专题08实际问题与一元一次方程复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题08实际问题与一元一次方程复习讲义 1.能从实际问题中找出等量关系，正确设未知数，列一元一次方程解决问题。 2.熟练掌握配套、工程、销售盈亏、行程这几类高频应用题的解题思路。 3.会解决分段计费、比赛积分、方案选择问题，能分析并选出最优方案。 4.会利用数字、日历、比例分配、古代数学题中的规律建立方程。 5.能结合几何背景、线段动点问题，用方程表示数量关系，合理分类讨论。 6.规范应用题解题步骤，检验方程的解，舍去不符合实际意义的答案。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 列一元一次方程解应用题通用标准流程 一、六大固定解题步骤（考试规范书写，缺一不可） 审：仔细读题，提取已知量、未知量，找准题目核心等量关系； 设：设未知数，分两种方式 直接设：问什么设什么（最常用）； 间接设：直接设不好列式时，设中间变量简化计算； ✨规范书写：设未知数必须带单位； 列：用含未知数的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程； 解：按照去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 五步解方程； 验：双重检验（两步都要写） 检验解是否满足所列方程； ② 检验解是否符合实际生活意义（人数、物品、速度、钱数不能为负数、小数，部分场景必须取整数）； 答：完整写出答句，对应题目问题，带上单位。 二、解题核心关键：找等量关系技巧 关键词法：看到 “一共、总和、比… 多、比… 少、倍数、剩余、相等、配套” 直接锁定等式； 公式法：行程、工程、利润、浓度固定公式直接作为等量关系； 图表法：列表格梳理数量，清晰直观，避免等量关系找错。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9.方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 06 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型一 配套问题 1．某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． 2．某车间有工人60人，每人每天可加工甲种零件15个或乙种零件10个．如图，3个甲种零件和2个乙种零件配成一套．为使每天加工的甲、乙两种零件恰好配套，应安排多少人加工甲种零件？ 【答案】应安排人加工甲种零件 【分析】设安排人加工甲种零件，则加工乙种零件的有人，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排人加工甲种零件，则加工乙种零件的有人， 每天加工甲种零件个，乙种零件个， 根据题意列方程得， 解得， 答：应安排人加工甲种零件． 3．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：； 任务2：元； 任务3：应选用方案2，理由： 当，时 方案1利润：                               （元） 方案2利润：（元） 方案3利润：（个） （元） ∵， ∴为使获得的利润最大，应选用方案2． 【分析】任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图1裁割，则用块长方形木板按图2裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】任务1： 解：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务2： 解：设用x块长方形木板按图1裁割，则用块长方形做盖子 ∵如果有配上盖子，则长方形木板刚好全部用完 ∴， 解得 ， ∴   ∴方案2可制成20个有盖的长方体收纳盒， 此时按图1裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量：（个） 按图2裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量： （个） ∴方案2的利润： （元） 任务3：略 题型二 工程问题 4．列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解是解决问题的关键． 设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得：， 解得：， 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 5．要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？ 【答案】师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个 【分析】根据题意可知，师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍，设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个，再根据“师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务”列出方程求解即可． 【详解】解：∵师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数， ∴师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍， 设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个， 解得：， ∴ 答：师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个． 6．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 【答案】(1)144分钟 (2)258分钟 【分析】本题主要考查工程问题，读懂题意，正确列出算式和方程是做题的关键． （1）先设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份，再根据题意，列出算式和方程，进行计算即可； （2）先设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根，由题意得，，得出，最后根据分配给水池6根或7根，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份， 则水池的容量：（份）， 水池的容量：（份）， 改为各用5根进水管给水池注水时， 注满水池用时：（小时）， 故根据题意得，， 解得，， 用10根进水管给漏水的水池注水，注满用时：（小时）（分钟）． 答：用10根进水管给漏水的水池注水，需要144分钟注满． （2）解：设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 又因为必须为整数， 所以分配给水池6根或7根时，把两个水池注满需要的时间最少， 当分配给水池6根，水池8根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟）； 当分配给水池7根，水池7根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟），故最少需要258分钟， 因为， 所以综上所述，把两个水池注满最少需要258分钟． 题型三 销售盈亏 7．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是80元 【分析】设这种服装每件的标价是元，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 由题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是80元． 8．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元． (2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． （2）解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 9．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 【答案】(1)每盒糖果的进价为元． (2)商场可获利元或元． 【分析】（1）根据题意，先计算出月份1盒饼干的售价，继而得出月份1盒饼干的售价和1盒糖果的售价，根据饼干销售量为盒，糖果的销售量为盒，据总销售额总成本，建立一元一次方程，求解即可． （2）由于销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元，可计算出月成交销售额，设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额建立一元一次方程，求解出的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为元，则1盒糖果的售价为元， 由题意得： 解得：， 所以月1盒饼干的售价为元， 由此得出月份1盒饼干的售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干的销售量为盒，糖果的销售量为： （盒）， 设每盒饼干的进价为元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元． （2）解：由题意得： = =76000（元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， 当饼干的数量大于盒，糖果的数量小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： （元） 解得：， （盒） 当饼干的数量大于盒小于盒，糖果的数量大于盒小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： ， 解得：． （盒）， 综上，购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 或购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 当购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 答：当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元， 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元． 题型四 比赛积分 10．为发扬红色传统，传承红色精神，学校在“七一”建党节举行了“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分．某学生的成绩为82分，则他答对了几道题？ 【答案】答对了道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 设答对道题，则不答或答错题，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设答对道题，则不答或答错题， 由题意得，， 解得，， 即答对了道题． 11．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 12．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积____________分，负一场积____________分． (2)求队已经比完的场比赛中的胜场数； (3)分析表中信息可知，队已经赛了场，积分，若此次篮球比赛共赛轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)胜了4场 (3)解：不能，理由如下： 设D队在剩下的场，均获胜． 则最终积分为 因此D队积分不可能达到分． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． （1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据F球队和A球队的比赛情况，列出方程计算即可． （2）设E队已经比完的11场比赛中胜了x场．负场，根据题意，得，解方程即可． （3）设D队在剩下的场，均获胜，得到积分为分，因此D队积分不可能达到分． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得：， 则胜一场积2分，负一场积1分， 故答案为：2；1． （2）解：设E队已经比完的11场比赛中胜了x场． ， 解得． 答：E队已经比完的11场比赛中胜了4场； （3）略 题型五 方案选择 13．七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 【答案】(1)甲店 (2)100支 (3)在甲店购买20本笔记本（获赠20支钢笔），再在乙店购买剩余的20支钢笔，总共需要付款590元 【分析】本题考查列代数式与代数式求值，一元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）根据两店的优惠方案，计算即可． （2）根据甲店和乙店的费用一样，列出方程即可； （3）在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买． 【详解】（1）解：在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元， 当时，在甲店需付款元． 在乙店需付款元，， 所以在甲店购买合算． （2）解：，解得， 当购买钢笔100支时，甲店和乙店的费用一样． （3）解：当时，全部在甲店购买需付款元， 全部在乙店购买需付款元， 在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买， 所需金额为元， 当时，最省方案为：在甲店购买20本笔记本，在乙店购买20支钢笔，总共需要付款590元． 14．为了准备小颖六年后上大学的学费元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式： 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 【答案】按第二种储蓄方式开始存入的本金少 【分析】设开始存入元，分别根据两种储蓄方式列方程求出x的值，然后比较即可． 【详解】解：设开始存入元． 按照第一种储蓄方式： 根据题意得，， 解得； 按第二种储蓄方式： 根据题意得，， 解得； ∴第一种储蓄方式存入的本金约需元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需元， ∵， ∴按第二种储蓄方式开始存入的本金少． 15．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ 【答案】(1) (2)购买套餐①份 (3)单独售出牛奶杯 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是理清题意找到列方程的相等关系； （1）按照买两份套餐①和一杯牛奶计算即可； （2）根据总花费元列方程即可； （3）根据总收入为元列方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：设购买套餐①份，则购买套餐②份， 由题意得：， 解得， 答：购买套餐①份． （3）解：设售出两种套餐均份，则单独售出牛奶杯，单独售出饭团个，单独售出面包个， 由题意得：， 解得： ， ， 答：单独售出牛奶杯． 题型六 数字问题 16．将连续的偶数2，4，6，8…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 不能等于2024，不能等于2025，理由如下： 设十字框中五个数之和等于2024，则， 解得：，此时不是整数，不符合题意，舍去； 设十字框中五个数之和等于2025，则， 解得：，此时不是偶数，不符合题意，舍去； ∴十字框中五个数之和不能等于2024，不能等于2025． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）设中间的数为a，由图可得十字框中五个数分别为、、、、，将这五个数相加即可求解； （2）设十字框中五个数之和等于2024和2025，求出对应的值，再根据题意即可解答． 【详解】（1）解：设中间的数为a， 则十字框中五个数之和为， ∴十字框中五个数之和为； （2）略 17．七年级一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的代数式知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母——序号对照表”，如下： 字母 序号 字母 序号 当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号为，按此规则编制密钥． (1)将“”进行加密转换后得到下表： 明码 密码 ____ (2)李亮利用这套密钥，给他的小伙伴传递了周末见面的地点，密码，李亮跟朋友约见的地点是________． (3)为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．李亮将这个密钥中为偶数时的代数式调整为了，若将“”用新密钥加密转换后得到下表： 明码 密码 ___ 请求出这个新的密钥，并直接写出“”用新密钥加密转换后的结果． 【答案】(1) (2) (3)这个新的密钥为；用新密钥加密转换后的结果为 【分析】（1）根据明码对应的序号求出密码的序号即可求解； （2）分别根据各个密码对应的序号列方程求出其对应的明码序号，即可求解； （3）将明码序号为偶数的数值以及其对应的密码序号代入代数式求出，即可得到这个新的密钥，再用对应的序号代入密钥求出密码序号即可求解． 【详解】（1）解：明码对应的序号是，为偶数， 密码对应的序号为， 序号对应的字母为， 明码对应的密码为； （2）解：密码对应的序号为， 或， 解得（不合题意，舍去）或， 密码对应的明码为； 密码对应的序号为， 或， 解得或（不合题意，舍去）， 密码对应的明码为； 密码对应的序号为， 或， 解得（不合题意，舍去）或， 密码对应的明码为； 密码对应的序号为， 或， 解得或（不合题意，舍去）， 密码对应的明码为； 李亮跟朋友约见的地点是； （3）解：由表可得明码对应的序号为，密码对应的序号为，且为偶数时的代数式为， ， ， 则这个新的密钥为； 对应的序号为， ， 序号对应的字母为， 用新密钥加密转换后的结果为． 18．将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数． (1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______； (2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数； (3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值． 【答案】(1)，， (2)， (3)和为不能，和为可以，框中的数字分别是，，， 【分析】（１）找规律，先找到每个数与其位置之间的关系，再代入计算即可； （２）先根据（1）的结论确定是第几个数，因为数表每行有个数，所以用该数的序号除以，根据商和余数判断所在行与列的位置； （３）设T字框中某一位置的数为未知数，根据T字框内数的排列规律表示出其余三个数，推导四个数的和的表达式；如果和分别等于、，那么列方程求解未知数，再验证未知数是否符合数表规律以及T字框的位置要求． 【详解】（1）解：第1个奇数是，第2个奇数是，以此类推，第个奇数的表达式为，代入计算：第个数是，第个数是； （2） 是奇数，令，解得，即是第个奇数； 观察数表可知每行固定排列5个奇数，，说明前行已经排完个奇数，第个奇数是第行的第个数，因此在第行从左往右第个位置； （3） 设T字框第二行单独的数为，根据数表相邻数的规律：左右相邻数差，上下相邻数差，可得框住的另外三个数分别为、、， 四个数的和为：； 若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行的最右侧（第列），无法满足T字框“上排个数、下排个数在中间数正下方”的排列要求，因此和不能等于； 若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行第列，符合T字框下排单独数的位置要求，对应的四个数为、、，即、、、． 题型七 几何问题 19．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号3的大桌子可以坐___________个人． (2)型号n的大桌子可以坐___________个人． (3)如果有40人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 型号8的大桌子恰好可以坐下，理由如下: ， 解得，， ∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下． 【分析】本题主要考查图形规律，一元一次方程的应用，理解图示中的数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中的数量关系即可求解； （2）由数量关系，找出规律即可求解； （3）根据（2）中的规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：型号1坐了：（人）， 型号2坐了：（人）， ∴型号3可以坐：（人）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得型号的大桌子可以坐人， 故答案为：； （3）略 20．一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1)4000 (2) 【分析】（1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的3倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：当时， 此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 21．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步感知】在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点、两点间的距离，即． (1)【理解运用】在数轴上，点、、分别表示数、、． ①________； ②若，则满足条件的负整数有________； (2)【拓展提升】在数轴上，点表示数，点表示数，、满足．若在原点处放一挡板，一小球从点出发以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动；同时另一小球从点出发以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以3个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．解答下列问题： ①点表示的数为________；当时，________； ②若，求的值； ③若，直接写出的值为________． 【答案】(1)；②3个； (2)①；；②或；③或． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； ②根据数轴上两点距离公式可得，再解绝对值方程，取合适的值即可； （2）①设点表示数，点表示数，根据绝对值的非负性得到、的值，根据题意得到、的代数式，求出时，点P和点Q表示的数，再根据新定义计算即可； ②根据、的代数式，分情况讨论即可； ③先求出的值，再分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②∵， ∴，即， 当时，则，解得（舍去）； 当时，，即，符合题意； 当时，则，解得（舍去）， 综上所述，当时，， ∴若，则负整数x的值为或或，即x的取值有3个； （2）解：设点表示数，点表示数， ①∵， ∴，， 解得：，， ∴点表示数； ∵一小球从点出发以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动； ∴， ∵同时另一小球从点出发以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以3个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，， ∴当时，，当时，， 当时，，表示的数为， ∴； ②∵， ∴， 当时，，即， 解得：或（舍去）； 当时，，即， 解得：或（舍去）； ③， 当时，， 解得：或（舍去）； 当时，， 解得：或（舍去）． 题型八 动点问题 22．数轴上点，，表示的数分别为，，，其中，满足，点在点的右侧，且点到点的距离为个单位长度． (1) ， ， ； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式表示点到点的距离 、点到点的距离 ； ②用含的代数式表示出点表示的数； ③点与点之间的距离表示为，若，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①（），（） ②点表示的数为（） ③的值为或 【分析】（1）利用绝对值的非负性求出、，再根据点在右侧加上距离求出． （2）①根据路程速度时间，得出两点距离． ②点从点向左运动，用起点减去移动路程表示它对应的数． ③分两种情况讨论，列出方程求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点在点的右侧， ∴， ∵点到点的距离为个单位长度， ∴． （2）解：①根据题意得，点到点的距离为（），点到点的距离（）． ②∵点从点出发，向左运动，即点朝数轴的负向移动， ∴点表示的数为（）． ③当时有两种情况，分为点在点右侧和点在点左侧， 当点在点右侧时， 有，即，解得， 当点在点左侧时， 有，即，解得， 综上或． 23．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．若将数轴上点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想解决下列问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是________， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是________（直接填最后结果） (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是________； ②若，则________； ③利用数轴求出的最小值，并写出此时a的所有整数值； (3)如图，已知点A对应的数是，点B对应的数为90，电子蚂蚁P从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1)5；2 (2)①或8；②4或； ③如图，当在左侧或在3的右侧时， 的值明显大于到3的距离4， 当在和3之间（包括数和数3）时， 的值最小，为数到数3的距离即； 此时a的所有整数值为； (3)12秒或28秒 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义，分别进行求解即可； （3）设经过秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度，根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：；； （2）解：①表示数到数3的距离为5， 故或； ②当时，，解得； 当时，； 当时，，解得； ③略 （3）解：设经过秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度， 由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得或； 答：经过12秒或28秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度. 24．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点表示，点表示，点和点在数轴上相距个单位长度．动点从点出发，以单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点运动至点时停止运动，当点运动至点时停止运动，设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点的位置所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)是否存在某一运动时间秒，使得，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据点P在各段的运动速度，即可得到动点P从点A运动至E点需要的时间，再分析点Q在每段上运动需要的时间即可解答； （2）求出两点相遇所用时间，最后计算出点M所对应的数即可； （3）根据题意可分多种情况讨论，分别列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点P在段的速度均为4单位/秒，在段的速度为2单位/秒，在段的速度为8单位/秒，， ∴动点P从点A运动至E点需要的时间为（秒）， ∵动点Q从点E出发，以3单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段的速度为3单位/秒，段的速度为单位/秒，段的速度为3单位/秒，段的速度为单位/秒 ∴动点Q从点E运动到点D需要（秒），从点D运动到点C需要（秒），从点C运动到点B需要（秒），从点B运动到点O需要（秒）， ， ∴此时点P运动到点E时，点Q对应的点为； （2）解：当运动秒时，点在段，点在点处， 所以点P，Q两点在段相遇， 相遇点为； （3）解：当点Q在段时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度不可能相等； 当点P在段时，点Q在段， 此时，两点在数轴上相距的长度为，，两点在数轴上相距的长度为， 根据题意可得， 解得，符合题意； 当点P在段时，点Q在段， 此时，两点在数轴上相距的长度为，，两点在数轴上相距的长度为， 根据题意可得， 解得， 当时，点P不在段，故舍去； 当点P在段时，点Q在段， 此时，两点在数轴上相距的长度为，，两点在数轴上相距的长度为， 根据题意可得， 解得，符合题意； 当点P在段时，点Q在段， 此时，两点在数轴上相距的长度为，，两点在数轴上相距的长度为， 根据题意可得， 解得，符合题意； 综上，存在或或秒，使得，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 题型九 和差倍分问题 25．小红编了一道题：“我是月出生的，我年龄的倍加，正好是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁？”请你求出小红的年龄． 【答案】 小红的年龄为岁 【分析】以月有天为隐含条件，根据“年龄的倍加等于月总天数”列方程求解． 【详解】解： 设小红的年龄为岁， ∵月有天， ∴， 解得． 答：小红的年龄为岁． 26．列方程解决问题 (1)有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…，其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ (2)把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，求这个班有多少名学生． 【答案】(1) 这三个数分别是，， (2) 这个班有名学生 【分析】（1）根据数列的倍比规律设未知数，结合三个相邻数的和为列方程求解； （2）以图书总数为等量关系，设学生人数为未知数，结合两种分书情况列方程求解； 【详解】（1）解：观察数列得，后一个数是前一个数的倍，设三个相邻数中第一个数为，则第二个数为，第三个数为， 根据题意得， 解得：， ，， 故这三个数分别是，，； （2）解：设这个班有名学生， 根据题意得， 解得：， 答：这个班有名学生． 27．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【答案】(1)15 (2)①七（1）班有24人得满分；②七（2）班的总分高 【分析】（1）分析4个元素的错排情况，明确连对的条数可能的取值，根据每连对1条得5分，判断是否存在对应连对条数得到给出的分数即可； （2）①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，根据总人数为40人列出方程，解方程即可； ②先计算七（1）班的总分，先明确除0分和满分外的得分人数分布，结合对应得分计算总分； 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人，计算其总分，与七（1）班的总分相比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，连对0个得分为0分；连对一个得分为5分；连对两个得分为10分；连对四个得分为20分； 不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的； （2）解：①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人， 根据题意得：， 解得：， 答：七（1）班有24人得满分； ②根据题意，七（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等， 七（1）班得5分和10分的人数相等， 即其人数为人， 七（1）班的总分为分； 七（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况， 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人， ， ， 七（2）班的总分为：分， ， 七（2）班的总分高． 题型十 电费和水费问题 28．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1)80；120 (2)元 (3)12月用电量为度 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据表格计算即可； （2）根据表格中信息列出代数式即可； （3）求出12月电费所在位置，进而列方程计算即可． 【详解】（1）解：（元） ∴9月的电费是80元； （元） ∴10月的电费是120元； （2）解：依题意，当时，电费是： 元； （3）解：用电量为280度，电费为： ； 可知12月用电量在第三档， 设12月用电量为度， 则， 解得：， 即12月用电量为度． 29．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表： 每户每月用水量 单价 不超过吨的部分 元/吨 超过吨的部分 元/吨 (1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量． 【答案】(1)应缴水费元 (2)月份用水吨 【分析】（1）因为已知用水量为吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过15吨时的最高水费，推出小明家用水量超过15吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：因为小明家9月份用水12吨，不超过15吨，故按每吨元计费：（元）． 答：应缴水费元． （2）解：用水吨时水费为（元）．因为，所以月份用水超过吨． 设月份用水吨（），则． 解得． 答：月份用水吨． 30．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①782；②居民甲家的年用气量为300立方米； (2)居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费． （1）①利用应缴燃气费居民甲家的年用气量，即可求出结论； ②设居民甲家的年用气量为x立方米，根据居民甲家一年的燃气费为1050元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据燃气收费标准，用含a的代数式表示出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费，二者作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴应缴燃气费782元． 故答案为：782； ②设居民甲家的年用气量为x立方米， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：居民甲家的年用气量为300立方米； （2）解：根据题意得： 未申请政策前一年的燃气费为 （元）； 申请政策后一年的燃气费为 （元）， ∴（元）． 答：居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 题型十一 行程问题 31．小阳计划和爸爸周末去甲秀楼游玩，他家距离甲秀楼有．小阳骑自行车以的速度先行出发，5分钟后，爸爸再骑摩托车以的速度追赶小阳，到甲秀楼游玩一段时间之后，爸爸和小阳按照原来的速度原路返回到家． (1)爸爸经过多长时间能追上小阳呢？ (2)若爸爸出发前摩托车的油量有5L，摩托车的油耗为0.05L/km，请问爸爸不加油，骑摩托车能否回到家？ 【答案】(1)2.5分钟 (2)能 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析求解是解题的关键． （1）设爸爸经过小时追上小阳，根据爸爸的路程小阳总路程列出方程求解即可； （2）根据已知条件算出爸爸所行路程的总油耗，对比即可； 【详解】（1）设爸爸经过小时追上小阳， 小阳速度：， 爸爸速度：， 先行的时间：， 爸爸行驶的路程，小阳行驶的路程， ， 解得：， ； 爸爸经过分钟能追上小阳； （2）由题可知：爸爸从出发到回家的总路程为，摩托车的油耗为0.05L/km， 摩托车油耗为； ， 爸爸不加油，能回到家． 32．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的代数式表示点、点在数轴上对应的数； (2)当为何值时，点与点相遇？此时相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度？ (4)若点为线段的中点，用含的代数式表示点对应的数． 【答案】(1)点：，点： (2)，相遇点表示的数是 (3)或 (4) 【分析】（1）根据数轴上点的运动规律：向右运动用起点数加路程，向左运动用起点数减路程，写出、对应的代数式． （2）相遇时两点表示的数相等，列方程求出，再代入代数式求相遇点表示的数． （3）两点距离为两数之差的绝对值，列绝对值方程，分两种情况求解t． （4）利用数轴中点公式：中点对应的数等于两端点对应数之和的一半，列式化简． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数：，点表示的数：； （2）解：当点与点相遇时，， 解得， 此时相遇点表示的数是； （3）解：由点与点之间的距离为个单位长度得， ， ， ∴或， 解得，解得， ∴或时，点与点之间的距离为个单位长度； （4）解：∵点表示的数：，点表示的数：， ∴点对应的数是 33．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接原地未动的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）叶老师送乙到车站时甲同步步行，之后返程与甲相向而行后相遇，再载甲去车站，将送乙、返程相遇、送甲三段时间求和即可； （3）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 叶老师送完乙同学后返回所需时间为， 叶老师再将甲同学送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （2）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 此时叶老师与甲同学之间的距离为， 则叶老师返程接甲所需时间为， 叶老师接到甲时，甲距离学校，距离车站， 故叶老师从相遇点将甲送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （3）解：当叶老师将学生乙送到路上某一处时，叶老师与甲同学的距离为， 叶老师返回接甲所需的时间为， 甲同学在叶老师返程过程中又前进了， 此时甲同学距离车站， 则叶老师从相遇点送甲同学到车站的时间为， 由叶老师骑摩托车一共行驶， 可得， 解得． 题型十二 比例分配 34．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用； （1）用长方形面积减去两个四分之一圆形花坛面积，再减去两个三角形面积，计算即可； （2）求出水池的长宽比例为，设长为，则宽为，根据周长为列方程求出x，可得水池的长为，宽为，然后根据（1）中广场空地的面积再减去水池的面积，计算即可． 【详解】（1）解：广场空地的面积为：； （2）因为，， 所以水池的长宽比例为， 设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：， 所以水池的长为，宽为， 所以广场空地的面积为． 35．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2) ①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①略 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 36．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【答案】(1)， (2)① ②10个，20个． 【分析】（1）根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形，分别计算做a个A型铁盒和b个B型铁盒，各所需要的长方形与正方形个数，再相加即可解题； （2）①设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个； ②由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解题． 本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形， 故做a个A型铁盒需要个长方形，个正方形，做b个B型铁盒需要个长方形，个正方形， 故需要个长方形，个正方形， （2）①解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 故答案为：； ②解：根据题意，得， 解得， 此时， 故制作A型、B型两种铁盒的个数分别为10个，20个． 题型十三 日历问题 37．下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 解：他的说法不对，理由如下： ∵框中的4个数之和可能为79， ∴， 由（1）得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵a为最左边的数，为最右边的数， ∴他的说法不对． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）结合日历作答即可； （2）结合（1）将转化为关于的方程，求解即可； （3）根据题意得到，结合（1）将其转化为关于的方程，求解后判断即可． 【详解】（1）解：由日历可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 38．在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数． (1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号． (2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)153；25 (2)30号． 【分析】（1）设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、，然后根据3个数字的和为51就可以列出方程求解，最后就可以求出最后一天； （2）设中间的数为x，那么根据表中规律可以用x分别表示其余的八个数，再利用总和为198即可列出方程，解方程就可以解答． 【详解】（1）解：设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、， 依题意得， ∴， ∴其余两个数是：11，23， ∴9个数分别是9、10、11、16、17、18、23、24、25， ∴这9个数的和为153，最后一天是25号； （2）能．设中间的数为x，依题意得： ， ∴ ∴， ∴框出的9个日期最后一天是30号． 39．如图是某月的月历，用如图所示的“凹”字形在月历中任意圈出个数，设“凹”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)①直接写出 ， 用含的代数式表示．② ． (2)在移动“凹”字形框的过程中，小明说被框住的个数之和可能为，小敏说被框住的个数之和可能为，你同意他们的说法吗？请说明理由． (3)若另一个“凹”字形框框住的五个数分别为，，，，，且，则符合条件的的值为 ． 【答案】(1)①， ② (2) 解：同意小明的说法，理由如下： 据（1）可知，，，， 故个数之和为， 令，解得； 令，解得； 根据题意，当无法构成“凹”字形框， 故，同意小明的说法，不同意小敏的说法． (3)，， 【分析】本题考查列代数式与整式运算，一元一次方程的应用，代数式的取值分析，找到月历的数字规律是解题关键． （1）利用月历中“上下相邻数差，左右相邻数差”的规律，用表示出 ​, ​, ,，再通过整式运算求出的值； （2）先把五个数的和用含的代数式表示，分别令和等于106、116，解出的值，再结合月历的实际布局进行检验，从而判断两人说法是否正确； （3）根据，先确定的取值范围，再代入计算出的可能值，最后逐一验证能否构成“凹”形框，筛选出符合条件的． 【详解】（1）解：①根据“凹”字形框所示，，； ②，， ． 答：①， ②． （2）略 （3）解：根据题意，可知不能在周六和周日，且，即， 则的可能取值为，，，，，，，，，，，，，，，， 对应在月历范围内，的可能取值为，，，，， 当或，无法在月历中构成“凹”字形框， 故符合条件的的值为，，． 答：，，． 题型十四 古代问题 40．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 41．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 42．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08实际问题与一元一次方程复习讲义 1.能从实际问题中找出等量关系，正确设未知数，列一元一次方程解决问题。 2.熟练掌握配套、工程、销售盈亏、行程这几类高频应用题的解题思路。 3.会解决分段计费、比赛积分、方案选择问题，能分析并选出最优方案。 4.会利用数字、日历、比例分配、古代数学题中的规律建立方程。 5.能结合几何背景、线段动点问题，用方程表示数量关系，合理分类讨论。 6.规范应用题解题步骤，检验方程的解，舍去不符合实际意义的答案。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 列一元一次方程解应用题通用标准流程 一、六大固定解题步骤（考试规范书写，缺一不可） 审：仔细读题，提取已知量、未知量，找准题目核心等量关系； 设：设未知数，分两种方式 直接设：问什么设什么（最常用）； 间接设：直接设不好列式时，设中间变量简化计算； ✨规范书写：设未知数必须带单位； 列：用含未知数的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程； 解：按照去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 五步解方程； 验：双重检验（两步都要写） 检验解是否满足所列方程； ② 检验解是否符合实际生活意义（人数、物品、速度、钱数不能为负数、小数，部分场景必须取整数）； 答：完整写出答句，对应题目问题，带上单位。 二、解题核心关键：找等量关系技巧 关键词法：看到 “一共、总和、比… 多、比… 少、倍数、剩余、相等、配套” 直接锁定等式； 公式法：行程、工程、利润、浓度固定公式直接作为等量关系； 图表法：列表格梳理数量，清晰直观，避免等量关系找错。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9.方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 06 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型一 配套问题 1．某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 2．某车间有工人60人，每人每天可加工甲种零件15个或乙种零件10个．如图，3个甲种零件和2个乙种零件配成一套．为使每天加工的甲、乙两种零件恰好配套，应安排多少人加工甲种零件？ 3．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 题型二 工程问题 4．列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 5．要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？ 6．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 题型三 销售盈亏 7．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 8．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 9．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 题型四 比赛积分 10．为发扬红色传统，传承红色精神，学校在“七一”建党节举行了“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分．某学生的成绩为82分，则他答对了几道题？ 11．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 12．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)填空：分析表中信息可知，球队胜一场积____________分，负一场积____________分． (2)求队已经比完的场比赛中的胜场数； (3)分析表中信息可知，队已经赛了场，积分，若此次篮球比赛共赛轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型五 方案选择 13．七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 14．为了准备小颖六年后上大学的学费元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式： 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 15．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ 题型六 数字问题 16．将连续的偶数2，4，6，8…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？请说明理由． 17．七年级一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的代数式知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母——序号对照表”，如下： 字母 序号 字母 序号 当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号为，按此规则编制密钥． (1)将“”进行加密转换后得到下表： 明码 密码 ____ (2)李亮利用这套密钥，给他的小伙伴传递了周末见面的地点，密码，李亮跟朋友约见的地点是________． (3)为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．李亮将这个密钥中为偶数时的代数式调整为了，若将“”用新密钥加密转换后得到下表： 明码 密码 ___ 请求出这个新的密钥，并直接写出“”用新密钥加密转换后的结果． 18．将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数． (1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______； (2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数； (3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值． 题型七 几何问题 19．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号3的大桌子可以坐___________个人． (2)型号n的大桌子可以坐___________个人． (3)如果有40人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 20．一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 21．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步感知】在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点、两点间的距离，即． (1)【理解运用】在数轴上，点、、分别表示数、、． ①________； ②若，则满足条件的负整数有________； (2)【拓展提升】在数轴上，点表示数，点表示数，、满足．若在原点处放一挡板，一小球从点出发以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动；同时另一小球从点出发以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以3个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．解答下列问题： ①点表示的数为________；当时，________； ②若，求的值； ③若，直接写出的值为________． 题型八 动点问题 22．数轴上点，，表示的数分别为，，，其中，满足，点在点的右侧，且点到点的距离为个单位长度． (1) ， ， ； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式表示点到点的距离 、点到点的距离 ； ②用含的代数式表示出点表示的数； ③点与点之间的距离表示为，若，直接写出的值． 23．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．若将数轴上点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想解决下列问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是________， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是________（直接填最后结果） (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是________； ②若，则________； ③利用数轴求出的最小值，并写出此时a的所有整数值； (3)如图，已知点A对应的数是，点B对应的数为90，电子蚂蚁P从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 24．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点表示，点表示，点和点在数轴上相距个单位长度．动点从点出发，以单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点运动至点时停止运动，当点运动至点时停止运动，设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点的位置所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)是否存在某一运动时间秒，使得，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型九 和差倍分问题 25．小红编了一道题：“我是月出生的，我年龄的倍加，正好是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁？”请你求出小红的年龄． 26．列方程解决问题 (1)有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…，其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ (2)把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，求这个班有多少名学生． 27．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分) 纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 题型十 电费和水费问题 28．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 29．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表： 每户每月用水量 单价 不超过吨的部分 元/吨 超过吨的部分 元/吨 (1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量． 30．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 题型十一 行程问题 31．小阳计划和爸爸周末去甲秀楼游玩，他家距离甲秀楼有．小阳骑自行车以的速度先行出发，5分钟后，爸爸再骑摩托车以的速度追赶小阳，到甲秀楼游玩一段时间之后，爸爸和小阳按照原来的速度原路返回到家． (1)爸爸经过多长时间能追上小阳呢？ (2)若爸爸出发前摩托车的油量有5L，摩托车的油耗为0.05L/km，请问爸爸不加油，骑摩托车能否回到家？ 32．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的代数式表示点、点在数轴上对应的数； (2)当为何值时，点与点相遇？此时相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度？ (4)若点为线段的中点，用含的代数式表示点对应的数． 33．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 题型十二 比例分配 34．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 35．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 36．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 题型十三 日历问题 37．下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． 38．在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数． (1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号． (2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由． 39．如图是某月的月历，用如图所示的“凹”字形在月历中任意圈出个数，设“凹”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)①直接写出 ， 用含的代数式表示．② ． (2)在移动“凹”字形框的过程中，小明说被框住的个数之和可能为，小敏说被框住的个数之和可能为，你同意他们的说法吗？请说明理由． (3)若另一个“凹”字形框框住的五个数分别为，，，，，且，则符合条件的的值为 ． 题型十四 古代问题 40．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 41．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 42．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $