25.2.1 二次函数 y=ax2 的图象和性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级下册数学（华东师大·新教材）

第25章二次函数 25.1认识二次函数 课前优学 1.y=ax2十bx十c(a、b、c是常数，a≠0)二次整式 课堂精讲 【例1】解：由已知得m2十m一4=2，解得m1=一3，m2=2. 又.m一2≠0，∴.m=一3. 即学即练 1.y=-3x2-7x+6-3-76 2.②④ 3.(1)当m≠士1时，此函数是二次函数. (2)当m=一1时，此函数是一次函数. 【例2】y=一6父+x 由题意可知自变量x的取值范围是0<x<16 即学即练 4.B 5.(1)y=500-10(x-50) =1000一10x(50≤x≤100)； (2)S=(x-40)(1000一10x) =-10x2+1400x-40000; (3)销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000 元的同时，投人不超过10000元. 课外精练 1.C2.C3.D4.D5.y=-2x2+5x+3 6号6或-61.2±5或-2 8.y=-2x2-10x+100 9.(1)S=-3x2+24x. 兰<<8 (2)当S=45时，45=-3x2+24x, 解得x=5或x=3(不合题意，舍去)； 答：AB的长是5m 10.(1)y=-4x十360(40≤≤x≤90)： (2)由题意，得p与x的函数关系式为 p=(x一40)（一4x+360)=一4x2十520x一14400， 当p=2400时，一4x2十520x-14400=2400, 解得=60，x2=70. 故销售单价应定为60元或70元. 1.B12.y=号e+x0<x≤6) 13.(1)y=-x2+6x(0<x≤4) 149 九年级下册·数学参考答案(HS)指 九年级下册·数学同步参考答案 (2)由(1)知， 标为(0,0)： (2)杯口直径A'B'的长为26 当x=3时，y=一32十6×3=9. (3)当x0时，y随x的增大而减小； 11.(1)抛物线y=ax2十c的表达式为y=7x2一4. ,∴.经过3s时，△PBQ的面积是9cm2. (4)所求三角形面积=6. 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一4). (3)当一x2十6x=8时，解得x1=2,x2=4,符合题意. 11=-云2,210米.2.A13.-2+25 抛物线开口向上，二次函数y=7x2一4有最小值为一4. .经过2s或4s,△PBQ的面积为8cm2. (2)抛物线与x轴的交点坐标为 25.2二次函数的图象和性质 14.y=82(e>0. (29(-29o 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1. 二次函数y=ax2的图象和性质 (3)SAAIC=SACD十SAD 课前优学 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 =2×5×号+号X5X1 2.(0,0)(0,0)上下y轴y轴x>0 x<0 课前优学 =9. x>0x<000 1.上下(0，k)(0,k)y轴y轴x>0x<0 12.B 课堂精讲 x<0 x>0 kk 13.(1)y=x2-4. 【例1】图略 课堂精讲 【例1】(1)相同点：对称轴为y轴，图象开口向上.x>0,y随 (2)C0=2m-4. T探究]1.向上(0,0)y轴2.向下(0,0)y轴 即学即练 x的增大而增大.x<0,y随x的增大而减小. (3)sin∠PAD=sin45°=2 2 1.D2.③①②④ 不同点：抛物线y=2x2的顶点为(0,0)，抛物线y=2x2一3的 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 【例2】(1)当m=2或m=一3时，原函数为二次函数. 顶点为(0，一3). (2)当m=2,抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0,0)，当x>0(②)将抛物线y=2x向下平移3个单位可得y=2x-3的图1.上下五0工=h002.a(z十)2a(红一)2 课前优学 时，y随x的增大而增大 象；将抛物线y=2x2一3向上平移3个单位长度可得y=2x2 (3)当m=一3时，函数有最大值为0，在此条件下，当x>0时，的图象. 课堂精讲 【例1】(1)图略，抛物线的开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称 y随x的增大而减小 即学即练 轴为直线x=2. 即学即练 1.C2.B 3.C4.%<M<为5.=2原点向上>0<0 (2)当x<2时，y随x的增大而增大； 课堂精讲 当x>2时，y随x的增大而减小 【例3】(1)y=一x十2； 即学即练 (2)SARn=SAaN十SAN 【例2】(y=-合女+4 1.D2.为<h<h3.5(-5,0)-5大0 =号×2X1+2×2×2=3. (2)(一2√2,0)与(22,0). 【例2】(1)将抛物线y=2x2向右平移3个单位； (3)当x<一2W2或x>2wW2时，a.x2十k<0; 即学即练 (2)将抛物线y=2(x一3)2向左平移3个单位； 6.(1)a=-1,b=-1; 当-2W2<x<2/2时，a.x2十k>0. (3)y=2(x-2)2;(4)y=2(x-4)2. (2)y=-x2; (4)yh<y2. 即学即练 即学即练 (3)当x<0时，y随x的增大而增大； 4.C 3.B4.y轴(0,6)<0>00最大65.c (④)所求三角形面积为2X2厄X2=22。 【例3】(1)这个二次函数的表达式为y=(x一1)2. 【例3】校门的高度约为9.1m (2)h=-x2十3x(0<x<3). 课外精练 即学即练 (3)存在，P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 1.B2.A3.A4.A 6.号7.飞机到P处的水平距离OP应为50米. 即学即练 5.(1)下y轴(0,0)或原点0大增大(2)-1>0 课外精练 5.(1)A(-2,0),B(0,4); 6.x轴原点180°7.08.2√3 1.B2.A3.D4.D (2)Sam=7X2X4=4: gy=是c 5.下(0，-4)y减小增大大0大-4 (3)x=-2; (2)(2,3)、(一2,3)，图略； 6.-2 （4)存在，P1(一2,4)，P2(一2，一4)，理由略 (3)-2<x<2. 7.y=-3x2-2y=一3x2十2y=-x+22W28.6课外精练 10.(1)a=1,m=9; 9.(1)k=-3;(2)点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5). 1.D2.B3.D4.C (2)由(1)可知y=x,对称轴为直线x=0(即y轴)，顶点坐10.(1)y=x2+4. 5.(1)相同不同(2)y轴，直线x=一3，直线x=3 150指南针·课童犹化·九年下册·数学(HS) 25.2二次函数的 1.二次函数y=ax2的图象和性质 课前优学 1.二次函数y=a.x2(a≠0)的图象的画法 (1)列表：一般取5~7个点，作为顶点的原点(0,0) 是必取的，然后在y轴的两侧各取2至3个点， 注意对称取点； (2)描点：一般先描出对称轴右侧的几个点，再根据 对称性找出左侧的几个点； (3)连线：将几个点用平滑曲线顺次连接起来， 注意：抛物线的两端是无限伸展的，画的时候要 “出头” 2.二次函数y=a.x2(a≠0)的图象和性质 函数 y=a.x2(a>0) y=a.x2(a<0) 大致图象 顶点 开口方向 向 向 对称轴 当 时，y随 》 时，y随 x的增大而增大；当 x的增大而减小；当 增减性 时，y随x 时，y随x 的增大而减小 的增大而增大 x=0时，y有最小 x=0时，y有最大 最值 值 值 3.二次函数y=ax(a≠0)中，|a决定抛物线的形状 和开口大小，a相同，抛物线的形状和开口大小相 同，a越大，抛物线的开口越小，图象越靠近y轴. 图象和性质 兴课堂精讲 知识点1二次函数y=a.x(a≠0)的图象 【例1】在同一坐标系中，画出下列函数图象： (1y=2;(2y=2,(3y=; (4)y=-2x2. [探究] 1.y=22和y=2x的图象开口 ,顶点为 ,对称轴为 2.y= 号和)=一2x的图象开口 ,顶点为 ,对称轴为 ○规律和方法ee 画y=ax2的图象的注意事项：(1)列表找 点是要以0为中心，左右对称取，点；(2)图象左 右对称；(3)连线要用光滑曲线连结， 0E0K2020K203030x20《30e30e0g20e20g0e0e020x0x300x0x22 即学即练 1.在下列各图中，函数y=一ax2与y=ax十b的图 象可能是 2.下列四个二次函数：①y=x2;②y=-2x2;③y 2,④y=3.其中地物线的开口从大到小的排 列顺序是 .(填序号) 知识点2二次函数y=a.x2(a≠0)的性质 【例2】已知函数y=(m十2)xm+m-4是关于x的二 次函数，求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？在 此条件下，当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【思路点拨】抛物线有最低，点的条件是它的开口向 上，即m十2>0；函数有最大值的条件是抛物线开口 向下，即m十2<0. C规律和方法aee 若抛物线y=ax2(a≠0)开口向上，a>0, 图象有最低点；若开口向下，a<0,则图象有最 高点。 即学即练 3.下列说法中错误的是 () A.在函数y=一x2中，当x=0时，y有最大值 B.在函数y=2x2中，当x>0时，y随x的增大而 增大 C.在抛物线y=2,y=-,y=22中，抛物 线y=2x2开口最小，抛物线y=一x2的开口 最大 D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点 都是原，点 第25章二决画数 4若点(-3)(-7,2.（一司为）都在二次函数 y=ax(a<0)的图象上，则y、y2、y的大小关系 是 5若函数y=(Q-)-·的图象是一条抛物线，当 a 时，抛物线有最低点，最低点为 抛物线开口 ,此时，当x 时，y随x 的增大而增大，当x 时，y随x的增大而 减小. 知识点3二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y= kx十b(k≠0) 【例3】如图，已知直线y=kx十b与抛物线y=x2 交于P、Q两点，且与x轴交于点M(2,0).已知点P 的横坐标为一2. (1)求直线y=kx十b的关系式； (2)求点P、Q与原点围成的三角形的面积. 【思路点拨】(1)由点P的横坐标为一2及，点P在抛 物线y=x2上可求，点P的坐标，又因为，点P、M在直 线y=kx十b上，所以用待定系数法可求y=x十b 的关系式；(2)先求，点N、Q的坐标，然后用点P、N、Q 的坐标求△PON与△QON的面积即可. M 规律和方法上DET0E30E30E30E20E30E30E30E30E30 (1)待定系数法是求函数关系式的常用方 法；(2)求三边都不在坐标轴上三角形的面积， 应将其分割，分割成有一条边在坐标轴(y轴)上 的两个三角形，先求这两个三角形的面积，再求 其和. 格南针·课童优化·九年纸下册·数学(HS) 即学即练 6.如图，函数y=ax2(a≠0)与y=2x-一3交于点(1， b),求： (1)a和b的值； (2)函数y=ax2的关系式； (3)x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增 大而增大？ (4)求抛物线与直线y=一2的两个交点及顶点所 围成的三角形的面积 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1抛物线y=2女，y=,y=一之的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点； ③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称. 其中正确的个数有 ( ) A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.（广东中考)若点(0,1)，(1,2)，(2，y)都在二次函 数y=x的图象上，则 () A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y>ys>y2 D.ys>y>y2 3.如图所示，四个二次函数的图象中，分别对应的是： ①y=a.x2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a、 b、c、d的大小关系为 () y ①1 ② A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 4.若a<-1,点(a-1,y)、(a,y2)、(a十1,3)都在 函数y=3x的图象上，则y1、y2、y的大小关系为 () A.y>y>y3 B.ya>y>y2 C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 二、填空题 5(1抛物线y=一号2的开口向 ,对称轴是 ,顶点是 ,当x= 时，函数有最 值0，当x<0时， y随x的增大而 (2)函数y=kx-,当k= 时，它的图象是 开口向下的抛物线；此时，当x 时， y随x的增大而减小. 6.函数y=2x2与y=一2x2的图象关于 对 称，也可以认为抛物线y=一2x2由抛物线y=2x2绕 旋转 得到. 7.已知点(x1,一7)和点(x2,-7)均在抛物线y=a.x2 上，则x=x1十x2时，y= 8.二次函数y=√3x的图象如图所 示，点O为坐标原点，点A在y轴 的正半轴上，点B、C在二次函数 y=√3x的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形 OBAC的面积为 三、解答题 9.如图，已知抛物线y=a心经过点(2，多)片 (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标，并在图 象上描出符合条件的点； (3)通过观察图象回答，当x在什么范围内时， y<3? 2,多) 10.已知直线y=一2x十3与抛物线y=a.x2相交于 A、B两点，且A点坐标为（一3，m). (1)求a、m的值； (2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； (3)x取何值时，二次函数y=a.x2中的y随x的 增大而减小； (4)求A、B两点与二次函数y=ax2的顶点构成 的三角形的面积. 11.如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常 水位AB时，宽20米，此时水面距拱顶4米. (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的表达式； (2)若水位上升3米，就达到警戒线CD,则拱桥内 水面的宽CD是多少米？ 第25章二次画数 B组（能力提升） 12.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)、 (3,1)、(3,3)、(1,3).若抛物线y=ax2的图象与 正方形有公共点，则实数a的取值范围是() A日<a<3 B合a<1 c合u<3 1 D.3≤a≤1 O13 第12题图 第13题图 13.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线 y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一 点B,点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴 的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE 为正方形时，线段CD的长为 14.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C 为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二 次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB= 3AC,P为CB的中点，设点P的坐标为(x,y) (x>0),求y关于x的函数表达式. 70