广西贵港市达开高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027届高三10月测试（数学) (本卷满分150分考试时间120分钟) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.(5分)己知集合A={xx2-2x,B=-1<x<3},则AnB=( A.{x|-1<x<2 B.{x|2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x-1<x<3} 2.(5分)命题“3x≥1，x2<0”的否定是（) A.x≥1，x2≥0B.x<1,x2≥0 C.3x<1,x2≥0 D.3x≥1，x2≥0 3.(5分)已知a=37,b=38,c=log30.8,则() A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 4.(5分）在下列区间中，函数/(=2+-6存在零点的是（) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 年，求cosa=() A.② B.V6 10 c.v 2 D.6 10 6.(5分)在各项均为正数的等比数列{a}中，G+2a4,+=25,则44的最大值是() A.25 B.5 4 D. (a-2)x-1,x≤ 7.(5分)已知函数f(x)= ,满足对任意飞≠，都有)f)>0成立，则实数a logx,x>1 X1-X2 的取值范围为() A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3] D.（2,+m) 8.(5分)已知双曲线c:三二=1a>0)的左、右焦点分别为耳，R,且4BR+33店=0，点A在双 a218 曲线C的左支上，∠耳AF与∠FA的平分线的交点为D,若BD⊥F,则点B到双曲线C的一条渐近 线的距离为() A.3√5 B.25 C.√6 D.35 2 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)已知i是虚数单位，z是复数，且z·(1-)=1+7i,则下列说法正确的是() 试卷第1页（共4页） A.z在复平面上对应的点位于第一象限 B.z在复平面上对应的点位于第二象限 C.=5v2 D.=5 10.(6分)已知实数a,b,c满足a>b>1,c<0,则下列不等式一定成立的是() A.2>b2>c2 B.a-ac>b-bc C >1 D.log,(a-c)<log,(b-c) 11.(6分)如图，己知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AB翻折 成△ABE(点B位于平面ABCD上方)，连接B,C和BD,F为BD的中点，则在翻折过程中，下列说法 正确的是() B A.平面ABE⊥平面B,EC B.48与CF的夹角为定值号 C.三楼锥B-ABD体积最大值为 3 D。点P的轨迹的长度为习 三、填空题（共15分） 12.（5分)曲线+hx在点1a)处的切线的斜率为 13.(5分) (x+士（心+的展开式中的霜致项为 14.(5分)设P(x,y)是函数y=f(x)的图象上一点，向量ā=1，(x-2)）,万=1，y-2x),且满足a/6 数列{a}是公差不为0的等差数列，若f(4)+f(4)+…+f()=36,则4+4+…+4，=一 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)△ABC的内角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知2cosC(a cos B+bcosA)=c. (1)求角C: (2)若c=25,△ABC的面积为2√5，求△ABC的周长. 16.（本题15分)己知等差数列{a}满足4=10,4-2a=6. 试卷第2页（共4页） (1)求a: 2”-1,n为奇数 (2)数列{}满足b= 1,为偶数’ 1 Tn为数列色}的前n项和，求Tm 17.(15分)某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与 物理成绩y如下表： 数学成绩x 145 130 120 105 100 物理成绩y 110 90 102 78 70 (1)数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程； (2)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物 理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共 有5人，请把下面的2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优 秀与物理优秀有关？ 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 数学不优秀 合计 60 24-C- x- 参考数据：方= i=1 含 a=-标， 2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2>ko) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.(17分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1,BC=4,PA=4√2， M,N分别是BC,PD的中点，PD⊥DC,PMIMD. 试卷第3页（共4页） M B (1)证明：MN∥平面PAB: (2)证明：DC1平面PDM (3)求四棱锥P-ABCD的体积. 19.(17分)在平面直角坐标系中xOy中，设动点E到定点1,0)的距离与它到直线=-1的距离相等的轨 迹为C (1)求曲线C的方程： (2)设P为曲线C上一动点，点M(m,O)(其中常数m>0),求|PM的最小值： (3)已知F是曲线C的焦点，点A,B在该曲线C上且位于x轴的两侧@4OB=?(其中0为坐标原点)，求 4 △ABO与△AFO面积之和的最小值， 试卷第4页（共4页） 《2027届高三10月测试（语文）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A O A C C D BD BCD 题号 11 答案 ABD 1.B 【详解】因为xX2-2>x,即x2-x-2>0,解得x<-1或x>2, 所以A={xx<-1或x>2}, 又B={x1<x<3},所以AnB={x2<x<3} 2.A 【详解】将存在量词]替换为全称量词V,保留限制条件x≥1不变，否定结论， 因此原命题的否定为x≥1，x2≥0. 3.A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性进行比较. 【详解】因为y=3在R上单调递增，所以38>37>0，即b>a>0, 因为y=log3x在(0，+o)单调递增，所以log30.8<log31,即c<0, 故c<a<b. 4.C 【分析】计算各选项区间端点的函数值，结合零点存在定理判断函数零点所在区间. 【详解】因为y=2*与y=2x均为R上的增函数，所以函数f()=2+x-6在R上单调递增 2 0-25+0-6=-5<0,f0=2+51-6=子0. 2 2 @=2+分2-6-1<0，J)=2+53-6 7 2 >0. 由于f(2)f(3)<0,因此f(x)在(2,3)内存在零点. 5.A 【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算. 【详解】因为二<< 4 cosa=cosa+-4到-cs(a+3cos+sia+sm-(3+马x互 -十一)× 44 41 4 4 4 55210 故选：A. 答案第1页（共10页） 6.C 【分析】由等比数列的性质，求得4+4=5，再结合基本不等式，即可求得%4的最大值，得到答案 【详解】由等比数列的性质，可得G+244,+a=G+2aa+G=(4+)}-25, 因为a0,所以a4-5,所以a4兰-芹 5 当且仅当4=4=。时取等号. 故选：C. 7.C 【分析】根据给定条件，可得函数f(x)在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式 求解即得 (a-2)x-1,x≤1 【详解】函数f(x)= 的定义域为R, logx,x>1 由对任意（≠x,都有）》>0，得函数f在R上单调递增， X1-X2 [a-2>0 于是a>1,解得2<a≤3， a-3≤0 所以实数a的取值范围为(2,3]. 故选：C 8.D 【分析】结合三角形内切圆的知识、双曲线的定义，求得B点的坐标、c=2a,由此求得a和双曲线的渐 近线方程，由此求得点B到双曲线C的一条渐近线的距离 【详解】由题可知D为△AFE的内切圆圆心，点B在x轴上，且E与内切圆D相切于点B,作出大致 图形，如图所示设直线A,AF分别与圆D相切于G,H,则|AG-AH|,EG=B,FB=H 因为A引-A=2a,所以H-FG=2a,即EB-B=2a,设B(,0),则c--(c+)=2a,解 得6=-a因为48那+3-0，故4(e-6)+3(-20)=0,故气=分则50 EB-EB=c=2a,故c2=4a2=a2+b2,故3a2=18,解得a=√6，故双曲线C的渐近线方程为 3×V613V2 y=±V3x,则点B(√6,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为 1+(3)2 2 故选：D 答案第2页（共10页） H 9.BD 【分析】根据复数的乘除运算求出z,利用复数的几何意义可判断A、B;利用复数模的求法可判断C、 D 【详解】由z(1-i)=1+7i, 则2=1+1-0+701+1-6+8-3+组， 1-i(1-i)1+i)2 所以z在复平面上对应的点为(-3,4)， 即z在复平面上对应的点位于第二象限， 所以=V-3+42=5. 故选：BD 10.BCD 【分析】对于A:通过举例可验证选项A; 对于B:根据不等式的性质可验证选项B: 对于C:由题意可得0<名<1，再根据函数y=m'(0<m<1)的单调性即可判断： a 对于D:将限不对式4价转化为如.1日g分 再利用换底公式判断即可. 【详解】对于A,取a=2.5,b=2,c=-3即可判断选项A错误； 对于B,因为a>b,c<0,所以ac<bc,即-ac>-bc,所以a-ac>b-bc,故选项B正确； 对F心因为a61,所以0名1，又因为c0,所到合合-1，版速现c上： a 对于D,原不等式等价于log.(a-c)-1<log(b-c)-1, 即ioe1-os1- 因为a>b>1,所以0<<1，又因为c<0,所以0<-日： CC 答案第3页（共10页） 所以1<18<1台又因为a>b>1,所以，a>1, a 1ogb)<1og.1-c）, 故选项D正确！ b log,a b 故选：BCD 11.ABD 【分析】A由题设结合线面垂直的判定证AE⊥面BEC,再由面面垂直的判定即可判断正误；B若G是 AB的中点，应用平行四边形的性质有CF/EG”,可知AB,与CF的夹角为∠AGE或其补角，进而求其大 小；C根据A、B的分析，当BE⊥面ABCD时'AsD最大，求其最大值；D确定F的轨迹与G到G的 轨迹相同，且G到G的轨迹为以AB中点为圆心， BE为半径的半圆，即可求轨迹长度 2 【详解】A:由AB=2,∠BAD=-120,B为边BC的中点知：B=写且BB=1,易知AB1BC, AE⊥BE,而ECOBE=E,故AE⊥面BEC,又AEc面ABE,所以面ABE⊥面B,EC,正确： B:若G是AB的中点，又F为BD的中点，则GF11AD且GF=AD,而BC=BC=AD且 2 2 2 EC/IAD,所以GF//EC且GF=EC,即FGEC为平行四边形，故CF/IEG,所以AB,与CF的夹角 为☑4GB或其补角，若G为AB中点，即AGE=AGB,由A分析易知：AGE，故4B与CP的 夹角为兮，正确： B B C:由上分析知：翻折过程中当B,E⊥面ABCD时，V,-AD最大，此时 错深， D:由B分析知：EG=CF且EGI1CF,故F的轨迹与G到G的轨迹相同，由A知：B到B的轨迹为 B5为半径的 以B为圆心，BE为半径的半圆，而G为A8中点，故G到G的轨迹为以迟中点为圆心， 半圆，所以P的轨迹长度为}×2πxB飞=， 22正确 故选：ABD 答案第4页（共10页） 【点睛】关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形 的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求B-AED的最 大体积以及F的轨迹的长度， 12.2 【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率f'(1)即可. 【详解】由)-+x血x可得f"(x)=x+nx+, 于是f'(1)=1+n1+1=2, 所以曲线f+血x在点（Q)处的切线的斜率为2。 故答案为：2. 13.-81 【分析】利用组合知识可求x+1-1 的展开式，从而可求常数项。 【详解】 x+1-1 的展开式中的各项为：CGx（日(=(C,x, 而(-1)CgC5,x-=(（←15' rI(5-r-k)！k x-, 其中r=0,1,2,4,5,k=0,1,…,5-r, r=0r=1 令r-k=-2,则 k=2或k=3 令r-k=0,则 r=0「r=1[r=2 =0或k=1或k=2 放(+-小(+)展开式中的常数项为 0岛（到(2”动 2!21 =-10-20-1-20-30=-81. 故答案为：-81 14.18 【分析】由向量共线求出函数∫(x)的解析式，设g(x)=f(x十2)，利用函数的单调性以及等差数列的性 质讨论4的值，从而求出4+4+…+4，的值， 答案第5页（共10页） 【详解】由ā/b,得(x-2)=y-2x,整理得y=f(x)=(x-2)+2(x-2)+4, 因为设函数g(x)=f(x+2)-4, 则奇函数g(x)=x+2x单调递增 由f(a)+f(4)+…+f(4)=36, 可得8(4-2)+8(4-2)+…+8(-2)=0 又数列{a}为公差不为0的等差数列， 因此8(4-2)=0，即4-2=0→4=2， 此时4+43+…+4=945=18： 故答案为：18 10肾 (2)6+2√5 【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果； (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果 【详解】(1)c=2cosC(acos B+bcosA),.sinC=2cosC(sin Acos B+sin Bcos A), 即s血C-2 in4+B,ios0-号 又0<C<x,所以c-号 (2)由(1)知C=亚， 31 由余弦定理得：c2=a2+b2-2 ab.cosC, 即12=d+b2-2ab. 2a+b2-3ab=12, 又s=1b.nc=5b=25,b=8, 2 .(a+b)2-24=12,a+b=6, aABC周长为a+b+c=6+2√5. 16.(1)a.=4n-2 (2②)Z。=2r2-n+4-1 3 【分析】(1)根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求a: 答案第6页（共10页） (2)利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列{b}的前项和Tn, 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, [a+2d=10 因为4=10,4-24=6.则 4=2 (a+4d)-2(4+d)=6'解得 d=4 所以a,=2+4(n-1)=4n-2. 2-1,n为奇数 (2)由(1)可得b.= 2n-3,n为偶数 则T2m=(6+b+…+b2m-)+(b2+b4+…+bn） =(1+22++22m-2）+[1+5++(4n-3] -1-4+(4n-2）=2-n+41, 1-42 3 所以Tn=2n-n+ 4”-1 3 17.(1)y=0.8x-6; (2)列联表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关. 【分析】(1)先求出x,y,根据最小二乘法求出)，进而求出à即可： (2)根据题意中的数据分析可得列联表，利用卡方公式计算和题意的数据表，结合独立性检验的思想即 可下结论 【详解】(1)由题意可得x=120,y=90, G-0g-0u45-120010-90+B0-12090-90+020-120y002 +105-120)(78-90)+100-120)(70-90)=1080, K-92=045-120+030-120+020-120+a05-120+000-120=1350、 所以6=1080 0.8,a=90-120×0.8=-6, 1350 故y关于x的线性回归方程是y=0.8x-6, (2)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36，抽出的5人中， 数学优秀但是物理不优秀的共有1人，故全班数学优秀但是物理不优秀的共有6人， 于是得到2×2列联表为： 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 24 6 30 答案第7页（共10页） 数学不优秀 12 18 30 合计 36 24 60 于是K2的观测值为 n(ad-be) 60×(24×18-12×6=10>6.635, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 30×30×36×24 因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关， 18.(1)证明见解析 (2)证明见解析 号5 【分析】(1)取PA中点E,连接EN,EB,可证明N/BE,从而得到MWMI平面PAB: (2)可得CDLDM,利用线面垂直的判定定理可得CDI平面PDM (3)可证PM1平面ABCD,求出PM的长度后可得体积. 【详解】(1) E D A& M B 证明：取PA中点E,连接EN,EB, W是PD的中点，ENAD且BN34D=2,又MIAD且BM4D=2 四边形ENBM是平行四边形，MNBE, 又MNd平面PAB,BEC平面PAB,MWI平面PAB; (2)证明：由底面是平行四边形，∠ABC=120°知∠DCM=60°， 在△CDM中，由余弦定理：DM2=12+2-212cos60°=3， 故DMP+CD=CMP,所以CD1DM, 又PD LCD,又PD,DM是平面PDM内的两条相交直线， CDI平面PDM (3)CDL平面PDM,PMC平面PDM,PM⊥CD, 又~PM⊥MD,且CD,MD是平面ABCD内的两条相交直线， 答案第8页（共10页） PM1平面ABCD.连接AM,在△ABM中，由余弦定理： AM2=12+22-21.2c0s120°=7， 在PMM中：PM=4N2)-7=5, 1 o84oPM141-sm60°-50B 19.(1)y2=4x [V4m-4,m≥2 (2)1 PM= ,0<<2 ® 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解： (2)令P(a),则PM=V号+(4-2m)x+m，分对称轴-2≥0和m-2<0进行讨论即可； (3)设A(,),B(x2,y2),设直线AB的方程为x=w+t,代入抛物线可得 4+y2=4a y为=-4’结合题意中 的数叠积可得：一}、即可求能 【详解】(1)动点E到定点(1,0)的距离与它到直线x=-1的距离相等，满足抛物线的定义， 故曲线C的方程为抛物线y=4x: (2)令P(x,y0),故=4， 则|PM=V(-m)}'+6=V号+(4-2m)+m2, 当x=-4-2m=m-2≥0时，1pM1m=Vm-2+4-2m(m-2)+m2=41-4: 2 当m-2<0时，PMm=m, 所以|PM|m= 「V4-4, ≥2 (m,0<m<2 (3)设A(,片)，B(x2,2),设直线AB的方程为x=w+t, x=av+ 由 y2=4x 得y2-4ay-4t=0,△=16+4×4>0 所以y+马=4a 出·y2=-4t 因为0M-o丽-}所以+=星所以(@+a,+片元的 9 .9 答案第9页（共10页） 所以(a2+1%y+at(0+2)+2=9 4 所以+4+at4a+产-骨解得1或1= 2 21 当1-时，直线AB的方程为x=w行：定点为(0不满足点AB在该面线C上且位于轴的两 1 1 侧，故舍去： 当：-号时，直线的方君为=w+号定点为30小 满足点A,B在该曲线C上且位于x轴的两侧， 且满足△>0， 不纺令男≥0，<0，则8+8m*-小十-- 当且仅当为=导即为=m _922时，取等号， 11 故最小值为2 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为(，)，(x2,2)； (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算△； (3)列出韦达定理； (4)将所求问题或题中的关系转化为x+x2、xx2(或+y2、)的形式： (5)代入韦达定理求解 答案第10页（共10页）