25.1 认识二次函数-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

第25章 25.1认 岂课前优学 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别 是二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数实 际上是关于自变量的 2.根据实际问题和几何图形建立二次函数关系的 步骤 (1)认真审题，弄清题目中的自变量和因变量； (2)根据已知条件和变量列出代数式； (3)确定等量关系，列出函数关系式. 注意：在一般情况下，自变量可以取任意实数但在 实际问题中，自变量须符合实际意义， 号课堂精讲 知识点]二次函数的定义 【例1】已知y=(m一2)xm+m-4是关于x的二次函 数，求m的值. 【思路点拨】由二次函数的定义判断，抓住二次项系 数不为零这个关键条件. C规律和方法e6 二次函数必须具备三个条件：①关于自变 量的代数式必须是整式；②化简后自变量的最 高次数为2；③二次项系数不等于零。 即学即练 1.将函数y=(2一3x)(3+x)化成一般式为 ,二次项系数为 ,一次 项系数为 ,常数项为 2.下列函数：①y=3x-1;②y=3x2-5;③y= 3r+22,@y=2x2-x-5,⑤y=是其中是=次 函数的有 .(填序号) 第25章二决画数 二次函数 识二次函数 3.已知函数y=(m2一1)x2+(m-1)x十3. (1)当m为何值时，此函数是二次函数？ (2)当m为何值时，此函数是一次函数？ 知识点2列二次函数关系式 【例2】如图，正方形ABCD的边长为16，P为AB 上任意一点（异于A、B),QP⊥PD,交BC于点Q,设 AP=x,BQ=y,试求y与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围. 【思路点拨】正方形的边长为16，AP=x,则PB= 6x,由题意可证明△APD∽△BQP,从而可得6 部即可得y与x之间的函教关系式 ?①规律和方法 在几何图形中，求两线段之间的函数关系 式，一般是利用面积、相似等关系；求自变量的 取值范围时，常根据特殊点来确定自变量的最 大值或最小值 指雨针·课童优化·九年纸下册·数学(HS) 即学即练 4.如图，在Rt△AOB中，AB⊥ y OB,且AB=OB=3,设直线x =t(0<t<3)截此三角形所得 阴影部分的面积为S,则S与t B x 之间的函数关系式为() 0 A.S=t B.S-ze C.S-8 D.S-ge-1 5.某超市经营一种销售成本为每件40元的商品.据 市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出 500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少 10件.设销售单价为每件x元(x≥50)，一周的销 售量为y件. (1)写出y与x的函数关系式（标明x的取值范 围)； (2)设一周的销售利润为S元，写出S与x的函数关 系式 (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况 下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价 应定为多少？ 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是( A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t-2t+1 D.y=x2+1 2.已知函数y=(m2十m)x2十m.x十4为二次函数，则 m的取值范围是 () A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠一1 D.m=-1 3.二次函数y=ax2十bx-1(a≠0)的图象经过点 (1,1),则a+b十1的值是 () A.-3 B.-1 C.2 D.3 4.寒假期间，九(1)班n名同学为了相互表达春节的 祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，则互发 信息的总次数m与人数n的函数关系式为() A.m=2n(n十1) B.m=2(n-1) C. D.m=n(n-1) 二、填空题 5.把二次函数y=(3一x)(2x+1)化成一般形式 是 6.根据如图所示的程序计算函数值 输入x值 y=x+2 y=-x+2 (x<-1) -X≤ (x>1) (1)当输人的x的值为号时，输出的结果为 (2)当输入的x的值为 时，输出的值为 -4. 7.已知函数y=(m十2)xm-2十2x一1(x≠0)，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，它是一次函数 8.开学期间，学校小卖部销售一批笔袋，平均每天可 售出20个，每个盈利5元，为了扩大销售量，增加 盈利，减少库存，小卖部决定适当降价，如果每个笔 袋降价1元，每天可多卖出2个，现降价x元，若小 卖部平均每天售笔袋的盈利用y(元)表示， 则y与x之间的函数关系式为 三、解答题 9.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可 用长度a为l0m)围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB为xm,面积为Sm. (1)求S与x的函数关系式， (2)如果要围成面积为45m2的花圃，问AB的长是 多少？ D 10.大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投 资销售一种进价为每件40元的小家电·通过试 营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40 元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x (元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象 如图所示 (1)求y与x的函数关系式； (2)设王强每月获得的利润为（元），求p与x之间 的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元 的利润，那么销售单价应定为多少元？ y(件) 160--- 100-- 5065x(元) 第25章二决画数 B组（能力提升） 11.一块三角形废料如图所示，∠C 90,osB=号，AB=2.5米，用这 D 块废料剪出一个长方形CDEF,其 中，点D、E、F分别在AC、AB、BC d 上，若DE为x米，长方形CDEF的面积为S平方 米，则S与x之间的函数关系式为 （) AS=-r+2zBS=-青r+2z C5=-是x+2x DS=-号2+2z 12.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P是线段 BC上一点（点P不与点B重合），M是DB上一点， 且BP=DM,设BP=x,△MBP的面积为y,则 y与x之间的函数关系式为 6 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm, BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以2cm/s的速度移动. (1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，其中一 点到达终点，另一点也随之停止·经过xs后， △PBQ的面积为ycm,请你写出y与x之间 的函数关系式； (2)经过3s时，△PBQ的面积是多少？ (3)根据(1)中的函数关系式说明，经过多长时间， △PBQ的面积为8cm?第25章二次函数 25.1认识二次函数 课前优学 1.y=ax2十bx十c(a、b、c是常数，a≠0)二次整式 课堂精讲 【例1】解：由已知得m2十m一4=2，解得m1=一3，m2=2. 又.m一2≠0，∴.m=一3. 即学即练 1.y=-3x2-7x+6-3-76 2.②④ 3.(1)当m≠士1时，此函数是二次函数. (2)当m=一1时，此函数是一次函数. 【例2】y=一6父+x 由题意可知自变量x的取值范围是0<x<16 即学即练 4.B 5.(1)y=500-10(x-50) =1000一10x(50≤x≤100)； (2)S=(x-40)(1000一10x) =-10x2+1400x-40000; (3)销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000 元的同时，投人不超过10000元. 课外精练 1.C2.C3.D4.D5.y=-2x2+5x+3 6号6或-61.2±5或-2 8.y=-2x2-10x+100 9.(1)S=-3x2+24x. 兰<<8 (2)当S=45时，45=-3x2+24x, 解得x=5或x=3(不合题意，舍去)； 答：AB的长是5m 10.(1)y=-4x十360(40≤≤x≤90)： (2)由题意，得p与x的函数关系式为 p=(x一40)（一4x+360)=一4x2十520x一14400， 当p=2400时，一4x2十520x-14400=2400, 解得=60，x2=70. 故销售单价应定为60元或70元. 1.B12.y=号e+x0<x≤6) 13.(1)y=-x2+6x(0<x≤4) 149 九年级下册·数学参考答案(HS)指 九年级下册·数学同步参考答案 (2)由(1)知， 标为(0,0)： (2)杯口直径A'B'的长为26 当x=3时，y=一32十6×3=9. (3)当x0时，y随x的增大而减小； 11.(1)抛物线y=ax2十c的表达式为y=7x2一4. ,∴.经过3s时，△PBQ的面积是9cm2. (4)所求三角形面积=6. 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一4). (3)当一x2十6x=8时，解得x1=2,x2=4,符合题意. 11=-云2,210米.2.A13.-2+25 抛物线开口向上，二次函数y=7x2一4有最小值为一4. .经过2s或4s,△PBQ的面积为8cm2. (2)抛物线与x轴的交点坐标为 25.2二次函数的图象和性质 14.y=82(e>0. (29(-29o 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1. 二次函数y=ax2的图象和性质 (3)SAAIC=SACD十SAD 课前优学 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 =2×5×号+号X5X1 2.(0,0)(0,0)上下y轴y轴x>0 x<0 课前优学 =9. x>0x<000 1.上下(0，k)(0,k)y轴y轴x>0x<0 12.B 课堂精讲 x<0 x>0 kk 13.(1)y=x2-4. 【例1】图略 课堂精讲 【例1】(1)相同点：对称轴为y轴，图象开口向上.x>0,y随 (2)C0=2m-4. T探究]1.向上(0,0)y轴2.向下(0,0)y轴 即学即练 x的增大而增大.x<0,y随x的增大而减小. (3)sin∠PAD=sin45°=2 2 1.D2.③①②④ 不同点：抛物线y=2x2的顶点为(0,0)，抛物线y=2x2一3的 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 【例2】(1)当m=2或m=一3时，原函数为二次函数. 顶点为(0，一3). (2)当m=2,抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0,0)，当x>0(②)将抛物线y=2x向下平移3个单位可得y=2x-3的图1.上下五0工=h002.a(z十)2a(红一)2 课前优学 时，y随x的增大而增大 象；将抛物线y=2x2一3向上平移3个单位长度可得y=2x2 (3)当m=一3时，函数有最大值为0，在此条件下，当x>0时，的图象. 课堂精讲 【例1】(1)图略，抛物线的开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称 y随x的增大而减小 即学即练 轴为直线x=2. 即学即练 1.C2.B 3.C4.%<M<为5.=2原点向上>0<0 (2)当x<2时，y随x的增大而增大； 课堂精讲 当x>2时，y随x的增大而减小 【例3】(1)y=一x十2； 即学即练 (2)SARn=SAaN十SAN 【例2】(y=-合女+4 1.D2.为<h<h3.5(-5,0)-5大0 =号×2X1+2×2×2=3. (2)(一2√2,0)与(22,0). 【例2】(1)将抛物线y=2x2向右平移3个单位； (3)当x<一2W2或x>2wW2时，a.x2十k<0; 即学即练 (2)将抛物线y=2(x一3)2向左平移3个单位； 6.(1)a=-1,b=-1; 当-2W2<x<2/2时，a.x2十k>0. (3)y=2(x-2)2;(4)y=2(x-4)2. (2)y=-x2; (4)yh<y2. 即学即练 即学即练 (3)当x<0时，y随x的增大而增大； 4.C 3.B4.y轴(0,6)<0>00最大65.c (④)所求三角形面积为2X2厄X2=22。 【例3】(1)这个二次函数的表达式为y=(x一1)2. 【例3】校门的高度约为9.1m (2)h=-x2十3x(0<x<3). 课外精练 即学即练 (3)存在，P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 1.B2.A3.A4.A 6.号7.飞机到P处的水平距离OP应为50米. 即学即练 5.(1)下y轴(0,0)或原点0大增大(2)-1>0 课外精练 5.(1)A(-2,0),B(0,4); 6.x轴原点180°7.08.2√3 1.B2.A3.D4.D (2)Sam=7X2X4=4: gy=是c 5.下(0，-4)y减小增大大0大-4 (3)x=-2; (2)(2,3)、(一2,3)，图略； 6.-2 （4)存在，P1(一2,4)，P2(一2，一4)，理由略 (3)-2<x<2. 7.y=-3x2-2y=一3x2十2y=-x+22W28.6课外精练 10.(1)a=1,m=9; 9.(1)k=-3;(2)点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5). 1.D2.B3.D4.C (2)由(1)可知y=x,对称轴为直线x=0(即y轴)，顶点坐10.(1)y=x2+4. 5.(1)相同不同(2)y轴，直线x=一3，直线x=3 150