25.2.2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第4课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下释·数学(HS)知 B组（能力提升） 12.如图，已知二次函数y=a(x 一h)2十在坐标平面上的图 (10.8) (0,5) 象经过(0,5)、(10,8)两点，若 Ai B a<0,0<h<10,则h可能为 0h:10 () A.1 B.3 C.5 D.7 13.如图，抛物线y=(x+1)2十k与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C(0,一3). (1)求抛物线的对称轴及的值， (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得 PA十PC的值最小？若存在，求此时点P的 坐标. (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.当 点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求 出△AMB的最大面积及此时点M的坐标. y 第④课时 二次函数 y=a2十bx+c的图象和性质 笔课前优学 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的性质 我们可以用配方法将y=ax2+bx十c化为y= ac+会)+恤。产，因此可以由y=ac-+表 Aa 的性质得到y=ax2十bx十c(a≠0)的性质，如 下表： a的取值 a>0 a<0 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 抛物线有最低点，当x 抛物线有最高点，当x= 最值 时，y有最 时，y有最大 小值，y境小值=4ac一位 Aa 值，y大做=如c-任 Aa x 时，y随x x 时，y随x 的增大而 ； 的增大而 ； 增减性 I> 时，y随 x> 时，y随x x的增大而 的增大而 注意： (1)探究一般式y=ax2十bx十c的性质往往是化成顶 点式来研究，注意配方的熟练运用. (2)一般式的顶点坐标公式要熟记. (3)画二次函数的大致图象时一般要注意求出与坐标 轴的交点、对称轴及顶点坐标. (4)比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把 两个点放在对称轴的同侧，然后利用函数的增减 性即可比较大小.一定要记住：若a>0,越靠近对 称轴y值越小；若a<0,越靠近对称轴y值越大. 2.抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)大致图象画法 (1)将y=ax2十bx十c化为y=a(x-h)2+k的形 式，求出顶点(h,k)和对称轴直线x=h; (2)在坐标系中画出对称轴直线x=h和顶点 (h,k); (3)在直线x=h的一侧描出三个点，并作它们关于 对称轴的对称点； (4)从左到右用平滑曲线连结七个点，并向两端 延伸. 课堂精讲 知识点1二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 【例】已知二次函数)=一女十2z十1，解答下列响 题： (1)将它配方为y=a(x一h)2十k的形式； (2)写出其图象的开口方向、顶点M的坐标、对称轴 和函数的最值； (3)求出其图象与y轴的交点坐标； (4)作出函数的图象； (5)写出当x为何值时，y随x的增大而增大？当x 为何值时，y随x的增大而减小？ 【思路点拨】先用描点法作出函数的图象，再根据二 次函数的性质解题. C规律和方法a 在画二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图 象时，列表并不是以原点O为中心向左右两边 对称取值，而是先将其化为y=a(x一h)2十k(a ≠0)的形式，然后运用列表法以顶点为中心对 称向左右两边取值. 即学即练 1.将二次函数y=x2一8x一9化为y=a(x-h)2+k 的形式为 () A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 第25章二决函赵 2.(1)二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ,对称轴是直线 (2)二次函数y=一3x2+m.x十4的对称轴是直线 x=一1，则m的值为 3.二次函数y=a.x2十bx十1的图象与一次函数y= 2ax十b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 这热 知识点2二次函数y=a.x2十bx十c的图象的平移 【例2】如图，将抛物线l:y=ax2-2x十a2-4(a为 常数)向左并向上平移，使顶点为Q的对应点Q',抛 物线L与x轴的右交点P及其对应点P'分别在两坐 标轴上，求抛物线L与x轴的交点E的对应点的 坐标. 【思路点拨】求出原抛物线的表达式，从而确定E、P、Q 的坐标，再确定平移的规律，从而求出，点E的对应，点的坐 标 ?C规律和方法E30E30E0E30E30E30E30E0EEEE 本题考查了二次函数图象与几何变换. 般式y=a.x2十bx十c平移可先化成y=a(x h)2十k再按“左加右减，上加下减”原则进行 平移 九年级下册·数学(HS知 子即学即练 4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x一1)十1 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单 位长度，所得函数的解析式为 () A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 5已知二次函数y=2-x+号， 1 (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的大致 图象； (2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围； (3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出 平移后图象所对应的函数表达式 课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.抛物线y= x十x十1经平移后，不可能得到 1 的抛物线是 A.y--3 2+x 8-4 C.y=-72+2026x-2027 D.y=-x2+x+1 。2 2.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的对称轴为直 线x=一2，下列结论正确的是 A.a<0 B.c>0 C.当x<一2时，y随x的增大 而减小、 O D.当x>一2时，y随x的增大 而减小 3.已知抛物线y=x2十x的对称轴为直线x=2,则 关于x的方程x2+mx=5的根是 () A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5 4.二次函数y=m.x2一4x十m有最小值一3，则m等 于 () A.1 B.-4 C.1或-4 D.-1或4 二、填空题 5.如图是二次函数y=一x2十4x十5的图象，根据图 象回答下列问题： -4-3-2101234闭 (1)对称轴为直线 ,顶点坐标为 ,函 数有最 值为； (2)当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小； (3)与x轴的交点坐标为 ,与y 轴的交点坐标为 ； (4)当0≤x<3时，函数y的取值范围为 (5)当0<y<5时，自变量x的取值范围为 6.(兰州中考)已知二次函数y=一x2十6.x+1,下列 结论正确的是 .(填序号) ①函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)；②函数图 象的对称轴是直线x=3;③当x>3时，y随x的 增大而增大；④当x=3时，函数的最大值是10. 7.若抛物线y=x2一6x十c一2的顶点到x轴的距离 是3，则c的值为 8.若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x十2的图象 上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 三、解答题 9.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可 表示为y=x2+px十q,我们称[p,q]为此函数的 特征数，如函数y=x2十2x+3的特征数是[2,3]. (1)若一个函数的特征数为[一2,1]，则此函数图象 的顶点坐标为 (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，一1]，将此函数的 图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，则得到的图象对应的函数的特征数为 ②若一个函数的特征数为[2,3]，问此函数的图 象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的 函数的特征数为[3,4幻？ 第25章二决函赵 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,P 为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB,交 AC于点D,连接AP,设CP=x,△ADP的面 积为S. (1)用含x的代数式表示AD的长； (2)求S与x的函数表达式，并求当S随x的增大 而减小时x的取值范围. 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2十bx十 c经过点（一1,8），并与x轴交于A、B两点，且点 B的坐标为(3,0). (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为点P,求 △CPB的面积. 21 九年级下舟·数学(HS)n B组（能力提升） 12.（成都中考)在平面直角坐标系xOy中，A(1, y1),B(x2,y2),C(x3,3)是二次函数y=-x2十 4x-1图象上三点.若0<x<1,x2>4,则y 2(填“>”或“<)；若对于m<x1<m十1， m十1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y< y<y2,则m的取值范围是 13.（新疆中考)如图，抛物线y= 2x2 4x十6与y轴交于点A,与x轴交于 点B,线段CD在抛物线的对称轴上 移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD十BC的 值最小时，点C的坐标为 14.已知抛物线C:y=一x2+bx十c经过A(一3,0) 和B(0,3)两点，将这条抛物线的顶点记为M,它 的对称轴与x轴的交点记为N. (1)求抛物线C的表达式； (2)求点M的坐标； (3)将抛物线C平移到抛物线C,抛物线C的顶点 记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.如 果以点M、NM、N为顶点的四边形是面积为 16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？ 为什么？ ·2 专题一二次函数的图象与 字母系数的关系 笔课前优学 二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象的特征 与系数a、b、c及b2一4ac(a≠0)的符号之间的关系 、项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向 a<0 开口向 b=0 对称轴为 ab-0 对称轴在y轴 侧 ab<0 对称轴在y轴 侧 c=0 经过原点 c c>0 与y轴的 半轴相交 c<0 与y轴的 半轴相交 与x轴有 交点（即顶点在 62-4ac=0 x轴上) b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有 交点 b2-4ac<0 与x轴有 交点 课堂精讲 知识点二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象 与a、b、c的关系 【例1】已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠b)的图象 如图所示，它与x轴的两个交点分别为（一1,0），(3， 0),对于下列命题： ①b-2a=0;②abc<0; ③a-2b+4c<0;④8a+c>0. 其中正确的有哪几个？说明理由？ 2·九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152