25.2.2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第2课时 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

格南针·课童优化·九年纸下册·数学(HS) 第2课时 二次函数 y=a(x一h)2的图象和性质 艺课前优学 1.二次函数y=a(x一h)2(a≠0)的图象和性质 函数 y=a(x-h)2(a>0) y=a(x-h)2(a<0) h>0 图象 h<0 h1o-x 开口方向 向 向 顶点 ( 对称轴 直线 当x<h时，y随x的增当x<h时，y随x的增 增减性 大而减小；当x>h时，y 大而增大；当x>h时，y 随x的增大而增大 随x的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值 当x=h时，y有最大 值 2.将抛物线y=ax2向左平移h(h>0)个单位得抛物 线y= ,向右平移h(h>0)个单位得 抛物线y= 兰课堂精讲 金年e是金金 知识点] 二次函数y=a(x一h)2(a≠0)的图象和 性质 【例】已知二次函数y=一2(x一2识. (1)画出函数图象的草图，确定抛物线的开口方向、顶 点坐标、对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何 值时，y随x的增大而减小？ 规律和方法0E 画二次函数图象的技巧：（1)确定开口方 向、顶点坐标和对称轴；(2)画出对称轴一侧的 图象；(3)根据对称性画出另一侧的图象. 即学即练 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x一h)(a≠ 0)的图象可能是 A B C D 2.已知点A(-1,y),B(-2,y2),C(3,y)分别是抛 物线y=5(x-2)2的三个点，则y,y2,y的大小关 系为 .(用“<”按从小到大的顺序 排列) 3.二次函数y=一5(x十m)2中，当x<-5时，y随 x的增大而增大，当x>一5时，y随x的增大而减 小，则m= ,此时，二次函数的图象的顶点坐 标为 ,当x= 时，y取最 值，且值为· 知识点2抛物线y=a(x一h)2(a≠0)与y=a.x(a ≠0)的平移关系 【例2】不画图象，回答下列问题： (1)抛物线y=2(x一3)2可通过y=2x2怎样平移 得到？ (2)抛物线y=2x2可通过y=2(x一3)2怎样平移 得到？ (3)将抛物线y=2x2先向左平移1个单位，再向右平 移3个单位后得到的图象的表达式是 (4)将抛物线 先向右平移3个单位，再向 左平移2个单位后得到抛物线y=2(x一5)2. 【思路点拨】根据平移的特征，只需确定两条抛物线 的顶点坐标，由它们的顶点的位置关系便可确定如何 平移 g规律和方法， 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与二 次函数y=ax2(a≠0)的图象形状大小完全相 同，只是位置不同，它们之间可通过左右平移相 互转化. 即学即练 4.已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动， 将y轴向右平移2个单位，则在新的平面直角坐标 系下抛物线的表达式是 () A.y=2x2+2 B.y=2x2-2 C.y=2(x+2)2 D.y=2(x-2)2 知识点3二次函数y=a(x一h)2的图象和性质在 几何中的应用 【例3】如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0),直线y=x十m与该二次函数的图象交于A、 B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在y轴上 (1)求m的值及这个二次函数的表达式； (2)P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重 合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交 于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x, 求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的 取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交 点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形 DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点 的坐标；若不存在，请说明理由。 O C 第25章二决函赵 即学即练 5.如图所示，已知二次函数y=(x十2)2的图象与x 轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求点A、点B的坐标； (2)求S△AOB; (3)求对称轴的方程； (4)在对称轴上是否存在一点P, 使以P、A、O、B为顶点的四边 形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若 不存在，请说明理由. 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x一1)2 的图象向左平移1个单位长度，所得函数的表达式 为 () A.y=(x-2)2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x+1)2+1 D.y=x2 2.顶点是(-2,0)，开口方向、形状与抛物线y=分< 相同的抛物线是 () Ay=2x-2》 By+2》 C.y=- 2x-22 D.y=-2(z+2) .在平面直角坐标系中，函数y三一)(x一1)2与 y=一x十1的图象大致是 】 九年级下静·数学(HS)n 4.抛物线y=a(x一h)2的最高点为(a,0),它与y轴10.已知，如图，直线1经过A(4,0)和B(0,4)两点，抛 的交点为A,且点A到原点的距离等于8，则a的值 物线y=a(x一h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛 为 物线的交点为M. A.±2 B.2 C.-2 D.-1 (1)求直线l的函数表达式； 二、填空题 (2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式. 5.观察函数y=2x2,y=2(x十3)2，y=2(x-3)2的 图象回答下列问题： (1)这三个函数图象的形状 ,位置 (2)这三个函数图象的对称轴分别为 (3)这三个函数图象的顶点坐标为 (4)函数y=2(x十3)2的图象向 平移 个单位得y=2(x一2)2的图象， 6.抛物线y=2(x一2)2与x轴的交点A的坐标为 ,与y轴的交点B的坐标为 S△M0B=】 7.抛物线y=一(x一1)2关于x轴对称的抛物线的 表达式为 ,关于y轴对称的抛物线 的表达式为 8.抛物线y=x2十kx十16的顶点在x轴的负半轴 上，则的值为 11.如图所示，抛物线y=2(x一2)2与平行于x轴的 三、解答题 直线交于点A、B,抛物线顶点为C,连结AC、BC, △ABC为等边三角形，求SAABC. 9.二次函数y=合(x一)的图象如图所示，已知抛 物线的顶点为A,与y轴交于点B,且OA=OB. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表 达式 14· B组（能力提升） 12.已知二次函数y=5(x一a)2的图象上，当x>2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 13.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原 点，边OA在x轴上，OA=AB=1,把Rt△OAB 沿x轴正方向平移1个单位后得△AA1B· (1)求以A为顶点，且经过B的抛物线对应的函 数关系式； (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交于 点D,求点D、C的坐标 B ·1 第25章二决画赵 第③课时 二次函数 y=a(x一h)2十k的图象和性质 艺课前优学 1.二次函数y=a(x一h)2+k的性质 a的取值 a>0 a<0 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 最值 当x=h时，y最小值 当x=h时，y最大值= 当x<h时，y随x的 当x<h时，y随x的增 增减性 增大而 大而 ； 当x>h时，y随x的 当x>h时，y随x的增 增大而 大而 注意： (1)由于从y=a(x一h)2十k(a≠0)中可以直接看 出抛物线的顶，点坐标，所以通常把y=a(x一h)2十 (a≠0)叫做二次函数的顶，点式； (2)y=a(x一h)2十k的增减性；当a>0时，越靠近 对称轴，函数值y越小；当a<0时，越靠近对称轴， 函数值y越大. 2.抛物线y=a(x一h)2十(a≠0)是由抛物线y= ax2(a≠0)向上（或下）、向左（或右）平移而成的，当 h>0时，抛物线y=a.x2向右平移h个单位，当h <0时，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位；当 k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移 |k个单位而得到y=a(x一h)2十k的图象. 兰课堂精讲 知识点1 二次函数y=a(x一h)2十k(a≠0)的图象 与性质 【例1】 已知函数y=一2(x一3)2十6，开口 ,顶点坐标为 ·图象与x的交点坐 标 ,当x 时，y随x的增大而增大； 当x= 时，函数y有最 值 为 【思路点拨】 根据表达式可确定α、h、k的值，从而完 成解答 5.第25章二次函数 25.1认识二次函数 课前优学 1.y=ax2十bx十c(a、b、c是常数，a≠0)二次整式 课堂精讲 【例1】解：由已知得m2十m一4=2，解得m1=一3，m2=2. 又.m一2≠0，∴.m=一3. 即学即练 1.y=-3x2-7x+6-3-76 2.②④ 3.(1)当m≠士1时，此函数是二次函数. (2)当m=一1时，此函数是一次函数. 【例2】y=一6父+x 由题意可知自变量x的取值范围是0<x<16 即学即练 4.B 5.(1)y=500-10(x-50) =1000一10x(50≤x≤100)； (2)S=(x-40)(1000一10x) =-10x2+1400x-40000; (3)销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000 元的同时，投人不超过10000元. 课外精练 1.C2.C3.D4.D5.y=-2x2+5x+3 6号6或-61.2±5或-2 8.y=-2x2-10x+100 9.(1)S=-3x2+24x. 兰<<8 (2)当S=45时，45=-3x2+24x, 解得x=5或x=3(不合题意，舍去)； 答：AB的长是5m 10.(1)y=-4x十360(40≤≤x≤90)： (2)由题意，得p与x的函数关系式为 p=(x一40)（一4x+360)=一4x2十520x一14400， 当p=2400时，一4x2十520x-14400=2400, 解得=60，x2=70. 故销售单价应定为60元或70元. 1.B12.y=号e+x0<x≤6) 13.(1)y=-x2+6x(0<x≤4) 149 九年级下册·数学参考答案(HS)指 九年级下册·数学同步参考答案 (2)由(1)知， 标为(0,0)： (2)杯口直径A'B'的长为26 当x=3时，y=一32十6×3=9. (3)当x0时，y随x的增大而减小； 11.(1)抛物线y=ax2十c的表达式为y=7x2一4. ,∴.经过3s时，△PBQ的面积是9cm2. (4)所求三角形面积=6. 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一4). (3)当一x2十6x=8时，解得x1=2,x2=4,符合题意. 11=-云2,210米.2.A13.-2+25 抛物线开口向上，二次函数y=7x2一4有最小值为一4. .经过2s或4s,△PBQ的面积为8cm2. (2)抛物线与x轴的交点坐标为 25.2二次函数的图象和性质 14.y=82(e>0. (29(-29o 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1. 二次函数y=ax2的图象和性质 (3)SAAIC=SACD十SAD 课前优学 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 =2×5×号+号X5X1 2.(0,0)(0,0)上下y轴y轴x>0 x<0 课前优学 =9. x>0x<000 1.上下(0，k)(0,k)y轴y轴x>0x<0 12.B 课堂精讲 x<0 x>0 kk 13.(1)y=x2-4. 【例1】图略 课堂精讲 【例1】(1)相同点：对称轴为y轴，图象开口向上.x>0,y随 (2)C0=2m-4. T探究]1.向上(0,0)y轴2.向下(0,0)y轴 即学即练 x的增大而增大.x<0,y随x的增大而减小. (3)sin∠PAD=sin45°=2 2 1.D2.③①②④ 不同点：抛物线y=2x2的顶点为(0,0)，抛物线y=2x2一3的 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 【例2】(1)当m=2或m=一3时，原函数为二次函数. 顶点为(0，一3). (2)当m=2,抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0,0)，当x>0(②)将抛物线y=2x向下平移3个单位可得y=2x-3的图1.上下五0工=h002.a(z十)2a(红一)2 课前优学 时，y随x的增大而增大 象；将抛物线y=2x2一3向上平移3个单位长度可得y=2x2 (3)当m=一3时，函数有最大值为0，在此条件下，当x>0时，的图象. 课堂精讲 【例1】(1)图略，抛物线的开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称 y随x的增大而减小 即学即练 轴为直线x=2. 即学即练 1.C2.B 3.C4.%<M<为5.=2原点向上>0<0 (2)当x<2时，y随x的增大而增大； 课堂精讲 当x>2时，y随x的增大而减小 【例3】(1)y=一x十2； 即学即练 (2)SARn=SAaN十SAN 【例2】(y=-合女+4 1.D2.为<h<h3.5(-5,0)-5大0 =号×2X1+2×2×2=3. (2)(一2√2,0)与(22,0). 【例2】(1)将抛物线y=2x2向右平移3个单位； (3)当x<一2W2或x>2wW2时，a.x2十k<0; 即学即练 (2)将抛物线y=2(x一3)2向左平移3个单位； 6.(1)a=-1,b=-1; 当-2W2<x<2/2时，a.x2十k>0. (3)y=2(x-2)2;(4)y=2(x-4)2. (2)y=-x2; (4)yh<y2. 即学即练 即学即练 (3)当x<0时，y随x的增大而增大； 4.C 3.B4.y轴(0,6)<0>00最大65.c (④)所求三角形面积为2X2厄X2=22。 【例3】(1)这个二次函数的表达式为y=(x一1)2. 【例3】校门的高度约为9.1m (2)h=-x2十3x(0<x<3). 课外精练 即学即练 (3)存在，P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 1.B2.A3.A4.A 6.号7.飞机到P处的水平距离OP应为50米. 即学即练 5.(1)下y轴(0,0)或原点0大增大(2)-1>0 课外精练 5.(1)A(-2,0),B(0,4); 6.x轴原点180°7.08.2√3 1.B2.A3.D4.D (2)Sam=7X2X4=4: gy=是c 5.下(0，-4)y减小增大大0大-4 (3)x=-2; (2)(2,3)、(一2,3)，图略； 6.-2 （4)存在，P1(一2,4)，P2(一2，一4)，理由略 (3)-2<x<2. 7.y=-3x2-2y=一3x2十2y=-x+22W28.6课外精练 10.(1)a=1,m=9; 9.(1)k=-3;(2)点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5). 1.D2.B3.D4.C (2)由(1)可知y=x,对称轴为直线x=0(即y轴)，顶点坐10.(1)y=x2+4. 5.(1)相同不同(2)y轴，直线x=一3，直线x=3 150 九年级下册·数 (3)(0,0)、(-3,0)、(3,0)(4)右5 最大 6.(2,0)(0,8)8 ÷SaMm肤=ZAB.OM 7.y=(x-1)2y=-(x+1)28.8 91y=7z-2.2y=号(x+2识. =合×4×4=8， 10.(1)直线1的函数表达式为y=一x十4. 此时M(一1，一4) (2)抛物线的表达式为y=2(x一1). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 课前优学 12.a≤2 13.(1)抛物线对应的函数关系式为y=(x一1)2， .向上向下=一品（一品如。) -品 6 2a (2点D的坐标为0,1D:点C的坐标为（色5,3） 一品减小一品增大一品增大一品小 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k 课堂精讲 的图象和性质 【例1】(1y=-22+2x+1=-2(x-4红+4-4)十 课前优学 1.向上向下x=五(h,)及 1=-号2-4x+0十3=-合(x-2+3, 减小增大增大减小 (2)图象开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x= 课堂精讲 2,函数的最大值为3； 【例1】向下(3,6)(W3+3,0)和(-√3+3,0) (3).当x=0时，y=1, <33大6 ∴.其图象与y轴的交点坐标为(0,1) 即学即练 (4)略 1.D2.A3.(1,0)4.A (5)当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增 【例2】1a=-合A=1,A=2:(2y<2 大而减小. 即学即练 即学即练 1.B2.(-1,-1)x=-1-63.A 5.y=2x2+4x 【例2】(-1，). 课外精练 1D2.D3.B4.D5.>-3<-3-3最小-2即学即练 4.D 61y-2c-3y+2②y=b+3-2y=bc-28+3 5.(1)图略， 7.y-2x-18(2-厄，0) (2)当y<0时，x的取值范围是x<一3或x>1; (3)平移后图象所对应的函数表达式为 9.(1)x=1. (2②)抛物线为y=多r-3江十号或 y=-2x-29+2 课外精练 y=-x2+2x-1. 1.D2.C3.D4.A (3)当a>0时，一1<m<3; 5.(1)x=2(2,9)大9(2)x<2x>2 当a<0时，m<-1或m>3. (3)(一1,0)、(5,0)(0,5)(4)5≤y≤≤9 10.(1)y=-x2+2x+3. (5)一1<x<0或4<x<5 (2)点M的坐标为(0,0)，(0，一3)，(0,3十32)或(0,3一3/2). 6.①②④7.8或148.1≤n<10 1.)S=号4-2)2-2.(2)=10， 9.(1,0)[2,-3] (3)第8个月公司所获利润是16一10.5=5.5（万元）. (2)②原函数的图象向左平移号个单位，再向下平移号个单 12.D 位得到y=x2十3x十4的图象 13.(1)抛物线的对称轴为直线x=一1， k=一4. 10.(1)AD=-3 x+3; (2)存在.点P的坐标为（一1，一2）. (2)S=2ADCP=2z(-是x+3) (3)由题意得答案图，观察图象可得，点 M运动到顶点处时，△AMB的面积 =-号x-2y+2, 151 学参考答案(HS)指 ∴.当x≥2时，S随x的增大而减小， 0<x4, ∴.当S随x的增大而减小时x的取值范围为2≤x<4. 11.(1)y=x2-4x十3； (2)△CPB的面积为3. 12.>-号<m<113.4,D 14.(1)y=-x2-2x+3; (2)M(-1,4). (3)ⅰ)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是 □MNN'M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得 符合条件的抛物线C; ii)当以点M、N、M、N为顶点的平行四边形是□MNMN' 时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8 个单位，可得符合条件的抛物线C. ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C. 专题一二次函数的图象与字母系数的关系 课前优学 上下y轴左右正负唯一两个没有 课堂精讲 【例1】正确的有③④两个，理由略 即学即练 1.D2.D 课外精练 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.B 11.①③④12.①③④ 第5课时 二次函数的最值 课堂精讲 【例1】y=-是(x-1)十3：-是<0，当x=1时， y最大=3. 即学即练 1.72.B 【例2】（1)当x=1时，y有最小值，y最小做=一4. 不存在最大值； (2)当x=3时，y大位=32一2×3一3=0； 当x=2时，y最小值=22一2X2-3=一3. 即学即练 3.C4.4 课外精练 1.C2.D3.A4.C5.36.77.0-4 8.6cm9√3cm2 9.(1)当x=1时，y的最大值是1. (2)当x=一1时，y的最小值是一8. 10.(1)抛物线的对称轴为直线x=2, A(一1,0)，C(0,5)； (2)P点的坐标为(2,3). 11.3 12.a=2或a=-1. 13.(1)49;(2)最大值为17. (3)t的值为1或-5. 3.求二次函数的表达式 第1课时求二次函数的表达式 课前优学 1.a.x2+bx+c(a≠0)2.a(x-h)2+k(a≠0) 3.a(x-x1)(x一x2)(a≠0) 课堂精讲 【例】(1y=号x+子x-2:(2y=(x+1D2-9, 2 (3)y=-2x2+2. 即学即练 1.(2,1) 21c0,5:2y=-是+号x+5. 4 【例2】y=一+号 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是号. 即学即练 3y=-br-+12 课外精练 1.D2.A3.D4.D 5.(1)y=-4(x-2)2+3(2)y=2x2-4x-16 6.y=-号（红+62+47.481 9.(1)y=7x2-10x;(2)y=7x2-2x+1; (3)y=2x2+2x-4. 10.(1)b=-1,c=2.(2)P(一3，-4)或(2，一4). 11.(1)y=x十x+3.(2)m=4,(3)-号<n<1. 12.C 13.(1b=4;(2)①h=3;②h最大值为9 (2)00<m<1,②P7,9) 第2课时用二次函数解决实际问题中的最值问题 课堂精讲 3 【例】(1)y=一2x十6，自变量x的取值范围为0≤x≤4： (2)S=BD·AE=-22+6x=-号(x-2)2+6. :0≤x≤4，当x=2时，S有最大值，最大值为6. 即学即练 1.(1)S=x(24一4x)=-4x2+24x(0x<6); (2)①当x=4时，花圃有最大面积为32；②4≤x≤5. 2.y=(60-）=-是2+60 152