专题15角的比较与运算及余角和补角知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题15角的比较与运算及余角和补角知题通关讲义 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 一、余角、补角定义表格 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 二、同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 三、余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 1. 角的和差识图错误 提醒：结合图形区分角的叠加、拆分关系，依据射线位置判断角度加减。 2. 角平分线概念理解偏差 提醒：若射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB；满足∠AOC=∠COB，OC不一定是角平分线，OC必须在角的内部。 3. 度分秒运算换算失误 提醒：度、分、秒为60进制；加法满60进1，减法不足时向前一级借1当作60。 4. 余角、补角概念判定错误 提醒：余角要求两角之和为90，补角要求两角之和为180；只与角度数值有关，和两角位置无关。 5. 余角、补角列式计算失误 提醒：锐角\alpha的余角为90-，补角为180-；钝角仅有补角，不存在余角。 6. 余角、补角性质表述错误 提醒：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；不可表述为相等的角互为余角或补角。 7. 方位角识读与书写不规范 提醒：方位角以正北、正南作为基准；书写顺序为先写北/南，后写东/西，顺序不可颠倒。 8. 无图角度计算漏解 提醒：题目没有给出图形，射线位置不确定时，需分射线在角内部、外部两类讨论，防止漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的比较 ★ 题型二 三角板中角度计算问题 ★★ 题型三 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型四 角度的四则运算 ★★ 题型五 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型六 角平分线的有关计算 ★★★ 题型七 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型八 求一个角的余角 ★ 题型九 求一个角的补角 ★ 题型十 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、角的比较 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 2．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 3．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型二、三角板中角度计算问题 4．如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，首先确定这几个角之间的关系，来求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°． 【答案】45 【分析】利用三角板角的特征和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵，射线为的平分线， ∴， ∵，射线为的平分线， ∴， ∴． 6．已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】（1）先求出，再结合角平分线的定义求出，即可得出结果； （2）由角平分线的定义并结合题意求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、几何图形中角度计算问题 7．已知射线，若从点O引两条射线，，使得，，则______． 【答案】或 【分析】根据在的不同位置，分两种情况分别计算的度数即可． 【详解】解：当在的内部时， ． 当在的外部时， ． 综上，的度数为或． 8．如图，已知，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由和求出，再根据角平分线定义得到，最后通过 得出结果． 【详解】解：，， ， 平分， ， ． 9．如图，在线段上方作，点、分别为线段上动点，作射线、，过点作射线、（和均在内部），满足，，若，则______． 【答案】或 【分析】当在的左边时，设，，可得：，，由，，可得，所以，从而可得：；当在的右边时，可得：． 【详解】解：如下图所示，当在的左边时， 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 10．光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为（   ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律及角度的计算，利用光的反射定律确定角的关系，并结合周角、直角的性质分析角度是解题的关键． 结合光的反射定律（入射角反射角），用周角算出入射与反射光线的夹角，再利用，最终求得入射光线与水平面夹角为即可． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即入射光线与水平面的夹角为． 故选：． 题型四、角度的四则运算 11．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 12．人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，可得 ． 13．填空题． （1）________；         （2）________； （3）________________；         （4）________________； （5）_______=________________． 【答案】 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 【分析】本题主要考查了度分秒的换算． （1）根据大单位化成小单位要乘以60进制，列出算式进行计算即可； （2）根据小单位化成大单位要除以60进制，列出算式进行计算即可； （3）度与度相加，分与分相加，若满60，向它前面的单位进1，进行计算即可； （4）度与分分别乘以4，然后把满60的向它前面的单位进位即可； （5）先把46.8除以6，再把小数度乘以60化成分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：24； （2）， 故答案为：0.2； （3） ， 故答案为：75，10； （4） ， 故答案为：102，24； （5） ， 故答案为：7.8，7，48． 题型五、实际问题中角度计算问题 14．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转． 15．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型六、角平分线的有关计算 17．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 18．如图，，在内部，平分，平分，则___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差、熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 设，则及，根据角平分线的定义得到，由求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 平分， ， 故答案为：． 19．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 题型七、角 n 等分线的有关计算 20．射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数． 【详解】解：∵射线是的五等分线，， ∴相邻两个等分射线所成角的度数为． 故选：A． 21．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 22．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 【答案】B 【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可． 【详解】设锐角 第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为， 第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为， 第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为， 设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条， 第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同 则， 先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的， 再看每两种分法重合情况 第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条， 第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条， 第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条， 在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线， 29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角． 故选择：B． 【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键． 题型八、求一个角的余角 23．已知，则它的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个角的和为 ，则这两个角互为余角． 【详解】解：∵， ∴ 的余角  ． 24．若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴的余角的补角为． 25．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 题型九、求一个角的补角 26．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴ 这个角的度数为 ． 27．如图，、、三点共线，，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，角的运算，熟练掌握补角定义，是解题的关键． 根据两个角的和为，则两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角是： ． 故选：D． 28．下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角的补角相等，等角的余角相等． 根据钝角的定义对A进行判断；根据的补角为可对B进行判断；根据补角的定义对C、D进行判断． 【详解】解：A、大于直角而小于平角的角是钝角，所以A选项错误； B、互补的角可都为，所以B选项错误； C、两个锐角的和不可能等于，所以C选项正确； D、如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，所以D选项错误． 故选：C． 题型十、与余角、补角有关的计算 29．下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为90度，互补是指两角之和为180度的性质． 分别根据互余和互补的性质进行解答即可． 【详解】解：角与角互为余角，说法正确，故本选项不符合题意； B． 如果，那么和互余，原说法错误，故本选项符合题意． C． 两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角，说法正确，故本选项不符合题意； D．一个角的补角比这个角的余角大，说法正确，故本选项不符合题意； 故选B 30．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 31．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 题型十一、同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 32．下列说法错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； B、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； C、因为，所以，选项说法正确，不符合题意； D、由，不能得出，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 33．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 【答案】 【分析】根据余角的性质即可得出结论. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 34．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 解答题 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． （1）根据，计算求值； （2）先算乘法，再根据，计算求值 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．如图，点A、O、B在同一条直线上，，分别平分和． (1)若，求的度数； (2)试判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与互余，理由如下： 因为是的平分线， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 所以与互余． 【分析】此题考查了角平分线的概念，余角和补角的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）由角平分线得到，则，再根据是的平分线，得到，再根据计算即可； （2）由角平分线得到，，即可得到． 【详解】（1）解：因为是的平分线， 所以， 所以 因为是的平分线， 所以； 所以 所以 ； （2）略 3．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意设，再由与互补，建立方程求解即可； （2）根据平角的定义结合，以及，求解即可； （3）设，则由（2）知，由角平分线可得，则由，得到，解得，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设 ∵与互补， ∴ 解得 ∴，； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，则由（2）知 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， ①当在内部时， ∵ ∴ ∴； ②当在内部时， ∵ ∴ ∴， 综上：的度数为或． 4．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；或 (3)或 理由如下：根据题意，得，， ， ， 解得； 根据题意，得，， ， 解得； (4)存在；或 【分析】（1）根据，解答即可． （2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解． （3）根据题意，得，或，求解即可； （4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 故; （2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒， 故旋转角． 当且在的上方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； 当且在的下方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； （3）略 （4）解：根据题意，当在的左侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 当在的右侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 故当t为或时，; 5．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) _在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1)①；②的度数为或 (2)经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】本题考查了钟面角，角的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． （1）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可； （2）根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：设经过时间为分钟， 由（1）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15角的比较与运算及余角和补角知题通关讲义 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 1. 角的和差识图错误 提醒：结合图形区分角的叠加、拆分关系，依据射线位置判断角度加减。 2. 角平分线概念理解偏差 提醒：若射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB；满足∠AOC=∠COB，OC不一定是角平分线，OC必须在角的内部。 3. 度分秒运算换算失误 提醒：度、分、秒为60进制；加法满60进1，减法不足时向前一级借1当作60。 4. 余角、补角概念判定错误 提醒：余角要求两角之和为90，补角要求两角之和为180；只与角度数值有关，和两角位置无关。 5. 余角、补角列式计算失误 提醒：锐角\alpha的余角为90-，补角为180-；钝角仅有补角，不存在余角。 6. 余角、补角性质表述错误 提醒：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；不可表述为相等的角互为余角或补角。 7. 方位角识读与书写不规范 提醒：方位角以正北、正南作为基准；书写顺序为先写北/南，后写东/西，顺序不可颠倒。 8. 无图角度计算漏解 提醒：题目没有给出图形，射线位置不确定时，需分射线在角内部、外部两类讨论，防止漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的比较 ★ 题型二 三角板中角度计算问题 ★★ 题型三 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型四 角度的四则运算 ★★ 题型五 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型六 角平分线的有关计算 ★★★ 题型七 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型八 求一个角的余角 ★ 题型九 求一个角的补角 ★ 题型十 与余角、补角有关的计算 ★★ 题型十一 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、角的比较 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 2．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 3．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 题型二、三角板中角度计算问题 4．如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 5．将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°． 6．已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 题型三、几何图形中角度计算问题 7．已知射线，若从点O引两条射线，，使得，，则______． 8．如图，已知，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在线段上方作，点、分别为线段上动点，作射线、，过点作射线、（和均在内部），满足，，若，则______． 10．光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为（   ）度． A． B． C． D． 题型四、角度的四则运算 11．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 12．人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．填空题． （1）________；         （2）________； （3）________________；         （4）________________； （5）_______=________________． 题型五、实际问题中角度计算问题 14．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 15．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 16．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 题型六、角平分线的有关计算 17．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 18．如图，，在内部，平分，平分，则___________． 19．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型七、角 n 等分线的有关计算 20．射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 22．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 题型八、求一个角的余角 23．已知，则它的余角是（     ） A． B． C． D． 24．若，则的余角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 25．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 题型九、求一个角的补角 26．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 27．如图，、、三点共线，，则的补角是（   ） A． B． C． D． 28．下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 题型十、与余角、补角有关的计算 29．下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 30．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 31．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一、同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 32．下列说法错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 33．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 34．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 解答题 1．计算： (1)； (2) 2．如图，点A、O、B在同一条直线上，，分别平分和． (1)若，求的度数； (2)试判断与的关系，并说明理由． 3．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 4．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 5．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) _在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $