5.1方程（讲义，知识点&13大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 5.1 方 程 课标要点 1. 通过现实情境，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。2. 理解方程的解的含义，会检验一个数是不是某个一元一次方程的解。3. 能从实际问题中找出等量关系，根据等量关系列出简单的一元一次方程，体会建模思想。 学习重难点 重点： 1. 方程、一元一次方程、方程的解的概念。 2. 根据实际问题中的等量关系列一元一次方程。 难点： 1. 从实际问题中抽象找出等量关系。 2. 建立实际问题到方程的数学建模思维。 知识点 方程及一元一次方程的概念 ★★★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★★★一元一次方程的概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. 随学随练 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 2．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 3．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 知识点 根据实际问题列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 随学随练 4．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 【详解】（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 知识点等式的性质 ◆1、等式的基本性质 性质1、等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 用字母表示为：如果 a = b，那么 a±c = b±c． 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍相等． 用字母表示为：如果 a = b，那么 ac = b c； 如果 a = b (c ≠ 0)，那么. ◆2、利用等式的性质解方程 利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为 x＝a 的形式． 对于方程 x＋a＝b，两边都减去 a，得 x＝b－a； 对于方程 ax＝b (a≠0)，两边都除以 a，得 x＝ ． 【注意】 (1) 等式两边都要参加运算，并且是做同一种运算． (2) 等式两边加减乘除的数一定是同一个数或式子． (3) 除以的数 (或式) 不能为 0． 随学随练 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 题型一 方程的识别 ▌例1（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 解题贴士 方程的定义：用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程，方程包含两个要素：①含有未知数，②表示量相等的等式.两者缺一不可. ▌对点练1-1 （25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． ▌对点练1-2 下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． ▌对点练1-3 在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 题型二 判断方程的解 ▌例2 下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 解题贴士 方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.也叫方程的根，判断方法代入方程的左右两边进行检验. ▌对点练2-1 整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． ▌对点练2-2 （25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． ▌对点练2-3 （25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 题型三 一元一次方程的定义 ▌例3 （25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 解题贴士 判断一元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有一个未知数．③含有未知项的次数是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫一元一次方程． ▌对点练3-1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． ▌对点练3-2 下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，逐一判断选项． 【详解】解：A、未知数在分母上，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有和两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未明确参数不为0，不一定是一元一次方程，不符合题意； D、，，，是一元一次方程，符合题意． ▌对点练3-3 下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 题型四 由一元一次方程的定义求字母的值 ▌例4 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解： 是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 解题贴士 由一元一次方程的定义求字母的值，主要是根据未知数的系数不为0，次数为1得出字母的值. ▌对点练4-1 若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． ▌对点练4-2 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． ▌对点练4-3 （25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 题型五 由一元一次方程的定义求代数式的值 ▌例5 已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 解题贴士 将一元一次方程的定义求出关于字母参数的值，然后再代入字母参数的值求代数式的值即可解答. ▌对点练5-1 若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． ▌对点练5-2 已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． ▌对点练5-3 已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程． （1）求m的值及方程的解． （2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值． 【答案】（1）m＝1，x＝4； （2）﹣2． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4； （2）把代数式化简得到原式＝x2﹣3x﹣6，然后把x＝4代入计算即可． 【详解】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程， ∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0， ∴m＝1， 原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4； （2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2） ＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6 ＝x2﹣3x﹣6， 当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2， 即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值是﹣2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减．解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 题型六 根据实际问题列方程 ▌例6 小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 解题贴士 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元一次方程． ▌对点练6-1 《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． ▌对点练6-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 【答案】(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 题型七 利用等式的性质变形 ▌例7 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 解题贴士 此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质 2 两边同除以某个字母参数时，只有这个字母参数确定不为 0 的情况下，等式才成立. ▌对点练7-1下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． ▌对点练7-2 运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． ▌对点练7-3 下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 题型八 判定利用等式的性质变形的依据 ▌例8 用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条基本性质及怎样变形（改变式子的形状）的． （1）如果3x＝7﹣5x，那么3x+　 　＝7； （2）如果x＝1，那么x＝　 　． 【答案】（1）5x；（2），根据是等式的性质2． 【分析】根据等式的性质可得答案． 【详解】解：（1）如果3x＝7﹣5x，那么3x+5x＝7，根据是等式的性质1； （2）如果x＝1，那么x，根据是等式的性质2． 故答案为：（1）5x；（2），根据是等式的性质2． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 解题贴士 利用等式的性质变形求值，当根据已知条件不能求出未知数的值时，可观察已知等式和待求多项式中含未知数的项之间的关系，然后利用等式的性质对已知等式进行变形，进而求出多项式的值. ▌对点练8-1 （25-26七年级上·山西晋中·期末）解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质． 去分母的依据是等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为零的数），等式仍然成立． 【详解】解：解方程时，分母2和3的最小公倍数是6， 根据等式的基本性质2：等式两边同时乘6， 得到， 这一步变形的依据是等式的基本性质2， 故答案为：等式的基本性质2． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 【答案】（1）5，1，同时加上5（2），1，同时加上（3）3，2，同时乘以3 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． ▌对点练8-3 用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则__； （2）若，则____； （3）若，则___； （4）若，则_____ 【答案】 5 3n 18 【分析】（1）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时减5； （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同除以； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时加3n； （4）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同乘3． 【详解】解：（1）5，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时减5； （2），根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时除以； （3）3n，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时加3n； （4）18，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时乘3． 故答案为：5；；3n；18． 【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 题型九 利用等式的性质变形求值 ▌例9 运用等式性质将等式x+2＝y﹣3变形，可得y﹣x等于（　　） A．﹣5 B．1 C．5 D．﹣1 【答案】C． 【分析】观察等式，只需在等式的左右两边加上3﹣x即可． 【详解】解：等式的左右两边加上3﹣x，得 x+2+3﹣x＝y﹣3+3﹣x， 5＝y﹣x， 即y﹣x＝5． 故选：C． 【点睛】此题考查了等式的性质，能够利用等式的性质进行灵活变形． 解题贴士 利用等式的性质变形求值，当根据已知条件不能求出未知数的值时，可观察已知等式和待求多项式中含未知数的项之间的关系，然后利用等式的性质对已知等式进行变形，进而求出多项式的值. ▌对点练9-1 已知2x﹣3y+1＝0且m﹣6x+9y＝4，则m的值为 　 ． 【答案】1． 【分析】由已知可得2x﹣3y＝﹣1，将式子代入所求可得m+3＝4． 【详解】解：∵2x﹣3y+1＝0， ∴2x﹣3y＝﹣1， ∴﹣6x+9y＝3， ∴m﹣6x+9y＝4，即为m+3＝4， ∴m＝1， 故答案为1． 【点睛】本题考查等式的性质；通过已知式子得到2x﹣3y＝﹣1是解题的关键． ▌对点练9-2 已知4x+8＝10，那么2x+8＝　 ． 【答案】9． 【分析】根据等式的基本性质可得出2x+4＝5，再将2x+8变形为2x+4+4，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵4x+8＝10， ∴2x+4＝5， ∴2x+8＝2x+4+4＝5+4＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等式的基本性质，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键． ▌对点练9-3 （25-26七年级上·安徽宿州·期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 题型十 利用等式性质的比较大小 ▌例10 已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 【答案】A． 【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上，即可得到答案． 【详解】解：等式两边同时除以2得： mn， 等式两边同时减去n得： m﹣n0， 等式两边同时加上得： m﹣n， 即m﹣n＞0， 即m＞n， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键． 解题贴士 先利用作差法把两个式子相减，然后利用等式的性质比较大小即可解答. ▌对点练10-1 已知4m+2n﹣5＝m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m 　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】利用等式的性质，把等式变形为m减n等于多少的形式，得结论． 【详解】解：等式的两边都减去（m+5n﹣5），得 3m﹣3n＝5， 等式的两边都除以3，得 m﹣n ∴m＞n． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了等式的性质．注意：两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数． ▌对点练10-2 根据等式的性质和不等式的性质，我们可以得到比较两个数量大小的方法：若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B，这种比较大小的方法称为“作差比较法”，试比较2x2﹣2x+1与x2﹣2x的大小． 【答案】2x2﹣2x＞x2﹣2x． 【分析】根据已知作差法判断两式大小即可． 【详解】解：∵（2x2﹣2x+1）﹣（x2﹣2x）＝2x2﹣2x+1﹣x2+2x＝x2+1＞0， ∴2x2﹣2x＞x2﹣2x． 【点睛】此题考查了不等式的性质，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． ▌对点练10-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）； （2）去括号，得． 等式两边都加上 ，得． 等式两边都减去 ，得． 等式两边都除以 ，得． 即． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）略 题型十一 等式性质的其它应用 ▌例11 如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①，由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②，①﹣②即可得出“□”与“〇”的关系． 【详解】解：由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①， 由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②， ①﹣②，得3个□﹣3个〇＝1个〇+1个□， ∴1个□＝2个〇， ∴n＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 解题贴士 本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． ▌对点练11-1 （25-26七年级上·江西南昌·期中）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______． 【答案】(1)是 (2)等式的性质；合并同类型和等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握每一步变形是解题的关键． （1）根据材料求得判断即可； （2）根据等式的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， 是有理数； 故答案为：是； （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． ▌对点练11-2 （1）能不能由（a+2）x＝b﹣1得到？为什么？ （2）能不能由得到（a+2）x＝b﹣1？为什么？ 【答案】（1）不能，理由见详解. （2）能，理由见详解. 【分析】（1）、（2）利用等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）不能，理由如下： 当a+2≠0时，利用等式的性质2，可得：x； （2）能，理由如下： 由得到（a+2）x＝b﹣1， 第一个等式成立就说明a+2≠0，两边同乘（a+2）就可以得到第二个等式． 【点睛】本题考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． ▌对点练11-3 （25-26七年级上·河南周口·阶段检测）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求b的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的化简求值，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据可推出，据此求解即可； （3）由（2）可得，再把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴满足题意的“相伴数对”可以为； （3）解：∵是“相伴数对”， ∴由（2）可知， ∴ ． 题型十二 利用等式的性质解一元一次方程 ▌例12 用等式的性质解下列方程： （1）x-3= -1； （2）0.4x=8； （3）-2x+6=2； （4）6x=5. 【答案】（1） x=2. （2）x=20. （3）x=2. （4）x=4． 【分析】直接根据等式的性质求解可得答案． 【详解】解：（1）方程两边同时加3，得 x=2. （2）方程两边同时除以0.4，得x=20. （3）方程两边同时减6，得-2x= -4，方程两边同时除以-2，得x=2. （4）方程两边同时减6，得x= －1，方程两边同时乘-4，得x=4． 【点睛】此题考查的是解一元一次方程及等式的性质，掌握解一元一次方程的步骤是解决此题关键． 解题贴士 利用等式的性质解一元一次方程，就是要把方程“化归”为“ x = a ”的形式. ▌对点练12-1 （24-25七年级上·湖南常德·期中）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． ▌对点练12-2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． ▌对点练12-3 利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解： 两边同时减去，得 ， 解得． （2）解： 两边同乘，得 ， 解得． （3）解： 两边同时减去得， ， 两边同除以得， 解得． （4）解： 两边减去得 ， 解得． 题型十三 利用等式的性质检验方程的解 ▌例13 （25-26七年级上·全国·课后作业）若方程是关于的一元一次方程． (1)的值为_______． (2)判断是不是方程的解，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 不是．理由如下： 由（1）可知，方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边，所以不是方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于，一次项系数不等于是关键． （1）根据一元一次方程的定义，的二次项系数是，且一次项系数不等于，据此即可求得的值； （2）把的值代入求得方程，然后解方程进行判断即可． 【详解】（1）根据题意得：且， 解得：； 由得．由得 综上所述，的值为2． （2）略 解题贴士 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 1.将数值代入方程左边进行计算； 2. 将数值代入方程右边进行计算； 3. 若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是． ▌对点练13-1 （26-27七年级上·北京·课后作业）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【答案】(1)不是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论； （2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； （2）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解． ▌对点练13-2 （24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2) 由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）略 ▌对点练13-3（24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 基础通关 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 5．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】解：由，移项得，计算得． ∵， ∴，即． 6．（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 【详解】解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 素养提升 8．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 9．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 11．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______． 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 12．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 13．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是一元一次方程，则．其中正确的结论是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一元一次方程的定义、方程的解、解一元一次方程、绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义和性质，注意未知数的系数不为0． 检验每个说法的正确性：①将代入方程验证；②将代入方程验证；③考虑的情况；④根据一元一次方程的定义求的值． 【详解】解：①将代入方程，得，与已知一致，故此选项正确，符合题意； ②将代入方程，得，即，与已知一致，故此选项正确，符合题意； ③当时，若，方程无解，若，方程有无数解，不一定有，故此选项错误，不符合题意； ④方程是一元一次方程，则未知数的指数，且系数，解得或，但即，故，故此选项正确，符合题意； 故答案为：①②④． 迁移创新 14．（2025七年级上·全国·专题练习）根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题； （2）将代入方程左边并求解判断，即可解题； （3）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （2）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （3）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质，把下列方程化为的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了等式的性质，解题关键是正确应用性质． 利用等式的性质，把方程化为的形式即可． 【详解】（1）解：由， 得， 即； （2）解：由， 得， 即； （3）解：由， 得， 即； （4）解：由， 得， 即． 18．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3) 正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 20．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.1 方 程 课标要点 1. 通过现实情境，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。2. 理解方程的解的含义，会检验一个数是不是某个一元一次方程的解。3. 能从实际问题中找出等量关系，根据等量关系列出简单的一元一次方程，体会建模思想。 学习重难点 重点： 1. 方程、一元一次方程、方程的解的概念。 2. 根据实际问题中的等量关系列一元一次方程。 难点： 1. 从实际问题中抽象找出等量关系。 2. 建立实际问题到方程的数学建模思维。 知识点 方程及一元一次方程的概念 ★★★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★★★一元一次方程的概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. 随学随练 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点 根据实际问题列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 随学随练 4．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 知识点等式的性质 ◆1、等式的基本性质 性质1、等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 用字母表示为：如果 a = b，那么 a±c = b±c． 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍相等． 用字母表示为：如果 a = b，那么 ac = b c； 如果 a = b (c ≠ 0)，那么. ◆2、利用等式的性质解方程 利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为 x＝a 的形式． 对于方程 x＋a＝b，两边都减去 a，得 x＝b－a； 对于方程 ax＝b (a≠0)，两边都除以 a，得 x＝ ． 【注意】 (1) 等式两边都要参加运算，并且是做同一种运算． (2) 等式两边加减乘除的数一定是同一个数或式子． (3) 除以的数 (或式) 不能为 0． 随学随练 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 题型一 方程的识别 ▌例1（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 方程的定义：用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程，方程包含两个要素：①含有未知数，②表示量相等的等式.两者缺一不可. ▌对点练1-1 （25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． ▌对点练1-3 在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 题型二 判断方程的解 ▌例2 下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.也叫方程的根，判断方法代入方程的左右两边进行检验. ▌对点练2-1 整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 ▌对点练2-2 （25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 题型三 一元一次方程的定义 ▌例3 （25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 判断一元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有一个未知数．③含有未知项的次数是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫一元一次方程． ▌对点练3-1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 由一元一次方程的定义求字母的值 ▌例4 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 解题贴士 由一元一次方程的定义求字母的值，主要是根据未知数的系数不为0，次数为1得出字母的值. ▌对点练4-1 若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 ▌对点练4-2 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． ▌对点练4-3 （25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 题型五 由一元一次方程的定义求代数式的值 ▌例5 已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 解题贴士 将一元一次方程的定义求出关于字母参数的值，然后再代入字母参数的值求代数式的值即可解答. ▌对点练5-1 若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． ▌对点练5-2 已知，则代数式的值为______． ▌对点练5-3 已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程． （1）求m的值及方程的解． （2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（xm+2）的值． 题型六 根据实际问题列方程 ▌例6 小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元一次方程． ▌对点练6-1 《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． ▌对点练6-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 题型七 利用等式的性质变形 ▌例7 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 解题贴士 此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质 2 两边同除以某个字母参数时，只有这个字母参数确定不为 0 的情况下，等式才成立. ▌对点练7-1下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌对点练7-2 运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ▌对点练7-3 下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 题型八 判定利用等式的性质变形的依据 ▌例8 用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条基本性质及怎样变形（改变式子的形状）的． （1）如果3x＝7﹣5x，那么3x+　 　＝7； （2）如果x＝1，那么x＝　 　． 解题贴士 利用等式的性质变形求值，当根据已知条件不能求出未知数的值时，可观察已知等式和待求多项式中含未知数的项之间的关系，然后利用等式的性质对已知等式进行变形，进而求出多项式的值. ▌对点练8-1 （25-26七年级上·山西晋中·期末）解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． ▌对点练8-3 用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则__； （2）若，则____； （3）若，则___； （4）若，则_____ 题型九 利用等式的性质变形求值 ▌例9 运用等式性质将等式x+2＝y﹣3变形，可得y﹣x等于（　　） A．﹣5 B．1 C．5 D．﹣1 解题贴士 利用等式的性质变形求值，当根据已知条件不能求出未知数的值时，可观察已知等式和待求多项式中含未知数的项之间的关系，然后利用等式的性质对已知等式进行变形，进而求出多项式的值. ▌对点练9-1 已知2x﹣3y+1＝0且m﹣6x+9y＝4，则m的值为 　 ． ▌对点练9-2 已知4x+8＝10，那么2x+8＝　 ． ▌对点练9-3 （25-26七年级上·安徽宿州·期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 题型十 利用等式性质的比较大小 ▌例10 已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 解题贴士 先利用作差法把两个式子相减，然后利用等式的性质比较大小即可解答. ▌对点练10-1 已知4m+2n﹣5＝m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m 　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． ▌对点练10-2 根据等式的性质和不等式的性质，我们可以得到比较两个数量大小的方法：若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B，这种比较大小的方法称为“作差比较法”，试比较2x2﹣2x+1与x2﹣2x的大小． ▌对点练10-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 题型十一 等式性质的其它应用 ▌例11 如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解题贴士 本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． ▌对点练11-1 （25-26七年级上·江西南昌·期中）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______． ▌对点练11-2 （1）能不能由（a+2）x＝b﹣1得到？为什么？ （2）能不能由得到（a+2）x＝b﹣1？为什么？ ▌对点练11-3 （25-26七年级上·河南周口·阶段检测）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求b的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 题型十二 利用等式的性质解一元一次方程 ▌例12 用等式的性质解下列方程： （1）x-3= -1； （2）0.4x=8； （3）-2x+6=2； （4）6x=5. 解题贴士 利用等式的性质解一元一次方程，就是要把方程“化归”为“ x = a ”的形式. ▌对点练12-1 （24-25七年级上·湖南常德·期中）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2) ． ▌对点练12-2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练12-3 利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 题型十三 利用等式的性质检验方程的解 ▌例13 （25-26七年级上·全国·课后作业）若方程是关于的一元一次方程． (1)的值为_______． (2)判断是不是方程的解，并说明理由． 解题贴士 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 1.将数值代入方程左边进行计算； 2. 将数值代入方程右边进行计算； 3. 若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是． ▌对点练13-1 （26-27七年级上·北京·课后作业）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） ▌对点练13-2 （24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． ▌对点练13-3（24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 基础通关 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 5．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 6．（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 素养提升 8．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 11．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______． 12．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 13．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是一元一次方程，则．其中正确的结论是______． 迁移创新 14．（2025七年级上·全国·专题练习）根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 15．（2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质，把下列方程化为的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 20．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $