25.2.3 求二次函数的表达式 第1课时 求二次函数的表达式-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

13.阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤ m,求二次函数y=x2一6x十7的最大值，他画图 研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是 他认为需要对m进行分类讨论. 他的解答过程如下： ,二次函数y=x2一6x十7的对称轴为直线 x=3, ,.由对称性可知，x=1和 x=5时的函数值相等. .若1≤m<5,则x=1 时，y的最大值为2； 若m≥5，则x=m时，y x=3 的最大值为m2-6m十7. 请你参考小明的思路，解答下列问题： (1)当一2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1 的最大值为 (2)若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x十1的 最大值； (3)若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x十1 的最大值为31，求t的值. ·2 第25章二决函数 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 笔课前优学 1.当已知抛物线上任意三点的坐标时，通常设二次函 数的关系式为一般式y= 求二次函数的表达式. 2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)(对称轴最值)和 抛物线上另一点的坐标时，通常设顶点式y= ,求二次函数的表达式 3.当已知抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(x2,0) 时，通常设交点式y= ,求 二次函数的表达式。 号课堂精讲 知识点1用待定系数法求二次函数表达式 【例1】根据下列条件分别求出二次函数的表达式. (1)二次函数的图象经过(0，一2)，(1，一1)，(3,5) 三点； (2)抛物线的顶点为（一1，一9），且过点(0，一8)； (3)已知抛物线经过点（一1,0），(1,0)，(2，-6). 【思路点拨】本题运用待定系数法，分别将二次函数 设成一般式、顶点式、交点式三种形式，再将x、y的对 应值代入函数表达式，组成方程或方程组求解即可. 即学即练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过 A(1,0),B(0,一3)，且对称轴为直线x=2,则抛物 线顶点坐标为 九年纸下册·数学(HS)相 2.如图，二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为 (一1,0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴正半轴 上，且AB=OC (1)求点C的坐标； (2)求二次函数的表达式. 知识点2在几何图形中求二次函数的表达式 【例2】如图，抛物线y=ax2十bx(a≠0)过点 E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在 点B的左边)，点C、D在抛物线上.设A(t,0),当 t=2时，AD=4. (1)求抛物线的函数表达式 (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最 大值是多少？ 2 ·2 ,规律和方法aae 此题考查了待定系数法求二次函数、一次 ；函数的表达式，二次函数的性质以及三角形面 积、线段长度问题·此题难度适中，解题的关键 是运用方程思想与数形结合思想. 即学即练 3.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C,且AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，求这个二次函数的表达式. 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.如图所示，抛物线的函数关系式 为 () A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2 C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x十2 2.已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点为 (2,一3)，且过(1，一1)，则抛物线的表达式为 A.y=2(x-2)2-3 B.y=-2(x-2)2-3 C.y=2(x-2)2+3 D.y=-2(x-2)2+3 3.已知抛物线经过A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交 于C点，且BC=3√2，则这条抛物线的解析式为 () A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x+3或y=-x2+2x+3 D.y=-x2十2x十3或y=x2-2x-3 4.(陕西中考)已知一个二次函数y=ax2十bx十c的 自变量x与函数y的几组对应值如下表： 2 -2 0 y -24-8 0 一3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 二、填空题 5.(1)将抛物线y=a.x2(a≠0)向右平移2个单位，再 向上平移3个单位，平移后的抛物线经过点 (3,一1)，那么平移后的抛物线所对应的函数关 系式为 (2)已知二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象过 A(0,一16)、B(4,0)两点，它的对称轴为直线 x=1,这个二次函数的关系式为 6.如图是一座拱桥，当 水面宽AB为12m 4m 时，桥洞顶部离水面 -12m B 4m,已知桥洞的拱形 是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标 系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是 y=一日（红一6）+4，则选取点B为坐标原点时的 抛物线表达式为 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十 3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0)，若点 C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 ·2 第25章二次画数 8.已知坐标平面上有一直线1，其方 y 程为y十2=0，且l与二次函数y =3x2十a的图形相交于A、B两 点，与二次函数y=一2x2十b的 图象相交于C、D两点，其中a、bDB 为整数.若AB=2,CD=4.则a 十b的值为 三、解答题 9.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表 达式. (1)图象经过原点，点(1，一3)和(2,8)； (2)图象的顶点为(2，-1)，且过点(0,1)； (3)抛物线与x轴的交点是A(一2,0)、B(1,0),且 经过点C(2,8). 10.(扬州中考)如图，已知二次函数y=一x2十bx十c 的图象与x轴交于A(一2,0)，B(1,0)两点. (1)求b、c的值： (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的 面积为6，求点P的坐标 9· 九年纸下册·数学(HS)相 11.(浙江中考)已知二次函数y=x2十bx十c(b,c为 B组（能力提升） 常数)的图象经过点A(一2,5)，对称轴为直线12.设函数y=a(x一h)2十k(a,h,k是实数，a≠0)， x=-2 当x=1时，y=1;当x=8时，y=8,() A.若h=4,则a<0B.若h=5,则a>0 (1)求二次函数的表达式； C.若h=6,则a<0D.若h=7,则a>0 (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移 13.(安徽中考)已知抛物线y=一x2十bx(b为常数) m(m>0)个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c 的顶点横坐标比抛物线y=一x2十2x的顶点横 的图象上，求m的值； 坐标大1. (3)当一2≤x≤n时，二次函数y=x2十bx十c的 (1)求b的值； 最大值与最小值的差为号，求”的取值范围。 (2)点A(x1,y)在抛物线y=一x2+2x上，点B (1十t,yM十h)在抛物线y=一x2十bx上. ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； ②若x=t-1,求h的最大值. ·30· 14.(上海中考)在平面直角坐标系中，已知平移抛物 线y=32后得到的新抛物线经过A0,一号)和 B(5,0) (1)求平移后新抛物线的表达式； y ·31· 第25章二次画数 (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P,与原 抛物线交于点Q; ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P',如果四边 形P'BPQ有一组对边平行，求点P的坐标.九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152