25.2.3 求二次函数的表达式 第2课时 用二次函数解决实际问题中的最值问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下册·数学(HS)湘 第2课时用二次函数解决 实际问题中的最值问题 艺课前优学 1.利用二次函数解决最大利润问题 首先根据问题中的等量关系建立二次函数模型，然 后利用二次函数确定最优（最大或最小）值可以有 三种方法： (1)利用表达式，运用顶点公式直接求出顶点坐标， 其中纵坐标即为最值； (2)把含自变量的二次三项式配方，进而把二次函 数转化为y=a(x一h)2十k(a≠0)的形式，此时 当x=h时，y有最值为； (3)运用表格和图象也很容易观察出最值， 2.利用二次函数解决图形的最大面积问题： (1)充分理解题意，弄明白已知量与所求量在图形 中的关系； (2)应用公式及图形性质寻找变量间的关系得出函 数关系； (3)由二次函数的性质并结合实际意义求得最 大值 号课堂精讲 知识点1用二次函数解几何图形中的最值问题 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8, AC=6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点 A为止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D作 DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x 秒，AE的长为y. (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的 取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大 值为多少？ 【思路点拨】解决本题首先利用△ADE与△ABC相 似建立一次函数关系式，其次根据面积公式建立二次 函数关系式，最后利用二次函数的性质求最大面积 ·3 ⊙规律和方法 在几何中建立函数关系式的常见方法有两 类，一是常用公式，如周长公式、面积公式、体积 公式等；二是图形的有关性质，如勾股定理、三 角形相似、三角形全等等，如果建立的函数关系 式是二次函数，还可以运用二次函数的有关性 质求最值. 及0≤0k000k00≤0K020x20g0K0x0K00E0g0K0黑0K0e 即学即练 1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围 成中间隔有二道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽 AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)已知墙的最大可用长度为8米； ①求所围成花圃的最大面积； ②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接 写出x的取值范围。 2.如图，已知△ABC的面积为2400cm,底边BC长 为80cm,若D在BC边上，E在AC边上，F在AB 边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD= xcm,SOBDEF=ycm2,求： (1)y与x之间的函数关系式： (2)自变量x的取值范围； (3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 2 知识点2用二次函数解决最大利润问题 【例2】某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销 往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100 吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量 相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利 润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元” 为人民币) ©规律和方法 在实际生活中，求二次函数的最大值或最 小值时，先用配方法，写成顶点式，然后观察自 变量x的取值范围，若顶点x在此范围内，则最 大值或最小值是顶点的纵坐标；若顶，点x不在 此范围内，应根据自变量的取值范围及函数图 象的增减性求出函数的最大值或最小值。 即学即练 3.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段 时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位： 元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图 所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商 场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价 ·3 第25章二次画数 为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ V 300 200 0 100120x 课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处 理池，池底矩形的周长为100m,则池底的最大面 积是 () A.600m2 B.625m2 C.650cm2 D.675cm2 2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100 张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床 位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则 相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天 以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租 金高，那么每张床位每天最合适的收费是() A.140元 B.150元 C.160元 D.180元 3.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料， 为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料 上截取矩形（阴影部分）铁片备用，当截取的矩形面 积最大时，矩形两边长x、y应分别为 () A.x=10,y=14 B.x=14,y=10 C.x=12,y=15 D.x=15,y=12 8 20 24 第3题图 第4题图 九年纸下册·数学(HS)相 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC= 8cm,点P从点A沿AC向点C以lcm/s的速度运 动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度 运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边 形PABQ的面积最小值为 () A.19cm2 B.16cm2 C.15cm2 D.12cm2 二、填空题 5.(泰安中考)如图，小明的父亲想用长为60米的栅 栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知 房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米 6.如图，线段AB=6,点C是AB上一点，点D是AC 的中点，分别以AD、DC、CB为边作正方形，则AC 时，三个正方形的面积之和最小. uL墙 B 第5题图 第6题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4,AC=3, D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向 AB、AC作垂线，垂足分别为E、F,则矩形AEDF 的面积的最大值为 8.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8 元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格 x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图 象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮 产品的最大利润为 元（利润=总销售额 总成本). y(个) 20 10 0 B 1020x(元/个) 第7题图 第8题图 三、解答题 9.渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的 成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定 为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市 场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措 施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50 千克. (1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的 函数关系·当降价2元时，工厂每天的利润为 多少元？ (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为 多少元？ ·34 (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于 民，则定价应为多少元？ 10.(新疆中考)某公司销售一批产品，经市场调研发 现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y (万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y=5x; 成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图 所示的抛物线的一部分，其中（宁，）是其顶点。 (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大 利润是多少？ (注：利润=销售额一成本) 片（成本/万元） 4 2,4) 3x(销售量/吨) 11.(黑龙江中考)如图，抛物线y=一x2十bx十c与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中B(1,0), C(0,3). (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得 △APC的面积最大.若存在，请直接写出点P 坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说 明理由. B B组（能力提升） 12.(自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积 足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点 O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们 测得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m, OD=3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利 用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜 地最大面积是 m2. ·35 第25章二决函数 13.某文具店最近有A、B两款纪念册比较畅销.该店 购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156 元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需 130元.在销售中发现：A款纪念册售价为32元/ 本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售 出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销 售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之 间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表 所示： 售价 22 25 (元/本) 23 24 每天销 80 78 76 74 售量（本） (1)求A、B两款纪念册每本的进价分别为多 少元？ (2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提 高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每 天销售总数不变，设A款纪念册每本降价 m元； ①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m 的代数式表示)； ②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所 获利润最大，最大利润是多少？九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152 九年级下册·数 (2)自变量x的取值范围是0<x<80; (3)m=2. (3)当x=40时，y有最大值，且最大值为1200cm2. 山.(1)货车的限高为米。 【例2】该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大， 其最大值为312.5万元：该果商定价为3.5万元时才能使每天 (2②)货车的限高为3-2=2.5米 的“销售收人”最大，其最大值为612.5万元 12.B 即学即练 13.(1)抛物线C2的函数表达式为 3.(1)y=-5x+800. (2)当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是 y=-82+号x+4 7920元 (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖 课外精练 直距离为1米 1.B2.C3.D4.C5.4506.47.38.121 9.(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W 86>费 =-50x2+400x+9000, 第2课时 二次函数与一元二次方程（不等式） 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元： 课堂精讲 (2)即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元； 【例1】(1)当x=0时，y=1. (3)定价应为43元. ∴.不论m为何值，函数y=mx2一6.x十1的图象都经过y轴上 10e=(x-合)》'+子. 一个定点(0,1)； (2)①当m=0时，函数y=一6x十1的图象与x轴只有一个 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元 交点； (3)当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元. ②当m≠0时，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一 11.(1)y=-x2-2x十3. 个交点，则方程mx2一6x十1=0有两个相等的实数根，∴.△= (②点P的坐标为(-号，).△APC面积最大值为各 (-6)2-4m=0,解得m=9. 12.46.4 综上，若函数y=mx2一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则 13.(1)A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为：m的值为0或9. 14元： 即学即练 (2)①B款纪念册每天的销售量为(80一2m)本； 1.D2.-13.1 ②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大：【例2】(1)抛物线与y轴的交点为(0,4)，与x轴的交点为 利润是1264元. (号，0八2,0). 25.3实践与探索 2)图象略，当x三子或x=2时y=0 第1课时用二次函数解决实际问题 当x<号或x>2时，y>0;当号<x<2时y<0, 课堂精讲 3 即学即练 【例】(1)缆素L所在抛物线为y=(x一50)2十2 4.A (2)FO的长为40m 5.y=x2-2x3或-1<0或x>2(4,0)与(-1,0) 即学即练 x<-1或x>4 1.C2.8 y=kx+1 30①抛物线的表达式为y=一云(（红一15)十9 【例3】(1)联立 y=x2-4x1 (2)水火箭距离地面的竖直高度为5m 化简可得：x2一(4十k)x一1=0， 课外精练 ∴.△=(4十k)2十4>0， 1.C2A3B4C5136能70.58 故直线1与该抛物线总有两个交点； (2)SAO=/2. 9,1抛物线的解折式为y=一2十名x 即学即练 6.(1)抛物线与直线的交点为(3，一4)与（一2,6）. (②抛物线最高点的坐标为（子，碧）》. (2)当-2<x<3时，<2； (3)这棵树的高度是2， 当x<-2或x>3时，y>. 10.(1)y=-2x+80; 课外精练 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大1.A2.C3.A4.B 利润是450元； 5.x<-1或x>3x<-3或x>1 153 学参考答案(HS)指 6.k≥37.-4<x<28.-3≤a≤19.x<-2或x>4 (3)加的取值范围是号<a≤号 10.(1)x=1,x2=3.(2)1<x<3.(3)x>2.(4)k<2 11.(1)抛物线的解析式为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， 第25章《二次函数》知识结构与中考链接 抛物线的顶点坐标为(1，一4). (2)y=-x2+2x+3.(3)m=4或-5<m≤3. 1.B2.C3.>M>% 12.①④13.A 4直线BC的函数表达式为y=一名x十。 14=日（红+3）+名 ②D(是). (2)①抛物线BD的解析式y=一日（红一3）P+空 5.(1)y=xt-2x(2)(2,-5)6.A7.<8B9.D ②落点D在安全范围内， 10.(1)证明：，△=一4ac=(m-1)2-4×(-1)×m=(m十 (3)这条钢架的长度为2√17米， 1)≥0，∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点； (2)略(3)①0<x<2②k<4③-5<t≤4. 专题二二次函数与几何的综合问题 1a0a=6=81: 1.(1)抛物线的解析式为y=x2一x一2； ②这两个位置之间的距离为8.4km; (2)函数值的取值范围是-号<)<0， ⑧一号 <a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超 (3)最小值为5 过15km 2.(1)抛物线的表达式为：y=x2一2x一3； 12.(1)y=-x2+2x+8; (2Q(号，一)：（3)存在，理由略最小值为号 1 (2)P的坐标为(1,9)； 3.(1)y=x2十2x-3; ③)存在M的坐标为（中，中）或（香，）或 2 (2)P(1,0)或(-4,5)； (3)存在， (,）,2) N(-1,√14)或N(-1,-√14)或N(-1,-1)或 章末训练题 N(-1,-3+√17). 4.(1)y=-2-2x+2; 1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.C10.< (②6咒的最大值为名， 1.362.x≤-1或x≥313.号14①@ 此时点C的坐标为（一多，）： 18.1y=-号-x+是： (3)存在， (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 G点坐标（一2,0）或(4,6)或(2,4). 位长度，解析式变为y=一合，顶点落在原点。 5.(1)y=-x+4;C(0,4). (②)①当m=号时，PD=号是最大值 16.(1m>-; (2)一元二次方程x2十x一m=0的解为x1=1,x2=一2. ②存在，P的坐标为(3,3)或(2,4)： 6.(1)y=-x2+x+6; 17.(1)一次函数关系y与x之间的函数关系式为y=一2x (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似，点D的坐标为(1,6) +60. 或（合空）： (2)当销售单价为18元或20元时，该产品每月获得的利润 为240万元 (3)点D的横坐标为3十25-√2四 (3)当销售单价为20元时，该产品每月获得的利润最大，最 2 大利润为240万元. 7.1y=t-4红+3，(2Q(2,-): 18.(1①36；@点A的坐标是（停，号）】 (3)存在， (2)①8； E(0,8十√43)或(0,8一√43)或(0,5)或(0，/59)或 ②v=4v√10 (0,-√59) 8.(1)抛物线的顶点坐标(1,1)； 191)二次函数的解析式为)=合女-号x一3： (②a的取值范围是受<a<名， ②36. 154