专题10 圆的有关性质（期中重难点复习）2026-2027学年人教版九年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题10 圆的有关性质（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用垂径定理求值】 1 【题型2 利用垂径定理求解其他问题】 7 【题型3 垂径定理的推论】 12 【题型4 垂径定理的实际应用】 17 【题型5 圆心角概念辨析及简单运算】 22 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 24 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 30 【题型8 圆周角定理】 35 【题型9 同弧或等弧所对的圆周角相等】 48 【题型10 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 56 【题型11 90度的圆周角所对的弦是直径】 64 【题型12 已知圆内接四边形求角度】 71 【题型1 】 1．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 2．如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（     ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】B 【分析】过点O作于点H，连接，则，证明是等腰直角三角形，得到，可得到，结合勾股定理可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点H，连接，则， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的值随着的增大而减小． 3．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将直线方程变形为，可知无论取何值，直线恒过定点；由点到圆心的距离（半径），知点在内；过圆内一定点的弦中，与该定点和圆心连线垂直的弦最短，此时结合垂径定理和勾股定理即可求出最短弦长． 【详解】解：， 当时，， 无论取何值，直线恒过定点． 圆心的坐标为， ． 的半径为5，且， 点在内． 连接，过点作于点，由垂径定理，得． 点在直线上，而是点到直线的垂线段， （垂线段最短），当时，最大，此时半弦长最小，弦最短． 在直角三角形中，， 当时，， ， ， 即的最小值为6． 【点睛】①含参直线过定点：把方程整理成的形式，令，含的项消失，即得定点；②过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦最短，此时弦心距最大（等于定点到圆心的距离）；③最短弦长用勾股定理求：，再由垂径定理得弦长． 4．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 【答案】4 【分析】先证明，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∵， ． 6．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型2 】 7．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．如图，以为直径的与相切于点，连接并延长交于点，点，连接，过点作交于点，过点作于，点在上，连接交于点，若，，，则________，________． 【答案】 9 2 【分析】根据切线的性质及垂径定理得，于点，，设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长；证明，得到，分别解，，即可求出的长． 【详解】解：∵与相切于点，， 于点， ∴． 在中，， ． 设，则， 在中，， 即，解得． ． 连接， ∵， ，． ． ∵， ． ， ． ， ． ． ， ． ∵，，， ， ． 在中，，， ∴． 设，则， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ，． 在中，，， ∴． ． ． ． 9．如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求劣弧的长度（结果保留）． 【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切， ， 即， ， ，是直径， ， ， ， ， 即平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，根据直角三角形的性质得到，求得，等量代换得到，根据角平分线的定义得到平分； （2）连接，证明为等边三角形，即可求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 劣弧的长度为． 【题型3 垂径定理的推论】 10．下列关于圆的说法中，正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．经过三个点一定可以作一个圆 【答案】B 【分析】根据圆的基本性质与确定圆的条件判断． 【详解】A、当这条弦本身是直径时，另一条直径与它互相平分但不一定垂直，说法错误； B、圆沿任意一条直径所在的直线折叠都能重合，绕圆心旋转也能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； C、对称轴是直线，直径是线段，应该说“直径所在的直线”，说法错误； D、当三个点在同一条直线上时不能作圆，说法错误． 11．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 12．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 13．如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：由题意，作图如下： 线段即为所求． 【分析】作线段的垂直平分线即可. 【详解】略 14．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 【题型4 】 15．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 16．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【答案】C 【分析】根据图象与轴交于点，可得当时，，进一步可得A不符合题意；设拱桥的半径是r，可得，进一步可得B不符合题意；当水位上升米时，如图，可得，，进一步可得C符合题意；当水面上涨的高度为（单位：）时，可得，可得D不符合题意. 【详解】解：∵图象与轴交于点， ∴当时，， ∴（米），故A不符合题意； 设拱桥的半径是r， 则由垂径定理知，于F， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为5米；故B不符合题意； 当水位上升米时，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，， ∴点在该函数图象上，故C符合题意； 当水面上涨的高度为（单位：）时， 同理可得：， ∴， ∴该函数图象是某一个二次函数图象的一部分，故D不符合题意. 17．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即， ， 解得 ， ， ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 18．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【答案】26寸 【分析】连接，由垂径定理可得寸，设寸，则寸，寸，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：连接． ，为的直径，寸， 寸． 设寸，则寸，寸． 由勾股定理得，即， 解得， 寸， 故直径的长为26寸． 【题型5 】 20．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 21．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【答案】/90度 【分析】先根据弧相等得出，再根据是的直径得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即的度数为． 22．如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 【题型6 】 23．下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质和三角形外心的定义逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A、B、D均为圆的基本性质，是真命题． C. 相等的圆心角所对的弧相等需以同圆或等圆为前提，该命题缺少条件，是假命题． 24．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 25．如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用半径相等及已知条件证得，结合等腰三角形性质与三角形外角性质，通过三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 26．如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 【答案】/140度 【分析】根据在同圆中相等的弦所对的弧相等，可得 ，再结合圆周总度数为 进行计算即可． 【详解】解： 在 中， ， ， 圆周的度数为 ，且 的度数为 ， 的度数为 ． 27．如图，点A，B，C，E在上，且．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】取中点D，连接，连接交于点H，并延长交于点F，求出，，设半径为，则，列方程求出，进而求出，，即可求出面积． 【详解】解：取中点D，连接，连接交于点H，并延长交于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 设半径为，则， 在中，， ， 解得：， ，， ∴四边形的面积． 28．如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 29．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 ② 【分析】第问，由弧的度数得到圆心角，判定等腰直角三角形求出弦长；看到两边中点，直接利用三角形中位线定理快速计算． 第通过弧相等得到圆心角为，结合半径相等证明等边三角形，根据四边相等判定菱形． 第采用构造中位线的思路，取中点，构造两条中位线、，借助菱形垂直关系推导出，在直角三角形中用勾股定理求． 【详解】（1）解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． （2）①略 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点，      所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 【题型7 】 30．如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 31．如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 32．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 33．如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 【答案】(1)证明：如下图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E， 平分，，， ， ∴， ； (2) 【分析】（1）过点O作，，由角平分线的性质可得，根据在同圆中，两条弦的弦心距相等，则它们所对应的劣弧相等，即可得答案； （2）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）由（1）得，， ， ， ． 34．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点． (2) 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得出，根据垂径定理得出，进而得出，即可得出点是的中点； （2）根据垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 35．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． (2)． 【分析】（1）证明，则可证明为等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长，交于点，可证明，则平分，由三线合一定理得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 【题型8 】 36．点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心；同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 【详解】解：点O是的外心， 点O是外接圆的圆心. 与对同一条弧，且是圆心角、是圆周角. ． 37．如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点、、、都是上的点， ， ， ， ， ， 点、、、都是上的点， ， ． 38．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 39．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 /164度 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 40．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 【答案】 【分析】连接，根据八个方位将圆形八等分，可得、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为，从而确定为南北方向，将所求角度转化为圆周角求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得被点八等分， ∴、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为， ∴，， ∴， 由图可得在南北方向， ∴也在南北方向， ∵ ∴点位于点的北偏东的角度是． 41．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点E为上一点，且，垂足为F，点G是线段上一点，且．过点A作的延长线于点M，过点G作的延长线于点N，若，，则为________，的半径为________． 【答案】 【分析】设，因为四边形为的内接四边形，所以可求出，可得，可求出，．，由垂径定理得，得，证明，得，，求出，得，得方程，解得．所以可求出，得，即得的半径为． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，则． ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或． ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，则， ∴， 由得， ∴， ∴的半径为． 42．如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90度，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出弧是半圆，弧的度数是，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 在中，． （2）解：∵是的直径， ∴弧是半圆， ∵点D是弧的中点， ∴弧的度数是． ∵是弧所对的圆周角， ∴． 43．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 (2)如图2，若，时，求证：． 【答案】(1)①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； ② (2)证明：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 取优弧的中点，连接，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】（1）①由和圆周角定理得到，再结合，，证明； ②由得到，，，再利用勾股定理求出，，最后根据，得到，代入计算即可； （2）由，设，则，，取优弧的中点，连接，，则，，即可证明，得到，再求出，得到，，推出，得到． 【详解】（1）解：①略 ②∵为直径， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 44．【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； (2) (3) (4) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【详解】（1）略； （2）解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． （3）解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； （4）解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 【题型9 】 45．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 46．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 47．如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得；由作图过程可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵内接于，是的直径， ∴， 由题意可知：平分，即， ∵， ∴． 48．如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴； ∵， ∴， ∴． 49．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华画出了符合要求的一条圆弧（如图． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为___________； ②△面积的最大值为___________． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为，请你利用图1证明； (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．用尺规作出点的运动路径，并求线段长的最小值． (4)如图3，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标___________． 【答案】(1)①；② (2)证明：设交圆于点，连接， 点都在圆上，同弧所对的圆周角相等， ， 是的外角，根据三角形外角性质：， ， 又， ； (3)如图所示，； (4)点的坐标为 【分析】（1）利用圆周角定理求出弦对应的圆心角，结合勾股定理求圆半径；根据底边固定，圆上点到底边最大高为圆心到弦距离加半径，求三角形面积最大值； （2）构造同弧所对圆周角，利用三角形外角性质比较角的大小； （3）由定角定弦确定点的运动轨迹是圆弧，尺规作出轨迹，利用勾股定理求出圆心与定点的距离，减去半径得到线段的最小值； （4）利用同弧所对圆周角大于圆外角的结论，确定过的圆与轴相切时最大，结合垂直平分线、勾股定理列方程求出切点的坐标． 【详解】（1）解：①设圆弧所在圆的圆心为，连接、， ， ， ，， 在中，由勾股定理：，即， 解得； ②在中，底边为定值，当边上的高最大时，三角形面积最大， 过点作于， 由垂径定理，为中点，， 在中：， 当点为优弧的中点时，点到的距离最大，最大值为， 面积的最大值为：； （2）证明过程见答案处； （3）解：①尺规作图步骤 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线左侧交于点； 以为圆心，长为半径画弧（不含两点），该圆弧即为点的运动路径； ②求长的最小值 连接、, 由圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的倍， 得， 又， 是等边三角形， 即，圆的半径为， 过点作于点， 四边形是矩形， ，即， 是等边三角形， ， ， 在中，，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理：， ， 根据点与圆的位置关系，连接交圆于点， 此时取得最小值：； （4）解：当的外接圆与轴相切于点时，最大（圆外角小于同弧圆周角，切点处角最大）； 设该圆的圆心为，半径为， 圆与轴相切于，由切线性质：圆心到切线的距离等于半径， 轴，且，即圆心的纵坐标等于， 设，则切点的坐标为， ， 点在的垂直平分线上， 由两点距离相等（勾股定理）：， 展开化简：， ， ， ， 圆心坐标为， 又，由勾股定理：， 即 展开整理：， ， 由一元二次方程求根公式：， 对应横坐标： 当时，； 当时，， 定弦所对的圆周角，圆半径越小，角度越大，因此取较小半径，此时， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角性质、定角定弦隐圆模型、切线的性质，熟练运用圆的相关性质、勾股定理是解答本题的关键． 【题型10 】 50．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 51．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 52．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 53．如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 【答案】35 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴在中，． 54．如图，是的直径，是的弦，，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 55．如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角、弧的关系得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 57．如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． 四边形内接于， ． 又， ． ． (2) 【分析】（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得． （2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 则． ，经过圆心， ，则， ，． 是的直径， ，即． ，， ． 四边形是矩形． ． ， ． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得． 的半径为． 【题型11 】 58．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是的直径，由得到，根据圆周角定理和余弦的定义求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵点，在上， ∴ ∴， ∴． 59．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 60．在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． (1)【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． (2)【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； (3)【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (4)【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)或 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）根据得出、、、都在以为直径的圆上，作四边形的外接圆，根据圆周角定理即可得出答案； （3）作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、，根据旋转的性质得出，根据圆周角定理得出，是等腰直角三角形，根据点、坐标得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，，根据，得出四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出，进而求出，即可得出点坐标； （4）分两种情况讨论，当点在上方时，过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，由得出点在上，求出与相切及、在上时，，即可得出答案；当点在下方时，同理可求解． 【详解】（1）解：∵和分别是所对的圆心角和圆周角，， ∴； （2）解：∵， ∴、、、都在以为直径的圆上， 如图所示，作四边形的外接圆， ∵和都是所对的圆周角，， ∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、， ∵将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点， ∴， ∵和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：∵，， ∴点在上， 当点在上方时， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，， 如图当与相切时，过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，则轴，轴，， 由（3）可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵满足的点恰好有两个， ∴的取值范围为； 当点在下方时， 同理，可得的取值范围为． 综上，的取值范围为或． 【题型12 已知圆内接四边形求角度】 61．已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 62．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 63．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 64．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 65．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②． ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． (2) 【分析】（1）①利用等腰直角三角形性质和旋转性质得到两组边相等，再推导夹角相等，用 证明三角形全等． ②由全等得到角相等，进行等角代换，推出中两个锐角相加为，得到． ③算出，得到与互补，依据对角互补的四边形四点共圆完成证明． （2）先在直角三角形中求出斜边，结合等腰直角求出，利用四点共圆得到，作垂线构造等腰直角三角形，再用勾股定理分段求出、，相加得到． 【详解】（1）解：①略． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③略． （2）解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆的有关性质（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用垂径定理求值】 1 【题型2 利用垂径定理求解其他问题】 3 【题型3 垂径定理的推论】 4 【题型4 垂径定理的实际应用】 5 【题型5 圆心角概念辨析及简单运算】 7 【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 7 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 9 【题型8 圆周角定理】 11 【题型9 同弧或等弧所对的圆周角相等】 14 【题型10 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 16 【题型11 90度的圆周角所对的弦是直径】 18 【题型12 已知圆内接四边形求角度】 20 【题型1 】 1．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（     ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 3．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 4．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 5．如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 6．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【题型2 】 7．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，以为直径的与相切于点，连接并延长交于点，点，连接，过点作交于点，过点作于，点在上，连接交于点，若，，，则________，________． 9．如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求劣弧的长度（结果保留）． 【题型3 垂径定理的推论】 10．下列关于圆的说法中，正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．经过三个点一定可以作一个圆 11．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 12．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 13．如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 14．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【题型4 】 15．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 16．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 17．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 18．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【题型5 】 20．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 21．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 22．如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 【题型6 】 23．下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 24．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25．如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 27．如图，点A，B，C，E在上，且．若，，则四边形的面积为________． 28．如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 29．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【题型7 】 30．如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 31．如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 32．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 33．如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 34．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 35．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【题型8 】 36．点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 37．如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 38．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 39．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 40．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 41．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点E为上一点，且，垂足为F，点G是线段上一点，且．过点A作的延长线于点M，过点G作的延长线于点N，若，，则为________，的半径为________． 42．如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 43．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 (2)如图2，若，时，求证：． 44．【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【题型9 】 45．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 46．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 48．如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 49．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华画出了符合要求的一条圆弧（如图． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为___________； ②△面积的最大值为___________． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为，请你利用图1证明； (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．用尺规作出点的运动路径，并求线段长的最小值． (4)如图3，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标___________． 【题型10 】 50．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 51．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 52．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 53．如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 54．如图，是的直径，是的弦，，则___________． 55．如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 56．如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 57．如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【题型11 】 58．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 59．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 60．在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． (1)【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． (2)【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； (3)【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (4)【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 【题型12 已知圆内接四边形求角度】 61．已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 62．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 63．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 64．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 65．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $