5.2解一元一次方程（二）去括号与去分母（讲义，知识点&10大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 5.2解一元一次方程（二） ---去括号与去分母 课标要点 1. 掌握去括号、去分母解一元一次方程的方法，理解其依据（乘法分配律、等式的性质2）。 2. 掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 3. 能规范、准确地解含括号、含分母的一元一次方程，并把方程化为 x＝a 的形式，体会化归思想。 学习重难点 重点： 1. 去括号的法则及其依据（乘法分配律）。 2. 去分母的方法（两边同乘各分母的最小公倍数，依据等式性质2）。 3. 解一元一次方程的一般步骤。 难点： 1. 括号前是负号时去括号要全变号。 2. 去分母不漏乘常数项、分子是多项式要加括号。 知识点 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. ◆2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. ◆3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. ◆4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. 随学随练 1．方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个方程得到x的值，再利用同解的性质将x代入第二个方程，即可求出a的值 ． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵方程与关于的一元一次方程的解相同， ∴将代入方程得 化简得， 去括号得， 移项整理得， 解得． 1．解方程： （1）3（3x+5）＝2（2x﹣1）， （2）2x﹣3（20﹣x）＝0， （3）5（x+8）﹣5＝6（2x﹣7） （4）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x） 【答案】（1）x＝﹣3.4； （2）x＝12； （3）x＝11； （4）x＝﹣10； 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； 【解答】解： （1）3（3x+5）＝2（2x﹣1）， 去括号，得9x+15＝4x﹣2， 移项，得9x﹣4x＝﹣15﹣2， 合并同类项，得5x＝﹣17 把系数化为1，得x＝﹣3.4； （2）2x﹣3（20﹣x）＝0， 去括号，得2x﹣60+3x＝0， 移项，得2x+3x＝60， 合并同类项，得5x＝60， 把系数化为1，得x＝12； （3）去括号，得 5x+40﹣5＝12x﹣42． 移项，得 5x﹣12x＝﹣42﹣40+5． 合并同类项，得 ﹣7x＝﹣77． 系数化为1，得 x＝11； （4）去括号，得 2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x． 移项，得 2x﹣12x+9x＝9+4﹣3． 合并同类项，得 ﹣x＝10． 系数化为1，得 x＝﹣10； 【点睛】本题考查了了解一元一次方程，去括号时要注意符号问题． 知识点 解一元一次方程---去分母 ◆1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. ◆2“去分母”的依据是等式的性质二. . ◆3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . ◆4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. ◆5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . 随学随练 3．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一步移项，第二步合并同类项，第三步系数化为1，最后求解； （2）第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步系数化为1，最后求解． 【详解】（1） 解： （2） 解： 【点睛】移项要变号，括号外面是负号，括号里面的每一项都变号． 题型一 利用去括号解一元一次方程 ▌例1 解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 解题贴士 利用去括号解一元一次方程的步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . 4）系数化为1. ▌对点练1-1 方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . ▌对点练1-2 代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . ▌对点练1-3（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型二 利用去分母解一元一次方程 ▌例2 把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出方程所有分母的最小公倍数，给方程每一项都乘最小公倍数去掉分母，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 解题贴士 利用去分母解一元一次方程的步骤： （1）去分母.（2）去括号. （3）移项. （4）合并同类项 .(5）系数化为1. ▌对点练2-1 解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解： ， 解得：． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． ▌对点练2-3 在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 题型三 求一元一次方程含参问题 ▌例3 若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 解题贴士 有关一元一次方程中求字母值的问题，关键是根据题中的相关的概念（相反数、倒数、同解方程）等条件入手，通过方程建模，从而求出待定系数或相关字母的值. ▌对点练3-1 已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． ▌对点练3-2 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． ▌对点练3-3（2026七年级上·全国·专题练习）按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解得． 因为两方程的解互为倒数， 所以方程的解为． 将代入，得 ． （2）解：由题意，得． ． 将代入，得 解得． 题型四 利用换元法解一元一次方程 ▌例4 用换元法解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 解题贴士 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元一次方程，从而求解． ▌对点练4-1 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． ▌对点练4-2 已知关于x的一元一次方程的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程b的解是（　　） A． B．y＝1 C．y＝2 D． 【答案】B． 【分析】由关于x的一元一次方程的解为x＝3，可得出关于（2y+1）的一元一次方程b的解为2y+1＝3，解之即可得出关于y的一元一次方程b的解是y＝1． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x＝3， ∴关于（2y+1）的一元一次方程b的解为2y+1＝3， 解得：y＝1， ∴关于y的一元一次方程b的解是y＝1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于（2y+1）的一元一次方程b的解为2y+1＝3是解题的关键． ▌对点练4-3已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（2y﹣1）﹣3＝2（2y﹣1）+b的解为 　 ． 【答案】y， 【分析】根据换元法得出2y﹣1＝2，进而解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝2， ∴关于y的一元一次方程（2y﹣1）﹣3＝2（2y﹣1）+b中的2y﹣1＝2， 解得：y， 故答案为：y． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 题型五 一元一次方程的整数解问题 ▌例5 已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为（　　） A．4 B．4或0 C．4或2或6 D．4或0或﹣2或﹣6 【答案】A． 【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解． 【详解】解：整理得（1+m）x＝5， ∴， ∵x为整数，m为正整数， ∴m＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 解题贴士 先把方程变形，然后用含待求字母的式子表示未知数，根据方程的有整数解，求出符合条件的值即可. ▌对点练5-1已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值． 【答案】6 【分析】首先解关于的方程求得的值，根据是正整数即可求得的值． 【详解】解：去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化成1得： ， ∵是正整数， ∴或， ∴或． 又∵是正整数． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． ▌对点练5-2 已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． ▌对点练5-3 若关于的一元一次方程的解是正整数，其中是正整数．求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程；先解一元一次方程，根据方程的解是正整数，是正整数，即可求解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 又因为是正整数，且方程的解是正整数， 所以或． 题型六 一元一次方程中的新定义问题 ▌例6 已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 解题贴士 首先利用新定义运算的方法构造一元一次方程，然后再解一元一次方程即可解答. ▌对点练6-1 定义，若，则______． 【答案】 【分析】先根据新定义计算内层运算，再代入外层运算得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ， 将代入原等式得， 解得． ▌对点练6-2 定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：取，， 此时，， ∵， 与不一定相等． 【分析】（1）将，代入新运算定义式计算． （2）根据新运算定义列一元一次方程求解． （3）选取具体有理数代入新运算证明结论． 【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得： ； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）略． ▌对点练6-3 （25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“平衡数”的定义求解即可； （2）先根据整式的加减法则求出，再根据a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关得出关于k的方程，求解后即可得出n的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“平衡数” （2）解：∵，， ∴ ， ∵与始终是整数的“平衡数”， ∴，即 ∵的大小与取值无关， ∴， ∴， ∴． 题型七 解含绝对值的一元一次方程 ▌例7 方程的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵ ∴ 或 当时，移项得 当时，移项得 ∴ 方程的解为或． 解题贴士 解含绝对值方程的关键是把根据绝对值的性质绝对值符号去掉，将方程转化为一元一次方程求解. ▌对点练7-1阅读下列解题过程，并解答问题． 解方程：． 解：（1）若，则原方程可化为一元一次方程，解得； （2）若，则原方程可化为一元一次方程，解得． 所以原方程的解为或． 仿照上面的解题方法，解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去绝对值，再根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得答案． 【详解】解：移项，得． ①若，则原方程可化为一元一次方程，解得； ②若，则原方程可化为一元一次方程，解得， 所以原方程的解为或． ▌对点练7-2 【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． ▌对点练7-3（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是 ． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）分和两种情况去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解． （2）先将方程化简为，再分和两种情况去绝对值求解． （3）先确定绝对值的零点和，分三种情况讨论去绝对值，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为， 解得． ②当时，原方程化为， 解得． 原方程的解为或． （2）解：原方程可化为．分两种情况讨论： ①当，即时，方程化为， 解得． ②当，即时，方程化为， 解得． 原方程的解为或． （3）解：分三种情况讨论： ①当时，，，原方程化为， 解得． ②当时，，，原方程化为， 整理得，等式不成立，方程无解． ③当时，，，原方程化为， 解得． 综上所述，原方程的解为或． 基础通关 1．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去括号法则：括号前是负号，去括号后括号内各项都要改变符号． 【详解】解：根据去括号法则，原方程去括号，得． 2．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 3．下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程变形的移项、去分母、去括号、系数化为1的规则，逐一判断每个变形的正确性． 【详解】解：①对移项，正确结果应为，题目变形错误； ②对去分母，两边同乘得 ，整理得 ，题目变形错误； ③对去括号，正确结果应为，题目变形错误； ④ 对系数化为，得，题目变形错误； 综上，正确的变形共有个． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先求出方程的解，再根据题意可得，求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程：，______． 【答案】 【分析】按去括号，移项，合并同类项的步骤计算即可． 【详解】解： 去括号得 移项合并同类项得． 6．（25-26七年级下·河南周口·期末）当_________时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】互为相反数的两个数之和为0，据此列出一元一次方程，再解方程即可求出的值． 【详解】解：根据相反数的性质，两式相加等于0，列方程： ， 去括号： ， 合并同类项： ， 移项得： ， 系数化为1： ． 7．（26-27七年级上·江苏·开学考试）对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 8．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 素养提升 9．（25-26七年级上·四川成都·期末）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与一元一次方程的求解，核心是准确理解新运算规则，将新定义运算转化为常规的整式运算，进而构建一元一次方程求解． 【详解】解：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：； 故答案为：． 10．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”，已知关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为______． 【答案】3.4 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据新定义可知，再代入原方程，求出解即可． 【详解】解：因为关于x的一元一次方程是“奇异方程”， 所以， 则， 解得． 故答案为：3.4． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】解： 12．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程 ． 【答案】 【详解】解： 将方程中各分数分母的小数化为整数，得 方程两边同乘去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 13．下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得，⋯第一步 去括号，得，⋯第二步 ___________，得，⋯第三步 合并同类项，得，⋯第四步 方程两边同除以3，得，⋯第五步 (1)以上求解步骤中，第三步进行的是___________，这一步的依据是___________； (2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)移项，等号两边同时减去同一个数，等式仍成立 (2)一，等号右边的1没有乘以最小公分母 (3) 解：． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以3，得． 【分析】（1）根据第三步中，等号左边的2到等号右边去了可知，这一步是移项，依据是等式的性质； （2）根据去分母的步骤可得，第一步开始出现错误，等号右边的1没有乘以最小公分母； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤，进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第三步进行的是移项，这一步的依据是等号两边同时减去同一个数，等式仍成立； 故答案为：移项，等号两边同时减去同一个数，等式仍成立； （2）解：根据题意可得： ． 去分母，得，⋯第一步 ∴第一步开始出现错误，等号右边的1没有乘以最小公分母； 故答案为：一，等号右边的1没有乘以最小公分母； （3）略 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【答案】(1) “3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 15．（24-25七年级上·山东济宁·期末）某同学解关于y的方程时，由于粗心大意，在去括号时，将等号右边括号内的漏乘，其它解题过程均正确，从而求得方程的解为，请求出的值，并求出原方程的正确解． 【答案】，原方程的正确解为 【分析】根据漏乘的错误得到错误的去括号方程，把代入错误方程求出的值，再将代入原方程求出正确解即可． 【详解】解：∵去括号时，将等号右边括号内的漏乘，求得方程的解为， ∴， 解得， 把代入原方程得，， 去括号得，， 解得， ∴原方程的正确解为． 迁移创新 16．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m和x的值； (2)若n满足等式，求n的值 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义和解法． （1）根据一元一次方程的定义，可得出，，进而求出的值，把的值代入方程，即可求得的值； （2）把的值代入，分情况讨论，即可求得的值． 【详解】（1）解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以，解得． 将代入原方程， 得， 解得． （2）解：将代入， 得， 所以或． 解方程，得． 解方程，得． 综上所述，n的值为或． 17．当m取何值时，关于x的方程的解与方程的解互为相反数？ 【答案】 【分析】先解方程，得，然后得出方程的解为，把代入方程，得出关于m的方程，解出m的值即可． 【详解】解方程，得， ∵方程的解与的解互为相反数， ∴方程的解是， 把代入方程， 得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 18．（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 【答案】方程的解是，方程的解是 【详解】解：， 解得． 由， 解得． 因为关于的方程的解是关于的方程的解的5倍， 所以， 解得． 所以方程的解是，方程的解是． 19．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 20．如果两个方程的解相差k（k为自然数），当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”；当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”，例如：方程是方程的“2的后移方程” (1)若方程是方程的“a的后移方程”，则______； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求代数式的值： (3)当a为正整数时，若关于x的方程与互为“后移方程”，则所有的整数解是______． 【答案】(1)1 (2)71 (3)1和2． 【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案； （2）分别求出两个方程的解，再根据“2后移方程”的定义求出m的值即可得到答案； （3）分别求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义求出，然后把代入所求代数式，且结合a为正整数，求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“后移方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：易得的解为，的解为 ∵两个方程的解相差k（k为自然数），当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”，方程是方程的“a的后移方程”， ∴ ∴ （2）解：易得的解为，的解为 ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴ ∴ ∴ （3）解： ； ∴方程的解为，的解为 ∵当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”， 关于x的方程与互为“后移方程” ∴ ∴ 即 则 ∴ ∴ ∴ ∵当a为正整数时，的解为整数 即当时，，当时，， ∴所有的整数解为1和2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.2解一元一次方程（二） ---去括号与去分母 课标要点 1. 掌握去括号、去分母解一元一次方程的方法，理解其依据（乘法分配律、等式的性质2）。 2. 掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 3. 能规范、准确地解含括号、含分母的一元一次方程，并把方程化为 x＝a 的形式，体会化归思想。 学习重难点 重点： 1. 去括号的法则及其依据（乘法分配律）。 2. 去分母的方法（两边同乘各分母的最小公倍数，依据等式性质2）。 3. 解一元一次方程的一般步骤。 难点： 1. 括号前是负号时去括号要全变号。 2. 去分母不漏乘常数项、分子是多项式要加括号。 知识点 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. ◆2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. ◆3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. ◆4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. 随学随练 1．方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 1．解方程： （1）3（3x+5）＝2（2x﹣1）， （2）2x﹣3（20﹣x）＝0， （3）5（x+8）﹣5＝6（2x﹣7） （4）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x） 知识点 解一元一次方程---去分母 ◆1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. ◆2“去分母”的依据是等式的性质二. . ◆3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . ◆4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. ◆5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . 随学随练 3．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 4．解方程 (1) (2) 题型一 利用去括号解一元一次方程 ▌例1 解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 利用去括号解一元一次方程的步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . 4）系数化为1. ▌对点练1-1 方程：的解为______． ▌对点练1-2 代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 题型二 利用去分母解一元一次方程 ▌例2 把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 解题贴士 利用去分母解一元一次方程的步骤： （1）去分母.（2）去括号. （3）移项. （4）合并同类项 .(5）系数化为1. ▌对点练2-1 解方程 (1)； (2)． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) ▌对点练2-3 在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 题型三 求一元一次方程含参问题 ▌例3 若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 解题贴士 有关一元一次方程中求字母值的问题，关键是根据题中的相关的概念（相反数、倒数、同解方程）等条件入手，通过方程建模，从而求出待定系数或相关字母的值. ▌对点练3-1 已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． ▌对点练3-2 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（2026七年级上·全国·专题练习）按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 题型四 利用换元法解一元一次方程 ▌例4 用换元法解方程． 解题贴士 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元一次方程，从而求解． ▌对点练4-1 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 已知关于x的一元一次方程的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程b的解是（　　） A． B．y＝1 C．y＝2 D． ▌对点练4-3已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（2y﹣1）﹣3＝2（2y﹣1）+b的解为 　 ． 题型五 一元一次方程的整数解问题 ▌例5 已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为（　　） A．4 B．4或0 C．4或2或6 D．4或0或﹣2或﹣6 解题贴士 先把方程变形，然后用含待求字母的式子表示未知数，根据方程的有整数解，求出符合条件的值即可. ▌对点练5-1已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值． ▌对点练5-2 已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． ▌对点练5-3 若关于的一元一次方程的解是正整数，其中是正整数．求的值． 题型六 一元一次方程中的新定义问题 ▌例6 已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 解题贴士 首先利用新定义运算的方法构造一元一次方程，然后再解一元一次方程即可解答. ▌对点练6-1 定义，若，则______． ▌对点练6-2 定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． ▌对点练6-3 （25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 题型七 解含绝对值的一元一次方程 ▌例7 方程的解是（　　） A． B． C． D．或 解题贴士 解含绝对值方程的关键是把根据绝对值的性质绝对值符号去掉，将方程转化为一元一次方程求解. ▌对点练7-1阅读下列解题过程，并解答问题． 解方程：． 解：（1）若，则原方程可化为一元一次方程，解得； （2）若，则原方程可化为一元一次方程，解得． 所以原方程的解为或． 仿照上面的解题方法，解方程：． ▌对点练7-2 【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． ▌对点练7-3（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是 ． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 基础通关 1．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 2．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．下列解方程中变形步骤正确的有（     ） ①由得：；②由去分母得：； ③由去括号得 ：；④由得：． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程：，______． 6．（25-26七年级下·河南周口·期末）当_________时，代数式与的值互为相反数． 7．（26-27七年级上·江苏·开学考试）对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 8．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 素养提升 9．（25-26七年级上·四川成都·期末）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为________． 10．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”，已知关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为______． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 12．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程 ． 13．下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得，⋯第一步 去括号，得，⋯第二步 ___________，得，⋯第三步 合并同类项，得，⋯第四步 方程两边同除以3，得，⋯第五步 (1)以上求解步骤中，第三步进行的是___________，这一步的依据是___________； (2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________； (3)请写出正确解方程的过程． 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 15．（24-25七年级上·山东济宁·期末）某同学解关于y的方程时，由于粗心大意，在去括号时，将等号右边括号内的漏乘，其它解题过程均正确，从而求得方程的解为，请求出的值，并求出原方程的正确解． 迁移创新 16．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m和x的值； (2)若n满足等式，求n的值 17．当m取何值时，关于x的方程的解与方程的解互为相反数？ 18．（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，求这两个方程的解． 19．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 20．如果两个方程的解相差k（k为自然数），当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”；当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”，例如：方程是方程的“2的后移方程” (1)若方程是方程的“a的后移方程”，则______； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求代数式的值： (3)当a为正整数时，若关于x的方程与互为“后移方程”，则所有的整数解是______． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $