25.3 专题二 二次函数与几何的综合问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

第25章二次画数 专题二二次函数与几何的综合问题 类型一线段的最值问题 1.(德阳中考)如图，抛物线y=x2一x十c与x轴交于点A(一1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)当0<x≤2时，求y=x2一x十c的函数值的取值范围； (3)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA十5PM的 5 最小值. ·45· 九年纸下册·数学(HS)相 类型二面积的最（定）值问题 2.(遂宁中考)二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点C (0,一3)，P、Q为抛物线上的两点 (1)求二次函数的表达式； (2)当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； (3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小 值，若不存在，请说明理由. ·46· 第25章二次画数 类型三特殊三角形的存在问题 3.(达州中考)如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是 抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点，且 SAPMC=2 SADMC,求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角 形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. A B B 图1 图2 ·47· 九年纸下册·数学(HS)相 类型四特殊四边形的存在问题 4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F:y=一x2+bx十c经过点A(一3，一1)，与y轴交于点B(0,2). (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接OC交AB于点D,球器的最大值及此时点C的坐标： (3)作抛物线F关于直线y=一1上一点的对称图象F,抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右 侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F对称轴上一点，是否存在以B,E,G,H为顶点的四边形是平行 四边形，若存在，求出G点坐标，若不存在，请说明理由. ·48· 第25章二次画数 类型五相似三角形的存在问题 5.(内蒙古中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经 过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB 交于点D,设点P的横坐标为m. ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. y 。49· 九年纸下册·数学(HS)n 类型六角的相关问题 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=一2x十6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=一 x2+bx十c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四边 形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. AV D C 1 备用图 ·50. 第25章二决西数 7.(雅安中考)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx十3的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C. (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q, 当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在(2)的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D,且∠CQD=2∠OCQ.在y轴上是否存在点 E,使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. D P 图① 图② 备用图 ·51· 九年纸下册·数学(HS)相 类型七二次函数中的新定义题 8.(乐山中考)在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y=ax2一 2ax+2a(a为常数且a>0)与y轴交于点A. (1)若a=1,求抛物线的顶点坐标； (2)若线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求 a的取值范围. 5 4 2 012345 012345x 备用图1 备用图2 ·52.九年级下册·数 (2)自变量x的取值范围是0<x<80; (3)m=2. (3)当x=40时，y有最大值，且最大值为1200cm2. 山.(1)货车的限高为米。 【例2】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大， 其最大值为312.5万元：该果商定价为3.5万元时才能使每天 (2②)货车的限高为3-2=2.5米 的“销售收人”最大，其最大值为612.5万元 12.B 即学即练 13.(1)抛物线C2的函数表达式为 3.(1)y=-5x+800. (2)当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是 y=-82+号x+4 7920元 (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖 课外精练 直距离为1米 1.B2.C3.D4.C5.4506.47.38.121 9.(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W 86>费 =-50x2+400x+9000, 第2课时 二次函数与一元二次方程（不等式） 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元： 课堂精讲 (2)即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元； 【例1】(1)当x=0时，y=1. (3)定价应为43元. ∴.不论m为何值，函数y=mx2一6.x十1的图象都经过y轴上 10e=(x-合)》'+子. 一个定点(0,1)； (2)①当m=0时，函数y=一6x十1的图象与x轴只有一个 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元 交点； (3)当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元. ②当m≠0时，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一 11.(1)y=-x2-2x十3. 个交点，则方程mx2一6x十1=0有两个相等的实数根，∴.△= (②点P的坐标为(-号，).△APC面积最大值为各 (-6)2-4m=0,解得m=9. 12.46.4 综上，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则 13.(1)A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为：m的值为0或9. 14元： 即学即练 (2)①B款纪念册每天的销售量为(80一2m)本； 1.D2.-13.1 ②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大：【例2】(1)抛物线与y轴的交点为(0,4)，与x轴的交点为 利润是1264元. (号，0八2,0). 25.3实践与探索 2)图象略，当x三子或x=2时y=0 第1课时用二次函数解决实际问题 当x<号或x>2时，y>0;当号<x<2时y<0, 课堂精讲 3 即学即练 【例】(1)缆素L所在抛物线为y=(x一50)2十2 4.A (2)FO的长为40m 5.y=x2-2x3或-1<0或x>2(4,0)与(-1,0) 即学即练 x<-1或x>4 1.C2.8 y=kx+1 30①抛物线的表达式为y=一云(（红一15)十9 【例3】(1)联立 y=x2-4x1 (2)水火箭距离地面的竖直高度为5m 化简可得：x2一(4十k)x一1=0， 课外精练 ∴.△=(4十k)2十4>0， 1.C2A3B4C5136能70.58 故直线1与该抛物线总有两个交点； (2)SAO=/2. 9,1抛物线的解折式为y=一2十名x 即学即练 6.(1)抛物线与直线的交点为(3，一4)与（一2,6）. (②抛物线最高点的坐标为（子，碧）》. (2)当-2<x<3时，<2； (3)这棵树的高度是2， 当x<-2或x>3时，y>. 10.(1)y=-2x+80; 课外精练 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大1.A2.C3.A4.B 利润是450元； 5.x<-1或x>3x<-3或x>1 153 学参考答案(HS)指 6.k≥37.-4<x<28.-3≤a≤19.x<-2或x>4 (3)加的取值范围是号<a≤号 10.(1)x=1,x2=3.(2)1<x<3.(3)x>2.(4)k<2 11.(1)抛物线的解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， 第25章《二次函数》知识结构与中考链接 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (2)y=-x2+2x+3.(3)m=4或-5<m≤3. 1.B2.C3.>M>% 12.①④13.A 4直线BC的函数表达式为y=一名x十。 14=日（红+3）+名 ②D(是). (2)①抛物线BD的解析式y=一日（红一3）P+空 5.(1)y=xt-2x(2)(2,-5)6.A7.<8B9.D ②落点D在安全范围内， 10.(1)证明：，△=一4ac=(m-1)2-4×(-1)×m=(m十 (3)这条钢架的长度为2√17米， 1)≥0，∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点； (2)略(3)①0<x<2②k<4③-5<t≤4. 专题二二次函数与几何的综合问题 1a0a=6=81: 1.(1)抛物线的解析式为y=x2一x一2； ②这两个位置之间的距离为8.4km; (2)函数值的取值范围是-号<)<0， ⑧一号 <a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超 (3)最小值为5 过15km 2.(1)抛物线的表达式为：y=x2一2x一3； 12.(1)y=-x2+2x+8; (2Q(号，一)：（3)存在，理由略最小值为号 1 (2)P的坐标为(1,9)； 3.(1)y=x2十2x-3; ③)存在M的坐标为（中，中）或（香，）或 2 (2)P(1,0)或(-4,5)； (3)存在， (,）,2) N(-1,√14)或N(-1,-√14)或N(-1,-1)或 章末训练题 N(-1,-3+√17). 4.(1)y=-2-2x+2; 1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.C10.< (②6咒的最大值为名， 1.362.x≤-1或x≥313.号14①@ 此时点C的坐标为（一多，）： 18.1y=-号-x+是： (3)存在， (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 G点坐标（一2,0）或(4,6)或(2,4). 位长度，解析式变为y=一合，顶点落在原点。 5.(1)y=-x+4;C(0,4). (②)①当m=号时，PD=号是最大值 16.(1m>-; (2)一元二次方程x2十x一m=0的解为x1=1,x2=一2. ②存在，P的坐标为(3,3)或(2,4)： 6.(1)y=-x2+x+6; 17.(1)一次函数关系y与x之间的函数关系式为y=一2x (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似，点D的坐标为(1,6) +60. 或（合空）： (2)当销售单价为18元或20元时，该产品每月获得的利润 为240万元 (3)点D的横坐标为3十25-√2四 (3)当销售单价为20元时，该产品每月获得的利润最大，最 2 大利润为240万元. 7.1y=t-4红+3，(2Q(2,-): 18.(1①36；@点A的坐标是（停，号）】 (3)存在， (2)①8； E(0,8十√43)或(0,8一√43)或(0,5)或(0，/59)或 ②v=4v√10 (0,-√59) 8.(1)抛物线的顶点坐标(1,1)； 191)二次函数的解析式为)=合女-号x一3： (②a的取值范围是受<a<名， ②36. 154