25.2.2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第3课时 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152B组（能力提升） 12.已知二次函数y=5(x一a)2的图象上，当x>2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 13.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原 点，边OA在x轴上，OA=AB=1,把Rt△OAB 沿x轴正方向平移1个单位后得△AA1B· (1)求以A为顶点，且经过B的抛物线对应的函 数关系式； (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交于 点D,求点D、C的坐标 B ·1 第25章二决画赵 第③课时 二次函数 y=a(x一h)2十k的图象和性质 艺课前优学 1.二次函数y=a(x一h)2+k的性质 a的取值 a>0 a<0 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 最值 当x=h时，y最小值 当x=h时，y最大值= 当x<h时，y随x的 当x<h时，y随x的增 增减性 增大而 大而 ； 当x>h时，y随x的 当x>h时，y随x的增 增大而 大而 注意： (1)由于从y=a(x一h)2十k(a≠0)中可以直接看 出抛物线的顶，点坐标，所以通常把y=a(x一h)2十 (a≠0)叫做二次函数的顶，点式； (2)y=a(x一h)2十k的增减性；当a>0时，越靠近 对称轴，函数值y越小；当a<0时，越靠近对称轴， 函数值y越大. 2.抛物线y=a(x一h)2十(a≠0)是由抛物线y= ax2(a≠0)向上（或下）、向左（或右）平移而成的，当 h>0时，抛物线y=a.x2向右平移h个单位，当h <0时，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位；当 k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移 |k个单位而得到y=a(x一h)2十k的图象. 兰课堂精讲 知识点1 二次函数y=a(x一h)2十k(a≠0)的图象 与性质 【例1】 已知函数y=一2(x一3)2十6，开口 ,顶点坐标为 ·图象与x的交点坐 标 ,当x 时，y随x的增大而增大； 当x= 时，函数y有最 值 为 【思路点拨】 根据表达式可确定α、h、k的值，从而完 成解答 5. 九年级下科·数学(HS)n ?⊙规律和方法)： 本题综合考查了y=a(x一h)2十k(a≠0)的 图象与性质，特别注意图象与x轴的交点坐标， ；即要求出y=0时x的值，需解一元二次方程 即学即练 1.二次函数y=(x+2)2一1的图象大致为 2.对于抛物线y=一(x+2)2十3，下列结论中正确的 有 ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=一2； ③图象不经过第一象限； ④当x>2时，y随x的增大而减小 A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 3.如图是二次函数y=a(x+1)2十2图象的一部分， 该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是 4.已知，点A(1,M),B(2,2)在抛物线y=-(x+1)2 十2上，则下列结论正确的是 () A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y>y2>2 D.y2>y1>2 知识点2二次函数y=a(x一h)2十(a≠0)与y= a.x2(a≠0)图象之间的关系 【例2】已知y=a(x一h)2十k是由抛物线y= 一之向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到 的抛物线。 (1)求a、h、k的值： (2)写出函数y=a(x一h)2十k的值y的取值范围. C规律和方法 y=a(x-h)2十k的图象平移的两种方法： 二次函数y=a(x一h)2十k的图象可以看成是 由y=ax2平移得到的(h>0,k>0). 门向右平移h个单位「 y=ax+k y=a(x-h)+k 向上平移k个单位 向上平移k个单位 y=ax 向右平移h个单位=ar-h) 即学即练 5.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向 下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.(哈尔滨中考)二次函数y=2(x+1)2+3的最小 值是 () A.-1 B.1 C.2 D.3 2.已知抛物线y=(x一2)2十1，下列结论错误的是 () A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 3.(徐州中考)在平面直角坐标系中，将函数y= (x一1)2十4的图象先向左平移2个单位长度，再 向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表 达式为 () A.y=(x+1)2+5 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)2+3 D.y=(x-3)2+5 4(泸州中考)抛物线y=号(-1P十e经过(-2， ),(0,),(号，为)三点，则12，为的大小关系 正确的是 () A.y1>y2>y为 B.y2>y3y C.ysyy2 D.y>y3>y2 二、填空题 5.在二次函数y=5(x十3)2一2中，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x 的增大而减小；当x= 时，函数y有 值（选填“最大”或“最小”），这个值是 6.(1)把抛物线y=一2(x十3)2一2绕原点旋转180°后 的图象的表达式为 (2)把抛物线y=2x平行移动，顶点移到 (一3，一2)，得到的抛物线的表达式为 ,如果顶点移到(2,3)，那么得到的抛物线 的表达式为 7.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)， 当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系” 如图分别是当a=一1，a=0,a=1,a=2时二次函 数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的 表达式是 a=1 1 a=0 (2,0) -1 第7题图 第8题图 8.抛物线y=a(x一1)2十c的图象如图所示，该抛物 线与x轴交于A、B两点，B点的坐标为B(W2,0), 则A点的坐标为 三、解答题 9.已知抛物线y=a(x-1)2+2a2-a-3(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点P(m,y),Q(3,y2)在抛物线上，若y1< y2,求m的取值范围. 1 第25章二决函赵 10.如图，已知抛物线y=a(x一h)2+k与x轴的一 个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶 点为C,对称轴为直线x=1. (1)求抛物线的表达式； (2)已知点M为y轴上一个动点，当△ABM为等 腰三角形时，求点M的坐标. 11.如图，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年 初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图 所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以 来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系 (即前t个月的利润和S与t之间的关系). 根据图象提供的信息解答下列问题： (1)图象的顶点坐标为(2，一2)，累积利润S(万 元)与时间t(月)之间的函数关系式为S=a(t 一h)2十k.求其表达式. (2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30 万元？ (3)求第8个月公司所获利润是多少万元？ S(万元) 54月) 7 九年级下释·数学(HS)知 B组（能力提升） 12.如图，已知二次函数y=a(x 一h)2十在坐标平面上的图 (10.8) (0,5) 象经过(0,5)、(10,8)两点，若 Ai B a<0,0<h<10,则h可能为 0h:10 () A.1 B.3 C.5 D.7 13.如图，抛物线y=(x+1)2十k与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C(0,一3). (1)求抛物线的对称轴及的值， (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得 PA十PC的值最小？若存在，求此时点P的 坐标. (3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.当 点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求 出△AMB的最大面积及此时点M的坐标. y 第④课时 二次函数 y=a2十bx+c的图象和性质 笔课前优学 1.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的性质 我们可以用配方法将y=ax2+bx十c化为y= ac+会)+恤。产，因此可以由y=ac-+表 Aa 的性质得到y=ax2十bx十c(a≠0)的性质，如 下表： a的取值 a>0 a<0 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 抛物线有最低点，当x 抛物线有最高点，当x= 最值 时，y有最 时，y有最大 小值，y境小值=4ac一位 Aa 值，y大做=如c-任 Aa x 时，y随x x 时，y随x 的增大而 ； 的增大而 ； 增减性 I> 时，y随 x> 时，y随x x的增大而 的增大而 注意： (1)探究一般式y=ax2十bx十c的性质往往是化成顶 点式来研究，注意配方的熟练运用. (2)一般式的顶点坐标公式要熟记. (3)画二次函数的大致图象时一般要注意求出与坐标 轴的交点、对称轴及顶点坐标. (4)比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把 两个点放在对称轴的同侧，然后利用函数的增减 性即可比较大小.一定要记住：若a>0,越靠近对 称轴y值越小；若a<0,越靠近对称轴y值越大. 2.抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)大致图象画法 (1)将y=ax2十bx十c化为y=a(x-h)2+k的形 式，求出顶点(h,k)和对称轴直线x=h; (2)在坐标系中画出对称轴直线x=h和顶点 (h,k); (3)在直线x=h的一侧描出三个点，并作它们关于 对称轴的对称点； (4)从左到右用平滑曲线连结七个点，并向两端 延伸.