2.3有理数的乘方（讲义，知识点&10大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从乘方意义切入，梳理运算符号法则、混合运算顺序，延伸至科学记数法及近似数，构建从概念到运算再到实际应用的完整学习支架。 资料通过分知识点随学随练、十大题型分类及分层练习，以“细胞分裂”“拉面拉扣”实例培养数学眼光，借混合运算符号处理强化数学思维，助力课中教学与课后查漏补缺。

第一章 有理数 2.3有理数的乘方 课标要点 1. 结合实例理解乘方、底数、指数、幂的概念，区分(−a)n与−an的意义。 2. 掌握乘方符号法则，熟练进行有理数乘方运算；掌握含乘方的四则混合运算顺序。 3. 会用科学记数法表示大数并还原原数；理解近似数、精确度，会四舍五入取近似值。 4. 能用乘方解决对折、细胞分裂等实际规律问题，发展运算与归纳推理能力。 学习重难点 重点： 1. 乘方相关概念，乘方符号运算规则。 2. 有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）。 3. 科学记数法表示大数；近似数精确度判断与四舍五入。 难点： 1. 区分(−a)n与−an，准确判断负底数乘方符号。 2. 混合运算中符号、括号处理，易漏算、错算符号。 3. 确定科学记数法中 10 的指数；带单位大数的近似数精确位数判断。 4. 乘方规律探究、分段代数式综合求值题型。 知识点 有理数的乘方的意义 ◆有理数乘方的定义：求n个相同乘数的积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写. （2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）. （3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 知识点 有理数的乘方运算 ◆1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ◆2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 随学随练 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；③如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 随学随练 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 知识点科学记数法 ◆1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ◆2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 随学随练 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）人工智能（）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，产品用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产应用表现突出，在2026年春节期间，日用户峰值达到145000000人，其中145000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 知识点 近似数 ◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数. ◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. ◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示. ◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪个数位. ◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. 随学随练 7．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 题型一 有理数乘方的概念 ▌例1 （24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 解题贴士 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） ▌对点练1-1 （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 ▌对点练1-3（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在中，底数是 ，指数 ． （2）在中，底数是 ，指数是 ． 题型二 有理数的乘方运算 ▌例2（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 解题贴士 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． ▌对点练2-1 （20 26·江苏南京·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 含乘方的有理数的混合运算 ▌例3（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 解题贴士 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． ▌对点练3-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2) ▌对点练3-2 （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) ▌对点练3-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 ▌例4（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是最大的负整数，求代数式的值． 解题贴士 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. ▌对点练4-1 （24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2，求的值． ▌对点练4-2 已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，试求：的值． ▌对点练4-3（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于， (1)写出，，的值； (2)求的值． 题型五 含乘方的程序图运算题 ▌例5 （25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 解题贴士 钠利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． ▌对点练5-2（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 ▌对点练5-2 （25-26七年级上·四川泸州·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 题型六 含乘方的新定义运算问题 ▌例6 （25-26七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 解题贴士 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. ▌对点练6-1 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． ▌对点练6-3（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 题型七 利用有理数的乘方解决实际问题 ▌例7（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，如图是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 钠性质的巧记口诀：银白轻低软，传导热和电；遇氧产物变，遇氯生白烟；遇水记五点，浮熔游响红；遇酸酸优先，遇盐水在前。 ▌对点练7-1 （25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练7-2 （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． ▌对点练7-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 题型八 含乘方的探究规律题 ▌例8（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 解题贴士 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． ▌对点练8-1 （25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． ▌对点练8-2（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题： (1)按照上述规律填空： ______________________； ______________________； (2)计算： ▌对点练8-3（25-26七年级上·湖南娄底·期中）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 题型九 科学记数法 ▌例9（25-26六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 解题贴士 1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． ▌对点练9-1 （25-26八年级下·湖南株洲·期末）2026年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游客541400人次，实现旅游综合收入2.21亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法表示．下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练9-2 （2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 ▌对点练9-3（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 题型十 近似数 ▌例10 （2026·四川攀枝花·中考真题）2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 1、能确切的反应实际的数量的数是准确数. 2、只是接近实际的数量，但与实际的数量还有差别的数是近似数. 3、近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似值四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位. ▌对点练10-1 数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． ▌对点练10-2用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． ▌对点练10-3近似数万精确到____________位． 基础通关 1．（2026·河北唐山·三模）下列运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（   ） A．135 B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在有理数中负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（23-24七年级上·广东韶关·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 7．（2026·北京丰台·一模）2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 素养提升 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）二进制数转换为十进制数是，即，则五进制数202转换为十进制数为（    ） A．5 B．20 C．52 D．1010 10．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入的值为1，则输出的值为_____． 12．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知与互为相反数，是最大的负整数，的倒数是本身，的绝对值是1，求________． 13．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是________． 14．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 迁移创新 15．（25-26七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2) 16．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 17．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 18．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 19．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 20．（25-26七年级上·湖南·阶段检测）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设，将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)阴影部分的面积是_____． (2)利用图2，设计能求的值的几何图形，并求出它的值_______． (3)根据“破浪组”的方法，计算（为正整数）的值，并写出计算过程． (4)___________________．（直接写答案） 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 2.3有理数的乘方 课标要点 1. 结合实例理解乘方、底数、指数、幂的概念，区分(−a)n与−an的意义。 2. 掌握乘方符号法则，熟练进行有理数乘方运算；掌握含乘方的四则混合运算顺序。 3. 会用科学记数法表示大数并还原原数；理解近似数、精确度，会四舍五入取近似值。 4. 能用乘方解决对折、细胞分裂等实际规律问题，发展运算与归纳推理能力。 学习重难点 重点： 1. 乘方相关概念，乘方符号运算规则。 2. 有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）。 3. 科学记数法表示大数；近似数精确度判断与四舍五入。 难点： 1. 区分(−a)n与−an，准确判断负底数乘方符号。 2. 混合运算中符号、括号处理，易漏算、错算符号。 3. 确定科学记数法中 10 的指数；带单位大数的近似数精确位数判断。 4. 乘方规律探究、分段代数式综合求值题型。 知识点 有理数的乘方的意义 ◆有理数乘方的定义：求n个相同乘数的积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写. （2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）. （3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．（22-23七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 知识点 有理数的乘方运算 ◆1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ◆2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 随学随练 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 知识点有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；③如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 随学随练 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 知识点科学记数法 ◆1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ◆2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 随学随练 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）人工智能（）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，产品用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产应用表现突出，在2026年春节期间，日用户峰值达到145000000人，其中145000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 6．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 知识点 近似数 ◆1、准确数：与实际完全符合的数，叫做准确数. ◆2、近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. ◆3、近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示. ◆4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪个数位. ◆5、取近似数的方法：根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. 随学随练 7．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 题型一 有理数乘方的概念 ▌例1 （24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 解题贴士 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） ▌对点练1-1 （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． ▌对点练1-2 下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 【答案】D 【详解】解：A．，不满足相反数定义，A错误． B．，两数相等，不满足相反数定义，B错误． C．，两数相等，不满足相反数定义，C错误． D．，，满足，符合相反数定义，D正确． ▌对点练1-3（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在中，底数是 ，指数 ． （2）在中，底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 5 7 【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义，在中，是底数，是指数． （1）对于，负号是运算符号，底数是 3； （2）对于，括号内整体是底数． 【详解】解：（1）在中，乘方部分是，因此底数是3，指数是5； 故答案为：3；5 （2）在 中，括号表示底数是，指数是7， 故答案为：；7 题型二 有理数的乘方运算 ▌例2（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 解题贴士 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． ▌对点练2-1 （2026·江苏南京·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据绝对值、乘方、相反数的运算法则化简每个选项，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：，A不是负数； 选项B：，B不是负数； 选项C：，C不是负数； 选项D：，D是负数．故选D． ▌对点练2-2 下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． ▌对点练2-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三 含乘方的有理数的混合运算 ▌例3（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 按照有理数混合运算的计算方法，逐一计算，进一步比较得出答案即可． 【详解】解：①，原题计算错误； ②，原题计算错误； ③，原题计算正确； ④，原题计算错误， 综上所述，正确的是③，有1道， 故选：A． 解题贴士 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． ▌对点练3-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌对点练3-2 （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练3-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 ▌例4（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是最大的负整数，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值、负整数定义及代数式求值．根据题意得到，，，，整体代入即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∴， ． 解题贴士 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. ▌对点练4-1 （24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数、倒数以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ． ▌对点练4-2 已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，试求：的值． 【答案】1或5 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质，已知字母的值求代数式的值，先根据互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，得出，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2， ∴， ∴，， ∴ 当时，则， 当时，则， ∴的值为1或5． ▌对点练4-3（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于， (1)写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，代数式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，解答即可； （2）先运算出，再分别把，，代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ∴； ∵，互为倒数， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 把，，代入可得：． 题型五 含乘方的程序图运算题 ▌例5 （25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 解题贴士 钠利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． ▌对点练5-2（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·四川泸州·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是程序框图的循环执行，理解流程图的逻辑、重复代入计算是解题的关键．根据流程图的规则，当计算结果不大于时，需要将该结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果大于时输出该结果． 【详解】解：根据流程图，当时，， 此时，， ． 故选：． ▌对点练5-3（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 题型六 含乘方的新定义运算问题 ▌例6 （25-26七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算的计算．将对应数值代入给定的新运算公式，依据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴把，代入公式得： ， 故选：C． 解题贴士 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. ▌对点练6-1 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． ▌对点练6-3（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算、新定义运算的理解与应用，熟练掌握“除方”的定义并将其转化为乘除运算求解是解题的关键． （1）根据“除方”的定义，将转化为个连续相除的运算，再计算结果； （2）先根据“除方”定义分别表示出各表达式，再转化为乘方运算，最后按四则运算规则计算． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：4；； （2）解：∵ ， ， ， ， ∴ ． 题型七 利用有理数的乘方解决实际问题 ▌例7（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，如图是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意可得，图表示的天数是，然后通过运算法则即可求解，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图表示的天数是 ， 故选：． 解题贴士 钠性质的巧记口诀：银白轻低软，传导热和电；遇氧产物变，遇氯生白烟；遇水记五点，浮熔游响红；遇酸酸优先，遇盐水在前。 ▌对点练7-1 （25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． ▌对点练7-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 题型八 含乘方的探究规律题 ▌例8（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ 分别取第①②③行中的第10个数，依次记为，则的值为___________． 【答案】510 【分析】本题考查数字的规律探究，解题的关键是找出三行数的通项公式． 先确定三行数的第个数的规律，得到通项公式后，代入求出，再计算的值． 【详解】解：分析第①行的规律：第①行的数为，其第个数的通项公式为， 当时，， 分析第②行的规律：第②行的数比第①行对应位置的数大2，其第个数的通项公式为， 当时，， 分析第③行的规律：第③行的数是第①行对应位置数的，其第个数的通项公式为， 当时，， ． 故答案为：510． 解题贴士 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． ▌对点练8-1 （25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． ▌对点练8-2（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题： (1)按照上述规律填空： ______________________； ______________________； (2)计算： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据已知三个等式归纳类推出一般规律是（，且为整数），再代入计算即可得； （2）利用（1）的规律，将乘法中的每个式子拆成两项的乘积，再利用乘法的结合律计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， 归纳类推得：（，且为整数）， 则， ， 故答案为：；． （2）解： ． ▌对点练8-3（25-26七年级上·湖南娄底·期中）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 【答案】(1)①1，②1，③1，④1 (2)①1，②1 (3)64 【分析】本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键． （1）①②③④直接计算可得结果； （2）①②由进行推理，可得结果； （3）根据（2）中的推理结果可进行求解． 【详解】（1）解：①1，②1，③1，④1； （2）解：① 故答案为：1； ② 故答案为：1； （3）解： ． 题型九 科学记数法 ▌例9（25-26六年级下·山东泰安·期末）据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可求解； 【详解】解：将写成科学记数法的形式，先确定，满足. 原数的小数点向左共移动了位，故，故； 解题贴士 1、科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 2、科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． ▌对点练9-1 （25-26八年级下·湖南株洲·期末）2026年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游客541400人次，实现旅游综合收入2.21亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法表示．下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． ▌对点练9-2 （2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． ▌对点练9-3（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 题型十 近似数 ▌例10 （2026·四川攀枝花·中考真题）2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求． 【详解】由题意得，将数精确到百位为． 解题贴士 1、能确切的反应实际的数量的数是准确数. 2、只是接近实际的数量，但与实际的数量还有差别的数是近似数. 3、近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似值四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位. ▌对点练10-1 数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． ▌对点练10-2用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． ▌对点练10-3近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 基础通关 1．（2026·河北唐山·三模）下列运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，，结果为正数，不符合题意； 选项B：，，结果为负数，符合题意； 选项C：，0既不是正数也不是负数，不符合题意； 选项D：，，结果为正数，不符合题意． 2．（2025·湖南娄底·一模）仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（   ） A．135 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：； ∴， 故选：C 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在有理数中负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方、相反数、绝对值的基础化简知识．先分别化简题目给出的四个有理数，再根据负数的定义统计负数的个数． 【详解】解：依次化简各数： ∵ ，1>0，是正数， ，，是正数， ，，是负数， ，，是负数， ∴ 负数一共有2个． 5．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24七年级上·广东韶关·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 7．（2026·北京丰台·一模）2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】根据2026年新能源汽车年产量2025年新能源汽车年产量 增长率，列式计算即可得出答案． 【详解】解：（辆）． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 素养提升 9．（25-26七年级上·山东临沂·期中）二进制数转换为十进制数是，即，则五进制数202转换为十进制数为（    ） A．5 B．20 C．52 D．1010 【答案】C 【分析】本题考查的是不同进制数转换为十进制数的方法，解题关键是按照进制的位权展开式进行计算． 将五进制数转换为十进制数，需按权展开相加，各位权为5的幂次． 【详解】五进制数 202 转换为十进制数，是按位权展开：， 故选C． 10．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化规律，乘方， 通过观察的个位数字循环规律（每4个为一循环：2,4,8,6），计算循环组的个数和剩余项，求和后得到个位数字． 【详解】解：∵的个位数字每4个循环一次：2,4,8,6，且每组个位和为20（个位0）， 从到共2026项， 2026 ÷ 4 = 506余2， ∴前2024项（506组）个位和为0， 剩余两项和： ∵余1，个位为2； 余 2，个位为4， ∴剩余两项个位和为， 故总和个位数字为6． 故选：B． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入的值为1，则输出的值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的求值与程序运算，解题的关键是按照程序流程图的步骤逐步计算． 将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘以3、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，按照程序计算： 先计算的平方乘以3再减去5，即， 因为，所以需要再次将代入计算： ， 因为， 所以输出的值为7． 故答案为：7． 12．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知与互为相反数，是最大的负整数，的倒数是本身，的绝对值是1，求________． 【答案】0或 【分析】本题考查相反数、最大负整数、倒数性质及绝对值的定义，先确定各字母的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：由题意得，，，，则， ， 当时，原式； 当时，原式， 故答案为0或． 13．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及新定义的理解，理解题意是解题关键，根据新定义结合有理数的大小比较即可求解． 【详解】解：根据题意得：数组中所有的逆序为“”，“”，“”，“” ，“” ，“”， ∴数组的逆序数是6， 故答案为：6． 14．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 迁移创新 15．（25-26七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2)0 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右； （2）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，代数式求值． （1）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可； （2）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 17．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 18．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)3；2； (2)； (3)2． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算： （1）根据结合新定义即可得到答案； （2）根据新定义分别求出和的值即可得到答案； （3）根据新定义分别求出a、b的值，进而求出的值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴． ∴． 19．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 20．（25-26七年级上·湖南·阶段检测）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设，将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)阴影部分的面积是_____． (2)利用图2，设计能求的值的几何图形，并求出它的值_______． (3)根据“破浪组”的方法，计算（为正整数）的值，并写出计算过程． (4)___________________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)图见解析， (3)，计算过程见解析 (4) 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等，据此即可求解； （2）依照题目的示范作图，再结合图形的面积即可求值； （3）模仿“破浪”组算法，即可得到答案； （4）利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，将两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又因为第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：； （2）解：如图所示，图中①到⑧部分之和即为：求的值的几何图形 同理（1）中的方法可得，第⑧部分的面积为， 所以阴影部分的面积为， 所以图中①到⑧部分的面积之和为， 即； 故答案为：； （3）解：设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； （4）解：令， 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得， 即． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $