25.2.2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第1课时 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

格南针·课童优化·九年纸下册·数学(HS 2. 二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 第①课时 二次函数 y=ax2十k的图象和性质 岂课前优学 1.函数y=ax2十k(a、k是常数，a≠0)的图象和性质 函数 y=a.x2+k(a>0) y=ax2+k(a<0) k>0 图象 k<0 开口方向 向 向 顶点坐标 对称轴 当 时，y随x 当 时，y随x 的增大而增大；当 的增大而增大；当 增减性 时，y随x的增大 时，y随x的增 而减小 大而减小 最值 当x=0时，y有最小值 当x=0时，y有最大 位 2.二次函数y=a,x2+k的图象可由y=ax2的图象 上、下平移得到.当k>0时，抛物线y=ax2向上 平移k个单位长度得抛物线y=ax2十k;当k<0 时，抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度得抛物 线y=ax2十k. 号课堂精讲 知识点]函数y=a.x2(a≠0)与y=a.x2十k(a≠0)的 关系 【例1】已知二次函数y=2x2与y=2x2一3. (1)试说出这两个函数的图象与性质的相同点和不 同点； (2)怎样平移其中一条抛物线可得到另一条抛物线？ 【思路点拨】两条抛物线只是顶，点不相同，其他都 相同. C规律和方法oa6aae 二次函数y=ax2(a卡0)的图象与y=ax ：十k(a≠0)的图象形状大小完全相同，只是位置 不同，它们可通过平移互相转化，具体关系简称 为“上加下减” 人0e学0c30g6e学0e30e6g0c3030c≥0e30c学6e6ge0g6g9c6<36g0e36 即学即练 1函数y-名与y一号女-2的图象的不同之处是 () A.对称轴 B.开口方向 C.顶点坐标 D.形状 2.把抛物线y-ax2十c向上平移2个单位，得到抛物 线y=x2,则a、c的值分别是 () A.1、2 B.1、-2 C.-1、2 D.-1、-2 知识点2函数y=a.x2十k(a≠0)的图象与性质 【例2】抛物线y=ax2十(a≠0)的顶点为(0,4)，且 与抛物线y=2的形状相同，开口相反。 (1)求该抛物线的表达式； (2)求抛物线y=ax2十k与x轴的交点坐标； (3)当x取何值时，a.x2十k<0,a.x2十k>0? (4)若A(x,y)、B(x2,y)在抛物线y=ax2十k上， 且<x2<0,试比较y与y2的大小 【思路点拨】(1)两条抛物线形状相同，只能确定|a 相等，由顶点为(0,4)可知k=4; (2)抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，所以令y=0, 即ax2十k=0,可求出交点坐标； (3)画出抛物线的草图，由图象可得不等式的解集， x⊙规律和方法 该类题需理解与熟练掌握二次函数y= ax2十k(a≠0)的图象与性质.求不等式的解集 时，应先画出抛物线的草图，然后利用数形结合 的方法解决不等式的解集， 00C0000重000票0票02 即学即练 3.函数y=一x2+1的图象大致为 平十平 4.二次函数y=一2x2+6的图象的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时， y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大 而减小；当x=时，函数y有 值（选填 “最大”或“最小”)，这个值是 5.若二次函数y=ax2十c,当x取x1,x2(01≠x2)时， 函数值相等，则当x取x1十x2时，函数值为· 知识点3二次函数y=a.x2十c(a≠0)的实际应用 【例3】如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑 物，大门的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有 一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为 6m,求校门的高度（精确到0.1m,水泥建筑物厚度忽 略不计). --6m 4m 一8m 【思路点拨】因为点M是这条抛物线的顶点，要求 M到AB的距离，需求出这条抛物线的表达式，所以 需建立平面直角坐标系 第25章二次函煞 x©规律和方法 000 涉及到抛物线型的问题时，可建立适当的 :平面直角坐标系，求出该抛物线形状的物体在 该直角坐标系中的函数关系式，然后利用相关 ；知识解决问题， 即学即练 6.如图，是一个半圆和抛物线的一 部分围成的“芒果”，已知点A、B、 C、D分别是“芒果”与坐标轴的交 A B 点，AB是半圆的直径，抛物线的 解析式为y=号 一号则图中 D CD的长为 7.空军某部队奉命赴灾区空投物资，已知空投物资离 开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱 舱口A.如图所示，如果空投物资离开A处后下落 的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离 BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000 米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P 处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？ V 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.若抛物线y=2xm-m-3十(m一5)的顶点在x轴的 下方，则m的值为 () A.5 B.-1 C.5或-1 D.-5 2.一抛物线的顶点坐标为(0,5)，形状与抛物线y= √2x2相同，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则 该函数关系式为 () A.y=-√2x2+5 B.y=-5x2+√2 C.y=-5x2-√2 D.y=√2x2-5 格南针·课童就化·九年纸下册·数学(HS》 3.若a≠0，函数y=g与y=一ax2十a在同一直角 坐标系中的大致图象可能是 4.抛物线y=x2十3上有两点A(,y),B(x2,y2), 若y1<y2,则下列结论正确的是 A.0≤x1<x2 B.x2<c1≤0 C.x2<x1≤0或0≤x1<x2D.以上都不对 二、填空题 5.二次函数y=一3x2一4的图象开口向 顶点坐标为 ,对称轴为 轴，当 x>0时，y随x的增大而 ;当x<0时，y 随x的增大而 ,因为a=-3<0,所以y 有最 值，当x=时，y的最 值是 6.二次函数y=(m+1)x2十m2一9有最大值，且它 的图象过点(0，一5)，则m= 7.(1)将抛物线y=3x2一2绕顶点旋转180°，所得抛 物线的表达式为 抛物线y 3x2一2关于x轴对称的抛物线的表达式为 (2)将抛物线y=一x2十4向下平移两个单位后所 得抛物线为 ,平移后的抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,则 △ABC的面积是 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物 线y=ax2+3与y轴交于点A, 过点A且与x轴平行的直线交 抛物线y=弓2于点B、C,则 BC的长为 三、解答题 9.已知k是常数，抛物线y=x2十(k2十k一6)x十3k 的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值； ·10 (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k一6)x+3k 上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 10.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面 直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯 口直径AB=4,且点A、B关于y轴对称，杯脚高 CO=4,杯高DO=8,杯底MN在x轴上. (1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必 写出x的取值范围). (2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如 图2，杯体A'CB'所在抛物线形状不变，杯口直 径A'B'∥AB,杯脚高CO不变，杯深CD与杯 高OD'之比为，求AB'的长. D M ON M O N 图1 图2 第25章二决属数 11.若抛物线y=ax2+c是由y=ax2向下平移4个 B组（能力提升） 单位长度而得到的，且该抛物线与直线y= 12.(赤峰中考)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛 -2x+1交于点(-1，m). 物线y=一x2+4上，点D在y轴上.若A,C两 (1)求抛物线y=ax2十c的表达式，并写出它的对 称轴、顶点坐标及最值； 点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确 (2)求(1)中抛物线与x轴的交点坐标； 的是 (3)若(1)中的抛物线与直线y=2x十1交于A、B A.m+n=1 两点（点A在点B的左侧），求顶点C与A、B B.m-n=1 两点构成的三角形的面积， C.mn-1 D.%=1 13.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y一 ax2一4与x轴的负半轴相交于点A,与y轴相交 于点B,AB=2√5，点P在抛物线上，线段AP与 y轴的正半轴交于点C,线段BP与x轴相交于点 D,设点P的横坐标为m. (1)求这条抛物线的表达式； (2)用含m的代数式表示线段CO的长； (3)当tan∠ODC=号时，求∠PAD的正弦值. 。11第25章二次函数 25.1认识二次函数 课前优学 1.y=ax2十bx十c(a、b、c是常数，a≠0)二次整式 课堂精讲 【例1】解：由已知得m2十m一4=2，解得m1=一3，m2=2. 又.m一2≠0，∴.m=一3. 即学即练 1.y=-3x2-7x+6-3-76 2.②④ 3.(1)当m≠士1时，此函数是二次函数. (2)当m=一1时，此函数是一次函数. 【例2】y=一6父+x 由题意可知自变量x的取值范围是0<x<16 即学即练 4.B 5.(1)y=500-10(x-50) =1000一10x(50≤x≤100)； (2)S=(x-40)(1000一10x) =-10x2+1400x-40000; (3)销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000 元的同时，投人不超过10000元. 课外精练 1.C2.C3.D4.D5.y=-2x2+5x+3 6号6或-61.2±5或-2 8.y=-2x2-10x+100 9.(1)S=-3x2+24x. 兰<<8 (2)当S=45时，45=-3x2+24x, 解得x=5或x=3(不合题意，舍去)； 答：AB的长是5m 10.(1)y=-4x十360(40≤≤x≤90)： (2)由题意，得p与x的函数关系式为 p=(x一40)（一4x+360)=一4x2十520x一14400， 当p=2400时，一4x2十520x-14400=2400, 解得=60，x2=70. 故销售单价应定为60元或70元. 1.B12.y=号e+x0<x≤6) 13.(1)y=-x2+6x(0<x≤4) 149 九年级下册·数学参考答案(HS)指 九年级下册·数学同步参考答案 (2)由(1)知， 标为(0,0)： (2)杯口直径A'B'的长为26 当x=3时，y=一32十6×3=9. (3)当x0时，y随x的增大而减小； 11.(1)抛物线y=ax2十c的表达式为y=7x2一4. ,∴.经过3s时，△PBQ的面积是9cm2. (4)所求三角形面积=6. 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一4). (3)当一x2十6x=8时，解得x1=2,x2=4,符合题意. 11=-云2,210米.2.A13.-2+25 抛物线开口向上，二次函数y=7x2一4有最小值为一4. .经过2s或4s,△PBQ的面积为8cm2. (2)抛物线与x轴的交点坐标为 25.2二次函数的图象和性质 14.y=82(e>0. (29(-29o 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1. 二次函数y=ax2的图象和性质 (3)SAAIC=SACD十SAD 课前优学 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 =2×5×号+号X5X1 2.(0,0)(0,0)上下y轴y轴x>0 x<0 课前优学 =9. x>0x<000 1.上下(0，k)(0,k)y轴y轴x>0x<0 12.B 课堂精讲 x<0 x>0 kk 13.(1)y=x2-4. 【例1】图略 课堂精讲 【例1】(1)相同点：对称轴为y轴，图象开口向上.x>0,y随 (2)C0=2m-4. T探究]1.向上(0,0)y轴2.向下(0,0)y轴 即学即练 x的增大而增大.x<0,y随x的增大而减小. (3)sin∠PAD=sin45°=2 2 1.D2.③①②④ 不同点：抛物线y=2x2的顶点为(0,0)，抛物线y=2x2一3的 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 【例2】(1)当m=2或m=一3时，原函数为二次函数. 顶点为(0，一3). (2)当m=2,抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0,0)，当x>0(②)将抛物线y=2x向下平移3个单位可得y=2x-3的图1.上下五0工=h002.a(z十)2a(红一)2 课前优学 时，y随x的增大而增大 象；将抛物线y=2x2一3向上平移3个单位长度可得y=2x2 (3)当m=一3时，函数有最大值为0，在此条件下，当x>0时，的图象. 课堂精讲 【例1】(1)图略，抛物线的开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称 y随x的增大而减小 即学即练 轴为直线x=2. 即学即练 1.C2.B 3.C4.%<M<为5.=2原点向上>0<0 (2)当x<2时，y随x的增大而增大； 课堂精讲 当x>2时，y随x的增大而减小 【例3】(1)y=一x十2； 即学即练 (2)SARn=SAaN十SAN 【例2】(y=-合女+4 1.D2.为<h<h3.5(-5,0)-5大0 =号×2X1+2×2×2=3. (2)(一2√2,0)与(22,0). 【例2】(1)将抛物线y=2x2向右平移3个单位； (3)当x<一2W2或x>2wW2时，a.x2十k<0; 即学即练 (2)将抛物线y=2(x一3)2向左平移3个单位； 6.(1)a=-1,b=-1; 当-2W2<x<2/2时，a.x2十k>0. (3)y=2(x-2)2;(4)y=2(x-4)2. (2)y=-x2; (4)yh<y2. 即学即练 即学即练 (3)当x<0时，y随x的增大而增大； 4.C 3.B4.y轴(0,6)<0>00最大65.c (④)所求三角形面积为2X2厄X2=22。 【例3】(1)这个二次函数的表达式为y=(x一1)2. 【例3】校门的高度约为9.1m (2)h=-x2十3x(0<x<3). 课外精练 即学即练 (3)存在，P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 1.B2.A3.A4.A 6.号7.飞机到P处的水平距离OP应为50米. 即学即练 5.(1)下y轴(0,0)或原点0大增大(2)-1>0 课外精练 5.(1)A(-2,0),B(0,4); 6.x轴原点180°7.08.2√3 1.B2.A3.D4.D (2)Sam=7X2X4=4: gy=是c 5.下(0，-4)y减小增大大0大-4 (3)x=-2; (2)(2,3)、(一2,3)，图略； 6.-2 （4)存在，P1(一2,4)，P2(一2，一4)，理由略 (3)-2<x<2. 7.y=-3x2-2y=一3x2十2y=-x+22W28.6课外精练 10.(1)a=1,m=9; 9.(1)k=-3;(2)点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5). 1.D2.B3.D4.C (2)由(1)可知y=x,对称轴为直线x=0(即y轴)，顶点坐10.(1)y=x2+4. 5.(1)相同不同(2)y轴，直线x=一3，直线x=3 150