精品解析：河北省文安县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高一数学 第一次月考试题 2026年10月21日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列集合的表示法正确的是（ ） A. 自然数集可表示为 B. 由、、、、构成的集合是 C. 满足的构成的集合是 D. 二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【解析】 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 2. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 3. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 4. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，，， 所以，A错误； 或，B正确； ，C错误； ，D错误. 5. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 6. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，对各选项的逻辑关系逐一判断即可. 【详解】 对于A，若，则恒成立，此时与不一定相等，故不能推出， 因此不是的充分条件，故A错误； 对于B，菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如对角线垂直但不平分的四边形）， 故“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，不是充要条件，故B错误； 对于C，由解得或，故不能推出，因此不是的必要条件，故C错误； 对于D，若，则成立；若，例如，满足，但不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 8. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，若，则实数的值为1 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则方程无实数根 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，，，若，则，解得，A正确； B选项，集合中只有一个元素， 若，则，满足要求， 若，则，解得，故或0，B错误； C选项，，则， 又因为，所以，，集合的个数为4，C正确； D选项，若，则，方程有两个不相等的实根，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a，b，c满足，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则函数的最小值为5 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 【答案】2 【解析】 【详解】当时，各个式子都为0，所组成的集合里面元素只有1个； 当时，由于， 因此，时，所组成的集合里面元素只有个； 时，所组成的集合里面元素有2个. 综上所述，所组成的集合中的元素最多有2个. 13. 设，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】用和表示 ，再根据不等式的性质求得. 【详解】由条件：⇒， ， 又， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3）或 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合，由集合并集的定义求得； （2）由集合交集的定义求得，再由集合补集的定义求得； （3）由集合的补集求得，由集合的关系建立不等式，然后求得的取值范围. 【小问1详解】 . 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以或. 【小问3详解】 因为，所以或. 因为，且， 所以或， 解得：或. 即的取值范围或 16. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，故或， ， 故或； 【小问2详解】 ， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； 【小问3详解】 命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 17. （1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1） 因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2） 当时，； 当时，； 当时，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）略 （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . 【小问2详解】 ，，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】（1）22 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. 【小问2详解】 由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学 第一次月考试题 2026年10月21日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列集合的表示法正确的是（ ） A. 自然数集可表示为 B. 由、、、、构成的集合是 C. 满足的构成的集合是 D. 二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 2. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，若，则实数的值为1 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则方程无实数根 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a，b，c满足，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则函数的最小值为5 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 13. 设，且，则的取值范围是________． 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 16. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 17. （1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $