25.2.2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第5课时 二次函数的最值-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

第⑤课时二次函数的最值 课前优学 1.二次函数的最值 般地，用配方法将二次函数y=ax2十b.x十c(a卡 0配成顶点式y=a(+会)”+a2“的形式，在 顶点处取得最值. ①若a>0,当=二2时y=ac二 Aa (2)若a<0,当x= 2时，大量=如c 2 2.在指定范围内有函数的最值. 若自变量x的取值范围不是全体实数，而是 石≤x≤时，则要根据图象，一2品与的 关系及函数的增减性来讨论其最值. 号课堂精讲 知识点1求二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的 最值 【例】把二次函数y=-是+是x+化成y= a(x一h)2十k的形式，并指出该函数的最值. 【思路点拨】用配方法易解 C规律和方法ES0E30E30E30E30E30E30E30E30E 求二次函数的最值可用配方法和公式法， 但实际问题中应根据自变量的取值来确定， 即学即练 1.二次函数y=一2x2一4x十5的最大值是 2.若关于x的一次函数y=(m+1)x十m的图象经 过第一、三、四象限，则关于x的函数y=mx2一mx 的最值，下列说法正确的是 ( A.有最大值贸 B.有最大值一空 C.有最小值婴 D.有最小值一理 ·2 第25章二决函赵 知识点2二次函数的区间最值 【例2】分别在下列范围内求函数y=x2一2x一3的 最大值和最小值. (1)0<x<2;(2)2≤x≤3. 【思路点拨】先求出抛物线y=x2一2x一3的顶，点 坐标，然后看顶，点的横坐标是否在规定的自变量的取 值范围内，根据不同的情况进行求解；也可画出图象， 利用图象进行求解. C规律和方法)k 求函数在自变量某一范围内（区间）的最值 时，可根据函数的增减性进行讨论，或画出函数 ；的图象，借助于函数的图象进行求解。 0000000000003 即学即练 3已知0≤x≤号，则函数y=2十x+1 ( A.有最小值子，但无最大值 B有最小值子，有最大值1 C.有最小值1，有最大值兴 D.无最小值，也无最大值 4.已知二次函数y=ax2+4x十a一1的最小值为2， 则a的值为 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.已知0<x≤7，那么函数y=-2x十8x-6的最 大值是 ( ) A.-10.5 B.2 C.-2.5 D.-6 九年纸下册·数学(HS)a 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2十2x一3的 图象如图所示，点A(x1,y)、B(x2,y2)是该二次函 数图象上的两点，其中一3≤x1<x2≤0，则下列结 论正确的是 ( A.y<y2 B.y>y C.y的最小值是一3 D.y的最小值是一4 3.已知关于x的二次函数y=x2一4x十m在一1≤x ≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最 小值是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.(乐山中考)已知二次函数y=x2一2x(一1≤x≤t 1),当x=一1时，函数取得最大值；当x=1时，函 数取得最小值，则t的取值范围是 ) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 二、填空题 5.函数y=(x-2)(4一x)取最大值时，x= 6.当0≤x≤3时，则二次函数y=x2一2x+4的最大 值为 7.已知二次函数y=x2一2x一3，当0≤x≤3时，y的 最大值为，最小值为 8.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AB= 12cm,点P是AB边上的一个动点，过点P作 PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,当PB= 时，四边形PECF的面积最大，最大值为 三、解答题 9.求下列函数的最大值或最小值 (1)y=-2x2+4x-1; (2)y=2(x-1)(x+3) ·2 10.如图，已知抛物线y=一x2十4x十5与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(5,0). (1)求抛物线的对称轴和点A、点C的坐标； (2)点P是抛物线对称轴L上的一个动点，当PA +PC的值最小时，求点P的坐标. y B组（能力提升） 11.如图，点P是双曲线C: y=兰(x>0)在第一象 限的图象上的一点，过 点P作x轴的垂线交直 B 线AB:y=x-2于点 Q,连结OP、OQ.当点P在双曲线C上运动，且 点P在点Q的上方时，△POQ面积的最大值是 12.当a≤x≤a十1时，函数y=x2一2x+1的最小 值为1，求a的值. 6 13.阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤ m,求二次函数y=x2一6x十7的最大值，他画图 研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是 他认为需要对m进行分类讨论. 他的解答过程如下： ,二次函数y=x2一6x十7的对称轴为直线 x=3, ,.由对称性可知，x=1和 x=5时的函数值相等. .若1≤m<5,则x=1 时，y的最大值为2； 若m≥5，则x=m时，y x=3 的最大值为m2-6m十7. 请你参考小明的思路，解答下列问题： (1)当一2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1 的最大值为 (2)若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x十1的 最大值； (3)若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x十1 的最大值为31，求t的值. ·2 第25章二决函数 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 笔课前优学 1.当已知抛物线上任意三点的坐标时，通常设二次函 数的关系式为一般式y= 求二次函数的表达式. 2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)(对称轴最值)和 抛物线上另一点的坐标时，通常设顶点式y= ,求二次函数的表达式 3.当已知抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(x2,0) 时，通常设交点式y= ,求 二次函数的表达式。 号课堂精讲 知识点1用待定系数法求二次函数表达式 【例1】根据下列条件分别求出二次函数的表达式. (1)二次函数的图象经过(0，一2)，(1，一1)，(3,5) 三点； (2)抛物线的顶点为（一1，一9），且过点(0，一8)； (3)已知抛物线经过点（一1,0），(1,0)，(2，-6). 【思路点拨】本题运用待定系数法，分别将二次函数 设成一般式、顶点式、交点式三种形式，再将x、y的对 应值代入函数表达式，组成方程或方程组求解即可. 即学即练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过 A(1,0),B(0,一3)，且对称轴为直线x=2,则抛物 线顶点坐标为九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152