广西壮族自治区来宾市第一中学2026-2027学年高三上学期10月演练数学试题

来宾一中2027届高三10月演练（数学) （时间：120分钟总分：150分) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1.(本题5分)已知集合A={2≤x<4},B={x3x-7≥8-2x},则（A∩B)=() A.[3,4) B.(-0,3)U[4,+w) C.[4,+o) D.(3,4] 1 2.(本腰5分)i是虚数单位，则1+（） A B 3.(本题5分)数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的75百分位数为() A.8.7 B.9.0 C.8.85 D.8.6 4.(本题5分)己知非零向量a,b满足（ā-2b)1a,(b-2)1b,则a与b的夹角为(） A. R 3 D.5r 6 5.(本题5分)等比数列{a}前n项和为Sn,且S=21,a4+4=72,则%=() A.81 B.96 C.108 D.192 6.(本题5分)己知圆C1:x2+(y-2)=5和C2:(x+2)+y2=5交于A,B两点，则AB=() A.5 B.2√5 C.√23 D.2√23 7.(本题5分)若函数f(x)=-ar有两个零点，则实数a的取值范围是() A.(e,+n) B.(1,+0) c.(0,e) D.(-o,e) 8。(本题5分)已知双线C苦手-1(a>0b~0)的上、下焦女分为只、名，P是C的上支上的 点（不在y轴上），P与x轴交于点A,△PA耳的内切圆在边A?上的切点为B,若AB>2b,则C的离 心率的取值范围是() A.12 B. D. 二、多选题（共18分)：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(本题6分)设正实数m,n满足m>n,且m+2n=4,则下列说法正确的是() A.l-4+2-4=8 B.n+2 n m+2 m C.n的最大值为2 D.m2+2的最小值是4 试卷第1页（共3页） 9 10.(本题6分)在 - 的展开式中() x A.所有系数的绝对值之和为 1 B.项的系数为-9 2 C.系数最大项为第3项 D.有理项共有5项 11.(本题6分)若数列{a}满足 L=d(nEN,d为常数)，则称数列{a,}为调和数列已知数 d a 列色}为“调和数列”，下列说法正确的是() A若2620，则如+41=A B.若=2+1 ,且=，6=15，则6 C.若}中各项均为正数，则b≤点+2 2 D.若3为数列{瓜}的前项和，且满足4=1，么分：则3<2 三、填空题（共15分) 12.(本短5分)已知na-2co2-5,则sma+到-一 13.(本题5分)已知随机变量X~B(10,p),Y~N(5,o2),且E(2X+1)=7,若P(≤9)=1-p,则 P(1≤Y≤9)= 14.(本题5分)已知关于x的不等式k(2x-5)e-2x+4≤0恒成立，则实数k的取值范围为 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本题13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ab,c,已知acosB+bcosA+二ctanC=0. 4 (1)求c0sC: (2)若c=4V2,△ABC的面积为2，求△ABC的周长. 16.(本题15分)在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD, 若SA=3,AB=BC=2,AD=1,求： 试卷第2页（共3页） (1)异面直线DC与SB所成角的大小的余弦值： (2)直线S4A与平面SDC所成角的大小的正弦值； (3)二面角D-SC-B的大小的余弦值. 17.(本题15分)一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的 数字是2,3张卡片上的数字是3,10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率： (2)记所取3张卡片上的数字的中位数为X,求X的分布列及数学期望E(X) 18。G休题17分》已知P是椭圆C器若a~b>的右供点， 是C上一点，且直线PF与圆 O:x2+y2=1相切于点F. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若C上两点A,B满足PA⊥PB. (i)当直线AB斜率不存在时，求直线AB的方程； (i)求直线AB被圆O所截得弦长的最小值. 19.(本题17分)已知函数y=f(x)的定义域为R,实数a和b满足a<b,若y=f(x)在区间(a,b]上不 存在最小值，则称y=f(x)在(a,b]上具有性质P (1)若f(x)=x2-2x,判断函数y=f(x)在下列区间上是否具有性质P；①(0,2]：②1,3]： (2)若f(x+1)=f(x)+1对任意实数x都成立，当0<x≤1时，f(x)=x,若y=f(x)在区间(0,2]上具有性 质P,求实数m的取值范围； (3)对于满足a<b的任意实数a和b,y=f(x)在区间(a,b]上都有性质P,且对于任意k∈Z,当 x依+D时，均满足f代>0，设a=f0+只，neN,试判断数列a}的单调性，并说明 f(x)-f(k+1) 理由. 试卷第3页（共3页） 《来宾一中2027届高三10月演练（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A O B B A A AC BCD 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】先解一元一次不等式求出集合B,再求出两集合的交集，最后求交集在实数集上的补集 【详解】3x-7≥8-2x,解得x≥3， 所以B={xx≥3}， 所以AOB={x3≤x<4, 所以(AnB)=(-o,3)U[4,+o). 2.A 【分析】利用复数除法法则计算出答案 i i1-）i-_1+i_1+1i 【详解】1+0+)1-P-F222 故选：A 3.C 【分析】由百分位数的定义即可求解。 【详解】由题意8×75%=6，所以该组数据的75百分位数为 8.7+9.0 =8.85 2 故选：C. 4.C 【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2āb,代入两个向量的夹角公式得到夹角的 余弦值，进而得到夹角， 【详解】（ā-2b)⊥a,(b-2d⊥b, ∴.(a-2b)a=a2-2a.b=0,6-2a-b=b2-2a.b=0, .a2==2a.b,设a与b的夹角为0,0∈[0，， 则由两个向量的夹角公式得cos0=a,6-a6_a西_1 1a-b22ab2' 0= 故选：C. 5.B 【分析】根据条件求出{a}的首项和公比，再求4即可. 答案第1页（共13页） 【详解]设公比为9，因为S-40-）-21,又5-马1-）-8+4+4=9 1-q4 1-9 两式相除得1-9217 1-9331,观察可得g=2,从而4=3， 所以4=3×2=96. 故选：B. 6.B 【分析】两圆方程相减求得直线AB方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长. 【详解】由已知，两圆方程相减得x+y=0,这是两圆公共弦AB所在直线方程， 圆C1的圆心为C1(0,2),半径为√5， C1到直线AB的距离为d= 2+0=2, 所以AB=2WW52-(22-2W3, 故选：B 7.A 【分析】求导f(x)=e-a,若a≤0，f(x)在R上单调递增，不合题意： 若a>0,讨论可知最小值f(lna)=a-ana=a(1-lna), f(x)有两个零点，最小值a(1-ha)<0即可. 【详解】f'(x)=e-a 若a≤0，则f'(x)=e-a>0恒成立，f(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不合题意. 若a>0,令f'(x)=0得x=lna. 当x<lna时f'(x)<0, 当x>na时f'(x)>0, 所以f(x)在x=lna处取最小值 f(Ina)=a-alna=a(1-Ina) 又当x→-0时∫(x)→+0（因为e→0而-ar→+0） 当x→+0时f(x)→+0， 所以f(x)有两个零点当且仅当最小值小于0，即a(1-lna)<0 答案第2页（共13页） 因为a>0,故1-lna<0,解得a>e. (端点检验：当a=e时最小值为0，f(x)只有一个零点x=1,不合题意.故a>e. 8.A 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得AB=,再建立不等关系求出离心 率的范围 【详解】设该内切圆在P耳、PA上的切点分别为D、E, 由切线长定理可得AB=AE,PD=PE,EB=D, 又P-P=2a,A=AF,则PA+AF-P=2a, 即2AB=2a,解得AB=a, 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解： ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 9.AC 【分析】对于A,根据题意得0<n<m<4,化简后可判断：对于B,利用作差法即可判断；对于C,利 用基本不等式可求最值；对于D,由题意得m=4-2n,代入m2+n2得关于n的二次函数，进而可求最值. 【详解】对于A选项，0<n<m<4,故-4+2-4=4-m+2(4-n)=8,故A正确： 答案第3页（共13页） 对于B选项，因为”+2”-m(+2)-m+2)。20m-m m+2 m(m+2) m(m+2) 20, 所以+2、 '+2 ,故B错误； 对于C选项，因为=m2≤}m+2m =2,当且仅当=2n,即=2，n=1时，等号成立，故 2(2 C正确； 对于D选项，因为=4-2n, 所议m+=(4-2加+r=5m-16n+16=n-+ 故当n=8 时，m心有最小值华 故D错误。 故选：AC 10.BCD 【分】利用- 展开行式系数绝对植之和与+安】 展开式系数和相等判断A,根据二项展开 式的通项公式可得工，= 、】C。令93”3，运算求解即可判断巴，由第7+1项的系数为 2 Cp, 列不等式组分析运算判断C,令)，€乙，分析运算即可判断D 【详解】对于A: 在 1 的展开式中所有系数的绝对值之和与√压+1 的展开式中所有系数的 2x 和相等， 故令x=1, 可知+ 展式的系数之和为+写=) 故A错误； 对于B:因为 的展开式的通项公式 9-37 令92=3.解得1，可得=分心。 1 2 2 即项的系数为-？，放B正确： 答案第4页（共13页） 对于C:由通项公式可得：第r+1项的系数为a,= 1 2 .C9, 当r为偶数时，4>0；当r为奇数时，4，<0； 9 取”为偶数，令 a,242, a,≥4-2 则 1 9 [3r2+29r-64≥0 整理得 ,所以r=2, 3r2+17r-110≤0 所以系数最大项为第3项，故C正确： 对于D:令93∈Z,则r=1357,9,所以有理项共有5项，故D正确： 2 故选：BCD 11.BCD 1 【分析】根据“调和数列的定义可以确定 为等差数列，再利用等差数列的性质可判断A选项：利用 b元 等差数列的定义求得其通项公式，可判断B选项：根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，可判断 C选项；求出数列{凸}的通项公式，结合放缩法可判断D选项. 1 【详解】对于A选项，依题意可得 -=20, b 为等差数列，由方小 1111 11 根据等差数列的性质得4么十，…一么。么，则可得10 1+1=20, 所以， 1+1-么+1=2，则4+4=2b4:,故A错误： bo b bobi 对于B选项，由，-2”中，且c=3,G,=15,可得4=1， 39 1；11)所以，士=左+(n-d=-；则02-1'放B正确： bb 1.1 十 对于C选项，由 为等差数列，可得1=bb2, b 2 6+b.2 2 所以，bH=1,1 2bb+2≤ 2_b+b+2, B+bn2 b.+b,+2 2 b,.b+2 当且仅当b.=b+2时取等号，故C正确： 答案第5页（共13页） 对于D造现由已知可得合有1，所以，太有+0-小d=,则6力 1 所以，五，= √n 当n=1时，S=1<2W1成立， 当m2.瓜-六+同， 2 所以，S,=√瓜+历+V瓜++V历<1+2(-1+V2)+2(-2+3)+…+2(-n-1+m) =2Wn-1<2n, 综上所述，对任意的neN,Sn<2Wn,故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据题中的定义结合等差数列的相关知识求解 12.-10 10 【分析】由条件结合平方关系求得sina,cosa,再利用两角和的正弦公式求解. sina-2cosa=V√5 【详解】由 Isinatcosa=(2coa+5)cosa=1, 整理得5cos2a+45cosa+4=0,解得cosa=-25 ，则n=5 V2,V25√225√5V10 ∴.sin+ sin ax -+cosa X 4 2 、2525210 故答案为： √10 10 13.0.82 【分析】先根据二项分布的期望公式写出E(X),再结合期望的线性性质代入E(2X+1)=7构造关于P的 方程求出卫，利用正态分布的对称性求解连续型随机变量概率. 【详解】X~B(10p),∴.E(X)=10p, E(2X+1)=7,.2E(X)+1=7,即20p+1=7,解得p=0.3, P(Y≤9)=1-p2=1-0.09=0.91, 由对称性可得P(Y≤1)=P(Y≥9)， 又P(Y29)=1-P(Y≤9)， .P(Y≤1)=1-P(Y≤9)=1-0.91=0.09， 答案第6页（共13页） .P(1≤Y≤9)=P(Y≤9)-P(Y≤1)=0.91-0.09=0.82. 故答案为：0.82. 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数(x) 的图象，求出直线y=k(2x-5)与曲线f(x)=2(x-2)相切时k的值，最后作出两函数图象，数形结合即 可得解. 【详解】因为不等式k(2x-5)ex-2x+4≤0恒成立， 所以不等式k(2x-5)≤2(x-2)*恒成立. 设f(x)=2(x-2)e,y=k(2x-5), 则由题意知函数f(x)的图象恒不在直线y=k(2x-5)的下方， 又f'(x)=2(x-1)e, 当x<1时，'(x)<0,所以f(x)在(-o,1)上单调递减： 当x>1时，f'(x)>0,所以f(x)在(L,+w)上单调递增， 所以f(x)m=f(1)=-2e,当x→+∞时，f(x)→+o,当x→-0时，f(x)→0， 当x<2时，f(x)<0,且f(2)=0, 又直线y=(2x-5列恒过点[30， 当直线y=k(2x-5)与曲线y=f(x)相切时，设切点为(，2(x-2)), 则k=2(-1)e0=2。-2)e 3，解得6或-3， x2 ,13 故当直线y=k(2x-5)与曲线y=f(x)相切时k的值为三e2或2e3. 在同一平面直角坐标系中作出直线y=k(2x-5)与函数f(x)的图象如图所示， 答案第7页（共13页） y=2e3(2x-5) y=k(2x-5) 13 2e2(2x-5) 网-2e有 结合上图可知，当函数f(x)的图象恒不在直线y=k(2x-5)的下方时，实数k的取值范围为 15.@-号 (2)6+4N2 【分析】(1)根据正弦定理对等式进行化简，进而可求出结果， (2)根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】(1)由己知等式利用正弦定理可得- 3sinCtanC-sinAcosB+sinBcos4=sin (B), 因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC,所以-2 sinCtanc=sinC, 4 又snC≠0.所以ac=手，测ce(径可 由tan'c+1=sin'C+cos2℃。1 cosC cos'C 1 3 可得cosC= VtanC+1 5 (2)由余弦定理得c2=d+b2-2 rbcosC=a2+B+b=32 因为ac=看-corc-号所以8 ebi-油=2，所以h=5 所以(a+b}=d+B+2ab=32+1b=36,所以a+b=6. 所以△ABC的周长为a+b+c=6+4√2. 16.()4v6 65 a明 3)5i3 91 【分析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量法求解 (2)求出平面SDC的法向量，利用线面角的向量法求解。 (3)求出平面SCB的法向量，利用面面角的向量法求解。 【详解】(1)在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°，则直线AB,AD,AS两两 答案第8页（共13页） 垂直， 以点A为原点，直线AB,AD,AS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， z小 S 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,10),S(0,0,3)，DC=(2,1,0),SB=(2,0,-3), 因此cos◆DC,SB= DC.SB 4 465 DcHs8V5.1365, 所以异面直线DC与B所成角的余弦值为4N6⑤ 65 (2)由(1)得DC=(2,1,0),SC=(2,2,-3),S4=(0,0,-3), 设平面SDC的法向量为m=(a,b,c), mDC=2a+b=0 ms0=2a+2b-3c=0令c=2,得m=(←36,2. 则 设SM与面SDC所成角为6，因此n0=cosm,上1m--6-2 1mlS43×77, 所以直线1与平面SDC所成角的大小的正弦值为号 (3)设平面SCB法向量为n=(x,y,=), [i.SB=2x-3z=0 则 i.SC=2.x+2y-3z=01 令x=3,得n=(3,0,2), m.n -5 因此cosm,m)= .513 1mll7×13-91, 由图知二面角D-SC-B为锐二面角， 所以二面角D-SC-B的余弦值为5E 91 以0动 (2)X的分布列为 X 1 2 3 答案第9页（共13页） 29 11 P 1 3 60 60 数学期塑（出） 20 【分析】(1)根据古典概型的概率公式，结合排列组合即可求解， (2)分别求解X=1,2,3的概率，即可得分布列，进而根据公式求解期望. 【详解】(1)所取3张卡片上的数字完全相同，则需要所取3张均为1，或者均为2，或者均为3，故概率 为P=C+cg+C4+1+11 C 12020’ (2)若X=1,则所取的3张卡片中至少有2张是数字1，故概率为Px=D=+CC-40 c3120 若X=2,则所取的3张卡片中至少有2张是数字2，或者3张卡片分别为1,2,3，故概率为 px-2)-c+cc.dcici-58 C。120 若X=3,则所取的3张卡片中至少有2张是数字3，故概率为P(X=》=+CC=22 120 故X的分布列为 子 1 2 29 11 3 60 60 故E(x)=1x3+2x20 1 1137 +3x 60 60-20 =1 18.0)￥+y 43 ②-：m > 【分析】(1)由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程： (2)(D设A(k,),B(,-为)，结合PAPB=0及点在椭圆上求得-号，即可得直线方程；(i)设直 线方程联立椭圆，应用韦达定理及PA.PB=0得 2k+2m-3X2k+14m+3》=0,再分类讨论求直线所过 4(42+3) 的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【详解】(1)由题意，知PF与x轴垂直，c=1, 令=6，解得-公-3，即“C_‘1-解得a=2或号<合去) a 2 aa 2 答案第10页（共13页） 故2=4-c2=3,椭圆c的标准方程为+”-1. 43 (2)(i)当直线AB斜率不存在时，设A(,),B(,-), 则i-%引丽-6山-%》 由pm,历=0，知(6-片+星=0，又导+营-1，解得片酸1（合去）， 43 故直线4B的方程为= (i)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=x+m, 联立精到C的方程手+号1，得(+刘列+如u+m-12=0, 8km 投A巧，)，B西，由韦达定理知+43为三42 4k2+3 于是A-(-1g-引P阳-(61 自i历0加，化-5岛引=-化-)-+m红+m +o-)m1 (2k+2m-3)(2k+14+3》=0」 4(4k2+3) 若2张+2m-3=0,则直线4B为y=+m三k-)1直线AB恒过定点1， 不合题意， 若2+1n+3=0,则直线48为=红-m=个-音 13 直线AB过定点7,14 当直线AB斜率不存在时， 直线4B过点) 手是直线极相过定直如行》】 当直线AB与OM垂直时，圆，心O到直线AB的矩离最大，为OM= 14 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为2,1 13-183 196 7 0 B 19.(1) 答案第11页（共13页） ①不具有：②具有 (2) m>-1 (3)单调递增，理由如下： 由y=f(x)在区间(a,上都有性质P, 则在(k,k+],k∈z上，f(k)<f(k+1)且f(k)<f(x), )f田>0，所以f)<了k+,即f)<f)f(k+,对于a=f0+ 又f)-k+ 因aa-a=jn+1+)a+), 令x=x+ ,因neN,所以f()<fx)<fn+1), 1 所以a+1)fa-)0,回4：>0， 所以数列{a}是单调递增的. 【分析】(1)由对称轴x=1,即可判断： (2)求出f(x)在(0,2]上的函数解析式，根据f(x)在(0,2]上没有最小值，即可讨论m的情况，得出结果； (3)由y=f(x)在区间(a,b]上都有性质P,可以得出f(k)<∫(k+1)以及f(k)<f(x),进而结合 ,-利>0，可得了约<f<了k+),对干a=+宁，利用a-a进行证明即可。 f(x)-f(k+1) 【详解】(1)fx)=x2-2x=(x-1)-1,对称轴为x=1, 当x∈(0,2]时，有最小值，不具有性质P; 当x∈(L,3]时，f(x)递增，无最小值，具有性质P. (2)由题知，当0<≤1时，f(x)=x, 则当1<x+1≤2，即0<x≤1时， f(x+1)=f(x)+1=x+1=m(x+1)-m+1, 所以当1<x≤2时，f(x)=x-m+1, x,0<x≤1 所以f(x)= x-+1,1<x≤2' 那么，当m>0时，f(x)无最小值，符合题意： 当m<0时，需满足f(2)>0,即2-+1>0，解得>-1： 当=0时，f(x)无最小值，符合题意. 答案第12页（共13页） 综上所述，>-1. (3)略 答案第13页（共13页）