，且 的面积为 6，求点 的坐标． 21．（8 分）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点 是函数图象上任意一点，纵坐标 与横坐标 的差 称为点 的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点 在函数 图象上，点 的“郡值”为 ，函数 图象上所有点的“郡值”可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，所以函数 在 时的“最优郡值”为 7． 根据定义，解答下列问题： （1） ①点 的“郡值”为 ______； ②函数 ，当 时的“最优郡值”为 ______； （2）线段 ：，当（）时的“最优郡值”为 3，求 的值； （3）若二次函数 图象的顶点在直线 上，当 时，二次函数的“最优郡值”为 7，求 的值． 22．（10 分）【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件 1：该充电站收入 （单位：元）与当日充电汽车数量 （单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件 2：该充电站的运营成本 （单位：元）与充电汽车数量 之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求 与 的函数关系式，并计算当 时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时 的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为 ，成本关系保持不变．已知当汽车数量为 80 辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请写出一个符合条件的 值，并说明理由． 23．（11 分）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式．某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在 Rt 中，，，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，取 中点 ，直线 与直线 交于点 ，连接 ． 【感知特殊】 （1）如图 1，当 时，小组探究得出： 为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图 2，当 时，试探究线段 ，， 之间的数量关系并证明； ②如图 3，当 时，直接写出线段 ，， 之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知 ，在线段 的旋转过程中，当 时，求线段 的长． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、 均为常数）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，作直线 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点 是直线 下方的抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ，过点 作 的平行线交 轴于点 ，连接 交直线 于点 ，连接 、． ①求点 的坐标； ②求 面积的最大值； （3）如图②，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 上方），已知 ，若线段 与抛物线有交点，设点 的横坐标为 ，请直接写出 的取值范围． 九年级数学 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026秋季荆门外校 九年级数学期中考试 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是() 中米总. 2.若x=1是方程x2-x-a=0的一个根，则a的值为( A.2 B.-1 C.1 D. 3.若x,x2是方程x2-4x-5=0的两个根，则（) A.=5 B.x+X2=-5 C.x1+x2=4 D.xx2=-4 4.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2-3 B.y=(x-2)}2+3 C.y=(x+2)-3 D.y=(x+2)+3 5.如图，是反比例函数y=4-k的图象，则k的值可以是（) A.-2 B.5 C.2 D.0 6.某玩具汽车的电动机工作时的功率P保持不变，其牵引力F与速度ⅴ的关系如图所示，根据图象 可知，当牵引力F超过50N时，速度v可能的范围是() v/(m/s)↑ 12 010 50 F/N A.v>2.4m/s B.v<2.4m/s C.v≤2.4m/s D.v≥2.4m/s 九年级数学1页（共8页） 7.反比例函数y=上与一次函数y=:-k在同一坐标系内的图象可能是() . 8.《九章算术》“勾股章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东 北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步， 乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那 么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确 的是() A.(3x)+102=(7x-10) B.(3x)+(7x-10)2=102 C.(7x}+102=(3x-10)2 D.(7x)2+(3x-10)2=102 9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A与原点O重合，点B,C分别在x轴的负半轴和 y轴的正半轴上，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,点D恰好落在BC上，点B,C 的对应点分别为D,E.若AB=1,则点E的坐标为() V33 35 1V3 A. 2’2 B 22 2’2 D.15 10.某同学用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分 析下列四个结论，错误的是（) -1 0 1 2 3 0 -3 -4 -3 0 A. 2a+b=0 B. 抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(3,0) C. 若点(-2，马)，(，y2)在该抛物线上，当片≤y2时，则>2 D.对于任意实数x(x≠1)，ar2+bx<a+b总成立 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11.若点P(x,-3)与点Q(4,y)关于原点对称，则x+y= 12.反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可以是 (写出一个满足条件的k值即可) 1 。P(3.3 九年级数学2页（共8页） 13.己知一元二次方程x2-3x-5=0的两根为x,x3,则xx2-x-x2的值为 14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2,若该抛物线与x轴的一个 交点为(5,0)，则由图象可知，方程ax2+bx+c=0的解是 2 15.如图，等边三角形ABC,边长为4，点D为BC边上一点，BD=1,以D为顶点作边长为6的 正方形DEFG,连接AE,AG.将正方形DEFG绕点D旋转，当AE取最小值时，AG的长为 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(6分)解方程： (1)(x-1)2-4=0 (2)2x2+3x-5=0 17.(6分)已知二次函数y=x2+ax-6. (1)当a=-1时，求函数图象与x轴的交点坐标： (2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数α的取值范围. 九年级数学3页（共8页） 18.(6分)如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置， 使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G. (1)求证：EF=BC; (2)若∠ABC=70°，∠ACB=25°，求∠FGC的度数. G E 19.(8分)如图某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8,桥 拱顶点B到水面的距离是4m, (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式： (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多 少？ A x 20。(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=k(k为常数， k≠0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值； (2)直接写出关于x的不等式x+1>·的解集： (3)若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求点P的坐标. 九年级数学4页（共8页） 21.(8分)在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标 y与横坐标x的差y-x称为点A的“郡值”.函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优 郡值”.例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“郡值”为3-1=2，函数y=2x+1图象上所 有点的“郡值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1,当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数 y=2x+1在3≤x≤6时的“最优那值”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)①点B(-3,9)的“郡值”为— 数y+x,当4≤-1时的最优都值为 (2)线段MN:y=M-1(k<1),当(-1≤x≤2)时的“最优郡值”为3，求k的值： (3)若二次函数y=-(x-h)+k图象的顶点在直线y=x+9上，当-1≤x≤4时，二次函数的“最优郡 值”为7，求h的值. 九年级数学5页（共8页） 22.(10分)【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营 效益成为关注重点，某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本 与收支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间成正比例关系如表： 1 2 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本”（单位：元）与充电汽车数量x之间满足：1W=1x+20x+5O0. 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值. 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=x,成本 关系保持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请写出一 个符合条件的值，并说明理由， 九年级数学6页（共8页） 23.(11分)从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式.某数学兴趣小组拟做以下探究学习.在t △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段BC绕点C顺时针旋转(0<a<I80),得到线段DC, 取AD中点H,直线CH与直线BD交于点E,连接AE. 【感知特殊】 (1)如图1，当a=30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程： 【探究一般】 (2)①如图2，当0<<90°时，试探究线段EA,EC,EB之间的数量关系并证明： ②如图3，当90<a<I80°时，直接写出线段EA,EC,EB之间的数量关系. 【应用迁移】 (3)已知AC=√3，在线段DC的旋转过程中，当AE=2时，求线段EC的长. 图1 图2 图3 九年级数学7页（共8页） 24.（12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b、c均为常数)与x轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,作直线BC. (1)求抛物线的解析式： (2)如图①，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，设点P的横坐标为t,过点A作BC的平行 线交y轴于点E,连接EP交直线BC于点F,连接AP、AF, ①求点E的坐标： ②求△APE面积的最大值： (3)如图②，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MNI‖OC(点N在直线BC上方)，已知 N=1,若线段MN与抛物线有交点，设点M的横坐标为，请直接写出的取值范围. E 图① 图② 九年级数学8页（共8页）