25.2 专题一 二次函数的图像与字母系数的关系-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152九年级下舟·数学(HS)n B组（能力提升） 12.（成都中考)在平面直角坐标系xOy中，A(1, y1),B(x2,y2),C(x3,3)是二次函数y=-x2十 4x-1图象上三点.若0<x<1,x2>4,则y 2(填“>”或“<)；若对于m<x1<m十1， m十1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y< y<y2,则m的取值范围是 13.（新疆中考)如图，抛物线y= 2x2 4x十6与y轴交于点A,与x轴交于 点B,线段CD在抛物线的对称轴上 移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD十BC的 值最小时，点C的坐标为 14.已知抛物线C:y=一x2+bx十c经过A(一3,0) 和B(0,3)两点，将这条抛物线的顶点记为M,它 的对称轴与x轴的交点记为N. (1)求抛物线C的表达式； (2)求点M的坐标； (3)将抛物线C平移到抛物线C,抛物线C的顶点 记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.如 果以点M、NM、N为顶点的四边形是面积为 16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？ 为什么？ ·2 专题一二次函数的图象与 字母系数的关系 笔课前优学 二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象的特征 与系数a、b、c及b2一4ac(a≠0)的符号之间的关系 、项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向 a<0 开口向 b=0 对称轴为 ab-0 对称轴在y轴 侧 ab<0 对称轴在y轴 侧 c=0 经过原点 c c>0 与y轴的 半轴相交 c<0 与y轴的 半轴相交 与x轴有 交点（即顶点在 62-4ac=0 x轴上) b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有 交点 b2-4ac<0 与x轴有 交点 课堂精讲 知识点二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象 与a、b、c的关系 【例1】已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠b)的图象 如图所示，它与x轴的两个交点分别为（一1,0），(3， 0),对于下列命题： ①b-2a=0;②abc<0; ③a-2b+4c<0;④8a+c>0. 其中正确的有哪几个？说明理由？ 2· ○规律和方法 二次函数图象与系数的关系，关键是熟练 掌握：①二次项系数a决定抛物线的开口方向， 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物 线开口向下；②一次项系数b和二次项系数a共 同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即 ab>0),对称轴在y轴左侧；当a与b异号时 (即ab<0),对称轴在y轴右侧（简称左同右 异).③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线 与y轴交于点(0，c) 即学即练 1.二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象如图所示， 则下列结论中不正确的是 A.abc0 B.函数的最大值为a一b十c C.当-3≤x≤1时，y≥0 D.4a-2b+c<0 第1题图 第2题图 2.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象经 过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是（ ) A.c<0 B.b2-4ac<0 C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.(甘孜州中考)二次函数y=ax2+bx十c(a>0)的图 象如图所示，给出下列结论：①c<0:②一品>0： ③当一1<x<3时，y<0.其中所有正确结论的序 号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2 第25章二决画数 2.(东营中考)已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的 图象如图所示，则下列结论正确的是 ( A.abc<0 B.a-b=0 C.3a-c=0 D.am2十bm≤a-b(m为任意 实数) 3.抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)(a,b,c为常数)的对 称轴为x=一2，过点(1，一2)和点(x,),且c> 0.有下列结论：①a<0;②对任意实数m都有am2 +bm≥4a-2b;③16a+c>4b;④若x>-4,则 y>c.其中正确结论的个数为 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图所示是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的部 分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1,图象与 y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0; ②方程a.x2十bx十c=0一定有一个根在一2和一1 之间：③方程ar+bx十c-号-0一定有两个不相 等的实数根；④b一a<2.其中，正确结论的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题图 第5题图 5.如图，抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)的对称轴是 直线x=一2，并与x轴交于A,B两点，若OA= 5OB,则下列结论中：①abc>0;②(a十c)2一b= 0;③9a十4c<0;④若m为任意实数，则am2十bm +2b≥4a.正确的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 九年级下册·数学(HS)n 6.如图，抛物线y=ax2+bx十c y=ax2+bx+c 与x轴相交于点A(一2,0)、B (6,0),与y轴相交于点C,小 红同学得出了以下结论：① -4ac>0;②4a+b=0;③当y>0时，-2<x< 6;④a十b十c<0.其中正确的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)交x轴于点 A、B,交y轴于点C.若点A的坐标为（一4,0），对 称轴为直线x=一1，则下列结论错误的是（) A.二次函数的最大值为a一b十c B.a+6+c>0 C.b2-4ac>0 D.2a+b=0 -1 O p =.1 第7题图 第8题图 8.如图，已知抛物线y=ax2十bx一2(a≠0)的对称 轴是直线x=一1，直线L∥x轴，且交抛物线于点 P(x1y),Q(x2,y2),下列结论错误的是（) A.B2>-8a B.若实数m≠一1，则a-b<am2十bm C.3a-2>0 D.当y>-2时，x1·x2<0 9.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a ≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线x=司，有下列 结论：①abc>0;②a+b>0;③4a+2b+3c<0; ④无论a、6、c取何值，抛物线一定经过（品0）： ⑤4am2十4bm一b≥0.其中正确结论有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ·2 10.已知抛物线y=ax2+bx十c的对称轴为x=1, 与x轴正半轴的交点为A(3,0),其部分图象如图 所示，有下列结论：①abc>0;②2c-3b<0;③5a +6+2c=0:④若B(告）小、C(3人、D (一弓)是抛物线上的三点，则M<<:其 中正确结论的个数有 () y=ax2+bx+c x=1 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.如图是抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)图象的一部 分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个 交点是（一1,0）.有下列结论： ①abc>0;②4a-2b+c<0;③4a+b=0;④抛物 线与x轴的另一个交点是(5,0)；⑤点（一3，y1)、 (6,y2)都在抛物线上，则有y<y2. 其中正确的是 12.（巴中中考)若二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的 图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则 下列说法正确的序号为 。 ①b =2; ②当号<a≤号时，代数式d+8一56+8的最小 值为3； ③对于任意实数m,不等式am2+bm一a+b≥0 一定成立； ④P(x1,yⅥ)，Q(x2,y2)为该二次函数图象上任意 两点，且x1<x2,当x1十x2十2>0时，一定有y1 <y2