专题12角的比较与运算及余角和补角复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题12角的比较与运算及余角和补角复习讲义 1.会用度量法、叠合法比较角的大小，理解角的和、差意义，能在图形中识别角的和差关系。 2.理解角平分线的定义，掌握角 n 等分线含义，能利用角的倍分关系进行角度计算，注意分类讨论。 3.熟练完成度、分、秒的四则运算，掌握角度计算中的进位与借位规则。 4.会处理三角板拼接、重叠模型中的角度计算，能结合几何图形、实际情境列式求角度。 5.理解互余、互补的定义，知道互余两角和为 90°，互补两角和为 180°，会求一个角的余角和补角。 6.掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，能利用该性质完成等角转化与简单推理。 7.易错辨析：互余、互补只和角度的数量和有关，和两角的位置没有关系。 题型 考察方向 难度 题型一 角的比较 ★ 题型二 三角板中角度计算问题 ★★ 题型三 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型四 角度的四则运算 ★★ 题型五 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型六 角平分线的有关计算 ★★ 题型七 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型八 求一个角的余角 ★ 题型九 求一个角的补角 ★ 题型十 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 对比方法 优点 适用场景 度量法 能读出具体度数，精准比较 需要计算、求角度和差 叠合法 纯图形直观，无需工具 单纯判断大小、画图比较 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 一、余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 二、同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 三、余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点06：高频易错清单 1.钝角、直角错误求余角（钝角 > 90°，不存在余角）； 2.混淆互余90°、互补180°； 3.认为两角必须挨在一起才互余 / 互补； 4.使用性质证明时，漏掉 “同角 / 等角” 条件； 5.计算补角、余角时分度秒减法忘记借位。 知识点 07 两节综合速记对照表 核心概念 核心公式/性质 关键限制 角比较 度量法、叠合法 叠合需顶点、一边重合 角平分线 ∠AOC= ∠BOC=∠AOB 射线在角内部 角度换算 1=60'，1'=60'' 加减乘除 60 进制进退位 互余 ∠+∠=90，同角余角相等 仅锐角有余角 互补 ∠+∠=，同角补角相等 任意小于 180° 的角都有补角 重要推论 同一角补角−余角=90 只适用于锐角 题型一 角的比较 1．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的包含关系来判断角的大小即可． 【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误． 2．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型二 三角板中角度计算问题 4．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】B 【分析】通过比较角的另一边是在三角板的内部还是外部，即可确定角的大小关系． 【详解】解：由题意得，， ∴． 5．一副三角板按如图所示的方式摆放，且的度数是的2倍，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据三角板摆放特征，得出、与直角的和为，再结合的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵、与三角板的直角组成一个平角， ∴， ∵的度数是的2倍，即， ∴， 解得． 6．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的直角可知，进而根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 题型三 几何图形中角度计算问题 7．如图，和都是直角， ，则图中不等于的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和都是直角，求出各角的度数进行判断即可． 【详解】解：A. 无法判断大小，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意． 8．如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【分析】由可得，将、用表示，列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 9．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，顶点，重合，， ∴， ∴， ∴． 题型四 角度的四则运算 10．下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算和计算，涉及度、分、秒之间的转换规则（，），通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：对于选项A：，正确； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，正确； 对于选项D：，正确； 故选：B． 11．计算： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，根据，进行计算即可． （1）先将度分秒分别相加，分、秒满60向前进1即可； （2）先计算乘除，再计算加法，分、秒满60向前进1． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：；． 12．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 题型五 实际问题中角度计算问题 13．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解． 【详解】解∶如图所示标注字母， 由题意知： ， ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的特点以及角的计算，理解方位角的概念是解题的关键． 14．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 15．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 角平分线的有关计算 16．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 17．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 18．如图，是直线上一点，是射线，平分平分，则下列结论正确的有（    ） ①与互补； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差关系．根据角平分线的定义和平角的定义得出， ，，逐项判断即可． 【详解】解：由平角的定义得， 平分平分， ，， ，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④正确； 综上可知，正确的有3个， 故选：C． 题型七 角 n 等分线的有关计算 19．一个角的四等分线将这个角分成个相等的小角，若小角为，则这个角的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了等分线的有关计算．四等分线将角分成四个相等的小角，每个小角为，因此整个角的度数为乘以． 【详解】解：设原角的度数为，由四等分线可知，原角被分成个相等的小角，每个小角的度数为． 已知每个小角为，则， 解得． 故答案为． 20．如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 21．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型八 求一个角的余角 22．已知，则的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余角定义列式计算即可． 【详解】解：的余角是． 23．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 【答案】 /度 【分析】设这个角为未知数，根据补角定义和题目条件列方程求出这个角的度数，再根据余角定义计算余角度数． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互为补角的两个角和为，且该角的补角是这个角的两倍， ∴ 可得方程 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ 互为余角的两个角和为， ∴ 这个角的余角为 ． 24．如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了余角的和等于的性质，根据余角的和等于，结合图形找出和等于的两个角，然后计算对数即可，找出和等于的两个角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴互余的角有：和，和，和，和，共对， 故选：D． 题型九 求一个角的补角 25．已知一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义． 利用互为补角的两个角的和为进行计算即可． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为， ∴这个角的补角为， 故选：A． 26．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的概念，熟练使用余角和为，补角和为是解题的关键． 先根据与互为补角求，再根据与互为余角求即可． 【详解】∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴， 故选：C． 27．如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 __． 【答案】 【分析】由图形可知，与互补，要求互补的角有且只有两个，是的补角，得到，进而得到，再利用平分，得到，求得，即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， 与互补， 与互补的角有且只有两个， 是的补角， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，培养几何直观的能力，得出与互补是解题前提． 题型十 与余角、补角有关的计算 28．与互余，与互补，，那么__________． 【答案】 【详解】解：与互余，， ， 与互补， ． 29．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 30．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 31．一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度关系以及计算．根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案． 【详解】解：A、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； B、由同角的余角相等可得，故该选项符合题意； C、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； D、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； 故选：B． 32．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 33．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 解答题 34．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查角度计算，注意度、分、秒进率为，满向前一个单位进1，不够相减时再向前借1当60． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； （3）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 35．如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【答案】(1)另一边是 (2)这些角不相等， 【分析】本题考查了角的比较和运算，解答本题的关键是掌握角的有关知识． （1）根据正方形的对角线是，进行解答； （2）由图可知角的两边张口越小，角的大小就越小，由此解答． 【详解】（1）解：因为正方形的对角线是， 所以另一边是； （2）由图可知：角的两边张口越小，角的大小就越小， 则，，，这些角不相等， 按从大到小的顺序排列为：． 36．一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒或秒或秒或秒， (3)当时，的最小值为 【分析】（1）设边与边重合的时间为，由于边与边重合，即，列方程求解即可； （2）设运动时间为，根据题意可知，一条边平分另一个三角形的内角需要分类讨论，将两个三角形的位置进行依次重合会有五种情况出现，画出示意图，依次列方程解答即可； （3）设边与边重合的时间为，列方程求出边与边重合的时间，结合边与边重合的时间，分段进行求值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设边与边重合的时间为， 由边与边重合可得， ，解得； （2）解：设当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒： ①当所在直线平分时，如图1所示： 则，解得； ②当所在直线平分时，如图2所示： 则，解得； ③当所在直线平分时，如图3所示： 则，解得； ④当所在直线平分时，如图4所示： 则，解得； ⑤当所在直线平分时，如图5所示： 则，解得； 综上所述，当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒或秒或秒或秒或秒； （3）解：由（1）知边与边重合的时间为秒， 设边与边重合的时间为，则 ，得， ①当时，，， 则； ②当时，，， 则； ③当，且未停止转动时，，， 则； 综上所述，当时，的最小值为． 37．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 38．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12角的比较与运算及余角和补角复习讲义 1.会用度量法、叠合法比较角的大小，理解角的和、差意义，能在图形中识别角的和差关系。 2.理解角平分线的定义，掌握角 n 等分线含义，能利用角的倍分关系进行角度计算，注意分类讨论。 3.熟练完成度、分、秒的四则运算，掌握角度计算中的进位与借位规则。 4.会处理三角板拼接、重叠模型中的角度计算，能结合几何图形、实际情境列式求角度。 5.理解互余、互补的定义，知道互余两角和为 90°，互补两角和为 180°，会求一个角的余角和补角。 6.掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，能利用该性质完成等角转化与简单推理。 7.易错辨析：互余、互补只和角度的数量和有关，和两角的位置没有关系。 题型 考察方向 难度 题型一 角的比较 ★ 题型二 三角板中角度计算问题 ★★ 题型三 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型四 角度的四则运算 ★★ 题型五 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型六 角平分线的有关计算 ★★ 题型七 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型八 求一个角的余角 ★ 题型九 求一个角的补角 ★ 题型十 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 对比方法 优点 适用场景 度量法 能读出具体度数，精准比较 需要计算、求角度和差 叠合法 纯图形直观，无需工具 单纯判断大小、画图比较 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 一、余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 二、同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 三、余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点06：高频易错清单 1.钝角、直角错误求余角（钝角 > 90°，不存在余角）； 2.混淆互余90°、互补180°； 3.认为两角必须挨在一起才互余 / 互补； 4.使用性质证明时，漏掉 “同角 / 等角” 条件； 5.计算补角、余角时分度秒减法忘记借位。 知识点 07 两节综合速记对照表 核心概念 核心公式/性质 关键限制 角比较 度量法、叠合法 叠合需顶点、一边重合 角平分线 ∠AOC= ∠BOC=∠AOB 射线在角内部 角度换算 1=60'，1'=60'' 加减乘除 60 进制进退位 互余 ∠+∠=90，同角余角相等 仅锐角有余角 互补 ∠+∠=，同角补角相等 任意小于 180° 的角都有补角 重要推论 同一角补角−余角=90 只适用于锐角 题型一 角的比较 1．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 3．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型二 三角板中角度计算问题 4．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 5．一副三角板按如图所示的方式摆放，且的度数是的2倍，则的度数为___________． 6．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型三 几何图形中角度计算问题 7．如图，和都是直角， ，则图中不等于的角是（      ） A． B． C． D． 8．如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 9．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（     ） A． B． C． D． 题型四 角度的四则运算 10．下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 11．计算： （1）___________； （2）___________． 12．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C．D． 题型五 实际问题中角度计算问题 13．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 15．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 题型六 角平分线的有关计算 16．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 17．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 18．如图，是直线上一点，是射线，平分平分，则下列结论正确的有（    ） ①与互补； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型七 角 n 等分线的有关计算 19．一个角的四等分线将这个角分成个相等的小角，若小角为，则这个角的度数为_________． 20．如图，，，，则的度数为________° 21．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型八 求一个角的余角 22．已知，则的余角是（     ） A． B． C． D． 23．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 24．如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型九 求一个角的补角 25．已知一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 26．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（   ） A． B． C． D． 27．如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 __． 题型十 与余角、补角有关的计算 28．与互余，与互补，，那么__________． 29．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 30．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 31．一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 32．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 33．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解答题 34．计算： (1)； (2)； (3)． 35．如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 36．一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动． (1)求当边与边所在直线重合时的时间； (2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）； (3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围． 37．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 38．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $